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第七章 《万有引力与宇宙航行》
一、行星的运动
一、地心说和日心说
地心说 日心说
代表人物 托勒密(古希腊) 哥白尼(波兰)
内容 ①地球是宇宙的中心，是静止不动的 ②太阳、月亮及其他行星都绕地球运动 ①太阳是宇宙的中心，是静止不动的 ②地球及其他行星都围绕太阳运动
局限性 都把天体的运动看得很神圣，认为天体的运动必然是最完美、最和谐的匀速圆周运动，但计算所得的数据和丹麦天文学家第谷的观测数据不符
二、开普勒定律
内容 图示
开普勒第一定律(椭圆定律) 所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上
说明：不同行星绕太阳运动时的椭圆轨道是不同的
开普勒第二定律(面积定律) 对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过相等的面积
说明：行星在近日点的速率大于在远日点的速率
开普勒第三定律(周期定律) 所有行星的轨道的半长轴a的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等
说明：＝k，比值k是一个取决于中心天体的常量
三、行星运动的近似处理
1．行星绕太阳运动的轨道十分接近圆，太阳处在圆心．
2．对某一行星来说，它绕太阳做圆周运动的角速度(或线速度大小)不变，即行星做匀速圆周运动．
3．所有行星轨道半径的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等．
四、对行星运动的理解
1．从空间分布上认识
行星的轨道都是椭圆，不同行星轨道的半长轴不同，即各行星的椭圆轨道大小不同，但所有轨道都有一个共同的焦点，太阳在此焦点上．因此开普勒第一定律又叫焦点定律．
2．对速度大小的认识
(1)如图所示，如果时间间隔相等，即t2－t1＝t4－t3，由开普勒第二定律，面积SA＝SB，可见离太阳越近，行星在相等时间内经过的弧长越长，即行星的速率越大．因此开普勒第二定律又叫面积定律．
(2)近日点、远日点分别是行星距离太阳的最近点、最远点，所以同一行星在近日点速度最大，在远日点速度最小．
行星运动的速度与它到太阳距离的关系
(1)相同时间内面积：SAB＝SCD＝SEK.
(2)A到B速度变小，C到D速度变大，E到K速度先变大，后变小．
3．对周期长短的认识
(1)行星公转周期跟轨道半长轴之间有依赖关系，椭圆轨道半长轴越长的行星，其公转周期越长；反之，其公转周期越短．
(2)该定律不仅适用于行星，也适用于其他天体．例如，绕某一行星运动的不同卫星．
五、开普勒第三定律的应用
1．适用范围：既适用于做椭圆运动的天体，也适用于做圆周运动的天体；既适用于绕太阳运动的天体，也适用于绕其他中心天体运动的天体．
2．用途
(1)求周期：两颗绕同一中心天体运动的行星或卫星，知道其中一颗的周期及它们的半长轴(或半径)，可求出另一颗的周期．
(2)求半长轴：两颗绕同一中心天体运动的行星或卫星，知道其中一颗的半长轴(或半径)及它们的周期，可求出另一颗的半长轴(或半径)．
3．k值：表达式 ＝k中的常数k，只与中心天体的质量有关，如研究行星绕太阳运动时，常数k只与太阳的质量有关，研究卫星绕地球运动时，常数k只与地球的质量有关．
综合演练
一、单选题
1．关于开普勒第三定律公式，下列说法正确的是（　　）
A．公式只适用于绕太阳沿椭圆轨道运行的行星
B．公式适用于宇宙中所有围绕恒星运动的行星
C．式中的k值，对所有行星和卫星都相等
D．式中的T代表行星自转的周期
2．关于行星绕太阳运动，下列说法中正确的是（　　）
A．所有行星都在同一个椭圆轨道上绕太阳运动
B．行星绕太阳运动时，太阳位于行星轨道的中心处
C．距离太阳越远的行星，绕太阳运动一周的时间越长
3．若火星绕太阳运动轨道的半长轴为，公转周期为，则根据开普勒第三定律，下列关系式正确的是（　　）
A． B． C． D．
4．“太阳系中所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳位于椭圆的一个焦点上。”首先提出这一观点的科学家是（　　）
A．伽利略 B．开普勒 C．爱因斯坦 D．卡文迪许
5．如图所示，土星和火星都在围绕太阳公转，根据开普勒行星运动定律可知（　　）
A．火星轨道是椭圆，土星轨道是圆
B．土星比火星的公转周期大
C．火星远离太阳的过程中，它与太阳的连线在相等时间内扫过的面积逐渐增大
D．相同时间内，土星与太阳的连线扫过的面积等于火星与太阳的连线扫过的面积
6．下列说法中正确的是（　　）
A．太阳系中八大行星的轨道有一个共同的焦点
B．太阳系中八大行星的轨道有的是圆形，有的是椭圆
C．所有行星的轨道半长轴的二次方跟公转周期的三次方的比值都相同
D．牛顿提出了万有引力定律，并测定了引力常量的数值
