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第三章 相互作用
第四节 力的合成
【课标解读】：
知道力的合成与分解、合力与分力、平行四边形定则；
会用作图法求共点力的合力；
理解合力的大小与分力夹角的关系；
会用作图法求分力，并且能用直角三角形及正交分解法求分力。
【考点聚焦】：
理解物体受力分析分力与合力的关系；运用平行四边形定则求解合力；会判断共点力的合力随夹角的变化而变化的情况。
掌握力的分解方法，能应用正交分解来分解力；掌握动态平衡的分析方法。
【知识要点】：
一、合力与分力
当一个物体受到几个力的共同作用时,我们常常可以求出这样一个力,这个力产生的效果跟原来几个力的共同效果相同,这个力就叫做那几个力的合力,原来的几个力叫做分力.
要点诠释：
①合力与分力是针对同一受力物体而言.
②一个力之所以是其他几个力的合力,或者其他几个力是这个力的分力,是因为这一个力的作用效果与其他几个力共同作用的效果相当,合力与分力之间的关系是一种等效替代的关系.
二、共点力
1.定义：一个物体受到的力作用于物体上的同一点或者它们的作用线交于一点,这样的一组力叫做共点力.(我们这里讨论的共点力,仅限于同一平面的共点力)
要点诠释：
一个具体的物体,其各力的作用点并非完全在同一个点上,若这个物体的形状 大小对所研究的问题没有影响的话,我们就认为物体所受到的力就是共点力.如图甲所示,我们可以认为拉力F、摩擦力F1及支持力F2都与重力G作用于同一点O.如图乙所示,棒受到的力也是共点力.
2.共点力的合成:遵循平行四边形定则.
3.两个共点力的合力范围
合力大小的取值范围为:F1+F2≥F≥|F1-F2|.
在共点的两个力F1与F2大小一定的情况下,改变F1与F2方向之间的夹角θ,当θ角减小时,其合力F逐渐增大;当θ=0°时,合力最大F=F1+F2,方向与F1与F2方向相同;当θ角增大时,其合力逐渐减小;当θ=180°时,合力最小F=|F1-F2|,方向与较大的力方向相同.
4.三个共点力的合力范围
①最大值:当三个分力同向共线时,合力最大,即Fmax=F1+F2+F3.
②最小值:a.当任意两个分力之和大于第三个分力时,其合力最小值为零.
b.当最大的一个分力大于另外两个分力的算术和时,其最小合力等于最大的一个力减去另外两个力的算术和的绝对值.
【例题精讲】：
类型一、求合力的取值范围
例1、物体同时受到同一平面内的三个共点力的作用,下列几组力的合力不可能为零的是( )
A.5 N,7 N,8 N B.5 N,2 N,3 N
C.1 N,5 N,10 N D.10 N,10 N,10 N
【变式1】一个物体受三个共点力的作用，它们的大小分别为F1＝7 N、F2＝8 N、F3＝9 N．求它们的合力的取值范围？
类型二、求合力的大小与方向
例2、一个大人拉着载有两个小孩的小车(其拉杆可自由转动)沿水平地面匀速前进，则对小孩和车下列说法正确的是(　　)
A. 拉力的水平分力等于小孩和车所受的合力
B. 拉力与摩擦力的合力大小等于重力大小
C. 拉力与摩擦力的合力方向竖直向上
D. 小孩和车所受的合力为零
例3、如左图在正六边形顶点A分别施以F1～F5 5个共点力，其中F3=10N，A点所受合力为 ；如图，在A点依次施以1N～6N，共6个共点力．且相邻两力之间夹角为600，则A点所合力为 。
类型三、按力的实际作用效果分解力
例4、关于两个力的合力与这两个力的关系说法中正确的是(　　)
A. 合力比这两个力都大
B. 合力至少比这两力中较小的力要大
C. 合力可能比这两个力都小
D. 合力可能比这两个力都大
题型四、正交分解法的应用
例5、质量为m的木块，在与水平夹角为θ的推力F作用下，沿水平地面做匀速运动，如图所示．已知木块与地面间的动摩擦因数为μ，那么木块受到的滑动摩擦力应为 (　　)
A．μmg
B．μ(mg＋Fsinθ)
C．μ(mg－Fsinθ)
D．Fcosθ
