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第10讲 一次函数与面积
一、已知解析式求面积
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定义 示例部析
已知一次函数解析式为 ，
求该直线与 轴、 轴的交点．
一次函数 的图象是一条直线，它
解：
与y轴交于点 ，与 轴交于点 ．
令 ，则 ，解得
求法：⑴与 轴交点
确定一次函数与 令 ，则 ，解得
∴与 轴交点坐标为
轴、 轴交点坐标 ∴与 轴交点坐标为：
令 ，则 ，解得
⑵与 轴交点
令 ，则 ，解得
∴与 轴交点坐标为：
∴与 轴交点坐标为：
∴该直线与 轴、 轴的交点坐标分
别为 、
求 与坐标轴围成的面积．
一次函数与面积的本质：
一次函数与面积
⑴确定 与 轴、 轴的交点
坐标 、
⑵根据交点坐标得： ，
⑶
经典例题
例题1
如图，已知一次函数图象经过点 和 ，它与 轴、 轴的交点分别为 、 两点．
(1) 求一次函数解析式．
(2) 求 、 两点坐标．
(3) 求这条直线与坐标轴围成的三角形面积是多少？
答案 (1) ．
(2) ， ．
(3) ．
解析 (1) 设一次函数表达式为 ，
∵一次函数图象经过点 和 ，
∴ ，
解得 ，
∴一次函数表达式为 ．
(2) 在 中，当 时， ；
当 时， ，
∴直线与坐标轴交于 ， ．
(3) ，
∴直线与坐标轴围成的三角形面积是 ．
标注 函数 >一次函数 >一次函数与方程不等式 >题型：一次函数与一元一次方程
例题2
如图，直线 过点 ，点 ，直线 ： 与 轴交于点 ，两直线 ， 相交于点
．
(1) 求直线 的解析式和点 的坐标．
(2) 求 的面积．
答案 (1) 的解析式为 ； ．
(2) ．
解析 (1) 设 解析式为 ，
把 ， 代入得： ，
解得： ，
∴ 的解析式为 ．
，
解得： ，
∴ ．
(2) 在直线 上令 得， ，解得： ，
∴ ，
∴ ， ．
标注 函数 >一次函数 >一次函数与几何综合 >题型：一次函数与面积
例题3
如图，直线是一次函数 的图象，点 、 在直线上，点 的横坐标为 ，点 的纵坐标为
，正比例函数 的图象经过点 ，一次函数 的图象经过点 ，且与 轴相交于点 ．
(1) 求 的值．
(2) 求点 的坐标．
(3) 求四边形 的面积．
答案 (1) ．
(2) ．
(3) ．
解析 (1) ∵点 、 在直线上，点 的横坐标为 ，点 的纵坐标为 ，
∴点 的纵坐标为 ，点 的横坐标为 ，
即点 坐标为 ，点 坐标为 ，
∵正比例函数 的图象经过点 ，
∴ ，
∴ ．
(2) ∵一次函数 的图象经过点 ，
∴ ，
∴ ，
∴一次函数的解析式为 ，
∵一次函数 的图象与 轴相交于点 ，
∴点 坐标为 ．
(3) 设直线与 轴相交于点 ，则点 坐标为 ，
可得 ， ， ，
∵点 到 轴的距离为 ，点 到 轴的距离为 ，
∴ 四边形 ．
标注 函数 >一次函数 >一次函数与方程不等式 >题型：一次函数与一元一次方程
二、已知面积求解析式
经典例题
例题4
如图，直线 与 轴相交于点 ，与 轴相交于点 ．
(1) 求 ， 两点的坐标．
(2) 过 点作直线与 轴交于点 ，若 的面积为 ，试求点 的坐标．
答案 (1) ， ．
(2) 或 ．
解析 (1) 由 得： ，即： ，
由 得： ，解得： ，即： ．
(2) 由 、 得： ， ，
∵ ，
∴ ，
解得： ，
设点 的坐标为 ，则 或
，
解得： 或 ，
∴ 点坐标为 或 ．
