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浦东新区 2021学年度第二学期初三年级练习题
数 学 学 科
注意：除第一、二大题外，其余各题都必须写出证明或计算的主要步骤．
一、选择题：
【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的】
1．下列实数中，有理数是（ ）
1
（A） （B） 2 （C）π； （D） 3 6 ．
8 ； ；
2．下列代数式中，不是单项式的是（ ）
a
（A） a2； （B） 2a； （C） 2；
（D） a 2．
3．如果将抛物线 y 5x2向上平移 1个单位，那么所得新抛物线的表达式是（ ）
（A） y 5(x 1)2 ； （B） y 5(x 1)2 ； （C） y 5x2 1； （D） y 5x2 1.
4．为了制定切合本校学生的体能训练标准，某校从九年级随机抽取 30名男生进行引体向上
测试，每人测试一次，记录有效引体向上次数如表 1所示．那么这 30名男生此次测试中
引体向上次数的众数和中位数分别是（ ）
次数 6 7 8 9 10 11
人数 3 10 9 5 2 1
表 1
（A）7，7； （B）7，8； （C）8，7； （D）8，8．

5．已知在△ABC中，点 D、E分别是 AB、AC的中点，设 AB m， AC n，那么向量DE

用向量m、 n表示为（ ）
1 1 1 （A） n m； （B） n m； （C） n m； （D） n 1

m．
2 2 2 2
6．如图，在 Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝7，点 D在边 BC上，CD＝3，⊙A的半
径长为 3，⊙D与⊙A相交，且点 B在⊙D外，那么⊙D的半径长 r可能是（ ）
（A）r =1； （B）r =3；
（C）r =5； （D）r =7．
二、填空题：
7．计算：m4 m2 ． （第 6题图）
8 2．分解因式： a 9 ．
9 f (x) 3 2x．已知 ，那么 f (0) = ．x 4
1
10．方程 2x 1 3的解是 ．
11．上海市第七次全国人口普查数据显示，全市常住人口约为 24 870 000人．将 24 870 000
这个数用科学记数法表示为 ．
12．如果关于 x的方程 x2 6x m 0有两个相等的实数根，那么 m的值为 ．
13 k．已知反比例函数 y 的图像经过点（-3，2），那么 k的值为 ．
x
14．不透明的布袋里有 3个红球、2个黄球、4个白球，它们除颜色外其他都相同．从布袋
里任意摸出一个球恰好是黄球的概率是 ．
15．如果一个正多边形的中心角是 36°，那么这个正多边形的边数为 ．
16．为了解全校 500名初中毕业生的体重情况，从中随机抽取部分学生的体重作为样本，制
作成如图所示的频率分布直方图（每小组包括最小值，不包括最大值）．那么这所学校
体重小于 80千克且不小于 70千克的初中毕业生约有 人．
17 4．如图，已知在△ABC中，∠C=90°，AC=4，点 D在边 BC上，且 BD=AC，sin ADC ．那
5
么边 BC的长为 ．
18．如图，已知在 Rt△ABC中，∠C=90°，将△ABC绕着点 C旋转，点 B恰好落在边 AB
上的点 D（不与点 B 重合）处，点 A落在点 E处，如果 DE∥BC，联结 AE，那么
sin∠EAC的值为 ．
（第 16题图） （第 17题图） （第 18题图）
三、解答题：
1 1 0
19．计算：92 2 3 1 2 ．
5


