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第六章 《圆周运动》
一、圆周运动的概念：
运动轨迹为圆周或 的机械运动称为圆周运动。
二、线速度v
(1)定义：物体做圆周运动通过的 与所用 的比值，v＝ 。
(2)意义：描述做圆周运动的物体 的快慢。
(3)方向：物体做圆周运动时该点的 方向。
圆周运动线速度的方向与前面讲到的曲线运动速度的方向与轨迹相切是一致的。
三、匀速圆周运动
(1)定义：物体沿着圆周运动，并且线速度的大小 。
(2)性质：线速度的方向是时刻 的，所以是一种 运动。
四、角速度、周期和转速
1、角度ω
(1)定义：做圆周运动的物体，半径转过的 与所用 的比值．
(2)定义式：ω＝ 。
(3)单位： ，符号为 或 。
(4)物理意义：描述圆周运动的物体与圆心连线扫过 快慢的物理量．
2、周期T和频率f
① 周期：做匀速圆周运动的物体 叫做周期，
符号： ，单位：
② 频率：做匀速圆周运动的物体在1s内绕圆心转过的 叫做频率，符号： ，单位：
③ 周期T和频率f的关系：
④ 转速n：单位时间内转动的 。单位：转每秒（r/s）或转每分(r/min)
注意：线速度、角速度、周期、转速都是用来描述质点做圆周运动快慢的，但它们描述的角度不同．
(1)线速度v描述质点运动的快慢．
(2)角速度ω、周期T、转速n描述质点转动的快慢．
3、线速度（v）、角速度（ω）、周期（T）、转速（n）的关系
1.线速度和角速度的关系式是
2.线速度和周期的关系式是
3.角速度和周期的关系式是
4.频率和周期的关系式是
5.线速度和转速
6.各个物理量之间的关系
(1)v＝ωr＝，即r一定时，v与ω成正比；ω一定时，v与r成正比．
(2)ω＝＝＝2πn，即r一定时，ω与v成正比；v一定时，ω与r成反比．
[特别提醒]　线速度大的物体，其角速度不一定大，据ω＝，若v大，r也很大，角速度ω可能很小．
(1)v、ω、r的关系是瞬时对应的．
(2)v、ω、r三个量中，只有先确定其中一个量不变，才能进一步明确另外两个量是正比还是反比关系．
(3)若比较物体沿圆周运动的快慢看线速度，若比较物体绕圆心转动的快慢看角速度或周期．
Ⅴ ω Τ n f
Ⅴ
ω
Τ
n
f
五、常见传动装置及其特点
（1）皮带传动（摩擦传动、齿轮传动）
已知：A、B两点分别为轮子边缘的点，皮带不打滑。
① A、B两点做圆周运动的线速度关系：
②A、B两点做圆周运动的角速度关系：
结论：
（2）共轴转动
①A、B两点做圆周运动的角速度关系：
②A、B两点做圆周运动的线速度关系：
结论：
特点：
（1）同轴的各点角速度、转速、周期________，线速度与半径成________。
（2）在不考虑皮带打滑的情况下，皮带上各点与传动轮上各点线速度大小________，而角速度与半径成________。
装置 特点
同轴转动 (1)角速度相同，即ωA＝ωB (2)周期相同，即TA＝TB (3)线速度与半径成正比，即 ＝
皮带传动 (1)线速度大小相等，即vA＝vB (2)周期与半径成正比，即 ＝ (3)角速度与半径成反比，即 ＝
齿轮传动 (1)线速度大小相等，即vA＝vB (2)周期与半径成正比，即 ＝ (3)角速度与半径成反比，即＝
综合训练
一、单选题
1．质点作匀速圆周运动，在相等的时间内（　　）
A．加速度相同 B．位移相同
C．通过的弧长相等 D．合外力相同
2．关于曲线运动，下列说法正确的是（　　）
A．曲线运动的速度大小一定变化
B．一段时间内，做曲线运动的物体的位移可能为零
C．曲线运动的加速度一定变化
D．在平衡力作用下，物体可能做曲线运动
3．关于做匀速圆周运动的物体下列说法正确的是（　　）
A．其速度、 角速度不变 B．其加速度的方向始终不变
C．向心力的作用是改变物体速度、产生向心加速度 D．向心力是恒力
4．关于匀速圆周运动，下列说法正确的是（　　）
A．匀速圆周运动是匀变速曲线运动 B．匀速圆周运动是速度不变的运动
C．匀速圆周运动的加速度恒定不变 D．匀速圆周运动的角速度恒定不变
5．下列关于运动和力的叙述中，不正确的是（　　）
A．物体做圆周运动时，所受的合力不一定指向圆心
B．匀速圆周运动在相等的时间内通过的圆弧长度相等，所以线速度恒定
C．匀速圆周运动是周期、转速、频率、角速度都不变的运动
D．圆周运动的向心加速度方向总与速度方向垂直
6．质点在某段时间内做曲线运动，则在这段时间内该质点（　　）
A．加速度可能是恒定的 B．物体受到的合外力一定在不断改变
C．速度的方向和大小一定都在不断改变 D．加速度与速度的方向可能相同
7．下列说法正确的是（　　）
A．两个初速度不为零的匀变速直线运动的合运动一定为曲线运动
B．做圆周运动的物体所受合外力突然消失时，物体将沿圆周的半径方向飞出
C．平抛运动是匀变速曲线运动
D．做圆周运动的物体所受合力一定指向圆心
8．下列各种运动中，属于匀变速曲线运动的有（　　）
A．匀速直线运动 B．匀速圆周运动 C．平抛运动 D．竖直上抛运动
9．下列的哪个量越大表示圆周运动越慢（　　）
A．线速度 B．角速度 C．周期 D．转速
10．以下关于曲线运动的说法中正确的是（　　）
A．曲线运动一定是变速运动 B．曲线运动加速度一定变化
C．匀速圆周运动的线速度不变 D．匀速圆周运动的加速度不变
11．关于描述匀速圆周运动快慢的物理量，下列说法中正确的是（　　）
A．角速度、周期、向心加速度 B．线速度、弧长、向心力
C．周期、位移、角速度 D．转速、频率、线速度
12．对于做匀速圆周运动的物体，下列说法中正确的是（　　）
A．线速度不变 B．周期变化
C．角速度大小不变 D．运动状态不变
13．如图所示，让撑开的带有水的伞绕着伞柄旋转，当水滴从伞的边缘飞出时，可以看到水滴是沿着伞边缘的切线方向飞出，不计空气阻力，水滴脱离伞后做（　　）
A．匀速直线运动 B．自由落体运动
C．圆周运动 D．平抛运动
14．A、B两艘快艇在湖面上做匀速圆周运动（如图），在相同的时间内，它们通过的路程之比是，运动方向改变的角度之比是，则它们（　　）
A．线速度大小之比为 B．角速度大小之比为
C．圆周运动的半径之比为 D．向心加速度大小之比为
15．小红坐在水平转盘上，与转盘一起做匀速圆周运动。有关小红的运动状态及受力情况，下列说法正确的是（ ）
A．合力为零 B．线速度不变
C．向心加速度不变 D．角速度不变
16．一物体做匀速圆周运动，其线速度大小为2m/s，则物体在0.5s内通过的弧长为（　　）
A．4m B．3m C．2m D．1m
17．如图，关于钟表上的时针、分针和秒针的周期大小关系，以下说法正确的是（　　）
A．时针的周期最大
B．分针的周期最大
C．秒针的周期最大
D．三根针的周期一样大
18．一辆电动玩具小车，可以在水平桌面上做匀速直线运动。现将小车用轻绳系在水平桌面上O点，如图所示的轻绳的长为L，小车转一圈的时间为t。小车角速度大小可表示为（　　）
A． B． C． D．
19．一个电子钟的秒针角速度为（　　）
A．60s B．1s C． D．
20．某教室内墙壁上挂有一只走时准确的石英钟，盘有时针、分针和秒针，如图所示。关于它们的转动情况描述正确的是（　　）
A．时针与分针转动的角速度之比为1∶60 B．时针与秒针转动的角速度之比为1∶3600
C．分针与秒针转动的角速度之比为1∶60 D．分针与秒针转动的周期之比为1∶12
21．一质点经历的时间沿圆形轨道从一点逆时针匀速率运动到另一点，该质点在圆上转过的角度为，则质点的角速度为（　　）
A． B． C． D．
22．物体做匀速圆周运动，速度的大小为2m/s，1s内速度变化的大小为2m/s，则匀速圆周运动的半径和角速度分别可以为（　　）
A．3m和1rad/s B．1m和3rad/s C．和 D．和
23．风能是一种绿色能源。如图所示，叶片在风力推动下转动，带动发电机发电，M、N为同一个叶片上的两点，下列判断正确的是（　　）
A．M点的线速度小于N点的线速度
B．M点的角速度小于N点的角速度
C．M点的转速大于N点的转速
D．M点的周期大于N点的周期
24．图为某种品牌的共享单车的链轮、链条、飞轮、踏板、后轮示意图，在骑行过程中，踏板和链轮同轴转动、飞轮和后轮同轴转动，已知链轮与飞轮的半径之比为，后轮直径为，当踩踏板做匀速圆周运动的角速度为时，后轮边缘处A点的线速度大小为（　　）
A． B． C． D．
25．如图所示，摩天轮上有A、B两点，在摩天轮转动时，A、B两点的角速度大小分别为ωA、ωB，线速度大小分别为vA、vB，则（　　）
A．ωA>ωB，vA＝vB B．ωA<ωB，vA＝vB
