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第1讲 实数初步
一、平方根的定义和性质
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定义 示例剖析
⑴概念：如果一个数的平方等于 ，那么这个数叫做 的平方根．
， ，则 和
即若 ，则 就叫做 的平方根．
平方根 是 的平方根
⑵表示：一个非负数 的平方根可用符号表示为“ ”，读作“正、
的平方根为
负根号 ”
总结：一个正数有两个平方根，且互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根．
⑴概念：一般地，如果一个正数 的平方等于 ，即 ，那么这
个正数 叫做 的算术平方根． ，则 是 的算术平方
算术平
规定： 的算术平方根为 . 根
方根
⑵表示：一个非负数 的算术平方根可用符号表示为“ ”． 的算术平方根为
⑶性质：在式子 中， 且 ．
总结：一个正数有一个算术平方根；零的算术平方根是零；负数没有算术平方根．
平方根
求一个数的平方根的运算，叫做开平方(开方)，平方运算和开方运算互为逆运算．
的计算
易错点：
1、注意区分“×是×的平方根”与“×的平方根是×”．
2、注意求算术平方根的平方根，应该先求出算术平方根再算它的平方根．
经典例题
例题1
1 求下列各数的平方根与算术平方根：
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
2 求下列各式的值：
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
例题2
1 下列说法中正确的有（ ）个．
① 的平方根是 ；② 一定是正数；
③ 的算术平方根是 ；④ 的平方根是 ；⑤ 是 的平方根．
A. B. C. D.
2 下列说法中错误的有几个（ ）
① ；②若 ,则 ；③若两个数平方后相等，则这两个数也一定相等；
④如果两个非负数相等，那么这两个数各自的算术平方根也一定相等；⑤算术平方根一定是正
数．
A. B. C. D.
3 一个正数的两个相异的平方根是 和 ，则 .
例题3
求下列各式中 的值：
(1)
(2)
(3)
二、立方根的定义和性质
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定义 示例剖析
⑴概念：如果一个数的立方等于 ，则这个数叫做
，则 是 的立方根； ，
的立方根，即若 ，则 就叫做 的立方根．
则 是 的立方根； 的立方根为
立方根 ⑵表示：一个数 的立方根可用符号表示为 ，读
的平方根为
作“三次根号 ”．
；
⑶计算： ； ；
总结：任何一个数都有立方根，且只有一个立方根．
正数的立方根为正数，负数的立方根为负数， 的立方根为 .
