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第二章 匀变速直线运动的研究
第三节 匀变速直线运动的位移与时间的关系
【课标解读】
１.通过近似推导位移公式的过程，体验微元法的特点和技巧，能把瞬时速度的求法与此比较.
2.感悟一些数学方法的应用特点.
情感态度与价值观
1.经历微元法推导位移公式和公式法推导速度位移关系，培养自己动手的能力，增加物理情感.
2.体验成功的快乐和方法的意义，增强科学能力的价值观.
【考点聚焦】
1.知道匀速直线运动的位移与时间的关系.
2.了解位移公式的推导方法，掌握位移公式
3.理解匀变速直线运动的位移与时间的关系及其应用.
4.理解v－t图象中图线与t轴所夹的面积表示物体在这段时间内运动的位移.
5.能推导并掌握位移与速度的关系式.
6.会适当地选用公式对匀变速直线运动的问题进行简单的分析和计算.
【知识要点】
（1）匀变速直线运动的位移与时间的关系式：
（2）公式的推导
①利用微积分思想进行推导：在匀变速直线运动中，虽然速度时刻变化，但只要时间足够小，速度的变化就非常小，在这段时间内近似应用我们熟悉的匀速运动的公式计算位移，其误差也非常小，如图所示。
②利用公式推导：匀变速直线运动中，速度是均匀改变的，它在时间t内的平均速度就等于时间t内的初速度v0和末速度v的平均值，即＝．结合公式x＝vt和v＝vt+at可导出位移公式：.
（3）匀变速直线运动中的平均速度
在匀变速直线运动中，对于某一段时间t，其中间时刻的瞬时速度，该段时间的末速度v＝vt+at，由平均速度的定义式和匀变速直线运动的位移公式整理加工可得＝＝＝v0+at＝＝＝＝。
即有：＝＝。
所以在匀变速直线运动中，某一段时间内的平均速度等于该段时间内中间时刻的瞬时速度，又等于这段时间内初速度和末速度的算术平均值。
【例题精讲】
题型一、关于位移图象的理解
【例1】某物体的位移图象如图所示，若规定向东为位移的正方向，试求；物体在OA、AB、BC、CD、DE各阶段的速度。
　　　　　　　　　　　　　　　　　
【变式训练1】如图所示，A、B两物体从O点开始运动，从A、B两物体的位移图象可知，下述说法正确的是( )
　　A、A、B两物体的运动方向相同
　　B、A物体2s内发生的位移是l0m
　　C、B物体发生l0m的位移的时间是2s
　　D、A 物体的速度大小是5m/s，B的速度大小是2.5m/s
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
类型二、位移与时间关系公式的应用中注意问题
【例2】列车进站前刹车，已知刹车前列车速度为60km/h，刹车加速度大小为0.8m/s2，求刹车后15s和30s列车的速度．
【变式训练1】以18m/s的速度行驶的汽车，紧急刹车后做匀减速直线运动，其加速度的大小为6m/s2，求汽车在6s内通过的距离．
【变式训练2】由静止开始做匀加速直线运动的汽车，第ls内通过0.4m位移，则不正确的结论是( )
A．第1s末的速度的0.8m/s
B．加速度为0.8m/s2
C．第2s内通过位移为1.2m
D．2s内通过的位移为1.2m
类型三、位移图象描述相遇问题
【例3】如图所示是做直线运动的甲、乙两物体的x-t图象，下列说法中正确的是（　 ）
　　A、甲启动的时刻比乙早 t1 　　　　　　　 　　B、当 t = t2 时，两物体相遇
　　C、当t = t2 时，两物体相距最远　　　　　　　 D、 当t = t3 时，两物体相距x1
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【变式训练1】如图所示，折线a是表示物体甲从A地向B地运动的位移图线，直线b是表示物体乙从B地向A地运动的位移图线，则下述说法中正确的是（ ）
　　A、甲、乙两物体是相向运动
　　B、甲物体是匀速运动，速度大小是7.5m/s
　　C、甲、乙两物体运动8s后，在距甲的出发点60m处相遇
　　D、甲在运动中停了4s
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【变式2】一质点的x-t图象如图甲所示，那么此质点的v-t图象可能是图乙中的( )．
类型四、位移公式解决实际问题
【例4】某市规定，汽车在学校门前马路上的行驶速度不得超过40 km/h．一次，一辆汽车在校门前马路上遇紧急情况刹车，由于车轮抱死，滑行时在马路上留下一道笔直的车痕．交警测量了车痕长度x＝9m，又从监控资料上确定了该车从刹车到停止的时间t＝1.5s，立即判断出这辆车违章超速，这是为什么
