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第8讲 一次函数图象变换
一、一次函数图象的平移
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直线 上(下)移 个单位
变换 上加下减 值不变，
平移直线
值不变
直线 左(右)移 个单位 上的一个
平移 左加右减 点
经典例题
例题1
1 将 先向左平移 个单位，再向下平移 个单位，得到的直线为 ．
答案
解析
．
标注 函数 >一次函数 >一次函数的几何变换 >题型：一次函数平移变换
2 把直线 向上平移 个单位，再向右平移 个单位后的直线的解析式为 ．
答案
解析 略
标注 函数 >一次函数 >一次函数的几何变换 >题型：一次函数平移变换
3 一次函数 的图象可以看作是直线 向 平移 个单位长度得到，它的图象
不经过第 象限 .
答案 1．下
2．
3．二
解析 平移变换的应用 .
标注 函数 >一次函数 >一次函数的几何变换 >题型：一次函数平移变换
例题2
请回答下列各题
(1) 若直线 沿着 轴向左平移 个单位得到 ，则 ．
(2) 将直线 平移，使它经过点 ，则平移后的直线的函数关系式为 ．
(3) 如图，把直线 向上平移后得到直线 ，直线 经过点 ，且 ，则
直线 的解析式是 ．
答案 (1)
(2)
(3)
解析 (1) 略．
(2) 略．
(3) 略．
标注 函数 >一次函数 >一次函数的几何变换 >题型：一次函数平移变换
二、一次函数图象的对称
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变换 直线 变换结果 备注
关于 轴
关于 轴
关于原点 对称直线上的两个点，利用
对称 关于直线 点的对称关系，“关于谁对
称谁不变”
关于直线
经典例题
例题3
已知直线 ，求下列解析式：
①关于 轴对称的函数关系式为 ；
②关于 轴对称的函数关系式为 ；
③关于原点对称的函数关系式为 ；
④关于直线 对称的函数关系式是 ；
⑤关于直线 对称的函数关系式是 ．
答案 1．
2．
3．
4．
5．
解析 ①原式 ，②原式 ，③原式 ，④原式 ，⑤原式
．
标注 函数 >一次函数 >一次函数的几何变换
例题4
1 把直线 的图象沿 轴翻折，与翻折后的图象对应的函数解析式为 ．
答案
解析 将 代入函数解析式的 ，所以函数图像与 轴的交点坐标为（ ， ），
将 代入函数解析式得 解得: 所以函数图像与 轴的交点坐标为( ， )，
关于 轴的对称点为( ， )设翻折后的函数解析式为 ，
根据题意得( ， )、( ， )在它的函数图像上，则 ，
解得 ．所以翻折后的函数解析式为 ．
标注 函数 >一次函数 >一次函数的几何变换 >题型：一次函数图象关于坐标轴对称
2 在平面直角坐标系中，将直线 沿 轴翻折后，刚好过点( ， )，则翻折后直线的解析式
为 ．
答案
解析 ．
标注 函数 >一次函数 >一次函数的几何变换 >题型：一次函数图象关于坐标轴对称
3 将一直线向右平移 个单位，再向下平移 个单位，再关于原点做对称后得直线为 ，则原
直线的解析式为 ．
．
答案
解析 关于原点做对称前： ，
直线向下平移前： ，
直线向右平移前： ，
故答案为： ．
标注 函数 >一次函数 >一次函数的几何变换 >题型：一次函数平移变换
三、一次函数图象的旋转
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变换 直线 变换结果 备注
旋转 变为 ， 相应改变 旋转图象上的两个点，由旋转后的两点坐
旋转
旋转 值不变， 相应改变 标确定解析式
经典例题
例题5
（ ）将直线 绕原点顺时针旋转 所得的直线的解析式为： ；
（ ）将直线 绕点 旋转 所得直线的解析式为 .