7．某颗人造卫星运行在圆形轨道上，绕地球一周需要的时间约为3.0h，已知地球半径为6400km，地球同步卫星距地面的高度约为36000km，由此可计算出该卫星距地高度约为（　　）
A．3600km B．4200km C．6400km D．10600km
8．2020年7月31日上午10时30分，国家主席习近平宣布北斗三号全球卫星导航系统正式开通。卫星绕地球运动时与行星绕太阳运动有相似的规律，若人造地球卫星绕地球做匀速圆周运动，其轨道半径为月球到地球距离的，月球绕地的周期为27天，则此卫星绕地球做匀速圆周运动的（　　）
A．周期大约是1天 B．线速度比月球的小
C．向心加速度比月球的小 D．角速度比月球的小
9．开普勒第三定律对行星绕恒星做匀速圆周运动同样成立，即它的轨道半径r的三次方与运行周期T的二次方的比为常数，则常数的大小（　　）
A．只与行星有关 B．与恒星和行星有关
C．只与恒星有关 D．是一个与恒星和行星都无关的常数
二、多选题
10．关于开普勒行星运动定律，下列说法正确的是（　　）
A．所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上
B．地球绕太阳在椭圆轨道上运行，在近日点和远日点运行的速率相等
C．表达式，k与中心天体有关
D．表达式，T代表行星运动的公转周期
11．有关开普勒行星运动定律的描述，下列说法中正确的是（　　）
A．所有的行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上
B．所有的行星绕太阳运动的轨道都是圆，太阳处在圆心上
C．所有的行星轨道的半长轴的二次方跟公转周期的三次方的比值都相等
D．同一行星绕太阳运动时，行星与太阳的连线在相同时间内扫过的面积相等
三、填空题
12．判断下列说法的正误。
（1）地球是整个宇宙的中心，其他天体都绕地球运动。（____）
（2）太阳系中所有行星都绕太阳做椭圆运动，且它们到太阳的距离都相同。（____）
（3）同一行星沿椭圆轨道绕太阳运动，靠近太阳时速度增大，远离太阳时速度减小。（____）
（4）行星轨道的半长轴越长，行星的周期越长。（____）
（5）开普勒第三定律中的常数k与行星无关，与太阳也无关。（____）
13．开普勒行星运动定律
（1）开普勒第一定律（轨道定律）：所有行星绕太阳运动的轨道都是___________，太阳处在椭圆的一个___________上。
（2）开普勒第二定律（面积定律）：对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过相等的___________。
（3）开普勒第三定律（周期定律）：所有行星的___________跟它的___________的比值都相等，即=k，比值k是一个对于所有行星都相同的常量。
二、万有引力定律
一、行星与太阳间的引力
1．太阳对行星的引力：太阳对行星的引力，与行星的质量成 ，与行星和太阳间距离的二次方成 ，即F∝.
2．行星对太阳的引力：在引力的存在与性质上，太阳与行星的地位完全相当，因此行星对太阳的引力和太阳对行星的引力规律相同，即F′∝.
3．太阳与行星间的引力：根据牛顿第三定律F＝F′，所以有F∝，写成等式就是F＝G.
二、月—地检验
1．检验目的：检验地球绕太阳运动、月球绕地球运动的力与地球对树上苹果的引力是否为同一性质的力．
2．检验方法：
(1)假设地球与月球间的作用力和太阳与行星间的作用力是同一种力，它们的表达式也应该满足F＝G.
(2)根据牛顿第二定律，月球绕地球做圆周运动的向心加速度a月＝＝G(式中m地是地球质量，r是地球中心与月球中心的距离)．
(3)假设地球对苹果的吸引力也是同一种力，同理可知，苹果的自由落体加速度a苹＝＝G(式中m地是地球的质量，R是地球中心与苹果间的距离)．
(4) ＝，由于r≈60R，所以＝.
3．结论：地面物体所受地球的引力、月球所受地球的引力，与太阳、行星间的引力遵从相同的规律．
三、万有引力定律
1．内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成正比、与它们之间距离r的二次方成反比．
2．万有引力定律表达式：F＝G，其中G叫作引力常量．
3．万有引力定律公式的适用条件
(1)两个质点间的相互作用．
(2)一个均匀球体与球外一个质点间的相互作用，r为球心到质点的距离．
(3)两个质量均匀的球体间的相互作用，r为两球心间的距离．
四、引力常量
牛顿得出了万有引力与物体质量及它们之间距离的关系，但没有测出引力常量G的值．
英国物理学家卡文迪什通过实验推算出引力常量G的值．通常情况下取G＝6.67×10－11 N·m2/kg2.
五、重力和万有引力的关系
1.地球表面处重力与万有引力的关系：除两极以外，地面上其他点的物体，都围绕地轴做圆周运动，这就需要一个垂直于地轴的向心力．地球对物体引力的一个分力F′提供向心力，另一个分力为重力G，如图3所示．
图3
(1)当物体在两极时：G＝F引，重力达到最大值Gmax＝G.
