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第2讲 实数的化简与计算
一、二次根式的化简
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定义 示例剖析
一般地，形如 的式子叫做二次根式， 叫做被开方 ， ， ，
二次根式
数．
⑴
①
二次根式的性 ⑵ ② ，
质 ③⑶
④
⑷
⑴被开方数不含分母； ， ， 均为最简二次根
最简二次根式
⑵被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 式
经典例题
例题1
1 判断下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式： 、 、 、 、 、 、 、
、 （ ， ）．
2 解答下列各题：
(1) 计算：
； ； ； ．
(2) 解答下列各题：
1 若 ， ．
2 ．
例题2
1 下列根式中，最简二次根式是（ ）.
A. B.
C. D.
2 若二次根式 是最简二次根式，则最小的正整数 ．
3 化简下列二次根式：
(1) ① ；② ；③ ；④ ；⑤ ．
(2) ① ；② ；③ ；④ ；⑤ ．
(3) ① ；② ；③ ；④ ；⑤ ．
二、二次根式的计算
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定义 示例剖析
同类二次根 与 是同类二次
被开方数相同的最简二次根式叫做同类二次根式．
式 根式
二次根式 合并同类二次根式
加、减法法
则
二次根式
乘、除法法
则
【注意】二次根式的计算结果除了要求最简二次根式还要求根号前没有带分数．
实数和有理数一样，可以进行加、减、乘、除、乘方计算，而且
实数的运算
有理数的运算法则与运算律对实数仍然适用．
经典例题
例题3
1 下列二次根式中，是同类二次根式的是（ ）．
A. 与
B. 与
C. 与
D. 与
2 最简二次根式 与 是同类二次根式，则 ．
例题4
计算：
(1)
(2)
(3)
例题5
计算：
(1) ．
(2) ．
(3) ．
例题6
计算：
(1) ．
(2) ．
例题7
1 计算： ．
2 计算： ．
三、分母有理化
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定义 示例剖析
如果两个含有二次根式的非零
有理化 代数式相乘，它们的积不含有 的有理化因式是 ，
因式 二次根式，就说这两个非零代 的有理化因式是 ．
数式互为有理化因式．
分母有 通过适当的运算，把分母变为
理化 有理数的过程．
经典例题
例题8
将下列二次根式分母有理化：
(1) ．
(2) ．
(3) ．
(4) ．
(5) ．
四、数学万花筒
数学素养改变生活
如果q是偶数，则可以表示为q=2b(b是自然数)，带入2p2=q2中，得p2=2b2，那么，p2是偶数，p也
一定是偶数，与上段结论矛盾。于是，不能表示成两个整数之比，那么，这到底是什么呢？除了整数和
整数比(即分数)外，世上还有别的数吗？带着疑问，希帕索斯找到了老师毕达哥拉斯，谁知，看到推翻
了“万物皆数”的观点后，毕达哥拉斯没有“江山代有才人出“的自豪，反而非常惊慌，担心学生的发现会动
摇学派的根基，便将希帕索斯囚禁起来，最终残忍地将他丢进大海，这是数学史上的一个悲剧。
俗话说，没有不透风的墙，秘密并没有被隐藏很久，人们最终还是知道了这些数的存在。15世纪
时，著名画家达·芬奇称之为”无理的数“。17世纪时，德国天文学家开普勒称之为”不可名状的数“，毕达
哥拉斯学派的”无理“之举，夺去了希帕索斯的生命，为了纪念这位为真理献身的学者，人们把这种”不可
公度比“的数称为 “无理数”，而像这种记法，最开始是由数学家笛卡尔提出的，沿用至今。
五、懒人笔记
六、巩固加油站
巩固1
① ；② ；③ ；④ ；⑤ ；⑥ ；⑦ ．其中是二
次根式的有（ ）
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
巩固2
下列式子的错误的是（ ）．
A. B.
C. D.
巩固3
有一个数值转换器（如图所示），原理如下：当输入的 为 时，输出的 是 ．
是无理数
输入 取算术平方根 输出
是有理数
巩固4
计算：
巩固5
如果最简根式 与 是同类二次根式，求 的值．
巩固6
化简：
(1)
(2)
(3)
(4)
巩固7
计算： ．
巩固8
计算： ．
巩固9
计算： ．
巩固10
计算： ．
巩固11
化简下列各式：
(1)
(2)
巩固12
实践与探索
填空：
(1) ． ． ． ．
(2) 观察第（ ）题的计算结果回答： 一定等于 吗？ （填“一定”或“不一定”）
请把你观察到的规律归纳出来： ．
(3) 利用你总结的规律计算： ，其中 ．
巩固13
在进行二次根式去处时，我们有时会碰上如 ， ， 一样的式子，其实我们还可以将
其进一步华简：
；（一）
；（二）
；（三）
以上这种华简步骤叫做分母有理化．
还可以用以下方法化简：
；（四）
请用不同的方法化简 ．
(1) 参照（三）式方法化简过程为： ．
(2) 参照（四）式方法化简过程为： ．第2讲 实数的化简与计算
一、二次根式的化简
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定义 示例剖析
一般地，形如 的式子叫做二次根式， 叫做被开方 ， ， ，
二次根式
数．
⑴
①
二次根式的性 ⑵ ② ，
质 ③⑶
④
⑷
⑴被开方数不含分母； ， ， 均为最简二次根
最简二次根式
⑵被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 式
经典例题
例题1
1 判断下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式： 、 、 、 、 、 、 、
、 （ ， ）．
答案 二次根式有： 、 、 、 、 （ ， ）；不是二次根式的有： 、
、 、 ．
解析 二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号“ ”；第二，被开方数是正数或 ．
标注 式 >二次根式 >二次根式的基础 >题型：二次根式有意义的条件
2 解答下列各题：
(1) 计算：
； ； ； ．
(2) 解答下列各题：
1 若 ， ．
2 ．
答案 (1) 1．
2．
3．
4．
(2) 1
2
解析 (1) 略．
(2) 1 略．
2 略．
标注 式 >二次根式 >二次根式化简求值 >题型：二次根式直接化简求值
例题2
1 下列根式中，最简二次根式是（ ）.