答案 1．
2．
解析 ( )在直线 上任意选取两个点， ， ，
它们绕原点 顺时针旋转 得到的点的直线过 和 点，
设直线解析式是 ，
则 ， ，
解得 ， ，
即为： ．
( )∵直线： ，
令 ，得 ；令 得 ，
∴直线： 过点 ， ，
∴点 ， 分别绕点 旋转 所得对应点 ， ，
设直线 解析式为 ，
则 ， ，
解得 ， ，
即所求直线的解析式为 ．
标注 函数 >一次函数 >一次函数的几何变换 >一次函数的旋转
例题6
已知点 在直线 上．
（1）点 向左平移 个单位后的坐标是__________；
直线 向左平移 个单位后的直线解析式是__________；
（2）求直线 绕点 顺时针旋转90°后的直线解析式．
答案 （1） ； ；
（2）
解析 （1）把点 代入直线 得： ，即 ，
所以向左平移 个单位后的坐标是 ， ；
（2）直线 与 轴的交点 ，与 轴交于点 ，绕 顺时针旋转90°后
的对应点 ， ，设直线 的函数解析式为 ，可得 ．
标注 函数 >一次函数 >一次函数的几何变换 >题型：一次函数平移变换
四、数学万花筒
海伦 凯勒的梦想
海伦 凯勒，美国女作家、教育家。幼时患病，两耳失聪，双目失明。
七岁时，安妮 莎莉文担任她的家庭教师，从此成了她的良师益友，相处达50年。在莎莉文的帮助
下就读于马萨诸塞州剑桥女子学校，又入剑桥的拉德克史利夫学院，1904年以优异成绩毕业。
在大学期间写了第一本书《我生命的故事》，叙述她如何战胜病残，不仅给盲人而且给成千上万的
正常人带来了鼓舞。这本书被译成50种文字，在世界各国流传。以后她为许多杂志撰写文章，还写了几
部自传性小说，《我所生活的世界》《从黑暗中出来》《我的信仰》《中流——我以后的生活》和《愿
我们充满信心》，在这些著作中，她表明黑暗与寂静并不存在，她自己也是个有理智的人。
1936年莎莉文逝世，波丽 汤普逊接替，也成了她的亲密朋友。凯勒后来成了卓越的社会改革家，
她到美国各地，到欧洲、亚洲发表演说，为盲人和聋哑人的教育筹集资金。第二次世界大战期间又访问
多所医院，慰问失明的士兵。她的精神受人们的崇敬。1964年被授予美国公民最高的荣誉——总统自由
勋章。次年又被选为世界十名杰出妇女之一。
也请您相信，您的梦想和您也只有一步之遥。
五、懒人笔记
六、巩固加油站
巩固1
若将直线 的图象向左平移 个单位长度后经过点 ，则平移后直线的解析式为（
）．
A. B. C. D.
答案 A
解析 直线 的图象向左平移 个单位长度后，
解析式为 ，
∵又经过点
∴ ，
解得 ，
∴平移后直线的解析式为 ．
故选 A．
标注 函数 >一次函数 >一次函数的几何变换 >题型：一次函数平移变换
巩固2
如图，将直线 向上平移 个单位，得到一个一次函数的图象 ．
(1) 直线 的解析式是 ．
(2) 将直线 沿 轴平移 个单位得到直线 ，则 的解析式为 ．
(3) 将直线 关于 轴对称得到直线 ，则 的解析式为 ．
答案 (1)
(2) 或
(3)
解析 (1) 设直线 解析式为 ，
由图象可知，直线 过点 ，
∴ ，解得 ，
∴直线 解析式为： ，
∴平移后为 ．
(2) 分两种情况讨论：