【变式1】如图所示，质量为m的等边三棱柱静止在水平放置的斜面上．已知三棱柱与斜面之间的动摩擦因数为μ，斜面的倾角为30°，则斜面对三棱柱的支持力与摩擦力的大小分别为 (　　)
【变式2】如图所示，有一个表面光滑、质量很小的截面是等腰三角形的尖劈，其倾角为θ，插在缝A、B之间，在尖劈上加一个力F，则尖劈对缝的左侧压力大小为多少？
类型五、力的合成与分解的实际应用
例6、（2016 全国新课标Ⅰ卷）如图，一光滑的轻滑轮用细绳悬挂于点；另一细绳跨过滑轮，其一端悬挂物块，另一端系一位于水平粗糙桌面上的物块。外力向右上方拉，整个系统处于静止状态。若方向不变，大小在一定范围内变化，物块仍始终保持静止，则（ ）
A. 绳的张力也在一定范围内变化
B. 物块b所受到的支持力也在一定范围内变化
C. 连接a和b的绳的张力也在一定范围内变化
D. 物块b与桌面间的摩擦力也在一定范围内变化
【变式】求图中两种情况下，轻绳的拉力T和轻杆中的弹力N。
【高考链接】
1．【2017·天津卷】（多选）如图所示，轻质不可伸长的晾衣绳两端分别固定在竖直杆M、N上的a、b两点，悬挂衣服的衣架钩是光滑的，挂于绳上处于静止状态。如果只人为改变一个条件，当衣架静止时，下列说法正确的是： （ ）
A．绳的右端上移到，绳子拉力不变
B．将杆N向右移一些，绳子拉力变大
C．绳的两端高度差越小，绳子拉力越小
D．若换挂质量更大的衣服，则衣架悬挂点右移
2．【2016·全国新课标Ⅲ卷】如图，两个轻环a和b套在位于竖直面内的一段固定圆弧上；一细线穿过两轻环，其两端各系一质量为m的小球。在a和b之间的细线上悬挂一小物块。平衡时，a、b间的距离恰好等于圆弧的半径。不计所有摩擦。小物块的质量为： （ ）
A． B． C．m D．2m
3．【2015·广东·19】（多选）如图7所示，三条绳子的一端都系在细直杆顶端，另一端都固定在水平面上，将杆竖直紧压在地面上，若三条绳长度不同，下列说法正确的有： （ ）
A．三条绳中的张力都相等 B．杆对地面的压力大于自身重力
C．绳子对杆的拉力在水平方向的合力为零 D．绳子拉力的合力与杆的重力是一对平衡力.
【课堂练习】
1、滑梯是小孩子很喜欢的娱乐活动．如图所示，一个小孩正在滑梯上匀速下滑，则 (　　)
A．小孩所受的重力与小孩所受的弹力大小相等
B．小孩所受的重力与小孩所受的摩擦力大小相等
C．小孩所受的弹力和摩擦力的合力与小孩所受的重力大小相等
D．小孩所受的重力和弹力的合力与小孩所受的摩擦力大小相等
2、一物体受到三个共面共点力F1，F2，F3的作用，三力的矢量关系如图所示(小方格边长相等)，则下列说法正确的是(　　)
A．三力的合力有最大值F1＋F2＋F3，方向不确定
B．三力的合力有唯一值3F3，方向与F3同向
C．三力的合力有唯一值2F3，方向与F3同向
D．由题给条件无法求出合力大小
3、如图所示，在粗糙水平面上放一斜面体a，有一物b在斜面上刚好匀速下滑，现在b上施加沿斜面向下的力F，使b沿斜面加速下滑，则 (　　)
A．a保持静止，且没有相对水平面运动的趋势
B．a保持静止，但有相对水平面向右运动的趋势
C．a保持静止，但有相对水平面向左运动的趋势
D．因未给出所需数据，无法对a是否运动或有无运动趋势作出判断
4、F1、F2是力F的两个分力．若F＝10 N，则下列不可能是F的两个分力的是(　　)
A．F1＝10 N，F2＝10 N B．F1＝20 N，F2＝20 N
C．F1＝2 N，F2＝6 N D．F1＝20 N，F2＝30 N
5、如图所示，滑轮本身的质量可忽略不计，滑轮轴O安在一根轻木杆B上，一根轻绳AC绕过滑轮，A端固定在墙上，且绳保持水平，C端下面挂一个重物，BO与竖直方向的夹角为θ＝45°，系统保持平衡，若保持滑轮的位置不变，改变θ的大小，则滑轮受到木杆的弹力大小的变化情况是(　　)
A．只有θ变小，弹力才变大
B．只有θ变大，弹力才变大
C．无论θ变大还是变小，弹力都变大
D．无论θ变大还是变小，弹力都不变
6、如图所示，质量为m的木块在推力F作用下，在水平地面上做匀速运动。已知木块与地面间的动摩擦因数为μ，那么木块受到的滑动摩擦力为(　　)