标注 函数 >一次函数 >一次函数与几何综合 >题型：一次函数与面积
例题5
如图所示，已知直线 与 轴、 轴分别交于点 和点 ，另一直线 经过点
，且把 分成两部分．
(1) 若 被分成的两部分面积相等，求 和 的值．
(2) 若 被分成的两部分面积比为 ，求 和 的值．
答案 (1) ， ．
(2) ， 或 ， ．
解析 (1) 由题意知：直线 必过 点，
∵ 是 的中点，
∴直线 一定经过点 ， ，如图 所示，
图
把 ， 的坐标代入可得：
，解得 ．
(2) ∵ ，
∵ 被分成的两部分面积比为 ，那么直线 与 轴或 交点的纵
坐标就应该是： ，
①当 与直线 相交时，交点为 ，如图 所示，
图
当 时，直线 与 的交点 的横坐标就应该满足
，
∴ ，
即交点 的坐标为 ，
又根据 点的坐标为 ，可得：
，解得 ．
②当 与 轴相交时，交点为 ，如图 所示，
∴交点 的坐标就应该是 ，又有 点的坐标 ，可得：
图
， ．
因此： ， 或 ， ．
标注 函数 >一次函数 >一次函数与几何综合 >题型：一次函数与面积
三、数学万花筒
一只神奇的快递猎狗
祖冲之老师除了有科学专著之外，还有一本文学专著，它的名字就叫《述异记》。祖冲之不是标题
党，这本短篇小说集，讲的真是一些奇异的传说，其画风跟祖老师一向严谨科学的作风似乎不太搭调。
然而，这确确实实是祖老师写的。这也不难理解，对科学有热情的人，同时也会对文学有着执着的一
面，严肃细致不等于不可以浪漫热情。
不知道祖老师养不养宠物，但他似乎对小动物很有爱心。在他的《述异记》里写到了一只可爱的猎
狗，狗的主人是谁呢？是晋朝大名鼎鼎的文学家陆机。陆机老师喜欢打猎，在江苏的时候，有人送给他
一只狗，叫做“黄耳”。
黄耳一点也不简单。首先，它能识人意，主人要它做什么，不用太多的提示；第二，它定位能力超
级强，有一次离家三百里，居然不用任何导航，自个儿回来了，“又尝借人三百里外，犬识路自还，一
日至家”，而且只用了一天时间，可见奔跑能力非同一般，真是一只神奇的狗狗。
终于到了考验黄耳的时候了。陆机是东吴人，他的祖上就是东吴有名的大将陆逊、陆抗，而陆机住
在京师洛阳。有一回陆老师想家了，想给家里人捎个信，然后又叫家里人也回信，这个艰巨的任务就交
给了黄耳。陆机对黄耳说了自己的意思，黄耳听懂了，“摇尾作声应之”。陆机就把信写好，放在一只
竹筒里，竹筒就系在黄耳的脖子上。黄耳就这么出发了，它能顺利完成主人交给的任务吗？
这只小狗很聪明，能够利用人类的文明成果和爱心。它白天沿着驿站走，这样就等于是拿驿站给自
己定位，饿了当然不好上饭店，于是跑到草丛里抓小动物吃。在陆地上还好说，如果碰上大江大河咋
办？黄耳这时候就扮可爱，一边耷拉着耳朵，一边对着船主人摇尾巴。船主人觉得它很可爱，于是就招
呼它上船，“其人怜爱，因呼上船”。可见，早在晋朝，社会上就广有对动物怀有爱心的人士。而黄耳
也很会搞公关，能够充分利用这些人士的爱心。
黄耳跋山涉水，终于到了主人的老家。它嘴巴里叼着竹筒，对着陆机的家里发出汪汪声，“口衔竹
筒，作声示人”。陆机家里人打开竹筒，拿到了陆机的信。看完，黄耳又对着人发声，陆机家里人明
白，又写了回信，托黄耳带回去。黄耳把回信带回到洛阳时，已经过了半个月。而人类在那个时代往返
洛阳和东吴之间，要五十天时间，“计人行五旬，而犬往还裁半月”。
黄耳死后，陆机还舍不得，就把它葬在老家的村南，离陆机的家两百步，还特意“聚土为坟”，村
里人都叫这座坟冢为“黄耳冢”。
四、懒人笔记
五、巩固加油站
巩固1
一次函数 的图象如图，图象与 轴交于点 ，与 轴交于点 ．
(1) 求 、 两点坐标．