立方根
求一个数的立方根的运算，叫做开立方，开立方与立方是互逆运算．
的计算
经典例题
例题4
1 求下列各数的立方根：
(1) ．
(2) ．
(3) ．
(4) ．
(5) ．
(6) ．
(7) ．
2 计算下列各式的值：
(1) ．
(2) ．
(3) ．
(4) ．
(5) ．
三、实数
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定义 示例剖析
无理数 无限不循环小数叫无理数． ， ，
实数 有理数和无理数统称实数 ，
实数与 实数与数轴上的点一一对应，即每一个实
数轴的 数都可以用数轴上的一个点来表示；反过
关系 来，数轴上的每一个点都表示一个实数．
数轴上 点即为表示的 点
分类
正整数
整数
有理数 负整数 有限小数与无限循环小数
实数 正分数
分数
负分数
正无理数
无理数 无限不循环小数
负无理数
实数 在整数 之间，则整数部分为
整数部分：直接取与其最接近的两个整数 ，小数部分为
实数的
中最小的整数． 实数 在整数 之间，则整数部
整数部
表示 的整数部分，如： 分为 ,
分与小
小数部分：小数部分=原数﹣整数部分． 小数部分为
数部分
表示 的小数部分，如： 实数 在整数 之间，
则整数部分为 ，小数部分为
经典例题
例题5
解方程：
(1) ．
(2) ．
例题6
1 下列说法正确的个数为（ ）．
①无理数都是实数
②实数都是无理数
③无限小数都是无理数
④带根号的数都是无理数
⑤没有绝对值最小的实数
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
2 在 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 中无理数有
个．
例题7
如图， ，数轴上点 对应的数是什么？你能在数轴上找到 对应的点吗？与同伴进行交
流．
例题8
1 如图，在数轴上点 和点 之间表示整数的点共有 个．
2 如果 的小数部分为 ， 的整数部分为 ，则 的值为 ．
3 已知 的小数部分为 ， 的小数部分为 ，求 的值．
4 已知 ，其中 是整数，且 ，求 的相反数．
四、数学万花筒
无理数的诞生
在数学课上我们习得，实数包括有理数和无理数，在日常生活中，接触到的多为有理数，有理数极
多，密密麻麻地排布在数轴上，即便如此，无理数还见缝插针地往里塞。那么问题来了，聪明的古人是
怎么发现无理数存在的呢？
说起无理数的发现，这和勾股定理有着莫大的关系。我们都知道，在直角三角形中，直角边a、b和
斜边c满足：，其中蕴含着平方和开方运算，这样必然会出现对整数开方不尽的情况，约在4000多年以
前，美索不达米亚人在计算边长为1的正方形的对角线长时，发现了无理数的存在，虽然没有给出严格定
义，但擅长计算的他们采用递归法找到了一个无限接近的有理数，人们在楔形文字泥板中精确到小数点
后1000000位。
大家还记得大数学家毕达哥拉斯吧？发现无理数的人，是他的弟子——希帕索斯。也是在求正方形
的对角线时，希帕索斯发起了愁，这到底是个什么数？根据老师所讲“万数皆数”“1是所有数的生成元”“宇
宙的一切都归结于整数和整数之比”，既然能用合适的整数来表示对角线，那么，能否用两个整数比来描
述呢？希帕索斯花了很长时间，仍是一无所获。
接下来，希帕索斯利用毕达哥拉斯学派常用的方法——反证法，证明出了这个数字无法表示为两个
整数之比：假设数为a=q/p，假设q、p是化为最简分数比后的整数，即q、p互素，根据勾股定理，
12+22=a2=(q/p)2，化简为2p2=q2，从这个算式可以看出，q2是偶数，那么q也是偶数，q、p互素，所以p
肯定是奇数。
五、懒人笔记
六、巩固加油站
巩固1
求下列各数的平方根、算术平方根．
平方根
算术平方
根
巩固2
下列说法正确的是（ ）．
A. 是 的平方根 B. 是 的算术平方根
C. 的平方根是 D. 是 的一个平方根
巩固3
已知 的平方根是 ， 的算数平方根是 ，求 的值．
巩固4
求下列各数的立方根．
立方根
巩固5
下列各式中，正确的是（ ）．
A. B. C. D.
巩固6
在 ， ， ， ， 中，无理数有（ ）个．
A. B. C. D.
巩固7
平方根等于本身的数是 ，算术平方根等于它本身的数是 ，立方根等于它本身的数
是 ，平方根与立方根相等的数是 ．
巩固8
下列关于立方根的说法错误的是（ ）．
