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第9讲 二元一次方程组与一次函数
一、二元一次方程组
知识导航
代入消元法是解二元一次方程组的基本方法之一．“消元”体现了数学研究中转化的重
要思想，代入法不仅在解二元一次方程组中适用，也是今后解其他方程(组)经常用到的方
法．
代
用代入法解二元一次方程组的一般步骤：
入
二 ①从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程中的一个未知数，例如 ，用另一
消
元 个未知数如 的代数式表示出来，即写成 的形式；
元
一 ②把 代入另一个方程中，消去 ，得到一个关于 的一元一次方程；
法
次 ③解这个一元一次方程，求出x的值；
方 ④回代求解：把求得的 的值代入 中求出 的值，从而得出方程组的解．
程 ⑤把这个方程组的解写成 的形式．
组 加减法是消元法的一种，也是解二元一次方程组的基本方法之一．加减法不仅在解二元
的 一次方程组中适用，也是今后解其他方程(组)经常用到的方法．用加减法解二元一次方程
基 组的一般步骤：
加
本 ①变换系数：把一个方程或者两个方程的两边都乘以适当的数，使两个方程里的某一个
减
解 未知数的系数的系数互为相反数或相等；
消
法 ②加减消元：把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次
元
方程；
法
③解这个一元一次方程，求得一个未知数的值；
④回代：将求出的未知数的值代入原方程组中，求出另一个未知数的值；
⑤把这个方程组的解写成 的形式
经典例题
例题1
解方程组：
(1) ．
(2)
．
答案 (1) ．
(2)
．
解析 (1) 略．
(2) 略．
标注 方程与不等式 > 二元一次方程（组） > 解二元一次方程组 > 题型：加减消元法
例题2
解下列方程组：
(1) ．
(2) ．
答案 (1) ．
(2) ．
解析 (1) 略．
(2) 略．
标注 方程与不等式 > 二元一次方程（组） > 解二元一次方程组 > 题型：巧解对称式的二元一次方
程组
二、三元一次方程组
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方程组中含有三个未知数，每个方程中含有未
定义 知数的项的次数都是1，并且方程组中一共有
两个或两个以上的方程．
三元一次方程组应先消元转化为二元一次方程
解法 三元 二元 一元
组．
多元一次方程组的核心就是消元！三元消成二元，二元再消成一元，问题就迎刃而解！除了
常规的消元法以外，系数轮换对称的方程组可以采用全部相加的办法以消元，涉及比例的方
程组可以采取设k的办法消元．
经典例题
例题3
解方程组：
(1) ．
(2) ．
答案 (1)
(2)
解析 (1) 略．
(2) 略．
标注 方程与不等式 > 二元一次方程（组） > 解二元一次方程组 > 题型：解三元一次方程组
例题4
解方程组：
(1) ．
(2) ．
答案 (1) ．
(2)
．
解析 (1) 略．
(2) 略．
标注 方程与不等式 > 二元一次方程（组） > 解二元一次方程组 > 题型：解三元一次方程组
三、一次函数与二元一次方程组
知识导航
从“数”的角度看，解这样的方程组，相当于求自变量为何值时相应的两个函数值相等，以及这个函数
值是多少．
从“形”的角度看，解这样的方程组，相当于确定两条相应直线交点的坐标．
经典例题
例题5
请回答下列问题：
(1) 二元一次方程组 的解为 ，则一次函数 与 的交点坐标
为（ ）．
A. B. C. D.
(2) 已知方程组 的解为 ，则一次函数 与 的交点
的坐标是 ．
答案 (1) A
(2)