方向与引力方向相同，指向地心．
(2)当物体在赤道上时：
F′＝mω2R最大，此时重力最小
Gmin＝G－mω2R
方向与引力方向相同，指向地心．
(3)从赤道到两极：随着纬度增加，向心力F′＝mω2R′减小，F′与F引夹角增大，所以重力G在增大，重力加速度增大．
因为F′、F引、G不在一条直线上，重力G与万有引力F引方向有偏差，重力大小mg2．重力与高度的关系
若距离地面的高度为h，则mg′＝G(R为地球半径，g′为离地面h高度处的重力加速度)．在同一纬度，距地面越高，重力加速度越小．
3．特别说明
(1)重力是物体由于地球吸引产生的，但重力不是地球对物体的引力．
(2)在忽略地球自转的情况下，认为mg＝G.
综合演练
一、单选题
1．引力常量的确定非常有意义，它使万有引力定律有了真正的实用价值。18世纪较为精确测定引力常量的物理学家是（　　）
A．牛顿 B．开普勒 C．卡文迪许 D．爱因斯坦
2．下列说法错误的是（　　）
A．哥白尼提出了日心说 B．开普勒发现了行星运动三定律
C．牛顿发现了万有引力定律 D．牛顿测出了万有引力常量
3．如图所示，2021年12月9日，翟志刚、王亚平、叶光富三名航天员在“中国空间站”以天地互动的方式进行了8项太空授课项目，取得了非常好的效果。若将“中国空间站”绕地球的运动视为匀速圆周运动，已知“中国空间站”的质量为m，运动轨道半径为r。将地球视为质量分布均匀的球体，其质量为M，引力常量为G，则地球对“中国空间站”的万有引力大小为（　　）
A． B． C． D．
4．如图所示，“天问一号”探测器在着陆火星前环绕火星做匀速圆周运动，其质量为m，运动轨道半径为r。将火星视为质量分布均匀的球体，其质量为M，引力常量为G。则火星对探测器的万有引力大小为（　　）
A． B． C． D．
5．如图所示，a、b、c是以O为圆心的三个圆上的点，物体A固定在O点，将另一物体B先后放置在a、b、c三处，A、B两物休均可视为质点。比较物体B在这三处受到A的万有引力大小。下列判断正确的是（　　）
A．a处最大 B．b处最大
C．c处最大 D．三处一样大
6．火星和太阳的质量分别为、，距离为r，引力常量为G，则太阳对火星产生的万有引力大小为（　　）
A． B． C．
7．已知地球质量为，半径为，引力常量为。质量为的导弹被发射到离地面高度为时，受到地球的万有引力大小为（　　）
A． B．
C． D．
8．2020年11月24日，长征五号运载火箭将嫦娥五号探测器成功送入预定轨道，开启了中国首次地外天体采样之旅。经过约112h的奔月飞行，嫦娥五号探测器在距离月面约400km处成功实施发动机点火制动，顺利进入环绕月球的椭圆轨道。11月29日20时23分，嫦娥五号探测器在近月点再次“刹车”，从椭圆轨道变为近似的圆形轨道（如图所示），为顺利落月做好了准备。探测器进入椭圆轨道后，在由近月点向远月点运动的过程中，始终受到月球的引力作用，这个引力的大小（　　）
A．保持不变 B．越来越大 C．越来越小 D．先变大后变小
二、解答题
9．一卫星绕地球做匀速圆周运动，距地球表面的高度为h，卫星绕地球做匀速圆周运动的角速度为ω，已知地球的半径为R，引力常量为G，（题中的字母是已知量），求∶
（1）地球的质量M的表达式为多少？
（2）地球表面的重力加速度g的表达式是多少？
10．粗略计算两个质量都是50kg，相距0.5m的两个同学之间的万有引力，由此你能得出什么结论。
11．火星成为中国深空探测的第二颗星球。2020年4月24日，中国行星探测任务被命名为“天问系列”。若探测器在某高度处绕火星做匀速圆周运动的周期为T，忽略火星的自转，火星表面的重力加速度为g，已知火星的半径为R，引力常量为G，求：
（1）火星的质量M；
（2）求探测器距火星表面的高度h。
12．2021年5月15日，我国发射的“天问一号”着陆火星表面，假设天问一号着陆前绕火星做匀速圆周运动，其周期为T，轨道半径为r，已知火星的半径为R，引力常量为G，不考虑火星自转的影响。求：
（1）火星的质量M；
（2）火星表面重力加速度大小。
13．设土星绕太阳的运动为匀速圆周运动，若测得土星到太阳的距离为r ，土星绕太阳运动的周期为T，万有引力常量G已知，根据这些数据，求出：
（1）土星线速度的大小
（2）土星加速度的大小
（3）太阳的质量
14．两个质量均为50kg的人，相距100m，则他们之间的相互吸引力约为多少？（引力常数为G=6.67×10-11N·m2/kg2，重力加速度为g取9.8m/s2）
三、填空题
15．月—地检验
（1）检验目的：检验地球绕太阳运动、月球绕地球运动的力与地球对树上苹果的引力是否为_____的力。
（2）检验方法：
a.假设地球与月球间的作用力和太阳与行星间的作用力是同一种力，它们的表达式也应该满足。
b.根据牛顿第二定律，月球绕地球做圆周运动的向心加速度（式中m地是地球质量，r是地球中心与月球中心的距离）。
c.假设地球对苹果的吸引力也是同一种力，同理可知，苹果的自由落体加速度（式中m地是地球的质量，R是地球中心与苹果间的距离）。
d.，由于r≈60R，所以。
（3）验证：
a.苹果自由落体加速度a苹=g=9.8 m/s2。
b.月球中心到地球中心的距离r=3.8×108 m。
月球公转周期T=27.3 d≈2.36×106 s
则a月=≈_______m/s2（保留两位有效数字）
______（数值）≈（比例）。
（4）结论：地面物体所受地球的引力、月球所受地球的引力，与太阳、行星间的引力遵从_____的规律。
万有引力的成就
一、计算天体的质量
1、地球质量的计算
(1)依据：地球表面的物体，若不考虑地球自转，物体的重力等于地球对物体的万有引力，即mg＝G.