2
5x x 16，

20．解不等式组： 2x 1 5 3x ，并把解集在数轴上表示出来． 2
21．如图，已知⊙O中，弦 AB=8，点 P是弦 AB上一点，OP=3 2，∠OPB=45°．
（1）求 OB的长．
（2）过点 P作弦 CD与弦 AB垂直，求证：AB=CD．
（第 21题图）
22．在一次蜡烛燃烧试验中，甲蜡烛燃烧时剩余部分的高度 y（厘米）与燃烧时间 x（小时）
之间的关系如图所示，请根据图像所提供的信息解答下列问题： y
（1）求甲蜡烛燃烧时 y与 x之间的函数解析式（不写定义域）；
（2）现将一根乙蜡烛与甲蜡烛做完全燃烧比较试验，已知乙蜡烛
每小时比甲蜡烛少燃烧 5厘米，乙蜡烛比甲蜡烛多燃烧 20分
钟，求乙蜡烛的高度．
x
（第 22题图）
3
23．如图，已知正方形 ABCD，以 AB为边在正方形外作等边△ABE，过点 E作 EF⊥AB与
边 AB、CD分别交于点 F、点 G，点 O在线段 EG上，且 DO=CD．
（1）求证：AE∥DO；
（2）联结 AO、DE，DE EQ EF分别交 AO、AB于点 M、Q，求证： ．
AD DM
（第 23题图）
4
24 1．如图，抛物线 y x2 bx c与 x轴交于点 A(4，0)和点 B，与 y轴交于点 C(0,-3)．
4
（1）求抛物线的表达式；
（2）已知点 M在 x轴上，且在点 B的右侧，联结 BC、CM，如果 S△MBC:S△ABC= 4:7，
求点 M的坐标；
（3）在（2）的条件下，如果点 D在线段 OC上，∠CAD =∠MCO，求 OD的长度．
y
（第 24题图）
5
25．如图，在四边形 ABCD中，AB∥DC，AB=BC=6，AD⊥AC，点 E为对角线 AC的中点，
射线 DE交边 BC于点 F．
（1）求证：DC=2AB；
（2）如果 DF⊥BC，求∠ACD的余弦值；
（3）当△CEF是等腰三角形时，求线段 EF的长．
（第 25题图） （备用图）
6浦东新区 2021学年度第二学期初三年级练习题参考答案数学学科
一、选择题：
1．A； 2．D； 3．C； 4．B； 5．C； 6．B．
二、填空题：
3
7．m2 ； 8． (a 3)(a 3)； 9． ； 10． x 5； 11． 2.487 107 ； 12．9；
4
2 3
13．－6； 14． ； 15．10； 16．130； 17．7； 18． ．
9 2
三、解答题：
19．解：原式＝3 2 3 5 1．
＝1 3．
20．解：由①得 4x 16．
∴ x 4．
由②得 4x 2 5 3x．
∴ x 1．
∴原不等式组的解集是1 x 4．
将不等式组的解集在数轴上表示为：
（注：不要漏公共部分）
21．解：（1）过点 O作 OE⊥AB，垂足为点 E．
在⊙O中，∵OE过圆心，OE⊥AB，
1
∴ BE AB， OEA OEB 90 ．
2
∵AB＝8，∴ BE 4．
∵ OPB 45 ，∴ POE 180 90 45 45 ，∴ OPB POE，∴PE＝OE．
∵OP PE2 OE2 3 2 ，
∴PE＝OE＝3．
在 Rt△OEB中，OB BE 2 OE 2 42 32 5．
（2）过点 O作 OF⊥CD，垂足为点 F．
∵CD⊥AB，∴ CPB 90 ．
∵ OPB 45 ，∴ OPC 45 ．
∴ OPB OPC．又∵OE⊥AB，OF⊥CD，
∴OE＝OF．
∴AB＝CD．
22．解：（1）设 y＝kx+b（k≠0）．
将点（0，40），（2，0）代入，
b 40，
得
2k b 0.
k 20，
解得
b 40.
甲蜡烛燃烧时 y与 x之间的函数解析式是： y 20x 40．
初三数学答案 —1—
（2）由图像可知，甲蜡烛长 40厘米，燃尽需用时 2小时．
所以甲蜡烛平均每小时燃烧 40 2 20（厘米）．
因为乙蜡烛每小时比甲蜡烛少燃烧 5厘米，所以乙蜡烛每小时燃烧 15厘米．
20 1
因为乙蜡烛比甲蜡烛多燃烧 20分钟，所以乙蜡烛燃尽需用时为 2+ =2 小时．
60 3
1
所以乙蜡烛的高度：15×2 ＝35厘米．
3
答：乙蜡烛的高度为 35厘米．
23．证明：（1）∵△ABE是等边三角形，∴∠AEB＝60°．又∵EF⊥AB，
∴AF 1＝ AB 1，∠AEO＝ ∠AEB＝30°，∠AFG＝90°．
2 2
∵四边形 ABCD是正方形，∴AB＝CD，∠BAD＝∠ADC＝90°．
∴四边形 AFGD是矩形．
∴∠DGO＝90 DG AF 1°， ＝ ＝ AB．