A．μmg B．μ(mg＋Fsin θ)
C．μ(mg－Fsin θ) D．Fcos θ
7、如下图所示，a、b两个质量相同的球用线连接，a球用线挂在天花板
上，b球放在光滑斜面上，系统保持静止，以下图示哪个是正确的 (　　)
8、如图所示，AC是上端带定滑轮的固定竖直杆，质量不计的轻杆BC一端通过铰链固定在C点，另一端B悬挂一重为G的物体，且B端系有一根轻绳并绕过定滑轮A，用力F拉绳，开始时∠BCA＞90°，现使∠BCA缓慢变小，直到杆BC接近竖直杆AC。此过程中，轻杆B端所受杆的弹力(　　)
A．大小不变 B．逐渐增大
C．逐渐减小 D．先减小后增大
9、如图所示，质量M＝2 kg的木块A套在水平杆上，并用轻绳将木块A与质量m＝ kg的小球B相连。今用跟水平方向成α＝30°角的力F＝10 N，拉着球带动木块一起向右匀速运动，运动中M、m相对位置保持不变，取g＝10 m/s2。求：
(1)运动过程中轻绳与水平方向夹角θ；
(2)木块与水平杆间的动摩擦因数μ。
【方法点拨】：
1.几种特殊情况的共点力的合成
类型 作图 合力的计算
互相垂直 F＝ tan θ＝
两力等大，夹角θ F＝2F1cos
F与F1夹角为两力等大且夹角120° 合力与分力等大
2．合力的大小范围
(1)两个共点力的合成：|F1－F2|≤F合≤F1＋F2
即两个力大小不变时，其合力随夹角的增大而减小，当两力反向时，合力最小，为|F1－F2|；当两力同向时，合力最大，为F1＋F2。
(2)三个共点力的合成：
①三个力共线且同向时，其合力最大，为F1＋F2＋F3。
②任取两个力，求出其合力的范围，如果第三个力在这个范围之内，则三个力的合力的最小值为零，如果第三个力不在这个范围内，则合力的最小值为最大的一个力减去另外两个较小的力的和的绝对值。
3.力的效果分解法
(1)根据力的实际作用效果确定两个实际分力的方向；
(2)再根据两个实际分力的方向画出平行四边形；
(3)最后由平行四边形和数学知识求出两分力的大小。
4．正交分解法
(1)定义：将已知力按互相垂直的两个方向进行分解的方法。
(2)建立坐标轴的原则：一般选共点力的作用点为原点，在静力学中，以少分解力和容易分解力为原则(即尽量多的力在坐标轴上)；在动力学中，以加速度方向和垂直加速度方向为坐标轴建立坐标系。
(3)方法：物体受到多个力作用F1，F2，F3…求合力F时，可把各力沿相互垂直的x轴、y轴分解。
x轴上的合力：Fx＝Fx1＋Fx2＋Fx3＋…
y轴上的合力：Fy＝Fy1＋Fy2＋Fy3＋…
合力大小：F＝
合力方向：与x轴夹角为θ，
则tan θ＝。
答案
【例题精讲】：
例1.【答案】C
【解析】分析A B C D各组力中,前两力合力范围分别是:2 N≤F合≤12 N,第三力在其范围之内:3 N≤F合≤7 N,第三力在其合力范围之内;4 N≤F合≤6 N,第三力不在其合力范围之内;0≤F合≤20 N,第三力在其合力范围之内,故只有C中第三力不在前两力合力范围之内,C中的三力合力不可能为零.
变式.【答案】0≤F≤24 N
例2. 【答案】C、D
【解析】小孩和车整体受重力、支持力、拉力和摩擦力，根据共点力平衡条件,拉力的水平分力等于小孩和车所受的摩擦力，故选项A错误；小孩和车整体受重力、支持力、拉力和摩擦力，根据共点力平衡条件，拉力、摩擦力的合力与重力、支持力的合力平衡，重力、支持力的合力竖直向下，故拉力与摩擦力的合力方向竖直向上，故选项B错误，C正确；小孩和车做匀速直线运动，故所受的合力为零，故选项D正确。
例3. 【答案】30N，方向与F3相同；0N
【解析】对于左图，依据正六边形的性质及力的三角形作图法，不难看出，、、可以组成一个封闭三角形，即可求得和的合力必与相同。同理可求得,的合力也与相同。所求五个力的合力就等效为三个共点同向的的合力，即所求五个力的合力大小为30 N，方向沿的方向（合力与合成顺序无关）。
对于右图，先将同一直线上的三对力进行合成,可得三个合力均为3 N且互成120°角,故总合力为零.