【变式训练1】一辆汽车在笔直的公路上做匀变速直线运动，该公路每隔15 m安置一个路标，如图所示，汽车通过AB两相邻路标用了2s，通过BC两路标用了3s，求汽车通过A、B、C三个路标时的速度．
【变式训练2】两物体从同一地点同时出发，沿同一方向做匀加速直线运动，若它们的初速度大小不同，而加速度大小相同，则在运动过程中（ ）
A．两物体速度之差保持不变
B．两物体的速度之差与时间成正比
C．两物体的位移之差与时间成正比
D．两物体的位移之差与时间的平方成正比
【变式3】一物体以5m/s的初速度，－2m/s2的加速度在粗糙水平面上滑行，4s内物体通过的位移为（ ）
A．4m B．36m
C．6.25m D．以上答案都不对
【变式4】矿井里的升降机由静止开始匀加速上升，经过5s速度达到v=4 m/s后，又以这个速度匀速上升20s，然后匀减速上升，再经4s停在井口．求矿井的深度．
【高考链接】
1．物体做匀变速直线运动，在t时间内通过的路程为s,它在中间位置s/2处的速度为v1,它在中间时刻t/2处的速度为v2,则v1和v2的关系错误的是（ ）
A．当物体做匀加速直线运动时，v1>v2
B．当物体做匀减直线运动时，v1>v2
C．当物体做匀减直线运动时，v1=v2
D．当物体做匀减速直线运动时，v12．两辆完全相同的汽车，沿水平直路一前一后匀速行驶，速度均为v0,若前车突然以恒定的加速度刹车，在它刚停住时，后车以前车刹车时的加速度开始刹车，已知前车在刹车过程中所行的距离为s，若要保证两辆车在上述情况中不相撞，则两车在匀速行驶时保持的距离至少应为（ ）
A.s B.2s C.3s D.4s
3．飞机以初速度为100m/s,加速度为10 m/s2对准目标直线俯冲，俯冲角为30°（速度方向与水平面夹角），经过4s，飞机的位移是______m,飞机下降了_______m.
4.由于板道工的失误，有两辆同样的列车各以72km/h的速度在同一条铁路上面对面向对方驶去，已知这种列车刹车时能产生的最大加速度为0.4 m/s2，为避免列车相撞，双方司机至少要在两列车厢距多远时同时刹车？
【课堂练习】
一 填空题
1．某质点的位移随时间的变化规律的关系是：s=4t+2,s与t的单位分别为m和s，则质点的初速度与加速度分别为 ( )
A．4 m/s与2 m/s2 B．0与4 m/s2 C．4 m/s与4 m/s2 D．4 m/s与0
2．一辆汽车以2 m/s2的加速度做匀减速直线运动，经过2s（汽车未停下）。汽车行驶了36m。汽车开始减速时的速度是多少？ ( )
A．9m/s B．18m/s C．20m/s D．12m/s
3．一物体以5 m/s的初速度、-2 m/s2的加速度在粗糙水平面上滑行，在4 s内物体通过的路程为 ( )
A．4 m B．36 m C．6．25 m D．以上答案都不对
4．两物体都做匀变速直线运动，在给定的时间间隔内 ( )
A．加速度大的，其位移一定也大
B．初速度大的，其位移一定也大
C．末速度大的，其位移一定也大
D．平均速度大的，其位移一定也大
5．（多选）汽车从A点由静止开始沿直线ACB做匀变速直线运动，第4 s末通过C点时关闭发动机，再经过6 s到达B点时停止．已知AB之长为30m，则下列说法正确的是（ ）　　　
A．通过C点时的速度大小为3 m／s B．通过C点时的速度大小为6 m／s
C．通过AC段的位移为12 m D．汽车在AC与CB两段的平均速度大小相同
6（多选）．两车从同一车站同时向同一方向行驶做直线运动，v－t图象如图．则（ ）
A．在2 s时两车相遇，乙车追上甲车
B．在4 s时两车相遇，乙车追上甲车
C．乙车追上甲车时，乙车的速度等于甲车的速度
D．乙车追上甲车时，乙车的速度大于甲车的速度
7．汽车关闭油门后做匀减速直线运动，最后停下来，在此过程中，最后三段连续相等的时间间隔内的平均速度之比为（ ）　　　
A．1∶1∶1　　　　　　B．5∶3∶1
C．9∶4∶1　　　　　　D．3∶2∶l
8．完全相同的三块木块并排固定在水平面上，一颗子弹以速度v水平射入，若子弹在木块中做匀减速直线运动，且穿过第三块木块后速度恰好为零，则子弹依次射人每块木块时的速度之比和穿过每块木块所用时间之比为　（ ）　　
A．＝3∶2∶1 B．＝
C．＝ D．＝
9．两辆完全相同的汽车，沿水平公路一前一后匀速行驶，速度均为v0，若前车突然以恒定的加速度刹车，在它刚停住时，后车以前车刹车时的加速度开始刹车．已知前车在刹车过程中所行的距离为s，若要保证两辆车在上述情况中不相撞，则两车在匀速行驶时保持的距离至少应为（ ）　　
A．s　　　　　　B．2s　　　　　C．3s　　　　　D．4s