C．ωA＝ωB，vAvB
26．如图所示，汽车雨刮器在转动时，杆上A、B两点绕O点转动的角速度大小为ωA、ωB，线速度大小为vA、vB，则（　　）
A．ωA=ωB，vAωB，vA=vB
C．ωA=ωB，vA>vB D．ωA<ωB，vA=vB
27．如图所示的皮带传动装置，A与B通过皮带连接传动，B与C通过中间轴固定传动，则A与C的线速度之比是（　　）
A．r2：r1 B．r1：r2 C．r2：r3 D．r3：r2
28．如图所示，皮带传动装置中小轮半径ra是大轮半径rb的一半，大轮上c点到轮心O的距离恰等于ra，若皮带不打滑，则图中a、b、c三点（　　）
A．a点与c点的线速度大小相等 B．a点与b点的角速度大小相等
C．a点与c点的周期相等 D．b点与c点周期相等
29．如图所示，皮带传动装置的A、B、C三点，则它们线速度、角速度关系正确的是（　　）
A．A、B的角速度大小相等 B．A、B的线速度大小相等
C．A、C的线速度大小相等 D．B、C的角速度大小相等
30．如图为一皮带传动装置，a、b、c三点做圆周运动的半径之比ra︰rb︰rc=1︰2︰4。若a、b、c三点的线速度分别用υa、υb、υc表示，角速度分别用ωa、ωb、ωc表示，在传动过程中皮带不打滑，则下列关系式正确的是（　　）
A．υa︰υb︰υc=1︰2︰4
B．υa︰υb︰υc=4︰2︰1
C．ωa︰ωb︰ωc=2︰1︰1
D．ωa︰ωb︰ωc=1︰2︰2
二、多选题
31．甲、乙两物体都做匀速圆周运动，转动半径之比为1∶2，在相等时间里都转过60°圆心角。则下列说法中错误的是（　　）
A．线速度之比为1∶2 B．线速度之比为1∶1
C．角速度之比为2∶1 D．角速度之比为1∶1
32．A、B两个质点分别做匀速圆周运动。若在相等时间内，两质点转过的圆心角之比=3∶2，通过的弧长之比sA∶sB=2∶3，则（　　）
A．A、B的角速度之比ωA∶ωB=3∶2
B．A、B的线速度之比vA∶vB=3∶2
C．A、B的周期之比TA∶TB=2∶3
D．A、B的向心加速度之比aA∶aB=2∶3
33．如图所示的传动装置中，A轮顺时针转动，并通过皮带带动B轮转动（皮带不打滑）。a、b分别是两轮边缘上的点，它们的线速度大小分别为va、vb下列判断正确的是（　　）
A． B轮顺时针转动 B． B轮逆时针转动
D．
三、填空题
34．如图所示，一个圆环的环心在O处，与直径夹角为60°，与直径夹角为30°.若以其直径为轴做匀速转动，则环上的P和Q两点的线速度之比为________；若环的半径为，绕转动的周期是，则环上Q点的线速度为_______.
35．A、B二质点分别做匀速圆周运动，若在相等时间内，它们通过的弧长之比sA：sB = 2：3，转过的圆心角之比A：B = 3：2，则它们的周期之比为TA：TB = ________，角速度之比ωA：ωB = ________，线速度之比vA：vB = ________。
36．A、B两质点分别做匀速圆周运动，若它们在相等的时间内通过的弧长之比为1：2，而转过的圆心角之比为2：1，则它们的线速度之比________，角速度之比_________，它们做圆周运动的半径之比为_______
37．AB两质点分别做匀速圆周运动，若在相同时间内，它们通过的弧长之比SA:SB=2:3，而转过的角度之比φA:φB=3:2，则它们的线速度之比vA:vB=______；角速度之比ωA:ωB=______，半径之比RA:RB=______．
38．做匀速圆周运动的物体，8s内沿半径是16m的圆周运动了64m，则其线速度大小是____m/s，周期是 ___s，角速度是 ___ rad/s。
39．如图所示皮带转动轮，大轮直径是小轮直径的2倍，A是大轮边缘上一点，B是小轮边缘上一点，C是大轮上一点，C到圆心O1的距离等于小轮半径．转动时皮带不打滑，则A、B两点的角速度之比ωA：ωB= ，B、C两点向心加速度大小之比aB：aC= ．
40．如图为某种混凝土搅拌机的传动机构，A轮的齿数为N1，B轮的齿数为N2。当A轮顺时针转动，将带动B轮沿______方向转动，A轮和B轮的角速度之比为________。
41．观察自行车的主要传动部件，了解自行车是怎样用链条传动来驱动后轮前进的。如图所示，大齿轮、小齿轮、后轮三者的半径分别为，它们的边缘上有三个点A、B、C。则A、B、C三者的线速度大小之比为_______，角速度之比为________。
四、解答题
42．某物体做匀速圆周运动的周期为，半径为，计算结果保留3位有效数字，求：
(1)角速度的大小；
(2)线速度的大小；
(3)向心加速度的大小
43．一物体在水平面内沿半径r=20cm的圆形轨道做匀速圆周运动，线速度v=0.2m/s，求：
(1)它的向心加速度为多少
(2)它的角速度为多少
(3)它的周期为多少？
44．如图为简易水轮机截面示意图，水管水平放置，水从管口A流出后在D处冲击轮子边缘的挡水板，可使轮子连续转动，稳定时轮子边缘线速度与水流冲击速度大小近似相等。已知AD竖直高度差h=0.8m，轮子边缘的线速度v=5m/s，轮子半径R=0.5m。不计挡水板的大小，忽略空气阻力，取重力加速度g=10m/s2，求：
（1）轮子转动角速度；
（2）AD水平距离。
45．如图所示，半径为R的水平圆板中心轴的正上方高h处水平抛出一小球，圆板做匀速转动，当圆板半径OB转到与小球初速度方向平行时（图示位置），开始抛出小球，要使小球与圆板只碰一次，且碰撞点为B，求
（1）小球的初速度v0；
（2）圆盘转动的最小角速度ω。
46．2010年温哥华冬奥会双人滑比赛中，申雪、赵宏博拿到中国花样滑冰史上首枚冬奥会金牌，如图所示，赵宏博（男）以自己为转轴拉着申雪（女）做匀速圆周运动，转速为30r/min。申雪的脚到转轴的距离为1.6m。求：
(1)申雪做匀速圆周运动的角速度；
(2)申雪的脚运动速度的大小。
47．如图所示，圆环以直径AB为轴匀速转动，已知其半径，转动周期，求环上P点和Q点的角速度和线速度．
48．“飞车走壁”是一种传统的杂技艺术，杂技演员驾驶摩托车在倾角很大的“桶壁”内侧做圆周运动而不掉下来，如图所示，一杂技演员驾驶摩托车沿半径为5m的圆周做匀速圆周运动，在10s内运动的弧长为200m，求：
（1）摩托车线速度的大小；
（2）摩托车运动的周期。
49．某同学以自行车的齿轮传动作为探究学习的课题，该同学通过观察发现，自行车的大齿轮与小齿轮通过链条相连，后轮与小齿轮绕共同的轴转动，如图所示，测得大齿轮的半径为r1、小齿轮的半径为r2、自行车后轮的半径为R，若测得在时间t内大齿轮转动的圈数为N，求：
（1）大齿轮转动角速度的大小ω；
（2）自行车后轮线速度的大小v。
50．皮带传动是常见的传动方式之一，可以建构如图所示的物理模型来分析其传动原理，该模型中A、B两轮同轴转动，A、B、C三轮半径大小的关系是==2若皮带不打滑，求：
（1）三个轮角速度的大小之比；
（2）三个轮边缘线速度的大小之比。
51．图是皮带传动机构的示意图（A、B轮共轴）。
（1）请分析：三个轮子边缘上哪些点可能具有相同大小的线速度？哪些点可能具有相等的角速度？三个轮子转速的关系又如何？
（2）假设轮A与轮B的半径分别为和，轮C的半径为。已知轮B每分钟转600转，计算每个轮子边缘上点的线速度和角速度。
52．如图是自行车传动结构的示意图。假设脚踏板每2s转1圈，其中I是半径为r1=15cm的大齿轮，Ⅱ是半径为r2=5cm的小齿轮，Ⅲ是半径为r3=35cm的后轮，若π≈3.14。
（1）求后轮转动的周期？
（2）求自行车前进的速度？
53．如图所示，某同学想制作一个简易水轮机，让水从水平放置的水管流出，水流轨迹与下边放置的轮子边缘相切，水冲击轮子边缘上安装的挡水板，可使轮子连续转动。当该装置工作稳定时，可近似认为水到达轮子边缘时的速度与轮子边缘的线速度相同。调整轮轴的位置，使水流与轮边缘切点对应的半径与水平方向成角。测得水从管口流出速度，轮子半径，已知，，。求：
（1）轮子转动的角速度大小；
（2）水管的出水口到轮轴的水平距离。
54．如图所示，圆环以直径为轴匀速转动，P、Q是圆环上的两点。已知圆环的半径，，，转动周期。计算结果中可以含有π。试计算：
（1）环上Q点转动的角速度；
（2）环上P点转动的线速度。
55．做匀速圆周运动的物体，20 s内沿半径为10 m的圆周运动了100 m，试求物体做匀速圆周运动时：
(1)线速度的大小；
(2)角速度的大小；
(3)周期的大小。
砂轮的直径是20cm，转速为2400r/min，在砂轮边缘上某一质点做圆周运动的周期多大；线速度多大；在离砂轮圆心3cm处某一质点的角速度多大
《向心力》
一、向心力