A. B.
C. D.
答案 D
解析 ． ，不是最简二次根式，故本选项错误；
． 中被开方数中有分母，不是最简二次根式，故本选项错误；
． 中被开方数中有分母，不是最简二次根式，故本选项错误；
．是最简二次根式，故本选项正确．
标注 式 >二次根式 >二次根式的基础 >题型：最简二次根根式
2 若二次根式 是最简二次根式，则最小的正整数 ．
答案
解析 由题 ，则
可取 ， ，
时，原式 不是最简二次根式
时，原式 满足，
则最小的正整数 ．
标注 式 >二次根式 >二次根式的基础 >题型：最简二次根根式
3 化简下列二次根式：
(1) ① ；② ；③ ；④ ；⑤ ．
(2) ① ；② ；③ ；④ ；⑤ ．
(3) ① ；② ；③ ；④ ；⑤ ．
答案 (1) ① ；② ；③ ；④ ；⑤ ．
(2) ① ；② ；③ ；④ ；⑤ ．
(3) ① ；② ；③ ；④ ；⑤ ．
解析 (1) ① ；② ；③ ；④ ；⑤ ．
(2) ① ；② ；③ ；④ ；⑤ ．
(3) ① ；② ；③ ；④ ；⑤ ．
标注 式 >二次根式 >二次根式化简求值 >题型：二次根式的化简求值
二、二次根式的计算
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定义 示例剖析
同类二次根 与 是同类二次
被开方数相同的最简二次根式叫做同类二次根式．
式 根式
二次根式 合并同类二次根式
加、减法法
则
二次根式
乘、除法法
则
【注意】二次根式的计算结果除了要求最简二次根式还要求根号前没有带分数．
实数和有理数一样，可以进行加、减、乘、除、乘方计算，而且
实数的运算
有理数的运算法则与运算律对实数仍然适用．
经典例题
例题3
1 下列二次根式中，是同类二次根式的是（ ）．
A. 与
B. 与
C. 与
D. 与
答案 A
解析 ： ， ，被开方数相同，故是同类二次根式．
： 与 被开方数不同，故不是同类二次根式；
： 与 的被开方数不同，故不是同类二次根式；
： ， ， 与 被开方数不同，故不是同类二次根式．
标注 式 >二次根式 >二次根式的基础 >题型：同类二次根式
2 最简二次根式 与 是同类二次根式，则 ．
答案
解析 ∵是同类二次根式，
∴
．
标注 式 >二次根式 >二次根式的基础 >题型：同类二次根式
例题4
计算：
(1)
(2)
(3)
答案 (1) ．
(2) ．
(3) ．
解析 (1) 略
(2) 略
(3) 略
标注 式 >二次根式 >二次根式的运算 >题型：二次根式运算
例题5
计算：
(1) ．
(2) ．
(3) ．
答案 (1) ．
(2) ．
(3) ．
解析 (1) 略．
(2) 略．
(3) 略．
标注 数 >实数 >实数运算 >题型：含二次根式的实数的运算
例题6
计算：
(1) ．
(2) ．
答案 (1) ．
(2) ．
解析 (1) 略.
(2) 略.