10．（多选）一辆汽车由静止开始做匀变速直线运动，在第8 s末开始刹车，经过4 s完全停下，设刹车过程中汽车做匀变速直线运动，那么前后两段运动过程中汽车加速度大小之比是（ ）　　　
A．1∶4　　　　　　　B．1∶2 C．1∶1　　　　　　　D．2∶1
二 计算题
11．一个滑雪的人，从85m长的山坡上匀变速滑下，初速度是1.8 m／s，末速度是5.0 m／s，他通过这段山坡需要多长时间
12．升降机由静止开始以加速度匀加速上升2s后，速度达到3m/s，接着匀速上升10s后再以加速度做匀减速运动，3s停下来．求：
(1) 加速度、的大小．
(2) 升降机上升的高度．
【方法点拨】
识图方法:
一轴、二线、三斜率、四面积、五截距、六交点
答案
典型例题
【例1】物体在t＝0开始从原点出发向东行做匀速直线运动，历时2s；接着在第3s～5s内静止；第6s内继续向东做匀速直线运动；在第7s～8s内匀速反向西行，至第8s末回到出发点；在第9s～12s 内从原点向西行做匀速直线运动。
　　由x－t图得各阶段的速度如下：
　　OA段：
　　AB段：物体静止，速度为0
　　BC段：
　　CD段：
　　DE段：
【变式训练1】ABD
【例2】4.7m/s 0
【解析】以初速度方向为正方向，60km/h＝16.7m/s，刹车后15s，列车的速度
；刹车至列车停下所需时间，故刹车后30s列车的速度v2＝0．
【变式训练1】27m
【解析】如果把a＝-6m/s2和v0＝18m/s代入位移公式，得
．
汽车在6 s内的位移竟然为0，这可能吗 为什么会出现这样的结果 原来汽车刹车后只运动了3s，3s后便停下了，直接把6s的时间代入公式必定会出现错误的结论．故应先判断汽车停下的时间，设历时t0停下，，，故6s内的位移等于3 s内的位移．
解法一：由，有
．
解法二：由逆向运动法知，
．
解法三：由有，．
【变式训练2】D
【例3】ABD
【解析】由x-t图象可知甲物体是在计时起点从坐标原点x1处开始沿x负方向做匀速直线运动，乙物体是在t1时刻开始从坐标原点沿x正方向做匀速直线运动，两物体在t2 时刻相遇，然后远离，t3时刻两物体相距x1，因此选项ABD正确。
【变式训练1】ACD
【解析】由图象知，甲、乙两物体在开始运动时相距100m，后来相距越来越小，甲向乙的出发点运动，乙向甲的出发点运动，因而它们是相向运动，选项A正确。
　　两图线相交点表示了甲、乙同一时刻同一位置，即相遇的时刻与位置，故选项C正确。
　　甲在运动中有一段图线与时间轴平行，这表示甲在4s内位置始终没变，因而是静止的，选项 D正确。
　　甲在全过程中并不是匀速运动，故选项B是错的。
【变式训练2】A
【解析】解题关键明白两种图象斜率的物理意义不同．v-t图象的切线斜率表示速度，由图象可知：0～时间内图象的斜率为正且越来越小，在时刻图象斜率为0，即物体正向速度越来越小，时刻减为零；从～时间内，斜率为负值，数值越来越大，即速度反向增大，故选项A正确．
【例4】汽车超速
【解析】解法一：(速度判断法)由于x＝9m，t＝1.5 s，据得平均速度，又因为，得初速度2×6m/s＝12m/s＝43.2km/h．
由于车速超过40 km/h，可知此车超速．
解法二：(位移判断法)设汽车恰以的速度行驶，则刹车后1.5s停下，刹车加速度．
以此加速度刹车，刹车位移，故汽车超速．
【变式训练1】8.5m/s 6.5m/s 3.5m/s
【解析】题目中已知条件是位移、时间，求的是速度，所以可用位移公式求解．
汽车从A到C是匀变速直线运动，设汽车通过路标A时速度为vA，通过AB的时间t1＝2s，通过BC的时间t2＝3s．根据位移公式，研究AB运动的过程，有．
研究AC运动过程，有，
其中t＝t1+t2＝5s，
解得vA＝8.5m/s，a＝-1m/s2．
再根据速度公式
vB＝vA+at1＝6.5m/s，vC＝vA+at＝3.5m/s．
求得a＝-1 m/s2，其中“-”说明a的方向与初速的方向相反，汽车做匀减速直线运动．
【变式训练2】AC
【变式训练3】C
【变式训练4】98m
高考链接
1.D
2.D
3.480m 240m
4.1000m
课堂练习
C
C
C
D
BCD
BD
B
D
B
BD
11．解析：滑雪的人做匀加速直线运动，由
　　可得，代入中，得
　　=
又 　　
因此 ＝
　　所以＝m／s＝3．4 m／s
　　s＝t ,所以t＝＝＝25 s.
答案：25 s
12． =1.5 m/s2 =-1 m/s2 37.5m

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