1、定义：做 运动的物体，会受到指向 的合力，这个合力叫做向心力。符号：F向
2、方向：向心力总是指向圆心，始终与 垂直，
3．作用效果：向心力只改变速度的 而不改变速度的 。向心力的方向时刻在变，向心力是 力。
4、性质：向心力是根据力的 命名，可是各种性质的力，也可以是它们的 ，还可以是某个力的 。
5、来源：可能是弹力、重力、摩擦力或是它们的合力。做匀速圆周运动的物体，向心力就是物体受到的合外力，做非匀速圆周运动的物体向心力不是物体所受到的合外力。
向心力来源 实例分析
重力提供向心力 如图所示，用细绳拴住小球，使小球在竖直面内转动，当它经过最高点时，若细绳的拉力恰好为零，则此时向心力由小球所受的重力提供
弹力提供向心力 如图所示，绳子的一端系在光滑水平桌面上的O点，另一端系一小球，使小球在桌面上做匀速圆周运动，则小球做匀速圆周运动的向心力由绳子的拉力(弹力)提供
摩擦力提供向心力 如图所示，木块随圆盘一起做匀速圆周运动，其所需的向心力由静摩擦力提供。木块相对圆盘的运动趋势的方向沿半径背离圆心，静摩擦力的方向与相对运动趋势的方向相反。但是，当圆盘光滑(无摩擦力)时，木块将沿切线方向飞出，说明木块相对于地面的运动趋势的方向沿切线方向，而相对于圆盘的运动趋势的方向沿半径向外
合力提供向心力 如图所示，细线拉住小球在竖直面内做匀速圆周运动，当小球经过最低点时，向心力由细线的拉力和小球重力的合力提供
分力提供向心力 如图所示，小球在细线作用下，在水平面内做圆周运动时，向心力由细线的拉力在水平方向的分力提供
二、【实验】探究向心力大小的表达式 （控制变量）
向心力的大小与物体的 质量 有关，与物体转动的 角速度 和 半径 有关。
1、向心力演示器原理及实验操作简介
①如图所示，转动手柄，可使变速塔轮、长槽和短槽随之匀速转动，槽内的小球就做匀速圆周运动。
②小球做圆周运动的向心力由横臂挡板对小球的压力提供，球对挡板的反作用力通过横臂的杠杆使弹簧测力筒下降，露出的标尺上的红白相间的等分格可显示出两个球所受向心力的比值。
③传动皮带分别套在塔轮上的不同圆盘上，可改变两个塔轮的转速比，即改变角速度；球放在长槽上的不同位置，可改变半径；使用不同质量的球可改变质量。
2、实验步骤
(1)皮带套在塔轮2、3半径相同的圆盘上，小球转动半径和转动角速度相同时，探究向心力与小球质量的关系．
(2)皮带套在塔轮2、3半径相同的圆盘上，小球转动角速度和质量相同时，探究向心力与转动半径的关系．
(3)皮带套在塔轮2、3半径不同的圆盘上，小球质量和转动半径相同时，探究向心力与角速度的关系．
实验结论：
A、在半径和角速度一定的情况下，向心力大小与质量成正比．
B、在质量和角速度一定的情况下，向心力大小与半径成正比．
C、在质量和半径一定的情况下，向心力大小与角速度的平方成正比．
精确的实验证明，做匀速圆周运动的物体所受的向心力与物体质量成正比、与半径成正比、与角速度的平方成正比。向心力公式是：F向 = mω2r = m。
三、对向心力公式的理解：
向心力公式F向=，其意义是：质量为m的物体在半径为r的圆周上以速率v做匀速圆周运动所需要的合外力（向心力）大小是。
同样的道理，F向=mω2r，其意义是：质量为m的物体在半径为r的圆周上以角速度ω做匀速圆周运动需要的合外力是mω2r。
如果物体所受的合力大小不满足或mω2r等，方向不总是垂直于线速度的方向，物体就会偏离圆轨道做一般的曲线运动。
四、变速圆周运动和一般曲线运动的受力特点
1．变速圆周运动的合力
变速圆周运动所受合外力并不严格指向运动轨迹的圆心。合外力一般产生两个方面的效果：
(1)合外力F跟圆周相切的分力Ft（简称为切向加速度），此分力与物体运动的速度在一条直线上，改变线速度的大小。
(2)合外力F指向圆心的分力Fn（简称向心加速度），此分力提供物体做圆周运动所需的向心力，改变物体速度的方向。
2．一般曲线运动
(1)曲线运动：运动轨迹既不是直线也不是圆周的曲线运动，称为一般的曲线运动，如图所示。
(2)处理方法：将曲线分割成为许多很短的小段，这样，质点在每一小段的运动都可以看作圆周运动的一部分，就可以采用圆周运动的分析方法进行处理。
五、匀速圆周运动与变速圆周运动的比较
匀速圆周运动 变速圆周运动
线速度特点 线速度的方向不断改变、大小不变 线速度的大小、方向都不断改变
受力 特点 合力方向一定指向圆心，充当向心力 合力可分解为与圆周相切的分力和指向圆心的分力，指向圆心的分力充当向心力
周期性 有 不一定有
性质 均是非匀变速曲线运动
公式 Fn＝m＝mω2r，an＝＝ω2r都适用
综合演练
一、单选题
1．如图所示，长度为的轻质细杆OA，A端有一质量为的小球，以O点为圆心，在竖直平面内做圆周运动，小球通过最高点时的速度为，取，则此时轻杆OA将（　　）
A．受到的拉力 B．受到的压力
C．受到的拉力 D．受到的压力
2．如图所示，为一在水平面内做匀速圆周运动的圆锥摆，关于摆球A的受力情况，下列说法中正确的是（　　）
A．摆球A受重力、拉力和向心力的作用 B．摆球A受拉力和向心力的作用
C．摆球A受拉力和重力的作用 D．摆球A受重力和向心力的作用
3．做匀速圆周运动的物体，下列物理量变化的是（ ）
A．动能 B．速率 C．向心力 D．周期
4．如图所示，轻绳的一端系一个重为G的小球，另一端系在天花板上的O点，小球在竖直平面内从A点沿圆弧运动到C点，经过最低点B时所受绳子拉力大小为F。则小球经过B点时的向心力（　　）
A．方向竖直向上 B．方向竖直向下
C．大小为G+F D．大小为G－F
5．一长为l的轻杆一端固定在水平转轴上，另一端固定一质量为m的小球，轻杆随转轴在竖直平面内做匀速圆周运动，小球在最高点A时，杆对小球的作用力恰好为零，重力加速度为g，则小球经过最低点B时，杆对小球的作用力为（　　）
A．0 B．2mg
C．3mg D．6mg
6．关于速度、加速度、合力三者的关系，表述正确的是（　　）
A．物体的速度越大，则物体的加速度越大，所受合力也越大
B．物体的速度为零，则物体的加速度一定为零，所受合力也为零
C．物体的速度为零，加速度可能很大，所受的合力也可能很大
D．物体的速率不变，加速度一定为零，所受的合力也一定为零
7．如图所示，长为L的细绳一端固定于O点，另一端系一个小球，在O点的正下方钉一个光滑的小钉子A，小球从一定高度摆下，当细绳与钉子相碰时，钉子的位置距小球，则细绳碰到钉子前、后瞬间（　　）
A．绳对小球的拉力大小之比为1∶4
B．小球所受合外力大小之比为1∶4
C．小球做圆周运动的线速度大小之比为1∶4
D．小球做圆周运动的角速度之比为4∶1
8．某质点做匀速圆周运动，下列说法正确的是（　　）
A．线速度保持不变 B．加速度保持不变
C．向心力保持不变 D．所受外力的合力方向始终与线速度方向垂直
9．如图所示，小物块随水平转盘一起做匀速圆周运动，小物块向心力来源于它受到的（ ）
A．重力 B．支持力
C．重力和支持力的合力 D．静摩擦力
10．如图所示，洗衣机脱水桶正以每分钟1200转的转速匀速转动，关于贴在脱水桶内壁的一块毛巾，下列说法正确的是（　　）
A．毛巾转动的线速度不变 B．毛巾转动的速率不变
C．毛巾转动的加速度不变 D．毛巾受到的桶壁的弹力不变
11．如图所示，某同学为感受绳子拉力大小与转速、绳长的关系，让绳的一端拴一重物，手牵着绳子另一端在空中甩动，使重物在水平面内做圆周运动。则下列分析正确的是（　　）
A.若增大转速，保持绳长不变，则拉力不变
B．若增大转速，保持绳长不变，则拉力变小
C．若增大绳长，保持转速不变，则拉力变小
D．若增大绳长，保持转速不变，则拉力变大
12．关于匀速圆周运动的向心力，下列说法正确的是（　　）
A．向心力是指向圆心方向的合力，是根据力的性质命名的
B．向心力可以是多个力的合力，也可以是其中一个力，但不可能是一个力的分力
C．向心力整个过程中始终不变
D．向心力的效果不能改变质点的线速度大小，只能改变质点的线速度方向
13．一物体做匀速圆周运动，其它条件不变，线速度大小变为原来的2倍，则所需向心力大小变为原来的倍数是（　　）
A．2倍 B．4倍 C．6倍 D．8倍
14．下列说法中正确的有（　　）
A．做直线运动的物体，所受合力一定为恒力
B．做曲线运动的物体，所受合力一定不是恒力
C．做圆周运动的物体，所受合力一定时刻指向圆心
D．做变速圆周运动的物体，指向圆心方向的合力大小在不断变化
15．如图所示，一小球套在光滑轻杆上，并随轻杆一起绕着竖直轴匀速转动，关于小球的受力情况，以下说法中正确的是（　　）
A．小球受到重力和弹力作用
B．小球受到重力、弹力和向心力作用
C．小球受到重力、弹力和离心力作用
D．小球受到重力和弹力的合力是恒力