(2)结论：M＝，只要知道g、R的值，就可计算出地球的质量．
2、太阳质量的计算
(1)依据：质量为m的行星绕太阳做匀速圆周运动时，行星与太阳间的万有引力充当向心力，即G＝F向 = .
(2)结论：M＝，只要知道行星绕太阳运动的周期T和半径r，就可以计算出太阳的质量．
3、其他行星质量的计算
(1)依据：绕行星做匀速圆周运动的卫星，同样满足G＝(M为行星质量，m为卫星质量)．
(2)结论：M＝，只要知道卫星绕行星运动的周期T和半径r，就可以计算出行星的质量．
二、地球重力
1．地球表面上的重力与万有引力的关系
如图所示，设地球的质量为M，半径为R，A处物体的质量为m，则物体受到地球的吸引力为F，方向指向地心O，由万有引力公式得F＝G.
图中F1为物体随地球自转做圆周运动的向心力，F2就是物体的重力mg，故一般情况下mg＜G.
2．重力与纬度的关系
(1)在赤道上：重力和向心力在一条直线上，G＝mω2R＋mg.
(2)在两极上：F向＝0，G＝mg.
(3)在一般位置：重力是万有引力的一个分力，G＞mg.越靠近南北两极g值越大，由于物体随地球自转所需的向心力较小，常认为万有引力近似等于重力，即G＝mg.
3．重力、重力加速度与高度的关系
(1)地球表面物体的重力约等于地球对物体的万有引力，即mg＝G，所以地球表面的重力加速度g＝.
(2)地球上空h高度处，万有引力等于重力，即mg＝G，所以h高度处的重力加速度g＝.
三、解决天体运动问题的方法
1.天体质量的计算
(1)重力加速度法
若已知天体(如地球)的半径R及其表面的重力加速度g，根据在天体表面上物体的重力近似等于天体对物体的引力，得mg＝G，解得天体的质量为M＝，g、R是天体自身的参量，所以该方法俗称“自力更生法”．
(2)环绕法
借助环绕中心天体做圆周运动的行星(或卫星)计算中心天体的质量，俗称“借助外援法”．常见的情况如下：
万有引力提供向心力 中心天体的质量 说明
G＝m M＝ r为行星(或卫星)的轨道半径，v、ω、T为行星(或卫星)的线速度、角速度和周期
G＝mrω2 M＝
G＝mr M＝
2.天体密度的计算
若天体的半径为R，则天体的密度 ρ＝，将M＝代入上式可得ρ＝.
特殊情况：当卫星环绕天体表面运动时，卫星的轨道半径r可认为等于天体半径R，则ρ＝.
3．应用万有引力定律解题的两条思路
(1)万有引力提供天体运动的向心力
G＝m＝mr＝mω2r.
(2)黄金代换
在天体表面上，天体对物体的万有引力近似等于物体的重力，即G＝mg，从而得出GM＝R2g.
4．几个常用公式
(1)由G＝m可得v＝，r越大，v越小．
(2)由G＝mω2r可得ω＝，r越大，ω越小．
(3)由G＝m2r可得T＝2π，r越大，T越大．
(4)由G＝ma可得a＝，r越大，a越小．
(5)辅助公式：ρ＝，V＝πR3.
5．四个重要结论
项目 推导式 关系式 结论
v与r的关系 G＝m v＝ r越大，v越小
ω与r的关系 G＝mrω2 ω＝ r越大，ω越小
T与r的关系 G＝mr T＝2π r越大，T越大
a与r的关系 G＝ma a＝ r越大，a越小
宇宙双星问题
如图所示，宇宙中两个靠得比较近的天体称为双星，它们绕其连线上的某固定点做匀速圆周运动．双星具有以下特点：
(1)由于双星和该固定点总保持三点共线，所以双星做匀速圆周运动的角速度和周期分别相同．
(2)由于每颗星的向心力都是由双星间相互作用的万有引力提供的，因此大小必然相等．
(3)轨道半径与质量的关系
由F＝mrω2和L＝r1＋r2，可得r1＝L，r2＝L，则＝.