①向左平移 个单位得到 ，即 ；
②向右平移 个单位得到 ，即 ．
∴ 解析式为： 或 ．
(3) 关于 轴对称，横坐标发生变化，
∴ 解析式为： ．
标注 函数 >一次函数 >一次函数的几何变换 >题型：一次函数图象关于坐标轴对称
巩固3
若一次函数 与函数 的图象关于 轴对称，且交点在 轴上，则这个函数
的解析式为 ．
答案
解析 关于谁对称谁不变，另一个变为相反数．
将 关于 轴对称后得： ，化简得：
有： ， ，解得： ，
故：函数解析式为：
标注 函数 >一次函数 >一次函数的几何变换 >题型：一次函数图象关于坐标轴对称
巩固4
函数 的图象先关于 轴对称，再关于 轴对称，得到函数的解析式为 ．
答案
解析 关于 轴对称的点纵坐标不变横坐标互为相反数，
直线 关于 轴对称的直线的解析式为
关于 轴对称点的横坐标和纵坐标均为互为相反数，
直线 关于 轴对称的直线的解析式为 故答案为： ．
标注 函数 >一次函数 >一次函数的几何变换 >题型：一次函数图象关于坐标轴对称
巩固5
已知直线 ．
(1) 求它关于 轴对称的直线的解析式．
(2) 将直线 绕原点顺时针旋转 ，求旋转后的直线解析式．
答案 (1) ．
(2) ．
解析 (1) ∵关于 轴对称，
∴点 不变，将点 关于 轴对称得到点 ，
∴对称后的解析式为 ．
(2) 将 、 两点分别绕原点顺时针旋转 得到 、 ，
直线 即为旋转后的直线，解析式为 ．
标注 函数 >二次函数 >二次函数的几何变换 >题型：二次函数图象关于坐标轴对称
巩固6
如图，平面直角坐标系中，直线 与 轴交于点 ，与 轴交于点 ，点 在直线 上．
（ ）求直线 的解析式；
（ ）将直线 绕点 逆时针旋转 ，求旋转后的直线解析式．
答案 见解析
解析 （ ）∵直线 点过点 ，
设直线 的解析式为 （ ）
∴
解得
∴直线 的解析式为
（ ）绕点 逆时针旋转 后的直线解析式为
标注 函数 >一次函数 >一次函数的几何变换 >一次函数的旋转
巩固7
已知：一次函数 ．
(1) 设它的图象与 轴、 轴的交点分别为 、 ，求点 、 的坐标．
(2) 将直线 绕坐标原点 逆时针旋转 ，求旋转后的直线所对应的函数解析式．
答案 (1) （ ， ）， （ ， ）
(2)
解析 (1) ∵一次函数 与 轴、 轴的交点分别为 、 ，
∴ （ ， ）， （ ， ）．
(2) 旋转后 （ ， ）， （ ， ），
∴直线 的解析式为 ．
标注 函数 >一次函数 >一次函数与方程不等式 >题型：一次函数与一元一次方程第8讲 一次函数图象变换
一、一次函数图象的平移
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直线 上(下)移 个单位
变换 上加下减 值不变，
平移直线
值不变
直线 左(右)移 个单位 上的一个
平移 左加右减 点
经典例题
例题1
1 将 先向左平移 个单位，再向下平移 个单位，得到的直线为 ．
2 把直线 向上平移 个单位，再向右平移 个单位后的直线的解析式为 ．
3 一次函数 的图象可以看作是直线 向 平移 个单位长度得到，它的图象
不经过第 象限 .