16．关于运动，下列说法正确的是（　　）
A．加速度越大，速度变化越大
B．恒力作用下，物体一定做直线运动
C．物体的加速度减小时，其速度一定也减小
D．做圆周运动的物体，其所受合力方向不一定指向圆心
17．如图所示为“感受向心力”的实验，细绳的一端拴着一个小球，手握细绳的另一端使小球在光滑水平桌面上做匀速圆周运动，通过细绳的拉力来感受向心力。下列说法正确的是（　　）
A．只增大小球运动的角速度，细绳的拉力不变
B．只增大小球运动的角速度，细绳的拉力减小
C．只更换一个质量较大的小球，细绳的拉力不变
D．只更换一个质量较大的小球，细绳的拉力增大
18．一质量为1kg的物体在水平面内做匀速圆周运动，圆周运动的半径为0.5m，物体旋转6周用时1min，则下列说法正确的是（　　）
A．物体做圆周运动的角速度大小为
B．物体做圆周运动的线速度大小为
C．物体做圆周运动的向心力大小为
D．物体做圆周运动的向心加速度大小为
19．如图所示，质量为m的物块随水平转盘绕竖直固定轴做匀速圆周运动，角速度为ω，物块到轴心的距离为r。则物块受到的向心力大小为（　　）
A． B．
C． D．
20．链球运动是田径比赛中的一个项目，运动员拉住连着铁球的链条使铁球在空中做圆周运动，最终放手抛出。如果忽略空气阻力，则铁球在做圆周运动的过程中（　　）
A．只受重力 B．受重力和向心力
C．受重力和拉力 D．受重力、拉力和向心力
21．如图所示，汽车在一水平公路上转弯时，汽车的运动可视为匀速圆周运动。下列关于汽车转弯时的说法正确的是（　　）
A．汽车处于平衡状态
B．汽车的向心力由重力和支持力提供
C．汽车的向心力由摩擦力提供
D．汽车的向心力由支持力提供
22．一质量为m的汽车绕弯道做半径为R的圆周运动，当汽车的角速度为时，其所受的向心力大小为（ ）
A． B． C． D．
23．如图所示，水平转台上放着一个纸箱A，当转台匀速转动时，纸箱相对转台静止。关于这种情况下纸箱A的受力情况，下列说法正确的是（　　）
A．受重力、台面的支持力、向心力和静摩擦力
B．受重力、台面的支持力和静摩擦力
C．受重力和台面的支持力
D．受重力、台面的支持力和向心力
24．关于做匀速圆周运动的物体下列说法正确的是（　　）
A．其速度、 角速度不变 B．其加速度的方向始终不变
C．向心力的作用是改变物体速度、产生向心加速度 D．向心力是恒力
二、多选题
25．下列关于运动和力的叙述中，正确的是（　　）
A．做曲线运动的物体，其加速度方向一定是变化的
B．做匀速圆周运动的物体，所受的合力一定指向圆心
C．物体所受合力恒定，其速度随时间一定均匀变化
D．加速度变化的运动，一定是曲线运动
26．如图所示，小球从M点无初速释放，当小球运动到最低点最低点N时（忽略空气阻力）（　　）
A．只受重力作用
B．只受拉力作用
C．受重力和拉力的作用
D．重力和拉力的合力提供向心力
27．如图所示，摩天轮悬挂的座舱在竖直平面内做匀速圆周运动。座舱的质量为m，运动半径为R，角速度大小为ω，重力加速度为g，则座舱（　　）
A．线速度的大小为ωR
B．运动周期为
C．所受合力的大小始终为mω2R
D．受摩天轮作用力的大小始终为mg
三、填空题
28．一辆质量为1 000 kg的汽车，为测试其性能，在水平地面上沿半径r=50 m的圆，以10 m/s的速度做匀速圆周运动，汽车没有发生侧滑，___________对汽车提供向心力，此力大小为___________ N。
29．如图，一水平圆盘以恒定的角速度ω绕竖直转轴匀速转动，在离转轴距离为r的位置上，有一质量为m的小物块随圆盘一起转动且相对圆盘静止。则小物块做匀速圆周运动时所需的向心力由_______力提供，此力的大小为_______。
30．某物体做匀速圆周运动，角速度，半径为，则其线速度_______，向心加速度_______。
四、解答题
31．长L=0.5 m的轻杆，其一端连接着一个零件A，A的质量m=2 kg。现让A在竖直平面内绕O点做匀速圆周运动，如图所示。在A通过最高点时，（g=10 m/s2）求下列两种情况下A对杆的作用力：
（1）A的速率为1 m/s；
（2）A的速率为m/s。
32．如图所示，在光滑水平面上，质量m=1kg的小球，以半径绕O点做匀速圆周运动，小球做匀速圆周运动的线速度=2m/s，求：
（1）小球做匀速圆周运动的角速度ω；
（2）小球的向心力F。
33．一质量为10kg物体在做匀速圆周运动，10s内沿半径为20m的圆周运动了100m，求：
（1）该物体运动的线速度、角速度和周期；
（2）该物体在运动过程中所受的向心力．
34．如图所示是一个半径R=6cm的半球形的碗．碗内有一个质量m=0.9kg的小球正在沿着虚线做匀速圆周运动，此时小球与半球面球心的连线与竖直方向的夹角θ=53°．小球可视为质点，且不计任何阻力．（g=10m/s2，sin53°=0.8，cos53°=0.6）求：
（1）小球受到碗的支持力为多大？
（2）小球做匀速圆周运动的线速度大小为多少？
35．质量为m=3000kg的汽车在水平公路上行驶，轮胎与路面间的最大静摩擦力为15000N，汽车经过半径为r=100m的弯路时，试问：
（1）如果汽车以速度v=10m/s沿弯路行驶，汽车的向心力为多大？
（2）如果汽车以速度v=20m/s沿弯路行驶，汽车是否发生侧滑？
36．如图所示，用长为2m的轻质细线拴一质量为2kg的小球，让小球在水平面内做匀速圆周运动，摆线与竖直方向的夹角θ是37°，不计空气阻力。（g＝10m/s2，sin37°=0.6，cos37°=0.8）求:
（1）小球的轨道半径；
（2）细线的拉力大小；
（3）小球的线速度大小。
37．如图所示的光滑水平面上，质量为m的小球在轻绳的拉力作用下做匀速圆周运动，小球运动n圈所用时间为t，圆周的半径为r。求：
(1)小球做圆周运动的周期T；
(2)小球线速度的大小；
(3)小球所受拉力的大小。
38．如图所示，一个圆盘在水平面内匀速转动，角速度是。盘面上距圆盘中心的位置有一个质量为的小物体在随圆盘一起做匀速圆周运动，求：
(1)小物体运动的线速度大小；
(2)小物体所受向心力的大小；
(3)若圆盘匀速转动的角速度增大为，小物体仍相对圆盘静止，则小物体所受的摩擦力增大为原来的多少倍？
39．质量为的游客坐过山车，在圆弧轨道最低点处获得的向心加速度达到20m/s2，g=10m/s2，那么，此位置座椅对游客的支持力为多大？
40．如图，在以角速度匀速转动的水平圆盘上，放一个质量m=5kg的滑块，滑块离转轴的距离r=0.2m，滑块跟随圆盘一起做匀速圆周运动（二者未发生相对滑动）求。
(1)滑块运动的线速度大小；
(2)滑块受到静摩擦力的大小。
41．一个质量为M=1.0kg的物体，做半径为R=2.0m的匀速圆周运动。在1min内一共转过30周。试求；
(1)物体运动的角速度；
(2)物体运动线速度的大小；
(3)物体运动所需向心力的大小。
42．如图所示，一轻绳上端固定，下端拴着一个质量为的小球（可视为质点），小球在水平面内做匀速圆周运动，已知绳长为，绳子与竖直方向的夹角为，重力加速度为.求：
（1）绳子对小球拉力的大小；
（2）小球做圆周运动角速度的大小。
43．要保持一个质量为的物体在半径为的圆周上以的线速度做匀速圆周运动，需要提供多大的向心力？
44．质量为50kg的一名同学坐在绳长为4.0m的秋千上，当他经过最低点时速率为2m/s。不计各种阻力，g=10。求当他经过最低点时，对秋千板的压力大小。
45．如图所示，长为L=0.5 m的轻杆OA绕O点在竖直平面内做匀速圆周运动，A端连着一个质量m=2 kg的小球，g取10 m/s2。
（1）如果小球的速度为3 m/s，求在最低点时杆对小球的拉力为多大。
（2）如果在最高点杆对小球的支持力为4 N，求杆旋转的角速度为多大。
《向心加速度》
一、匀速圆周运动的加速度方向
1、定义：物体做匀速圆周运动时的加速度总指向 ，这个加速度叫作向心加速度．
2、向心加速度的方向：根据牛顿第二定律，物体运动的加速度方向与它所受合力的方向_______。
3、向心加速度的作用：向心加速度的方向总是与 方向垂直，故向心加速度只改变速度的 ，不改变速度的 ．
4、物体做匀速圆周运动时，向心加速度始终指向圆心，方向在时刻变化，所以匀速圆周运动是 曲线运动．
5、变速圆周运动的向心加速度
做变速圆周运动的物体，加速度一般情况下不指向圆心，该加速度有两个分量：一是向心加速度，二是切向加速度．向心加速度表示速度方向变化的快慢，切向加速度表示速度大小变化的快慢．所以变速圆周运动中，向心加速度的方向也总是指向圆心．
二、匀速圆周运动的加速度大小
1、向心加速度公式：an＝或an＝ .