(2) 求图象与坐标轴所围成的三角形的面积是多少．
答案 (1) 点 的坐标为 ；
点 的坐标为 ．
(2) ．
解析 (1) 对于 ，
令 ，得 ，
∴ ；
∴一次函数 的图象与 轴的交点 的坐标为 ，
令 ，得 ，
∴一次函数 的图象与 轴的交点 的坐标为 ．
(2) ，
∴图象与坐标轴所围成的三角形的面积是 ．
标注 函数 >一次函数 >一次函数与几何综合 >题型：一次函数与面积
巩固2
如图，在平面直角坐标系中，直线 与 轴交于点 ，直线 与 轴交于点 ，与直
线 交于点 ．
y
x
(1) 求 、 的值．
(2) 求 的面积．
答案 (1) 的值为 ， 的值为 ．
(2) ．
解析 (1) 当 时， ，
∴点 的坐标为 ， ．
∵点 ， 在直线 上，
∴ ，解得： ．
∴ 的值为 ， 的值为 ．
(2) 当 时， ，
∴点 的坐标为 ， ；
当 时， ，
∴点 的坐标为 ， ，
∴ ，
∴ ．
标注 函数 >一次函数 >一次函数与几何综合 >题型：一次函数与面积
巩固3
如图，一次函数 的图象与 轴交于 ，另一个一次函数图象与 轴交于 ，两条直线交于
， 点的纵坐标是 ，且 ，求另一条直线的解析式.
答案 或
解析 一次函数 的图象与 轴交于
∴
∵两条直线交于 ， 点的纵坐标是
∴
设另一个函数解析式为
∴
∵
∴ ， 或
则 或
∴另一直线解析式为 或
标注 函数 >一次函数 >一次函数的解析式 >题型：已知面积求一次函数解析式
巩固4
已知直线 与 轴、 轴分别交于点 、 ，另一直线 ，经过点 ，且把
分成两部分，若 被分成的两部分面积比为 ，求 和 的值．
答案 ， 或者 ，
解析 令 ，则 ，
解得 ，
所以， ，
令 ，则 ，
所以， ，
所以，点 的坐标为 ．
∵ 被分成的两部分面积比为 ，
∴ 或 ，
当 时，点 的坐标为 ，
将 、 的坐标代入 得， ，
解得 ．
所以 ．
当 时，点 的坐标为 ，
将 、 的坐标代入 得， ，
解得 ．
所以 ，
综上所述， 和 的值分别为 和 或 和 ．
标注 函数 >一次函数 >一次函数与几何综合 >题型：一次函数与面积第10讲 一次函数与面积
一、已知解析式求面积
知识导航
定义 示例部析
已知一次函数解析式为 ，
求该直线与 轴、 轴的交点．
一次函数 的图象是一条直线，它
解：
与y轴交于点 ，与 轴交于点 ．
令 ，则 ，解得
求法：⑴与 轴交点
确定一次函数与 令 ，则 ，解得
∴与 轴交点坐标为
轴、 轴交点坐标 ∴与 轴交点坐标为：
令 ，则 ，解得
⑵与 轴交点
令 ，则 ，解得
∴与 轴交点坐标为：
∴与 轴交点坐标为：
∴该直线与 轴、 轴的交点坐标分
别为 、
求 与坐标轴围成的面积．
一次函数与面积的本质：
一次函数与面积
⑴确定 与 轴、 轴的交点
坐标 、
⑵根据交点坐标得： ，
⑶
经典例题
例题1
如图，已知一次函数图象经过点 和 ，它与 轴、 轴的交点分别为 、 两点．
(1) 求一次函数解析式．
(2) 求 、 两点坐标．
(3) 求这条直线与坐标轴围成的三角形面积是多少？
例题2
如图，直线 过点 ，点 ，直线 ： 与 轴交于点 ，两直线 ， 相交于点
．
(1) 求直线 的解析式和点 的坐标．
(2) 求 的面积．
例题3
如图，直线是一次函数 的图象，点 、 在直线上，点 的横坐标为 ，点 的纵坐标为
，正比例函数 的图象经过点 ，一次函数 的图象经过点 ，且与 轴相交于点 ．
(1) 求 的值．
(2) 求点 的坐标．
(3) 求四边形 的面积．
二、已知面积求解析式
经典例题
例题4