例题2
请回答下列各题
(1) 若直线 沿着 轴向左平移 个单位得到 ，则 ．
(2) 将直线 平移，使它经过点 ，则平移后的直线的函数关系式为 ．
(3) 如图，把直线 向上平移后得到直线 ，直线 经过点 ，且 ，则
直线 的解析式是 ．
二、一次函数图象的对称
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变换 直线 变换结果 备注
关于 轴
关于 轴
关于原点 对称直线上的两个点，利用
对称 关于直线 点的对称关系，“关于谁对
称谁不变”
关于直线
经典例题
例题3
已知直线 ，求下列解析式：
①关于 轴对称的函数关系式为 ；
②关于 轴对称的函数关系式为 ；
③关于原点对称的函数关系式为 ；
④关于直线 对称的函数关系式是 ；
⑤关于直线 对称的函数关系式是 ．
例题4
1 把直线 的图象沿 轴翻折，与翻折后的图象对应的函数解析式为 ．
2 在平面直角坐标系中，将直线 沿 轴翻折后，刚好过点( ， )，则翻折后直线的解析式
为 ．
3 将一直线向右平移 个单位，再向下平移 个单位，再关于原点做对称后得直线为 ，则原
直线的解析式为 ．
．
三、一次函数图象的旋转
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变换 直线 变换结果 备注
旋转 变为 ， 相应改变 旋转图象上的两个点，由旋转后的两点坐
旋转
旋转 值不变， 相应改变 标确定解析式
经典例题
例题5
（ ）将直线 绕原点顺时针旋转 所得的直线的解析式为： ；
（ ）将直线 绕点 旋转 所得直线的解析式为 .
例题6
已知点 在直线 上．
（1）点 向左平移 个单位后的坐标是__________；
直线 向左平移 个单位后的直线解析式是__________；
（2）求直线 绕点 顺时针旋转90°后的直线解析式．
四、数学万花筒
海伦 凯勒的梦想
海伦 凯勒，美国女作家、教育家。幼时患病，两耳失聪，双目失明。
七岁时，安妮 莎莉文担任她的家庭教师，从此成了她的良师益友，相处达50年。在莎莉文的帮助
下就读于马萨诸塞州剑桥女子学校，又入剑桥的拉德克史利夫学院，1904年以优异成绩毕业。
在大学期间写了第一本书《我生命的故事》，叙述她如何战胜病残，不仅给盲人而且给成千上万的
正常人带来了鼓舞。这本书被译成50种文字，在世界各国流传。以后她为许多杂志撰写文章，还写了几
部自传性小说，《我所生活的世界》《从黑暗中出来》《我的信仰》《中流——我以后的生活》和《愿
我们充满信心》，在这些著作中，她表明黑暗与寂静并不存在，她自己也是个有理智的人。
1936年莎莉文逝世，波丽 汤普逊接替，也成了她的亲密朋友。凯勒后来成了卓越的社会改革家，
她到美国各地，到欧洲、亚洲发表演说，为盲人和聋哑人的教育筹集资金。第二次世界大战期间又访问
多所医院，慰问失明的士兵。她的精神受人们的崇敬。1964年被授予美国公民最高的荣誉——总统自由
勋章。次年又被选为世界十名杰出妇女之一。
也请您相信，您的梦想和您也只有一步之遥。
五、懒人笔记
六、巩固加油站
巩固1
若将直线 的图象向左平移 个单位长度后经过点 ，则平移后直线的解析式为（
）．
A. B. C. D.
巩固2
如图，将直线 向上平移 个单位，得到一个一次函数的图象 ．
(1) 直线 的解析式是 ．
(2) 将直线 沿 轴平移 个单位得到直线 ，则 的解析式为 ．
(3) 将直线 关于 轴对称得到直线 ，则 的解析式为 ．
巩固3
若一次函数 与函数 的图象关于 轴对称，且交点在 轴上，则这个函数
的解析式为 ．
巩固4
函数 的图象先关于 轴对称，再关于 轴对称，得到函数的解析式为 ．
巩固5
已知直线 ．
(1) 求它关于 轴对称的直线的解析式．
(2) 将直线 绕原点顺时针旋转 ，求旋转后的直线解析式．
巩固6
如图，平面直角坐标系中，直线 与 轴交于点 ，与 轴交于点 ，点 在直线 上．
（ ）求直线 的解析式；
（ ）将直线 绕点 逆时针旋转 ，求旋转后的直线解析式．
巩固7
已知：一次函数 ．
(1) 设它的图象与 轴、 轴的交点分别为 、 ，求点 、 的坐标．
(2) 将直线 绕坐标原点 逆时针旋转 ，求旋转后的直线所对应的函数解析式．

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