2、向心加速度的公式既适用于匀速圆周运动，也适用于非匀速圆周运动．
3、向心加速度的几种表达式
4、向心加速度的大小与半径的关系
(1)当半径一定时，向心加速度的大小与角速度的平方成正比，也与线速度的平方成正比．随频率的增大或周期的减小而增大．
(2)当角速度一定时，向心加速度与运动半径成正比．
(3)当线速度一定时，向心加速度与运动半径成反比．
(4)a与r的关系图象：如图所示，由a r图象可以看出，a与r成正比还是反比，要看ω恒定还是v恒定．
5、向心加速度的注意要点
(1)向心加速度是矢量，方向总是指向圆心，始终与速度方向垂直，故向心加速度只改变速度的方向，不改变速度的大小．向心加速度的大小表示速度方向改变的快慢．
(2)向心加速度的公式适用于所有圆周运动的向心加速度的计算．包括非匀速圆周运动．但a与v具有瞬时对应性．
三、向心力公式的应用
1、向心力大小：F＝m＝mω2r＝mr＝mωv，在匀速圆周运动中，向心力大小不变．
2、几种常见的实例如下
实例 向心力 示意图
用细线拴住的小球在竖直面内转动至最高点时 绳子的拉力和重力的合力提供向心力，F＝F＋G
用细线拴住小球在光滑水平面内做匀速圆周运动 线的拉力提供向心力，F＝FT
物体随转盘做匀速圆周运动，且相对转盘静止 转盘对物体的静摩擦力提供向心力，F＝Ff
小球在细线作用下，在水平面内做圆周运动 重力和细线的拉力的合力提供向心力，F＝F合
综合演练
一、多选题
1．一小球被细绳拴着，在水平面内做半径为R的匀速圆周运动，向心加速度为a，那么下列说法正确的是（　　）
A．小球运动的线速度
B．小球做匀速圆周运动的周期
C．小球在时间t内通过的路程为
D．小球在时间t内可能发生的最大位移为2R
2．如图所示，甲、乙为两辆完全一样的电动玩具汽车，以相同且不变的角速度在水平地面上做匀速圆周运动，甲运动的半径小于乙运动的半径。下列说法正确的是（　　）
A．甲的线速度大于乙的线速度
B．甲、乙两辆车所受的摩擦力大小相同
C．若角速度增大，则乙先发生侧滑
D．甲的加速度小于乙的加速度
3．一个小孩坐在游乐场的旋转木马上，绕中心轴在水平面内做匀速圆周运动，圆周的半径为4.0m，线速度为2.0m/s，则小孩做圆周运动的（　　）
A．角速度 B．周期
C．转速 D．向心加速度
4．如图所示为一皮带传动装置，右轮半径为r，a为它边缘上一点；左侧是一轮轴，大轮半径为4r，小轮半径为2r，b点在小轮上，到小轮中心的距离为r；c点和d点分别位于小轮和大轮的边缘上。若传动过程中皮带不打滑，则（　　）
A．a、b、c、d四点的角速度之比为2:2:1:1
B．a、b、c、d四点的角速度之比为2:1:1:1
C．a、b、c、d四点的向心加速度之比为4:1:2:4
D．a、b、c、d四点的向心加速度之比为4:1:2:2
5．做匀速圆周运动的物体（视为质点），其线速度大小为1m/s，角速度为2rad/s，下列说法正确的是（　　）
A．物体运动的周期为 B．物体运动的半径为0.5m
C．物体运动的向心加速度大小为2m/s2 D．在0.1s内物体通过的弧长为0.3m
二、单选题
6．如图所示，操场跑道的弯道部分是半圆形，最内圈的半径大约是36m。一位同学沿最内圈匀速率跑过一侧弯道的时间约为12s，则这位同学在沿弯道跑步时（　　）
A．角速度约为 B．线速度约为3m/s
C．转速约为 D．向心加速度约为
7．如图所示，A、B两点分别位于大、小轮的边缘上，C点位于大轮半径的中点，大轮的半径是小轮的2倍，它们之间靠摩擦传动，接触面上没有滑动。则（　　）
A．Ａ、Ｂ两点角速度大小之比为2：1
B．A、B两点向心加速度大小之比为2：1
C．B、C两点角速度大小之比为2：1
D．B、C两点向心加速度大小之比为2：1
8．如图所示，拖拉机后轮的半径是前轮半径的两倍，A和B是前轮和后轮边缘上的点，若拖拉机行进时车轮没有打滑，则（　　）
A．两轮转动的周期相等
B．两轮转动的转速相等
C．A点和B点的线速度大小之比为1：2
D．A点和B点的向心加速度大小之比为2：1
9．如图所示为皮带传动装置的示意图，A、B为轮边缘上的两点，R>r。皮带传动时（皮带没有打滑），下列说法正确的是（　　）
A．角速度 B．线速度
C．向心加速度 D．周期
10．如图所示，a、b是伞面上的两颗相同的雨滴。当以伞柄为轴旋转雨伞时，下列说法正确的是（　　）
A．a更容易移动，因为a所需的向心加速度更小
B．a更容易移动，因为a所需的向心加速度更大
C．b更容易移动，因为b所需的向心加速度更小
D．b更容易移动，因为b所需的向心加速度更大
11．关于平抛运动和匀速圆周运动的描述，以下说法正确的是（　　）
A．平抛运动是一种匀变速曲线运动
B．匀速圆周运动是一种匀变速曲线运动
C．平抛运动的加速度时刻改变
D．匀速圆周运动的加速度保持不变
12．如图所示是起吊重物的吊车，当液压杆长度收缩，吊臂绕固定转轴顺时针转动，吊臂上的M、N两点绕O点做圆周运动，M为ON的中点，则下列说法正确的是（　　）
A．N和M两点的周期之比为2∶1
B．N和M两点的角速度之比为2∶1
C．N和M两点的线速度之比为1∶1
D．N和M两点的向心加速度之比为2∶1
13．2021年11月8日，中国载人航天工程空间站顺利完成第三次航天员出舱活动，本次出舱先后完成了机械臂悬挂装置与转接件安装测试工作。机械臂绕图中O点旋转时，旋转臂上A、B两点的线速度v、角速度ω、周期T、向心加速度a的关系正确的是（　　）
A．、 B．、
C．、 D．、
14．如图所示，游乐场中旋转飞椅带着游客在匀速旋转，则（　　）
A．所有游客的线速度相等
B．离转轴越远的游客角速度一定越大
C．离转轴越远的游客向心加速度一定越大
D．离转轴越远的游客需要的向心力一定越大
15．如图所示为A、B两物体做匀速圆周运动的向心加速度随半径变化的图像，其中A为双曲线的一个分支，由图可知（　　）
A．A物体运动的线速度大小与半径成正比
B．A物体运动的角速度大小不变
C．B物体运动的角速度大小不变
D．B物体运动的角速度与半径成正比
16．陀螺是中国民间的一种玩具，为了美观，绕陀螺中心轴对称镶嵌有相同质量、不同颜色的装饰物。如图所示，小朋友抽打陀螺使其转动时，这些装饰物绕中心轴转动的物理量相同的是（　　）
A．线速度 B．向心加速度
C．向心力 D．周期
17．夏天，电风扇是解暑的电器之一，如图所示，电风扇叶片上的b点到中间转轴的距离是a点的2倍，电风扇正常匀速转动时（　　）
A．a点的角速度比b点的角速度小
B．a点的线速度比b点的线速度大
C．a、b两点的周期之比为1∶2
D．a、b两点的向心加速度之比为1∶2
18．如图所示，转笔是大部分同学都会一个小游戏，在转笔时，重的一端到支撑点的距离要近一点，这样才能使笔在手指上更稳定地绕该点转动， 假设重的一端的尾部是A点，轻的一端的尾部是B点，支撑点为O，OA ：OB=2 ：3，笔绕支撑点匀速转动，下列说法正确的是（　　）
A．相同时间内A点和B点转过的角度之比为3 ：2
B．相同时间内A点和B点走过的弧长之比为3 ：2
C．A、B两点向心加速度之比为2 ：3
D．相同时间内OA和OB扫过的面积相等
19．物理课上，老师做了一个实验，如图所示，用长为L的悬线一端固定于O点，另一端系着一质量为m的小球，在O点正下方处钉一个钉子，把悬线拉直与竖直方向成一定角度，小球处于A点，现以一定的初速度推小球，从小球离开A点再回到A点的过程中，不计空气阻力，以下说法正确的是 （　　）
A．当悬线碰到钉子时，小球的线速度v突然变大
B．当悬线碰到钉子时，小球的向心加速度a突然变小
C．当悬线碰到钉子时，小球的角速度突然变大