如图，直线 与 轴相交于点 ，与 轴相交于点 ．
(1) 求 ， 两点的坐标．
(2) 过 点作直线与 轴交于点 ，若 的面积为 ，试求点 的坐标．
例题5
如图所示，已知直线 与 轴、 轴分别交于点 和点 ，另一直线 经过点
，且把 分成两部分．
(1) 若 被分成的两部分面积相等，求 和 的值．
(2) 若 被分成的两部分面积比为 ，求 和 的值．
三、数学万花筒
一只神奇的快递猎狗
祖冲之老师除了有科学专著之外，还有一本文学专著，它的名字就叫《述异记》。祖冲之不是标题
党，这本短篇小说集，讲的真是一些奇异的传说，其画风跟祖老师一向严谨科学的作风似乎不太搭调。
然而，这确确实实是祖老师写的。这也不难理解，对科学有热情的人，同时也会对文学有着执着的一
面，严肃细致不等于不可以浪漫热情。
不知道祖老师养不养宠物，但他似乎对小动物很有爱心。在他的《述异记》里写到了一只可爱的猎
狗，狗的主人是谁呢？是晋朝大名鼎鼎的文学家陆机。陆机老师喜欢打猎，在江苏的时候，有人送给他
一只狗，叫做“黄耳”。
黄耳一点也不简单。首先，它能识人意，主人要它做什么，不用太多的提示；第二，它定位能力超
级强，有一次离家三百里，居然不用任何导航，自个儿回来了，“又尝借人三百里外，犬识路自还，一
日至家”，而且只用了一天时间，可见奔跑能力非同一般，真是一只神奇的狗狗。
终于到了考验黄耳的时候了。陆机是东吴人，他的祖上就是东吴有名的大将陆逊、陆抗，而陆机住
在京师洛阳。有一回陆老师想家了，想给家里人捎个信，然后又叫家里人也回信，这个艰巨的任务就交
给了黄耳。陆机对黄耳说了自己的意思，黄耳听懂了，“摇尾作声应之”。陆机就把信写好，放在一只
竹筒里，竹筒就系在黄耳的脖子上。黄耳就这么出发了，它能顺利完成主人交给的任务吗？
这只小狗很聪明，能够利用人类的文明成果和爱心。它白天沿着驿站走，这样就等于是拿驿站给自
己定位，饿了当然不好上饭店，于是跑到草丛里抓小动物吃。在陆地上还好说，如果碰上大江大河咋
办？黄耳这时候就扮可爱，一边耷拉着耳朵，一边对着船主人摇尾巴。船主人觉得它很可爱，于是就招
呼它上船，“其人怜爱，因呼上船”。可见，早在晋朝，社会上就广有对动物怀有爱心的人士。而黄耳
也很会搞公关，能够充分利用这些人士的爱心。
黄耳跋山涉水，终于到了主人的老家。它嘴巴里叼着竹筒，对着陆机的家里发出汪汪声，“口衔竹
筒，作声示人”。陆机家里人打开竹筒，拿到了陆机的信。看完，黄耳又对着人发声，陆机家里人明
白，又写了回信，托黄耳带回去。黄耳把回信带回到洛阳时，已经过了半个月。而人类在那个时代往返
洛阳和东吴之间，要五十天时间，“计人行五旬，而犬往还裁半月”。
黄耳死后，陆机还舍不得，就把它葬在老家的村南，离陆机的家两百步，还特意“聚土为坟”，村
里人都叫这座坟冢为“黄耳冢”。
四、懒人笔记
五、巩固加油站
巩固1
一次函数 的图象如图，图象与 轴交于点 ，与 轴交于点 ．
(1) 求 、 两点坐标．
(2) 求图象与坐标轴所围成的三角形的面积是多少．
巩固2
如图，在平面直角坐标系中，直线 与 轴交于点 ，直线 与 轴交于点 ，与直
线 交于点 ．
y
x
(1) 求 、 的值．
(2) 求 的面积．
巩固3
如图，一次函数 的图象与 轴交于 ，另一个一次函数图象与 轴交于 ，两条直线交于
， 点的纵坐标是 ，且 ，求另一条直线的解析式.
巩固4
已知直线 与 轴、 轴分别交于点 、 ，另一直线 ，经过点 ，且把
分成两部分，若 被分成的两部分面积比为 ，求 和 的值．

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