四、发现未知天体
1．海王星的发现
英国剑桥大学的学生亚当斯和法国年轻的天文学家勒维耶根据天王星的观测资料，利用万有引力定律计算出天王星外“新”行星的轨道.1846年9月23日，德国的伽勒在勒维耶预言的位置附近发现了这颗行星——海王星．
2．其他天体的发现
近100年来，人们在海王星的轨道之外又发现了冥王星、阋神星等几个较大的天体．
综合演练
选择题
1、已知地球和月球半径的比值为4，地球和月球表面重力加速度的比值为6，则地球和月球密度的比值为(　　)
A．　　 B． C．4 D．6
2、已知引力常量为G，则在下列给出的各种情景中，能求出月球密度的是(　　)
A．在月球表面上让一个小球做自由落体运动，测出下落的高度H和时间t
B．测出月球绕地球做匀速圆周运动的周期T和轨道半径r
C．发射一颗绕月球做匀速圆周运动的卫星，测出卫星的轨道半径r和卫星的周期T
D．发射一颗贴近月球表面绕月球做匀速圆周运动的探月飞船，测出飞船运行的周期T
3、设土星绕太阳的运动为匀速圆周运动，若测得土星到太阳的距离为R，土星绕太阳运动的周期为T，万有引力常量G已知，根据这些数据，不能求出的量有(　　)
A．土星线速度的大小 B．土星加速度的大小
C．土星的质量 D．太阳的质量
4、“嫦娥二号”是我国月球探测第二期工程的先导星．若测得“嫦娥二号”在月球(可视为密度均匀的球体)表面附近圆形轨道运行的周期T，已知引力常量为G，半径为R的球体体积公式V＝πR3，则可估算月球的(　　)
A．密度　　　　　 B．质量
C．半径 D．自转周期
5、一个物体在地球表面所受的重力为G，在距地面高度为地球半径的位置，物体所受地球的引力大小为(　　)
A．　　　　　　　　　　　 B．
C． D．
6、(多选)下列几组数据中能算出地球质量的是(引力常量G是已知的)(　　)
A．已知地球绕太阳运动的周期T和地球中心离太阳中心的距离r
B．已知月球绕地球运动的周期T和地球的半径r
C．已知月球绕地球运动的角速度和月球中心离地球中心的距离r
D．已知月球绕地球运动的周期T和轨道半径r
7、(多选)若宇航员在月球表面附近自高h处以初速度v0水平抛出一个小球，测出小球的水平射程为L.已知月球半径为R，万有引力常量为G.则下列说法正确的是(　　)
A．月球表面的重力加速度g月＝
B．月球的质量m月＝
C．月球的自转周期T＝
D．月球的平均密度ρ＝
8、(多选)(2020·湖南长郡中学期中) 通过观测冥王星的卫星，可以推算出冥王星的质量．假设卫星绕冥王星做匀速圆周运动，除了引力常量外，至少还需要两个物理量才能计算出冥王星的质量．这两个物理量可以是(　　)
A．卫星的速度和角速度
B．卫星的质量和轨道半径
C．卫星的质量和角速度
D．卫星的运行周期和轨道半径
二、解答题
1．2021年4月29日，长征五号B遥二运载火箭搭空间站天和核心舱在海南文昌航天发射场顺利升空。我国将在2022年完成空间站在轨建造，实现中国载人航天工程“三步走“发展战略。若我国新一代空间站轨道的离地高度为h，绕地球运转的周期为T，已知地球半径为R，引力常量为G，求：
（1）地球的质量；
（2）地球表面重力加速度。
2．高空遥感探测卫星在距地球表面高为h处绕地球转动，如果地球表面的重力加速度为g，地球半径为R，人造卫星质量为m，万有引力常量为G，试求：
（1）地球的质量是多大？
（2）人造卫星绕地球转动的周期是多少？
3．2016年10月17日7时30分在西昌卫星发射中心，由长征2号FY11运载火箭成功发射了神舟十一号飞船，2016年10月19日凌晨神舟十一号飞船和天宫二号交会对接成功，航天员景海鹏和陈冬进入天宫二号，并开展相关空间科学试验。航天员测出天宫二号绕地球做匀速圆周运动的周期为T，距地面的高度为h，已知地球半径为R，引力常量为G，不考虑地球的自转。求：
（1）地球的平均密度；
（2）地球表面的重力加速度。
4．“嫦娥一号”卫星在距月球表面高度为h处做匀速圆周运动的周期为T，已知月球半径为R，引力常量为G，（球的体积公式，其中R为球的半径）求：
（1）月球的质量M；
（2）月球表面的重力加速度g月；
（3）月球的密度ρ。
5．2021年2月10日，我国“天问一号”火星探测器顺利进入环火轨道。已知“天问一号”绕火星做匀速圆周运动的周期为T，距火星表面的高度为h，火星的半径为R，引力常量为G。求：
（1）火星的质量M；
（2）火星表面的重力加速度的大小。
6．我国载人航天计划于1992年正式启动以来，航天领域的发展非常迅速。假若几年后你成为一名宇航员并登上某未知星球，你沿水平方向以大小为v0的速度抛出一个小球，发现小球经时间5t落到星球表面上，且速度方向与星球表面间的夹角为θ，如图所示。已知该未知星球的半径为R，引力常量为G。求：