D．小球返回到A点刚好速度为0，不会撞上老师
20．一小球做半径为0.5m的匀速圆周运动，角速度为4rad/s，其向心加速度大小为（　　）
A． B． C． D．
21．A、B两艘快艇在湖面上做匀速圆周运动，在相同的时间内，它们通过的路程之比是 4：3，运动方向改变的角度之比是3：2，它们的向心加速度之比为（　　）
A．16：9 B．2：1 C．9：4 D．4：1
三、解答题
22．如图所示的传动装置中皮带与两轮均不打滑动。已知大轮半径是小轮半径的3倍。大轮上与轮轴间距为大轮半径一半的A点向心加速度为0.05m/s2。求：
（1）大轮边缘上某点的向心加速度大小；
（2）大轮与小轮的角速度之比。
23．一轿车以30m/s的速率沿半径为60m的圆形跑道行驶，在轿车从A运动到B的过程中，轿车和圆心的连线转过的角度为90o，求：
（1）此过程中轿车通过的路程；
（2）此过程中轿车的位移大小；
（3）轿车运动的向心加速度大小。
24．一个物体做匀速圆周运动，线速度为3m/s，角速度大小为2rad/s，求它的向心加速度的大小？
25．如图所示，一半径为的圆环，以直径为轴匀速转动，转动周期，环上有M、N两点，与转轴的夹角分别为60°和30°，求：
（1）M点的线速度；
（2）N点的向心加速度。
26．如图所示，用内壁光滑的薄壁细圆管弯成的由半圆形AB（圆半径比细管的内径大得多）和直线BC组成的轨道固定在水平桌面上，已知AB部分的半径。弹射装置将一个质量为的小球（可视为质点）以的水平初速度从A点射入轨道，小球从C点离开轨道随即水平抛出，桌子的高度，不计空气阻力，g取。求：
（1）小球在半圆轨道上运动时的角速度ω、向心加速度a的大小；
（2）小球在空中做平抛运动的时间及落到地面D点时的速度大小。
27．如图所示，一个大轮通过皮带拉着小轮转动，皮带和两轮之间无滑动，大轮的半径是20cm，小轮的半径是10cm，大轮上的一点S与转动轴的距离是5cm，当大轮边上P点的向心加速度是20m/s2时，求：
（1）大轮上的S点的线速度大小；
（2）小轮边缘上的Q点的向心加速度为多大？
28．儿童乐园中，一个质量为10kg的小孩骑在木马上随木马一起在水平面内匀速转动。已知转轴距木马4m远，每12.56s转1圈，把小孩的转动看作匀速圆周运动，求（π=3.14）：
（1）小孩转动的角速度；
（2）小孩转动的线速度；
（3）小孩转动的向心加速度。
29．如图所示，B和C是一组塔轮，即B和C固定在同一转动轴上，但半径不同，其半径之比为Rb：Rc=5：3；A轮的半径大小与C 轮的相同，它与B轮紧靠在一起，当A轮绕其中心的竖直轴转动时，由于摩擦作用，B轮也随之转动起来，且A、B两轮之间不打滑，a、b、c分别为三轮边缘的三个点，求a、b、c三点在运动过程中：
（1）线速度大小之比；
（2）角速度之比；
（3）向心加速度大小之比。
30．做匀速圆周运动的物体，10 s内沿半径为20 m的圆周运动100m，试求物体做匀速圆周运动时：
(1)线速度的大小；
(2)角速度的大小；
(3)向心加速度的大小。
31．质量为1.5kg的物体做匀速圆周运动，5S内沿半径为10m的圆周运动了100m，试求物体做匀速圆周运动时：
（1）线速度的大小，
（2）角速度大小，
（3）周期大小，
（4）向心加速度大小，
（5）向心力大小．
32．一质量为1600 kg的汽车，行驶到一座半径为40m的圆弧形拱桥顶端时，汽车运动速度为10m/s，g=10m/s2．求：
⑴此时汽车的向心加速度大小；
⑵此时汽车对桥面压力的大小；
⑶若要安全通过桥面，汽车在最高点的最大速度．
33．如图所示，长度为L=1.0m的绳，系一小球在竖直面内做圆周运动，小球的质量为M=5kg，小球半径不计，小球在通过最低点的速度大小为v=10m/s（g =10m/s2）,试求：
（1）小球在最低的向心加速度；
（2）小球在最低点所受绳的拉力
四、填空题
34．如图所示，轮、固定在同一转轴上，轮、用皮带连接且不打滑。在、、三个轮的边缘各取一点A、B、C，已知三个轮的半径之比，则：
（1）A、B、C点的线速度大小之比________；
（2）A、B、C点的角速度大小之比________；
（3）A、B、C三点的向心加速度大小之比________。
35．如图所示的皮带传动装置中，轮A和B同轴，A、B、C分别是三个轮边缘上的质点，且，则角速度之比=___________，线速度=___________，向心加速度之比=___________。
36．在如图所示的传动装置中，P、Q两轮通过皮带连接在一起，a、b、c是两轮上的三点，已知半径Ra=2Rb=，Q轮为主动轮，逆时针匀速转动，皮带不打滑，则关于a、b、c三点角速度之比________；线速度之比________；向心加速度之比________。
37．一物体在水平面上做匀速圆周运动，质量为1kg，物体做圆周运动的角速度为2.0rad/s，半径为0.5m，该物体做圆周运动的线速度为______m/s，向心加速度为______m/s2，受到的向心力为______N。
38．如图所示为一皮带传动装置示意图，轮A和轮B共轴固定在一起组成一个塔形轮，各轮半径之比。则在传动过程中，轮C边缘上一点和轮D边缘上一点的线速度大小之比为______，角速度之比为______，向心加速度大小之比为______。
39．长度为L=1.0m的绳，系一小球在竖直面内做圆周运动，小球的质量为m=5kg，小球半径不计，小球在通过最低点时的速度大小为v=20m/s，则小球在最低点的向心力______N，向心加速度______m/s2，小球在最低点所受绳的拉力______N。
40．一根长为1m的细绳，一端固定于光滑水平面上的O点，另一端系一质量为的小球，使小球在水平面上绕O点做匀速圆周运动，运动速度为，则小球的加速度大小为__________，细绳的拉力大小为_________N．
41．一个质量m=3kg的物体在水平面内沿半径 R=10 cm的圆形轨道做匀速圆周运动，线速度v=0.2m/s，那么，它的向心力为 _______ N,它的角速度为_______ rad/s，它的周期为______s,转速是______r/s
《生活中的圆周运动》
一、火车转弯
1、火车车轮的特点
火车的车轮有凸出的轮缘，火车在铁轨上运行时，车轮与铁轨有水平与竖直两个接触面，这种结构特点主要是避免火车运行时脱轨
甲　　　　　　　乙
2、内外轨一样高：火车转弯时，外侧车轮的轮缘挤压 ，使外轨发生 ，外轨对轮缘的 是火车转弯所需向心力的主要来源(如图甲所示)
3、外轨高于内轨：如果在弯道处使外轨略高于内轨(如图乙所示)，火车转弯时铁轨对火车的支持力FN的方向不再是竖直的，而是斜向弯道的 ，它与重力G的合力指 向 ，为火车转弯提供了一部分向心力。
4、适当选择内外轨的高度差，使转弯时所需的向心力几乎完全由重力G和支持力FN的
来提供。合力沿水平方向，大小F=
5、规定速度分析
若火车转弯时只受重力和支持力作用 ,不受轨道压力，则，可得。 (R为弯道半径,为轨道所在平面与水平面的夹角,为转弯处的规定速度)
6、轨道压力分析
(1)当火车行驶速度v等于规定速度时，所需向心力仅由重力和支持力的合力提供，此时火车对内外轨道无挤压作用。
(2)当火车行驶速度v与规定速度不相等时，火车所需向心力不再仅由重力和支持力的合力提供，此时内外轨道对火车轮缘有挤压作用,具体情况如下:
①当火车行驶速度>时,外轨道对轮缘有侧压力;
②当火车行驶速度<时,内轨道对轮缘有侧压力
二、拱形桥与凹形桥
1、汽车过拱形桥时，车对桥的压力小于其重力
汽车在桥上运动经过最高点时，汽车所受重力G及其支持力提供向心力。G-=，所以=G-.