解析 (1) ∵二元一次方程组 的解为 ，
∴一次函数 与 的交点坐标为 ，
故选 ．
(2) 方程组 的解为 ；
即 ， 同时满足方程组中的两个方程；
因此点 同时满足两个一次函数的解析式．
所以一次函数 与 的交点 的坐标是 ．
故答案为： ．
标注 函数 > 一次函数 > 一次函数与方程不等式 > 题型：一次函数与二元一次方程组
例题6
如图，已知函数 和 的图象交于点 ，则根据图象可知，关于 、 的二元一次
方程组 的解为 ．
答案
解析 由图可知：直线 和直线 的交点坐标为 ，因此方程组的解为
．
标注 函数 > 一次函数 > 一次函数与方程不等式 > 题型：一次函数与二元一次方程组
例题7
如图，在平面直角坐标系中，直线 与直线 交于点 ，则关于 、 的
方程组 的解为（ ）．
A. B. C. D.
答案 C
解析 ∵直线 与直线 交于点 ，
∴当 时， ，
∴点 的坐标为 ，
∴关于 、 的方程组 的解是 ，
故选 ．
标注 函数 > 一次函数 > 一次函数与方程不等式 > 题型：一次函数与二元一次方程组
例题8
如图， ， 分别表示两个一次函数的图象，它们相交于点 ．
(1) 求两条直线的函数关系式．
(2) 求点 的坐标．
答案 (1) 的解析式是 ， 的解析式是： ．
(2)
．
解析 (1) 设直线 的解析式是 ，已知 经过点 ， ，
可得： ，解得 ，
则函数的解析式是 ，
同理可得 的解析式是： ．
(2) 点 的坐标可看作是二元一次方程组 的解；
解得： ．
标注 函数 > 一次函数 > 一次函数与方程不等式 > 题型：一次函数与二元一次方程组
四、数学万花筒
钢铁是怎样炼成的
1904年12月22日，奥斯特洛夫斯基出生于乌克兰一个工人家庭，由于家境贫寒，他只读过3年书。
他做过食堂杂工，当过发电厂助理司炉，在劳动之余，他贪婪地阅读文艺作品。十月革命胜利后，他积
极投身于保卫苏维埃政权的斗争。
1919年加入共青团，1920年8月，他在战斗中负伤，转业到地方工作。不久，在一次与洪水斗争
中，得了伤寒和风湿症。1927年，他全身瘫痪；1928年，他双目失明。但是，他身残志不衰，他战胜
难以记述的困难，从事革命文艺创作。
奥斯特洛夫斯基的创作态度是极其严肃的。他花了整整5年时间，写成了长篇小说《钢铁是怎样炼
成的》。小说描写十月革命后第一代苏维埃青年，在布尔什维克党的领导下，为恢复国民经济，巩固无
产阶级政权，同国内外敌人及各种困难进行顽强地斗争。作者真实生动地描写了主人公保尔 柯察金一生
的光辉历程，令人信服地表明：“钢铁”——共产主义的坚强战士——正是在同阶级敌人和各种困难的
斗争中锻炼出来的。
这部小说确实不是一本“平凡”的书，它一出版，立即受到国内外广大读者的欢迎和赞扬。特别是
主人公柯察金在烈士幕前的那段读白：“生命属于人们只有一次。人的一生应当这样度过：当他回首往
事时他不致因虚度年华而悔恨，也不因碌碌无为而羞耻。这样，在临死的时候他就能够说：‘我已把自
己的整个生命和全部精力都献给了世界上壮丽的事业——为人类的解放而斗争。’”成为千百万革命青
年的座右铭，激励他们为共产主义事业献身。
五、懒人笔记
六、巩固加油站
巩固1
解方程组： ．
答案
解析 ，代入②式得 ，得 ， ，
．
标注 方程与不等式 > 二元一次方程（组） > 解二元一次方程组 > 题型：加减消元法
巩固2
解方程组： ．
答案
解析 ，代入①式得 ，解得 ， ，
．
标注 方程与不等式 > 二元一次方程（组） > 解二元一次方程组 > 题型：代入消元法
巩固3
解方程组 ．
答案 ．
解析 ①
②
① ②得 ，
③，
② ①得 ，
④，
③+④得 ，
⑤，
把⑤代入③得 ，
，
∴该方程组的的解为 ．
标注 方程与不等式 > 二元一次方程（组） > 解二元一次方程组 > 题型：加减消元法
巩固4
解方程组： ．
答案
解析 ① ②，得 ;
② ③，
得 ，
解得 ， ．
代入①式得 ，
．
标注 方程与不等式 > 二元一次方程（组） > 解二元一次方程组 > 题型：解三元一次方程组
巩固5
解方程组： ．
答案
解析 ①-②，得 ;①+③，
得 ， ， ，代入①式 ．
∴ ．
标注 方程与不等式 > 二元一次方程（组） > 解二元一次方程组 > 题型：解三元一次方程组
巩固6
解方程组： ．
答案 ．
解析 设 ，可得： ， ， ，
把 ， ， 代入 ，
可得： ，
解得： ，
所以 ， ， ，
所以方程组的解为： ．
标注 方程与不等式 > 二元一次方程（组） > 解二元一次方程组 > 题型：解三元一次方程组
巩固7
解方程组 ．
答案 ．
解析 ①
②
由②可设： ， ， ，
代入①可得：
，
∴ ．
∴ ， ， ．
∴原方程组的解为 ．
标注 方程与不等式 > 其它方程
巩固8
已知二元一次方程组 的解为 ，则在同一平面直角坐标系中，直线 ：
与直线 ： 的交点坐标为 ．
答案
解析 ∵二元一次方程组 的解为 ，
∴直线 ： 与直线 ： 的交点坐标为 ．
标注 函数 > 一次函数 > 一次函数与方程不等式 > 题型：一次函数与一元一次方程第9讲 二元一次方程组与一次函数
一、二元一次方程组
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代入消元法是解二元一次方程组的基本方法之一．“消元”体现了数学研究中转化的重