（1）该未知星球表面的重力加速度g；
（2）该未知星球的第一宇宙速度。
7．2016年11月18日13时59分，“神舟十一号”飞船返回舱在内蒙古中部预定区域成功着陆，执行飞行任务的航天员在“天宫二号”空间实验室工作生活30天后，顺利返回祖国，创造了中国航天员太空驻留时间的新纪录，标志着我国载人航天工程空间实验室任务取得重要成果。有同学设想在不久的将来，宇航员可以在月球表面以初速度v0将一物体沿着水平方向抛出，测出物体下落高度h，水平射程为x，已知月球的半径为R，引力常量为G。请你求出：
（1）月球表面的重力加速度大小g；
（2）月球的质量M；
（3）月球的第一宇宙速度v。
8．卫星绕地球做匀速圆周运动，运行轨道距离地面高度为h。已知地球质量为M，半径为R，引力常量为G。
（1）求卫星的运行周期T；
（2）求地球的第一宇宙速度v1；
（3）已知地球自转的周期为T0，求地球表面赤道处的重力加速度g。
9．预计我国将在2030年前后实现航天员登月计划，航天员登上月球后进行相关的科学探测与实验.已知月球的半径为R，宇航员在月球表面高为h处静止释放一小球，经过时间t落地。万有引力常量为G，求：
（1）月球的质量M；
（2）月球的第一宇宙速度v；
10．我国发射的“嫦娥一号”探月卫星沿近似于圆形的轨道绕月飞行。设卫星距月球表面的高度为h，做匀速圆周运动的周期为T。已知月球半径为R，引力常量为G，球的体积公式。求：
（1）月球的质量M；
（2）月球表面的重力加速度g月；
（3）月球的密度ρ
四 宇宙航行
一、宇宙速度
1．牛顿的设想：如图所示，把物体从高山上水平抛出，如果抛出速度足够大，物体就不会落回地面，它将绕地球运动，成为 ．
2．第一宇宙速度的推导
(1)已知地球质量m地和半径R，物体在地面附近绕地球的运动可视为 运动， 提供物体运动所需的向心力，轨道半径r近似认为等于 ，由＝m，可得v＝.
(2)已知地面附近的重力加速度g和地球半径R，由 ＝m得：v＝.
(3)三个宇宙速度及含义
数值 意义
第一宇宙速度 km/s 物体在 绕地球做匀速圆周运动的速度
第二宇宙速度 km/s 在地面附近发射飞行器使其克服 引力，永远离开地球的最小地面发射速度
第三宇宙速度 km/s 在地面附近发射飞行器使其挣脱 引力束缚，飞到太阳系外的最小地面发射速度
二、人造地球卫星
1． 年10月4日，世界上第一颗人造地球卫星发射成功. 年4月24日，我国第一颗人造地球卫星“东方红1号”发射成功．为我国航天事业作出特殊贡献的科学家
被誉为“中国航天之父”．
2．地球同步卫星的特点
(1)地球同步卫星位于赤道上方高度约 km处，因相对地面静止，也称静止卫星．地球同步卫星与地球以相同的 转动，周期与地球自转周期 ．
(2)特点：六个“一定”
①转动方向一定：和地球自转方向一致；
②周期一定：和地球自转周期相同，即T＝24 h；
③角速度一定：等于地球自转的角速度；
④轨道平面一定：所有的同步卫星都在赤道的正上方，其轨道平面必须与赤道平面重合；
⑤高度一定：离地面高度固定不变(约3.6×104 km)；
⑥速率一定：线速度大小一定(约3.1×103 m/s)。
综合演练
一、单选题
1．如图所示，a为地球赤道上的物体，随地球表面一起转动，b为近地轨道卫星，c为同步轨道卫星，d为高空探测卫星。若a、b、c、d绕地球转动的方向相同，且均可视为匀速圆周运动。则（　　）
A．a、b、c、d中，a的加速度最大
B．a、b、c、d中，a的线速度最大
C．a、b、c、d中，d的周期最大
D．a、b、c、d中，d的角速度最大
2．2021年12月9日，王亚平等3名航天员在距离地面400公里的中国空间站天和核心舱完成首次授课，在接近完全失重状态下完成了“浮力消失”、“水膜张力”等8项内容，根据上述信息，下列说法正确的是（　　）
A．空间站始终处于我国领土上方某一位置
B．空间站绕地球运动速度小于第一宇宙速度
C．空间站内静止悬浮在空中的水球加速度为0
D．水的浮力消失是因为空间站中的水处于完全失重状态，不受重力作用
3．某空间飞行器在固定轨道上绕地球的运动可视为圆周运动，其运行周期的约为15小时，由此可判断飞行器的（　　）
A．轨道半径与地球同步卫星的相同 B．轨道半径比地球同步卫星的小
C．运行速度比地球同步卫星的小 D．运行速度与地球同步卫星的相同
4．2021年，中国的载人飞船成功与天和核心舱（距离地球表面约400km的高度）对接，中国人首次进入自己的空间站。关于地球的卫星及飞船空间站的运动，下列说法正确的是（　　）