汽车对桥的压力与桥对汽车的支持力是一对作用力与反作用力，故汽车对桥的压力小于其重力。
汽车通过凸形路面顶端时,处于失重状态，汽车行驶的速度v越大,汽车对凸形路面的压力越小;当汽车的速度等于时，对凸形路面压力为零,处于完全失重状态，此时 =是汽车保持在凸形路面顶端运动的最大速度(临界速度) ,若超过这个速度，这时汽车将“飞”过凸形路面。
2、汽车过凹形桥时，车对桥的压力大于其重力
如图所示,汽车经过凹形桥最低点时，受竖直向下的重力和竖直向上的支持力,其合力充当向心力。则-G= ,所以=G+，由牛顿第三定律知，车对桥的压力'=G+，大于车的重力。而且还可以看出,v越大，车对桥的压力越大。
3、航天器中的失重现象
地球可以看作一个巨大的拱形桥，桥面的半径就是地球半径R(约为6400 km)。地面上有一辆汽车在行驶，质量是m，地面对它的支持力是。
根据前面的分析,汽车速度越大，地面对它的支持力就越小，当速度大到一定速度时,地面对车的支持力为零，此速度应为。这时驾驶员与座椅之间的压力为零,他有飞起来的感觉,汽车在近地面绕地球做匀速圆周运动，此时汽车如同人造卫星。
人造卫星、宇宙飞船、航天飞机等航天器进人轨道后可近似认为绕地球做匀速圆周运动，此时重力提供了卫星做圆周运动的向心力。航天器中的人和物随航天器一起做圆周运动，其向心力也是由重力提供的，此时重力全部用来提供向心力，里面的人和物处于完全失重状态。
4、离心运动
①定义：做圆周运动的物体，在所受合外力突然消失或不足以提供圆周运动所需向心力的情况下，所做的逐渐远离圆心的运动
②本质：做圆周运动的物体，由于本身的惯性，总有沿着圆周切线方向飞出去的倾向，并非受到离心力作用
③受力特点：
①当F合=m时，物体做匀速圆周运动(供需平衡)
②当F合=0时，物体沿切线方向飞出(向心力消失)
③当F合④当F合>m时,物体逐渐靠近圆心，做近心运动(供大于需)
④作用：离心运动可以给我们的生活、工作带来方便，如利用离心运动而设计的离心干燥器洗衣服的脱水筒等
⑤防止：有时离心运动也会给人们带来危害，需要进行限速,如汽车转弯时若做离心运动则易造成交通事故;砂轮转动时发生部分砂块做离心运动会造成人身伤害
综合演练
一、单选题
1．广州市内环路上出口处常有限速标志。某出口路面是一段水平圆弧轨道，雨天车轮与路面的动摩擦因数为0.4，汽车通过出口的最大速度为36km/h。晴天车轮与路面的动摩擦因数为0.6，则晴天汽车通过出口的最大速度约为（　　）
A．44km/h B．54km/h C．24km/h D．30km/h
2．如图所示，质量为1.6kg，半径为0.5m的光滑细圆管用轻杆固定在竖直平面内，小球A和B的直径略小于细圆管的内径。它们的质量分别为mA=1kg、mB=2kg．某时刻，小球A、B分别位于圆管最低点和最高点，且A的速度大小为vA=3m/s，此时杆对圆管的弹力为零。则B球的速度大小vB为（取g=10m/s2）（　　）
A．2m/s B．4m/s
C．6m/s D．8m/s
3．如图所示是游乐场里的过山车，若过山车经过A、B两点的速率相同，则过山车（　　）
A．在A点时处于失重状态
B．在B点时处于超重状态
C．A点的向心加速度小于B点的向心加速度
D．在B点时乘客对座椅的压力可能为零
4．某小孩荡秋千，当秋千摆到最低点时（　　）
A．小孩所受重力和支持力的合力方向向下，小孩处于超重状态
B．小孩所受重力和支持力的合力方向向下，小孩处于失重状态
C．小孩所受重力和支持力的合力方向向上，小孩处于超重状态
D．小孩所受重力和支持力的合力方向向上，小孩处于失重状态
5．在室内自行车比赛中，运动员以速度在倾角为的赛道上做匀速圆周运动。已知运动员的质量为，做圆周运动的半径为，重力加速度为，则下列说法正确的是（ ）
A．运动员做圆周运动的角速度为
B．运动员做匀速圆周运动的向心力大小是
C．运动员做匀速圆周运动的向心力大小一定是
D．将运动员和自行车看做一个整体，则整体受重力、支持力、摩擦力和向心力的作用
6．如图所示，半径为R的水平圆盘上放置两个相同的木块a和b，木块a放在圆盘的边缘处，木块b放在距圆心处，它们都随圆盘一起绕过圆盘中心的竖直轴转动，下列说法正确的是（　　）
A．两木块的线速度大小相等
B．两木块的角速度相等
C．若圆盘转速逐渐增大，木块b将先滑动
D．若圆盘转速逐渐增大，木块a、b将同时滑动
7．如图，光滑水平面上，质量为m的小球，在细绳拉力F的作用下，以速度v做半径为r的匀速圆周运动。（　　）
A．若小球沿顺时针运动到图示位置时，拉力F突然变小，则小球将沿轨迹a运动
B．若小球沿顺时针运动到图示位置时，拉力F突然变大，则小球将沿轨迹b运动
C．若小球沿顺时针运动到图示位置时，绳子突然断裂，则小球将沿轨迹c运动
D．无论绳子上的力如何变化，小球都将沿圆周运动
8．为了安全，汽车通过凸形桥时的速度不能过大。某汽车通过凸形桥桥顶时的示意图如图所示，已知凸形桥为一段半径为15m的圆弧，要求汽车运动到桥顶时对桥面的压力大小至少等于其所受重力大小的。取重力加速度大小。则汽车通过桥顶时的最大速度为（　　）
A．36km/h B．54km/h C．60km/h D．72km/h
9．如图所示，一质量为的小球，用长为0.4 m的轻绳拴着在竖直平面内做圆周运动，，下列说法不正确的是（　　）
A．小球要做完整的圆周运动，在最高点的速度至少为
B．当小球在最高点的速度为，轻绳拉力为15 N
C．若轻绳能承受的最大张力为45 N，小球的最大速度不能超过
D．若轻绳能承受的最大张力为45 N，小球的最大速度不能超过
10．如图所示，汽车以大小相等的速率通过凹凸不平的路面时，下列说法正确的是（　　）
A．汽车通过B点时容易爆胎
B．汽车经过A、B两点均处于超重状态
C．汽车通过B点对路面压力值小于汽车的重力
D．汽车经过A、B两点时对路面压力值均等于车的重力
11．如图，某公路急转弯处是一圆弧，当汽车行驶的速率为时，汽车恰好没有向公路内外两侧滑动的趋势。则当汽车在该弯道处（ ）
A．车速低于时，车辆就向内侧滑动
B．车速高于时，车辆就向外侧滑动
C．路面结冰时，与未结冰时相比，的值变小
D．路面结冰时，与未结冰时相比，的值不变
12．2021年3月24日，江油中学高一同学参加了九皇山游学研活动。同学们乘坐景区的观光车以恒定的速率经过了许多外高内低的盘山公路，最终到达了西羌酒店外的平坝。下列说法正确的是（　　）
A．观光车转弯时受到了重力、支持力、摩擦力和向心力的作用
B．观光车以较大速度转弯时，仅由摩擦力提供所需要的向心力
C．观光车以较大速度转弯时，由重力和支持力的合力提供所需要的向心力
D．盘山公路修建得外高内低是为了避免观光车向外侧滑
13．如图所示，复兴号列车以速率v通过一段水平弯道，转弯半径为r，列车恰好与轨道间没有侧向压力，不计空气阻力，重力加速度为g，则下列判断正确的是（　　）
A．列车左右两车灯的线速度大小相等
B．弯道处的外轨略高于内轨
C．内外轨所在斜面的倾角满足
D．质量为m的乘客在拐弯过程中，受到列车给他的作用力为
14．如图所示为一在水平面内做匀速圆周运动的圆锥摆，已知摆球的质量为m，摆线与竖直方向的角度为θ，摆线长为L。下列说法中正确的是（　　）
A．摆球受重力、拉力和向心力的作用 B．摆线对摆球的拉力提供向心力
C．向心力大小为mgtanθ D．线速度大小为
15．一汽车通过半径为R=10m的拱形桥顶点，如果要使汽车在桥顶对桥面有压力，取g=10m/s2，则汽车的最大速度不能超过（　　）
A．5m/s B．10m/s C．15m/s D．20m/s
16．如图所示为家用洗衣机的脱水桶，当它高速旋转时，能把衣物甩干。根据我们所学的知识，下列叙述正确的是（　　）
A．脱水桶高速旋转时，水受到与运动方向一致的合外力作用而飞离衣物
B．脱水桶高速旋转时，衣物上的水受到的合外力不足以提供向心力，所以水滴做离心运动，通过小孔飞离脱水桶
C．经过脱水流程后，打开洗衣机，发现衣物集中堆放在桶的中央
D．脱水桶高速运转时，衣物上的水受到离心力作用
17．一辆质量为的汽车，驶过一半径为的凹形路面，已知车胎的最大承受力是。取重力加速度大小，为防止爆胎，安全行车的速度不得超过多少（　　）
A． B． C． D．
18．汽车行驶在半径为50m的圆形水平跑道上，速度为10m/s。已知汽车的质量为100kg汽车与地面的最大静摩擦力为车重的0.8倍（g=10m/s2），要使汽车不打滑，则其速度最大不能超过（　　）