例4. 【答案】C、D
【解析】根据平行四边形定则知,因为对角线的长度可能比两邻边的长度长,也可能比两邻边的长度短,也可能与两邻边的长度相等,所以合力可能比分力大,可能比分力小,可能与分力相等,故选项C、D正确。
例5．【答案】BD
【解析】木块匀速运动时受到四个力的作用：重力mg、支持力FN、摩擦力Ff、推力F，建立如图所示的坐标系，因木块做匀速运动，所有：
Fcosθ＝Ff
FN＝mg＋Fsinθ
又∵Ff＝μFN
∴Ff＝μ(mg＋Fsinθ)，故BD答案是正确的．
变式1. 【答案】A
变式2. 【答案】
例6. 【答案】BD
【解析】由题意，在F保持方向不变，大小发生变化的过程中，物体a、b均保持静止，各绳角度保持不变；选a受力分析得，绳的拉力T = mag，所以物体a受到绳的拉力保持不变。由滑轮性质，滑轮两侧绳的拉力相等，所以b受到绳的拉力大小、方向均保持不变，C选项错误； a、b受到绳的拉力大小方向均不变，所以的张力不变，A选项错误；对b进行受力分析，并将各力沿水平方向和竖直方向分解，
如上图所示。由受力平衡得：Tx+f=Fx，Fy+N+Ty=mbg。T和mbg始终不变，当F大小在一定范围内变化时；支持力在一定范围内变化，B选项正确；摩擦力也在一定范围内发生变化，D选项正确。
故答案选BD。
变式. 【答案】（1）
（2）
【高考链接】
1. 【答案】AB
【解析】
2. 【答案】C
3. 【答案】BC
【解析】因为杆静止，受力平衡，所以在水平、竖直面内的合力分别为零，故选项C正确；由于三条绳长度不同，因此三条绳与直杆间夹角不同，若三条绳中的张力都相等，在同一水平面内的分量因夹角不同而不同，所以水平面内杆受力不能平衡，故选项A错误；又因绳中拉力在竖直方向的分量均竖直向下，所以地面对杆的支持力大于杆的重力，根据牛顿第三定律可知，杆对地面的压力大于自身重力，故选项B正确；绳子拉力的合力与杆自身重力无关，属于杆受到的外力，在竖直方向上，它们的总合力与地面对杆的支持力为平衡力，故选项D错误。
【课堂练习】
1、解析：小孩在滑梯上受力如图所示，设滑梯斜面倾角为θ，
则FN＝mgcos θ，Fμ＝mgsin θ，所以A、B错误；小孩在重
力、弹力和摩擦力三个力作用下处于平衡状态，其中任意两个
力的合力一定与第三个力大小相等，方向相反，故C、D正确．
答案：CD
2、[解析]　用作图法先求出F1和F2的合力，其大小为2F3，方向与F3同向，然后再用F1和F2的合力与F3合成，可得出三个力的合力大小为3F3，方向沿F3方向，故B正确。
[答案]　B
3、解析：若以b为对象，由平衡条件知b受支持力和摩擦力的合力方向竖直
向上，大小等于b的重力，因此b对a的压力和摩擦力的合力方向竖直向下，a
没有相对地面运动的趋势．当施加沿斜面向下的力F后，斜面体所受各力均
未发生变化，故a仍保持静止状态，即选A.
答案：A
4、解析：本题考查合力和分力之间的关系．合力F和两个分力F1、F2之间的关系为|F1－F2|≤F≤|F1＋F2|，则应选C.
答案：C
5、解析：选D　无论θ变大还是变小，水平绳和竖直绳中的拉力不变，这两个力的合力与杆的弹力平衡，故弹力都不变。
解析：选BD　木块匀速运动时受到四个力的作用：重力mg、推力F、支持力FN、摩擦力f。沿水平方向建立x轴，将F进行正交分解如图(这样建立坐标系只需分解F)，由于木块做匀速直线运动，所以，在x轴上，向左的力等于向右的力(水平方向二力平衡)；在y轴上向上的力等于向下的力。即Fcos θ＝f，FN＝mg＋Fsin θ，又由于f＝μFN，所以f＝μ(mg＋Fsin θ)。故B、D答案是正确的。
7、解析：本题考查物体的平衡．A、D选项中a球所受三个力不能维持a球平衡,
A、D项错误；C图中a球受到的重力竖直向下，连接天花板的绳的拉力竖直
向上，连接b球的绳子的拉力偏向左下，因此三力的合力不为零，C项错误；
分析B项中两个球的受力，合力都可以为零，B项正确．
答案：B
8、解析：选A　以B点为研究对象，受力分析如图所示。由几何知识得△ABC与矢量三角形FGFBB相似，则有＝。由共点力的平衡条件知FA、FB的合力FG＝G大小不变，又AC、BC均不变，故FB不变，可知轻杆B端受杆的弹力大小不变。
9、解析：(1)设细绳对B的拉力为FT，由平衡条件可得：
Fcos 30°＝FTcos θ，
Fsin 30°＋FTsin θ＝mg，
解得FT＝10 N，tan θ＝/3，即θ＝30°。
(2)设细绳对A的拉力为FT′，由牛顿第三定律，FT′＝FT。
对A，由平衡条件可得：
FT′sin θ＋Mg＝FN
FT′cos θ＝μFN
解得μ＝/5。
答案：(1)30°　(2)/5

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