要思想，代入法不仅在解二元一次方程组中适用，也是今后解其他方程(组)经常用到的方
法．
代
用代入法解二元一次方程组的一般步骤：
入
二 ①从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程中的一个未知数，例如 ，用另一
消
元 个未知数如 的代数式表示出来，即写成 的形式；
元
一 ②把 代入另一个方程中，消去 ，得到一个关于 的一元一次方程；
法
次 ③解这个一元一次方程，求出x的值；
方 ④回代求解：把求得的 的值代入 中求出 的值，从而得出方程组的解．
程 ⑤把这个方程组的解写成 的形式．
组 加减法是消元法的一种，也是解二元一次方程组的基本方法之一．加减法不仅在解二元
的 一次方程组中适用，也是今后解其他方程(组)经常用到的方法．用加减法解二元一次方程
基 组的一般步骤：
加
本 ①变换系数：把一个方程或者两个方程的两边都乘以适当的数，使两个方程里的某一个
减
解 未知数的系数的系数互为相反数或相等；
消
法 ②加减消元：把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次
元
方程；
法
③解这个一元一次方程，求得一个未知数的值；
④回代：将求出的未知数的值代入原方程组中，求出另一个未知数的值；
⑤把这个方程组的解写成 的形式
经典例题
例题1
解方程组：
(1) ．
(2)
．
例题2
解下列方程组：
(1) ．
(2) ．
二、三元一次方程组
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方程组中含有三个未知数，每个方程中含有未
定义 知数的项的次数都是1，并且方程组中一共有
两个或两个以上的方程．
三元一次方程组应先消元转化为二元一次方程
解法 三元 二元 一元
组．
多元一次方程组的核心就是消元！三元消成二元，二元再消成一元，问题就迎刃而解！除了
常规的消元法以外，系数轮换对称的方程组可以采用全部相加的办法以消元，涉及比例的方
程组可以采取设k的办法消元．
经典例题
例题3
解方程组：
(1) ．
(2) ．
例题4
解方程组：
(1) ．
(2) ．
三、一次函数与二元一次方程组
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从“数”的角度看，解这样的方程组，相当于求自变量为何值时相应的两个函数值相等，以及这个函数
值是多少．
从“形”的角度看，解这样的方程组，相当于确定两条相应直线交点的坐标．
经典例题
例题5
请回答下列问题：
(1) 二元一次方程组 的解为 ，则一次函数 与 的交点坐标
为（ ）．
A. B. C. D.
(2) 已知方程组 的解为 ，则一次函数 与 的交点
的坐标是 ．
例题6
如图，已知函数 和 的图象交于点 ，则根据图象可知，关于 、 的二元一次
方程组 的解为 ．
例题7
如图，在平面直角坐标系中，直线 与直线 交于点 ，则关于 、 的
方程组 的解为（ ）．
A. B. C. D.
例题8
如图， ， 分别表示两个一次函数的图象，它们相交于点 ．
(1) 求两条直线的函数关系式．
(2) 求点 的坐标．
四、数学万花筒
钢铁是怎样炼成的
1904年12月22日，奥斯特洛夫斯基出生于乌克兰一个工人家庭，由于家境贫寒，他只读过3年书。
他做过食堂杂工，当过发电厂助理司炉，在劳动之余，他贪婪地阅读文艺作品。十月革命胜利后，他积
极投身于保卫苏维埃政权的斗争。
1919年加入共青团，1920年8月，他在战斗中负伤，转业到地方工作。不久，在一次与洪水斗争
中，得了伤寒和风湿症。1927年，他全身瘫痪；1928年，他双目失明。但是，他身残志不衰，他战胜
难以记述的困难，从事革命文艺创作。
奥斯特洛夫斯基的创作态度是极其严肃的。他花了整整5年时间，写成了长篇小说《钢铁是怎样炼
成的》。小说描写十月革命后第一代苏维埃青年，在布尔什维克党的领导下，为恢复国民经济，巩固无
产阶级政权，同国内外敌人及各种困难进行顽强地斗争。作者真实生动地描写了主人公保尔 柯察金一生
的光辉历程，令人信服地表明：“钢铁”——共产主义的坚强战士——正是在同阶级敌人和各种困难的
斗争中锻炼出来的。
这部小说确实不是一本“平凡”的书，它一出版，立即受到国内外广大读者的欢迎和赞扬。特别是
主人公柯察金在烈士幕前的那段读白：“生命属于人们只有一次。人的一生应当这样度过：当他回首往
事时他不致因虚度年华而悔恨，也不因碌碌无为而羞耻。这样，在临死的时候他就能够说：‘我已把自
己的整个生命和全部精力都献给了世界上壮丽的事业——为人类的解放而斗争。’”成为千百万革命青
年的座右铭，激励他们为共产主义事业献身。
五、懒人笔记
六、巩固加油站
巩固1
解方程组： ．
巩固2
解方程组： ．
巩固3
解方程组 ．
巩固4
解方程组： ．
巩固5
解方程组： ．
巩固6
解方程组： ．
巩固7
解方程组 ．
巩固8
已知二元一次方程组 的解为 ，则在同一平面直角坐标系中，直线 ：
与直线 ： 的交点坐标为 ．

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