A．25m/s B．10m/s C．8m/s D．20m/s
二、多选题
19．如图所示，小球在竖直放置的光滑圆形管道内做圆周运动，小球直径略小于管道内径，ab为过圆心的水平线。则小球（　　）
A．过最高点的速度越小，对管壁的弹力可能越大
B．过最高点的速度越小，对管壁的弹力一定越小
C．在ab以下运动时，对内侧管壁可能有作用力
D．在ab以下运动时，对内侧管壁一定无作用力
20．修筑铁路时，弯道处的外轨高于内轨，如图所示。当火车以规定速度转弯时，内、外轨均不会受到轮缘的挤压，设此速度大小为，重力加速度为，两轨所在面的倾角为，则（　　）
A．该弯道的半径
B．该弯道的半径
C．火车行驶速度小于时，内轨将受到轮缘的挤压
D．火车行驶速度大于时，内轨将受到轮缘的挤压
21．如图是洗衣机的脱水桶，在甩干衣服时，脱水桶绕竖直轴转动速度慢慢变快，高速转动时衣服紧贴脱水桶侧壁随之转动，则 （　　）
A．脱水桶转动速度较慢时，衣服上的水会做近心运动
B．脱水桶转动速度较快时，衣服上的水会做离心运动
C．衣服紧贴侧壁做圆周运动的向心力由衣服所受摩擦力提供
D．衣服紧贴侧壁做圆周运动的向心力由桶壁对衣服的弹力提供
22．如图所示，一质量为m的汽车以恒定的速率运动。若通过凸型路面时对路面的压力F1，通过凹形路面最低点时对路面的压力为F2，则（　　）
A．F1mg C．F2mg
23．下列有关生活中的圆周运动实例分析，其中说法正确的是（　　）
A．绕地球沿圆轨道飞行的航天器中悬浮的液滴处于平衡状态
B．汽车通过凹形桥的最低点时，车对桥的压力大于汽车的重力
C．在铁路的转弯处，通常要求外轨比内轨高，目的是减轻轮缘与外轨的挤压
D．杂技演员表演“水流星”，当“水流星”通过最高点时，处于完全失重状态，不受重力作用
24．铁轨在转弯处外轨略高于内轨，其高度差由弯道半径与火车速度确定。若在某转弯处规定安全行驶速度为v，则下列说法中正确的是（ ）
A．当火车速度等于v时，由重力沿内外轨道所在平面的分力提供向心力
B．当火车速度等于v时，由支持力沿水平的分力提供向心力
C．当火车速度大于v时，轮缘挤压外轨
D．当火车速度小于v时，轮缘挤压外轨
25．在公路上常会看到凸形和凹形的路面，如图所示。 一质量为m的汽车，通过凸形路面的最高处时对路面的压力为N1，通过凹形路面最低处时对路面的压力为N2，则（　　）
A．N1 > mg B．N1 < mg C．N2 = mg D．N2> mg
三、填空题
26．如图所示，质量为2.0 × 103kg的汽车在水平公路上行驶，当汽车经过半径为 80m 的弯路时，车速为20m/s。此时汽车转弯所需要的向心力大小为___________N。若轮胎与路面间的最大静摩擦力为1.4 × 104N，请你判断这辆车在这个弯道处会不会发生侧滑___________（填“会”或“不会”）。
27．如图所示，长度为的轻杆OA，A端固定一个质量为的小球，小球以O点为圆心在竖直平面内做圆周运动；若小球在圆周最高点的速率为，取，则在圆周最高点时，杆对小球的作用力是___________（填“支持力”或“拉力”），力的大小为___________N。
28．一汽车通过拱形桥顶点时速度为10 m/s，车对桥顶的压力为车重的，如果要使汽车在桥顶对桥面没有压力，车速至少为________m/s。
29．有一辆质量为的小汽车驶上圆弧半径为的拱桥。汽车到达桥顶时速度为，汽车对桥的压力是________N；汽车速度________m/s时恰好对桥没有压力而腾空。（）
30．质量为1.0×103kg的汽车，行驶到一座半径为40m的圆形凸桥顶时，如果汽车速度为10m/s，则此时汽车向心加速度为_____m/s2，向心力大小为_____N，汽车对桥面的压力为_____N。
31．如图所示，汽车以大小相等速度通过凹凸不平的路面时，在A点处于__________（填“超重”或“失重”）状态，在B点处于______（填“超重”或“失重”）状态，在______点更容易爆胎。
四、解答题
32．一个人用一根长，只能承受拉力的绳子，拴着一个质量为的小球，在竖直面内作圆周运动，已知转轴离地面高为，如图所示。（取）。
（1）小球做圆周运动到最低点的速度达到多少时方能使小球到达最低点时绳子拉断；
（2）若绳恰好在最低点被小球拉断，求小球落地点与抛出点的水平距离多大。
33．如图所示两根长度不同的细线下分别悬挂甲、乙两小球，细线上端固定在天花板上同一点M。两个小球绕共同的竖直轴MN在水平面内做匀速圆周运动且处于同一水平面内，两球距圆心O距离比为1：3，求：
（1）甲、乙两小球角速度之比；
（2）甲、乙两小球向心加速度之比。
34．一辆质量的汽车，经过半径的水平弯路。则：
（1）当汽车的速度时，所需要的向心力为多大？
（2）若汽车轮胎与路面间的摩擦因数为0.45，为了使这辆车通过此段弯路时不发生侧滑，行驶的最大速度为多大？（最大静摩擦等于滑动摩擦）
35．如图所示，半径为R，内径很小的光滑半圆管竖直放置。两个质量均为m的小球a、b以不同的速度进入管内，a通过最高点A时，对管壁上部的压力为3mg，b通过最高点A时，对管壁下部的压力为0.75mg，求a、b两球落地点间的距离。
36．如图，一辆质量的小汽车驶上一座半径的圆弧形拱桥。（取）
（1）汽车以的速度经过拱桥的顶部时，圆弧形拱桥对汽车的支持力是多大？
（2）汽车以多大速度通过拱桥的顶部时，汽车对圆弧形拱桥的压力恰好为零？
37．一质量为的小球，用长为细绳拴住，在竖直平面内做圆周运动（取），求：
（1）若过最高点时的速度为，此时小球角速度多大？
（2）若过最高点时绳的拉力刚好为零，此时小球速度大小？
（3）若过最低点时的速度为，此时绳的拉力大小？
38．如图所示，长为L=0.5 m的轻杆OA绕O点在竖直平面内做匀速圆周运动，A端连着一个质量m=2 kg的小球，g取10 m/s2。
（1）如果小球的速度为3 m/s，求在最低点时杆对小球的拉力为多大。
（2）如果在最高点杆对小球的支持力为4 N，求杆旋转的角速度为多大。
39．如图所示，质量为0.1kg的木桶内盛水0.4kg，用40cm的绳子系住桶，并使它在竖直平面内做圆周运动。（桶可视为质点，取g=10m/s2）
（1）要使水不洒出，木桶在最高点的速度至少多大？
（2）如果通过最低点时速度大小10m/s，求最低点时桶底对水的支持力大小。
40．有一个质量为800kg的小汽车驶上圆弧半径为40m的拱桥，重力加速度g取10 m/s2。
（1）汽车到达桥顶时速度为10m/s，桥对汽车的支持力是多大？
（2）汽车以多大的速度经过桥顶时恰好对桥面没有压力？
（3）假如拱桥的半径增大到与地球半径R=6400km一样，当汽车的速度不断地增大就会在桥上腾空形成绕地球做圆周运动的卫星，求使汽车成为卫星的最小速度。
41．长L=0.5m的轻杆，其一端连接着一个零件A，A的质量m=2kg。现让A在竖直平面内绕O点做匀速圆周运动，如图所示。在A通过最高点时，（）求下列两种情况下A对杆的作用力大小：
（1）当杆对零件无作用力时零件的速度大小；
（2）A的速率为1m/s；
（3）A的速率为4m/s。
42．飞机进行特技表演时常做俯冲拉起运动，如图所示。此运动在最低点附近可看作是半径为的圆周运动。若飞行员的质量为，飞机经过最低点时的速度为，则这时候飞行员对坐椅的压力为多大？g取。
43．如图所示，质量为的小球从半径为的圆弧顶端无初速释放，下滑到最低点P后，做平抛运动，平抛的竖直位移，水平位移，。求：
（1）小球做平抛运动的时间t；
（2）小球运动到P点的瞬时速度；
（3）小球在P点瞬时对圆弧轨道的压力为多大？
44．小球沿粗糙的水平面冲上一个光滑的半圆形轨道，已知轨道的半径为R，小球到达轨道的最高点A时对轨道的压力大小恰好等于小球的重力2倍，不计空气阻力。请求出：
（1）小球到达轨道最高点A时的速度为多大；
（2）小球落地点到最低点B的距离是多少？
45．一辆质量m=2.0×103kg的小轿车，驶过半径R=160m的一段圆弧形桥面，重力加速度g=10m/s2。求：
（1）若桥面为凸形，汽车以20m/s的速度通过桥面最高点时，对桥面压力是多大？
（2）汽车以多大速度通过凸形桥面顶点时，对桥面刚好没有压力？

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