A. 互为相反数的两个数的立方根互为相反数 B. 互为倒数的两个数字的立方根互为倒数
C. 任意一个数均有且只有一个立方根 D. 立方根是本身的数是 和
巩固9
在数轴上作出 对应的点．
巩固10
如果需要用整数估计 的值，下面估值正确的是（ ）．
A. B.
C. D. 无法估计它的值的范围
巩固11
我们都知道 的整数部分是 ，那么它的小数部分就是它与 的差．那么，已知 的小数部分
是 ， 的小数部分是 ，求 的平方根．第1讲 实数初步
一、平方根的定义和性质
知识导航
定义 示例剖析
⑴概念：如果一个数的平方等于 ，那么这个数叫做 的平方根．
， ，则 和
即若 ，则 就叫做 的平方根．
平方根 是 的平方根
⑵表示：一个非负数 的平方根可用符号表示为“ ”，读作“正、
的平方根为
负根号 ”
总结：一个正数有两个平方根，且互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根．
⑴概念：一般地，如果一个正数 的平方等于 ，即 ，那么这
个正数 叫做 的算术平方根． ，则 是 的算术平方
算术平
规定： 的算术平方根为 . 根
方根
⑵表示：一个非负数 的算术平方根可用符号表示为“ ”． 的算术平方根为
⑶性质：在式子 中， 且 ．
总结：一个正数有一个算术平方根；零的算术平方根是零；负数没有算术平方根．
平方根
求一个数的平方根的运算，叫做开平方(开方)，平方运算和开方运算互为逆运算．
的计算
易错点：
1、注意区分“×是×的平方根”与“×的平方根是×”．
2、注意求算术平方根的平方根，应该先求出算术平方根再算它的平方根．
经典例题
例题1
1 求下列各数的平方根与算术平方根：
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
答案 (1) 和
(2) 和
(3) 和
(4) 和
(5) 和
解析 (1) ，
．
(2) ， ．
(3) 的平方根为 ，算术平方根为 ．
(4) ， ．
(5) ∴ ，∴ 的平方根为 ，算术平方根为 ．
标注 数 >实数 >平方根和立方根 >题型：求一个数的算术平方根
2 求下列各式的值：
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
答案 (1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
解析 (1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
标注 数 >实数 >平方根和立方根 >题型：求一个数的算数平方根
例题2
1 下列说法中正确的有（ ）个．
① 的平方根是 ；② 一定是正数；
③ 的算术平方根是 ；④ 的平方根是 ；⑤ 是 的平方根．
A. B. C. D.
答案 A
解析 ①错，应该是 ；②错，还有 ；③错，应是 ；
④错，应是 ；⑤正确， 是 的平方根．
故选 ．
标注 数 >实数 >平方根和立方根 >题型：求一个数的算数平方根
2 下列说法中错误的有几个（ ）
① ；②若 ,则 ；③若两个数平方后相等，则这两个数也一定相等；
④如果两个非负数相等，那么这两个数各自的算术平方根也一定相等；⑤算术平方根一定是正
数．
A. B. C. D.
答案 C
解析 ①错，应是 ，
②对，
③错，互为相反数的两个数的平方相等，
④对，
⑤错，还有 ．
标注 数 >实数 >平方根和立方根 >题型：算术平方根的双重非负性
3 一个正数的两个相异的平方根是 和 ，则 .
答案
解析 由题意可知 ．
标注 数 >实数 >平方根和立方根 >题型：由平方根求参数的值
例题3
求下列各式中 的值：
(1)
(2)
(3)
答案 (1)
(2)
(3) ，
解析 (1) ，
(2) 解得 ，
(3) 解得 ，故 或 ， ，
标注 数 >实数 >平方根和立方根 >题型：利用平方根解方程
二、立方根的定义和性质
知识导航
定义 示例剖析
⑴概念：如果一个数的立方等于 ，则这个数叫做
，则 是 的立方根； ，
的立方根，即若 ，则 就叫做 的立方根．
则 是 的立方根； 的立方根为
立方根 ⑵表示：一个数 的立方根可用符号表示为 ，读
的平方根为
作“三次根号 ”．
；
⑶计算： ； ；
总结：任何一个数都有立方根，且只有一个立方根．
正数的立方根为正数，负数的立方根为负数， 的立方根为 .