A．地球卫星的运行轨道可以与地球表面任一纬线所决定的圆是共面同心圆
B．地球同步卫星的向心加速度与赤道上物体的向心加速度相同
C．该载人飞船的发射速度应大于地球的第一宇宙速度
D．飞船与空间站对接，两者运行速度的大小都应介于第一宇宙速度和第二宇宙速度之间
5．“高分十三号”卫星是一颗光学遥感卫星，其轨道与地球赤道在同一平面内，并与地面上某观测点始终保持相对静止。已知地球半径为r1，卫星轨道半径为r2，则赤道上某点随地球自转的线速度大小v1与卫星运动的线速度大小v2之比为（　　）
A．r1∶r2 B．r2∶r1 C．r12∶r22 D．r22∶r12
6．2021年4月29日，我国在海南文昌用长征五号B运载火箭成功将空间站天和核心舱送入预定轨道。核心舱运行轨道距地面的高度为400 km左右，地球同步卫星距地面的高度接近36000 km。与地球同步卫星相比，该核心舱的（　　）
A．周期更长，向心加速度更大 B．周期更长，向心加速度更小
C．周期更短，向心加速度更小 D．周期更短，向心加速度更大
7．关于地球同步卫星的周期，下列说法正确的是（　　）
A．与地球的自转周期相同
B．与地球的公转周期相同
C．大于地球的自转周期
D．大于地球的公转周期
8．北斗卫星导航系统由五十多颗卫星组成，其中有些卫星处在地球同步轨道，成为地球的同步卫星。这些地球同步卫星的周期是（　　）
A．12h B．24h C．36h D．48h
9．我国自主研发的“北斗”卫星导航系统中含有同步卫星，关于同步卫星下列说法中正确的是（　　）
A．同步卫星处于平衡状态 B．同步卫星的线速度是不变的
C．同步卫星的高度是一定的 D．线速度应大于第一宇宙速度
10．关于地球静止轨道同步卫星，下列说法不正确的是（　　）
A．运行周期为24 h B．运行速度大于7.9 km/s
C．一定在赤道上空运行 D．各国发射的这种卫星的轨道半径都一样
11．某通信卫星是与地球自转同步的人造卫星，其绕地球运动的周期约为（　　）
A．6小时 B．12小时 C．24小时 D．36小时
12．我国的北斗导航系统包含了多颗地球同步卫星。关于地球同步卫星，下列说法正确的是（　　）
A．同步卫星可以定点在福州上空
B．同步卫星可以在离地面不同高度的轨道上运行
C．同步卫星的周期为12h，与地球自转周期不同
D．同步卫星的周期为24h，与地球自转周期相同
二、多选题
13．如图所示，A为地球的同步卫星，B为近地卫星，虚线为各自的轨道，下列说法正确的是（　　）
A．A的加速度小于B的加速度
B．A的运行速度小于B的运行速度
C．B的周期可能大于24h
D．A的运行速度可能大于地球的第一宇宙速度
14．2021年6月17日，神舟十二号载人飞船顺利将聂海胜、刘伯明、汤洪波3名航天员送入太空，并与“天和”核心舱交会对接，这标志着中国人首次进入自己的空间站，如图所示。已知核心舱圆轨道离地面高度约为400km，地球半径约为6400km。则核心舱在圆轨道上运行时（　　）
A．速度小于7.9km/s
B．周期小于地球同步卫星的周期
C．加速度小于地球同步卫星的加速度
D．其内部宇航员处于完全失重状态，不受地球引力
三、解答题
15．已知地球半径为R，表面重力加速度为g，一昼夜时间为T，万有引力常量为G，忽略地球自转的影响。试求：
（1）第一宇宙速度；
（2）近地卫星的周期；
（3）同步卫星高度；
（4）地球平均密度。
16．2021年2月我国发射的“天问一号”火星探测器，对火星的地貌和环境进行了探测，将人类探测宇宙的脚步推向前进。设质量为的“天宫一号”环绕器，在距火星表面高为处，做周期为的匀速圆周运动，已测得火星半径为，火星视为均质球体引力常量为，求：
（1）火星的质量；
（2）火星表面的重力加速度大小；
（3）若在火星表面发射一颗近火卫星，求发射的最小速度。
17．中国北斗卫星导航系统是中国自行研制的全球卫星导航系统。如图所示为其中一颗北斗卫星的轨道示意图。已知该卫星绕地球做匀速圆周运动的周期为T，地球半径为R，地球表面附近的重力加速度为g，引力常量为G。求：
(1)地球的质量M；
(2)第一宇宙速度v1的表达式；
(3)该北斗卫星的轨道距离地面的高度h。
18．月球是地球的卫星，现根据观测已知月球的质量为M，半径为R，自转周期为T，万引力常量为G。求：
（1）月球表面的重力加速度g月（不考虑月球自转因素）；
（2）月球的第一宇宙速度v；
（3）月球同步卫星的轨道半径r。
五 相对论时空观与牛顿力学的局限性
一、相对论时空观
1．19世纪，英国物理学家麦克斯韦根据电磁场理论预言了电磁波的存在，并证明电磁波的传播速度等于光速c.