标注 式 >二次根式 >二次根式化简求值 >题型：二次根式直接化简求值
例题7
1 计算： ．
答案 ．
解析 原式 ，
．
标注 数 >实数 >实数运算 >题型：实数基础运算
2 计算： ．
答案
解析 原式 ，
，
．
标注 数 >实数 >实数运算 >题型：实数基础运算
三、分母有理化
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定义 示例剖析
如果两个含有二次根式的非零
有理化 代数式相乘，它们的积不含有 的有理化因式是 ，
因式 二次根式，就说这两个非零代 的有理化因式是 ．
数式互为有理化因式．
分母有 通过适当的运算，把分母变为
理化 有理数的过程．
经典例题
例题8
将下列二次根式分母有理化：
(1) ．
(2) ．
(3) ．
(4) ．
(5) ．
答案 (1) ．
(2) ．
(3) ．
(4) ．
(5) ．
解析 (1) 原式
．
(2) 原式
．
(3) 原式
．
(4) 原式
．
(5) 原式
．
标注 式 >二次根式 >二次根式的基础 >题型：最简二次根根式
四、数学万花筒
数学素养改变生活
如果q是偶数，则可以表示为q=2b(b是自然数)，带入2p2=q2中，得p2=2b2，那么，p2是偶数，p也
一定是偶数，与上段结论矛盾。于是，不能表示成两个整数之比，那么，这到底是什么呢？除了整数和
整数比(即分数)外，世上还有别的数吗？带着疑问，希帕索斯找到了老师毕达哥拉斯，谁知，看到推翻
了“万物皆数”的观点后，毕达哥拉斯没有“江山代有才人出“的自豪，反而非常惊慌，担心学生的发现会动
摇学派的根基，便将希帕索斯囚禁起来，最终残忍地将他丢进大海，这是数学史上的一个悲剧。
俗话说，没有不透风的墙，秘密并没有被隐藏很久，人们最终还是知道了这些数的存在。15世纪
时，著名画家达·芬奇称之为”无理的数“。17世纪时，德国天文学家开普勒称之为”不可名状的数“，毕达
哥拉斯学派的”无理“之举，夺去了希帕索斯的生命，为了纪念这位为真理献身的学者，人们把这种”不可
公度比“的数称为 “无理数”，而像这种记法，最开始是由数学家笛卡尔提出的，沿用至今。
五、懒人笔记
六、巩固加油站
巩固1
① ；② ；③ ；④ ；⑤ ；⑥ ；⑦ ．其中是二
次根式的有（ ）
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
答案 C
解析 根据二次根式的定义可得①③⑤⑦是二次根式，共有 个，故选 ．
标注 式 >二次根式 >二次根式的基础 >题型：二次根式有意义的条件
巩固2
下列式子的错误的是（ ）．
A. B.
C. D.
答案 B
解析 错误，故选 ．
标注 数 >实数 >实数运算 >题型：实数基础运算
巩固3
有一个数值转换器（如图所示），原理如下：当输入的 为 时，输出的 是 ．
是无理数
输入 取算术平方根 输出
是有理数
答案
解析 ，
，是无理数，即输出 ．
标注 数 >实数 >实数运算 >题型：实数基础运算
巩固4
计算：
答案 ．
解析 原式= ．
标注 式 >二次根式 >二次根式的运算 >题型：多重二次根式
巩固5
如果最简根式 与 是同类二次根式，求 的值．
答案 ．
解析 根据题意可得 ，解得 ，解得 ．
标注 式 >二次根式 >二次根式的基础 >题型：最简二次根根式
巩固6
化简：
(1)
(2)
(3)
(4)
答案 (1) 答案见解析．
(2) 答案见解析．
(3) 答案见解析．
(4) 答案见解析．
解析 (1)
(2)
(3)
(4)
标注 式 >二次根式 >二次根式的运算 >题型：二次根式运算
巩固7
计算： ．
答案 ．
解析 ．
标注 式 >二次根式 >二次根式的运算 >题型：二次根式运算
巩固8
计算： ．
答案 ．
解析 原式 ．
标注 数 >实数 >实数运算 >题型：含零次幂的实数的运算
巩固9
计算： ．
答案 ．
解析 原式
．
标注 式 >二次根式 >二次根式的运算 >题型：二次根式运算
巩固10
计算： ．
答案 原式 ．
解析 ．
标注 数 >实数 >实数运算 >题型：含二次根式的实数的运算
巩固11
化简下列各式：
(1)
(2)
答案 (1) ．
(2) ．
解析 (1) 略
(2) 略
标注 式 >二次根式 >二次根式化简求值 >题型：二次根式直接化简求值
巩固12
实践与探索
填空：
(1) ． ． ． ．
(2) 观察第（ ）题的计算结果回答： 一定等于 吗？ （填“一定”或“不一定”）
请把你观察到的规律归纳出来： ．
(3) 利用你总结的规律计算： ，其中 ．
答案 (1) 1．
2．
3．
4．
(2) 1．不一定
2．
(3) 原式 ．
解析 (1) ， ， ， ．
(2) 不一定， ．
(3) 原式
．
∵ ，
∴ ， ，
∴原式 ．
标注 数 >实数 >平方根和立方根 >题型：求一个数的平方根
巩固13
在进行二次根式去处时，我们有时会碰上如 ， ， 一样的式子，其实我们还可以将
其进一步华简：
；（一）
；（二）
；（三）
以上这种华简步骤叫做分母有理化．
还可以用以下方法化简：
；（四）
请用不同的方法化简 ．
(1) 参照（三）式方法化简过程为： ．
(2) 参照（四）式方法化简过程为： ．
答案 (1)
(2)
解析 (1) ．
(2) ．
标注 综合类问题 >阅读与应用问题 >阅读-代数相关

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