2
∵DO 1＝CD，∴DG＝ DO．
2
在 Rt△DGO 1中，∵∠DGO＝90°，DG＝ DO，∴∠DOG＝30°．
2
∴∠DOG＝∠AEO．
∴AE∥DO．
（3）∵四边形 AFGD是矩形．
∴AD∥EO．
∴∠ADE＝∠QEF．
∵AE∥DO，
∴四边形 AEOD为平行四边形．
∵△ABE是等边三角形，∴AE＝AB．
∵四边形 ABCD是正方形，∴AD＝AB．
∴AD＝AE．∴四边形 AEOD为菱形．
∴AO⊥ED，∴∠AMD＝90°．
∵EF⊥AB，∴∠AFE＝90°，
∴∠AMD＝∠QFE，∴△AMD∽△QFE．
EQ EF （第 23题图）
∴ ．
AD DM
24 1．解：（1）∵抛物线 y x2 bx c与 y轴交于点 C(0,-3)．
4
1
∴ y x2 bx 3．
4
∵点 A（4 1，0）在抛物线 y x2 bx 3上，
4
1
∴ 42 4b 3 0．
4
∴b 1 ．
4
初三数学答案 —2—
1
∴抛物线的表达式为 y x2 1 x 3．
4 4
1 1
（2）当 y 0时， x2 x 3 0．∴ x 3，x 4．
4 4 1 2
∵点 A(4，0)，∴B(-3，0)．
∴AB＝7．
1
S BM h 4
设点 C 到 AB边的距离为 h(h>0)．∵ BCM 2
S 1
，
BCA BA h 7
2
∴BM∶BA＝4∶7，∴BM＝4．
∵点 M在 x轴上，且在点 B的右侧，∴M(1，0)．
（3）∵点 D在线段 OC上，过点 D作 DE⊥AC，垂足为点 E．
在 Rt△ACO中， AC OC2 OA2 32 42 5， tan ACO
OA 4
．
OC 3
∵M(1，0)，∴OM＝1． y
∴ tan MCO MO 1 ．
OC 3
∵∠CAD＝∠MCO ∴在 Rt△ADE中， tan DAE DE 1， ．AE 3
又∵在 Rt△CDE中， tan ACO DE 4
CE 3，
设CE 3m(m 0)，∴DE 4m,DC （3m）2 （4m）2 5m． （第 24题图）
∴在 Rt△ADE中， tan DAE DE 4m ，
AE 5 3m
∴ 4m 1 ．
5 3m 3
m 1∴ ．
3
∴OD OC CD 3 5m 3 5 4 ．
3 3
25．（1）证明：联结 BE．
∵AB＝BC，E是 AC的中点，
∴BE⊥AC．
∵AD⊥AC，
∴∠AEB＝∠DAC＝90°．
∵AB∥DC，
∴∠BAE＝∠DCA．
∴△ABE∽△CDA．
（第 25题图）
AB AE 1
∴ ．
CD CA 2
∴DC＝2AB．
初三数学答案 —3—
（2）∵DF⊥BC，∴ DFC 90 ．
∵ DAC 90 ，∠1＝∠2．
∴∠3＝∠4．∵AB＝BC，∴∠BAC＝∠4．
∵AB∥DC，∴∠BAC＝∠5．
∴∠4＝∠5．
∴∠3＝∠5．
∵∠DAC＝∠EAD．
∴△ADE∽△ACD， （第 25题图）
AD AE
∴ ．
AC AD
设 AE＝a (a 0)，则 EC＝a，AC＝2a，∴ AD2 2a2．
在 Rt△ADC中，∵ AD2 AC 2 CD2，CD 2AB 12，
∴ 2a2 (2a)2 122．∴ a 2 6 ．
∴ AC 2a 4 6 ．
AC 2a 6
∴在 Rt△ADC中， cos ACD ．
CD 12 3
（3）延长 DF、AB交于点 G．
∵AG∥DC，
AG AE GE
∴ 1 BF BG， ．
DC EC DE FC DC
∴AG＝DC＝12．
BF 1
∴BG 6 FG BF 1＝ ．∴ ．∴ ．
FC 2 DF FC 2
∴BF＝2，FC＝4．
设 DE＝EG＝k(k >0)，∴DG＝2k．
（第 25题图）
2
∴ FG k ，DF
4 k EF 1 ，∴ k．∴ EF 1 DE．
3 3 3 3
①当 FE＝FC时，∠FEC＝∠2．
∴∠FEC＝∠BAC，∴EF∥AB．与已知矛盾，此种情况舍去．
②当 EC＝EF时，∠2＝∠3．
∵∠1＝∠2．
∴△CFE∽△CAB．
CE CF
∴ ．∴CE 2 3．∴ EF 2 3．
BC CA
③当 CE＝CF时，则 AE＝CE＝4．∴AC＝8．
∵DC＝12，∴ AD 122 82 4 5．∴DE AD2 AE2 4 6 ．
EF 1 DE 4 6 ．
3 3
综上所述 EF 2 3 4或EF 6．
3
初三数学答案 —4—

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