立方根
求一个数的立方根的运算，叫做开立方，开立方与立方是互逆运算．
的计算
经典例题
例题4
1 求下列各数的立方根：
(1) ．
(2) ．
(3) ．
(4) ．
(5) ．
(6) ．
(7) ．
答案 (1) ．
(2) ．
(3) ．
(4) ．
(5) ．
(6) ．
(7) ．
解析 (1) 【具体流程为：请使用解析的教研员，联系总部教研并提供 ，由总部教研员在教研
平台对此题纠错，并附解析．】
(2) 【具体流程为：请使用解析的教研员，联系总部教研并提供 ，由总部教研员在教研
平台对此题纠错，并附解析．】
(3) 【具体流程为：请使用解析的教研员，联系总部教研并提供 ，由总部教研员在教研
平台对此题纠错，并附解析．】
(4) 【具体流程为：请使用解析的教研员，联系总部教研并提供 ，由总部教研员在教研
平台对此题纠错，并附解析．】
(5) 【具体流程为：请使用解析的教研员，联系总部教研并提供 ，由总部教研员在教研
平台对此题纠错，并附解析．】
(6) 【具体流程为：请使用解析的教研员，联系总部教研并提供 ，由总部教研员在教研
平台对此题纠错，并附解析．】
(7) 【具体流程为：请使用解析的教研员，联系总部教研并提供 ，由总部教研员在教研
平台对此题纠错，并附解析．】
标注 数 >实数 >平方根和立方根 >题型：求一个数的立方根
2 计算下列各式的值：
(1) ．
(2) ．
(3) ．
(4) ．
(5) ．
答案 (1) ．
(2) ．
(3) ．
(4) ．
(5) ．
解析 (1) 略．
(2) 略．
(3) 略．
(4) 略．
(5) 略．
标注 式 >二次根式 >二次根式化简求值 >题型：二次根式直接化简求值
三、实数
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定义 示例剖析
无理数 无限不循环小数叫无理数． ， ，
实数 有理数和无理数统称实数 ，
实数与 实数与数轴上的点一一对应，即每一个实
数轴的 数都可以用数轴上的一个点来表示；反过
关系 来，数轴上的每一个点都表示一个实数．
数轴上 点即为表示的 点
正整数
整数
有理数 负整数 有限小数与无限循环小数
分类 实数 正分数
分数
负分数
正无理数
无理数 无限不循环小数
负无理数
实数 在整数 之间，则整数部分为
整数部分：直接取与其最接近的两个整数 ，小数部分为
实数的
中最小的整数． 实数 在整数 之间，则整数部
整数部
表示 的整数部分，如： 分为 ,
分与小
小数部分：小数部分=原数﹣整数部分． 小数部分为
数部分
表示 的小数部分，如： 实数 在整数 之间，
则整数部分为 ，小数部分为
经典例题
例题5
解方程：
(1) ．
(2) ．
答案 (1) ．
(2) ．
解析 (1) 解得 ， ．
(2) 解得 ， ，故 ．
标注 数 >实数 >平方根和立方根 >题型：利用立方根解方程
例题6
1 下列说法正确的个数为（ ）．
①无理数都是实数
②实数都是无理数
③无限小数都是无理数
④带根号的数都是无理数
⑤没有绝对值最小的实数
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
答案 A
解析 略
标注 数 >实数
2 在 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 中无理数有
个．
答案
解析 ， ， ， ， 为无理数．
标注 数 >实数 >无理数有关的计算 >题型：无理数的定义
例题7
如图， ，数轴上点 对应的数是什么？你能在数轴上找到 对应的点吗？与同伴进行交
流．
答案 数轴上点 对应的数是： ；如图点 ．
解析 由勾股定理，得 ，
由圆的半径相等，得 ．
数轴上点 对应的数是： ．
如图
由勾股定理，得 ，
由圆的半径相等，得 ．
数轴上点 对应的数是 ．
标注 三角形 >勾股定理 >勾股定理基础 >题型：勾股定理表示无理数
例题8
1 如图，在数轴上点 和点 之间表示整数的点共有 个．
答案
解析 ∵ ， ，
∴在数轴上， ， 两点之间表示整数的点有 ， ， ， 一共 个．
标注 数 >实数 >实数概念以及运算 >实数的比较大小
2 如果 的小数部分为 ， 的整数部分为 ，则 的值为 ．
答案
解析 原式=
标注 式 >二次根式 >二次根式化简求值 >题型：根式的整数、小数部分
3 已知 的小数部分为 ， 的小数部分为 ，求 的值．
答案
解析 原式= ．
标注 式 >二次根式 >二次根式化简求值 >题型：根式的整数、小数部分