2．1887年的迈克耳孙—莫雷实验以及其他一些实验表明：在不同的参考系中，光的传播速度都是一样的！这与牛顿力学中不同参考系之间的速度变换关系不符
3．爱因斯坦假设：在不同的惯性参考系中，物理规律的形式都是相同的；真空中的光速在不同的惯性参考系中大小都是相同的．
4．时间延缓效应
(1)如果相对于地面以v运动的惯性参考系上的人观察到与其一起运动的物体完成某个动作的时间间隔为Δτ，地面上的人观察到该物体在同一地点完成这个动作的时间间隔为Δt，那么两者之间的关系是Δt＝.
(2)Δt与Δτ的关系总有Δt＞Δτ(填“>”“<”或“＝”)，即物理过程的快慢(时间进程)与运动状态有关．
5．长度收缩效应：
(1)如果与杆相对静止的人测得杆长是l0，沿着杆的方向，以v相对杆运动的人测得杆长是l，那么两者之间的关系是l＝l0.
(2)l与l0的关系总有l＜l0(填“>”“<”或“＝”)，即运动物体的长度(空间距离)跟物体的运动状态有关．
二、牛顿力学的成就与局限性
1．牛顿力学的成就：牛顿力学的基础是牛顿运动定律，万有引力定律的建立与应用更是确立了人们对牛顿力学的尊敬．
2．牛顿力学局限性：牛顿力学的适用范围是低速运动的宏观物体．
(1)当物体以接近光速运动时，有些规律与牛顿力学的结论不相同．
(2)电子、质子、中子等微观粒子的运动规律在很多情况下不能用牛顿力学来说明．
3．牛顿力学不会被新的科学成就所否定，当物体的运动速度远小于光速c时，相对论物理学与牛顿力学的结论没有区别．
综合演练
一、判断下列说法的正误．
(1)运动的时钟显示的时间变慢，高速飞行的μ子的寿命变长．(　 　)
(2)沿着杆的方向，相对于观察者运动的杆的长度变短．(　 　)
(3)经典力学只适用于世界上普通的物体，研究天体的运动经典力学就无能为力了．(　 　)
(4)洲际导弹的速度可达到6 000 m/s，在这种高速运动状态下，经典力学不适用．(　 　)
(5)对于质子、电子的运动情况，经典力学同样适用．(　 　)
二、选择题
1、A、B两火箭沿同一方向高速飞过地面上的某处，vA＞vB，在地面上的人观察到的结果正确的是(　　)
A．火箭A上的时钟走得最快
B．地面上的时钟走得最快
C．火箭B上的时钟走得最快
D．火箭B上的时钟走得最慢
2、下列关于经典力学的说法正确的是(　　)
A．经典力学适用于宏观、低速(远小于光速)运动的物体
B．经典力学适用于微观、高速(接近光速)运动的粒子
C．相对论和量子力学的出现，表明经典力学已被完全否定了
D．经典力学在理论和实践上取得了巨大的成功，从地面到天体的运动都服从经典力学的规律，因此任何情况下都适用
3、经典力学规律有其局限性．物体以下列哪个速度运动时，经典力学规律不适用(　　)
A．2.5×10－5 m/s B．2.5×102 m/s
C．3.5×103 m/s D．2.5×108 m/s
4、假设地面上有一火车以接近光速的速度运行，其内站立着一个中等身材的人，站在路旁的人观察车里的人，观察的结果是(　　)
A．这个人是一个矮胖子 B．这个人是一个瘦高个子
C．这个人矮但不胖 D．这个人瘦但不高
5、如图2所示，强强乘坐速度为0.9c(c为光速)的宇宙飞船追赶正前方的壮壮，壮壮的飞行速度为0.5c，强强向壮壮发出一束光进行联络，则壮壮观测到该光速的传播速度为(　　)
图2
A．0.4c B．0.5c C．0.9c D．1.0c
6、话说有兄弟两个，哥哥乘坐宇宙飞船以接近光的速度离开地球去遨游太空，经过一段时间返回地球，哥哥惊奇地发现弟弟比自己要苍老许多，则该现象的科学解释是(　　)
A．哥哥在太空中发生了基因突变，停止生长了
B．弟弟思念哥哥而加速生长了
C．由相对论可知，物体速度越大，在其上的时间进程就越慢，生理过程也越慢
D．这是神话，科学无法解释
7、(多选)下列说法中正确的是(　　)
A．经典力学是以牛顿的三大定律为基础的
B．经典力学在任何情况下都适用
C．当物体的速度接近光速时，经典力学就不适用了
D．相对论和量子力学的出现，使经典力学失去了意义
8、(多选)下列适用经典力学规律的是(　　)
A．自行车、汽车、火车、飞机等交通工具的运动
B．发射导弹、人造卫星、宇宙飞船
C．以接近光速飞行的μ子的运动
D．地壳的变动

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