4 已知 ，其中 是整数，且 ，求 的相反数．
答案
解析 原式=
标注 式 >整式加减 >整式加减化简求值 >题型：整体代入化简求值
四、数学万花筒
无理数的诞生
在数学课上我们习得，实数包括有理数和无理数，在日常生活中，接触到的多为有理数，有理数极
多，密密麻麻地排布在数轴上，即便如此，无理数还见缝插针地往里塞。那么问题来了，聪明的古人是
怎么发现无理数存在的呢？
说起无理数的发现，这和勾股定理有着莫大的关系。我们都知道，在直角三角形中，直角边a、b和
斜边c满足：，其中蕴含着平方和开方运算，这样必然会出现对整数开方不尽的情况，约在4000多年以
前，美索不达米亚人在计算边长为1的正方形的对角线长时，发现了无理数的存在，虽然没有给出严格定
义，但擅长计算的他们采用递归法找到了一个无限接近的有理数，人们在楔形文字泥板中精确到小数点
后1000000位。
大家还记得大数学家毕达哥拉斯吧？发现无理数的人，是他的弟子——希帕索斯。也是在求正方形
的对角线时，希帕索斯发起了愁，这到底是个什么数？根据老师所讲“万数皆数”“1是所有数的生成元”“宇
宙的一切都归结于整数和整数之比”，既然能用合适的整数来表示对角线，那么，能否用两个整数比来描
述呢？希帕索斯花了很长时间，仍是一无所获。
接下来，希帕索斯利用毕达哥拉斯学派常用的方法——反证法，证明出了这个数字无法表示为两个
整数之比：假设数为a=q/p，假设q、p是化为最简分数比后的整数，即q、p互素，根据勾股定理，
12+22=a2=(q/p)2，化简为2p2=q2，从这个算式可以看出，q2是偶数，那么q也是偶数，q、p互素，所以p
肯定是奇数。
五、懒人笔记
六、巩固加油站
巩固1
求下列各数的平方根、算术平方根．
平方根
算术平方
根
答案
平方根
算术平
方根
解析
平方根
算术平
方根
标注 数 >实数 >平方根和立方根 >题型：求一个数的平方根
巩固2
下列说法正确的是（ ）．
A. 是 的平方根 B. 是 的算术平方根
C. 的平方根是 D. 是 的一个平方根
答案 D
解析 是 的平方根，故 、 错误；
的平方根是 ，故 错误；
是 的一个平方根正确．
故选 ．
标注 数 >实数 >平方根和立方根 >题型：平方根和立方根综合
巩固3
已知 的平方根是 ， 的算数平方根是 ，求 的值．
答案 ．
解析 ∵ 的平方根是 ，
∴ ，
∴ ，
∵ 的算数平方根是 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
标注 数 >实数 >平方根和立方根 >题型：平方根和立方根综合
巩固4
求下列各数的立方根．
立方根
答案
立方根
解析
立方根
标注 数 >实数 >平方根和立方根 >题型：求一个数的立方根
巩固5
下列各式中，正确的是（ ）．
A. B. C. D.
答案 C
解析 ． ，
． ，
． ．
标注 数 >实数 >平方根和立方根 >题型：求一个数的立方根
巩固6
在 ， ， ， ， 中，无理数有（ ）个．
A. B. C. D.
答案 B
解析 无理数有 ， ，共 个其余皆为有理数．
标注 数 >实数 >无理数有关的计算 >题型：无理数的定义
巩固7
平方根等于本身的数是 ，算术平方根等于它本身的数是 ，立方根等于它本身的数
是 ，平方根与立方根相等的数是 ．
答案 1．
2． ，
3． ，
4．
解析 略
标注 数 >实数 >平方根和立方根 >题型：平方根和立方根综合
巩固8
下列关于立方根的说法错误的是（ ）．
A. 互为相反数的两个数的立方根互为相反数 B. 互为倒数的两个数字的立方根互为倒数
C. 任意一个数均有且只有一个立方根 D. 立方根是本身的数是 和
答案 D
解析 立方根是本身的数可为 ， ， 三个，故 说法错误，故选 ．
标注 数 >实数 >平方根和立方根 >题型：求一个数的立方根
巩固9
在数轴上作出 对应的点．
答案
解析
标注 数 >实数 >实数基础概念 >题型：实数与数轴
巩固10
如果需要用整数估计 的值，下面估值正确的是（ ）．
A. B.
C. D. 无法估计它的值的范围
答案 C
解析 由 ， ；
；
故 ．
标注 数 >实数 >无理数有关的计算 >题型：无理数的估算
巩固11
我们都知道 的整数部分是 ，那么它的小数部分就是它与 的差．那么，已知 的小数部分
是 ， 的小数部分是 ，求 的平方根．
答案 ．
解析 ， ，∴ ，平方根是 ．
标注 数 >实数 >平方根和立方根 >平方根

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