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第4讲 平面直角坐标系中点的变换
一、坐标系中的对称
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定义 示例剖析
点 ， 关于 轴的对称点是
即横坐标不变，纵坐标互为相反数．
点 ， 关于 轴的对称点是
， 关于 轴对称点是
即纵坐标不变横坐标互为相反数．
， 关于 轴对称点是
点 ， 关于坐标原点的对称点是
， 关于原点对称点是
即横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数．
点 ， 关于点 ， 的对称点是
， ．
经典例题
例题1
填空．
(1) 若 和 关于 轴对称，则 ．
(2) 在平面直角坐标系中，点 与点 关于 轴对称，则 ．
(3) 在平面直角坐标系中，点 关于原点对称点 的坐标是 ．
(4) 点 关于点 对称的点是 ．
答案 (1)
(2)
(3)
(4)
解析 (1) 略
(2) 略
(3) 略
(4) 略
标注 函数 >平面直角坐标系 >坐标系综合 >题型：坐标系中的对称
例题2
填写下列各空．
(1) 点 关于直线 对称点是 ，关于直线 对称点是 ．
(2) 点 关于直线 的对称点为 ，关于直线 的对称点为 ．
(3) 在坐标平面上有一个轴对称图形，其中 ， 是图形上的一对对称点，若此
图形上另有一点 ，则 点对称点的坐标是 ．
答案 (1) 1．
2．
(2) 1．
2．
(3)
解析 (1) 略．
(2) 略．
(3) 和 是图形上的一对对称点，
∴点 与点 关于直线 对称，
∴点 关于直线 的对称点的坐标为 ．
标注 函数 >平面直角坐标系 >坐标系综合 >题型：坐标系中的对称
例题3
如图所示，在平面直角坐标系中，直线过点 ，且平行于 轴．
(1) 如果 三个顶点的坐标分别是 ， ， ， 关于 轴的对称图
形是 ， 关于直线的对称图形是 ，写出 的三个顶点的
坐标．
(2) 如果点 的坐标是 ，其中 ，点 关于 轴的对称点是 ，点 关于直线的对称
点是 ，求 的长．
答案 (1) ， ， ．
(2) ．
解析 (1) 如图所示， 的三个顶点坐标分别是 ， ， ．
(2) 解法 ：当 时，
．
∴ 的长是 ．
解法 ：当 时， ；
当 时， ．
（注：不能漏掉 的情况）
标注 函数 >平面直角坐标系 >坐标系综合 >题型：坐标系中的对称
二、坐标系中的平移
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定义 示例剖析
点平移：
①将点 ， 向右(或向左)平移 个单位可得对应点
， 向右平移3个单位是 ，
， 或 ， ．
， 向上平移3个单位是 ，
②将点 ， 向上(或向下)平移 个单位可得对应点
， 或 ， ．
图形平移：
①把一个图形各个点的横坐标都加上(或减去)一个正数 ，相应的新图形就是把原图形向右(或向
左)平移 个单位．
②如果把图形各个点的纵坐标都加上(或减去)一个正数 ，相应的新图形就是把原图形向上(或向
下)平移 个单位．
【注意】平移只改变图形的位置，图形的大小和形状不发生变化．
经典例题
例题4
1 点 向上平移 个单位得到点 的坐标为 ；再向左平移 个单位得到点 的坐标
为 ．
答案 1．
2．
解析 点向上平移 个单位，则横坐标不变，纵坐标增加 ，即 坐标为 ，再向左平移 个单
位，则纵坐标不变，横坐标减少 ，即 坐标为 ．
标注 函数 >平面直角坐标系 >坐标系综合 >题型：坐标系中的平移
2 点 先向左平移 个长度单位，再向下平移 个长度单位后的对应点 ，则 点的坐标为（
）．
A. B. C. D.
答案 C
解析 点 即把点 向右平移 个长度单位，再向上平移 个长度单位，则对应点 点的横坐标为
；纵坐标为 ；
∴点 的坐标为 ．
标注 函数 >一次函数 >一次函数的几何变换 >题型：一次函数平移变换
3 将点 ( ， )沿 轴平移 个单位，得到 ( ， )，则点 坐标是 ．
答案 或
解析 或 ．
标注 函数 >平面直角坐标系 >坐标系综合 >题型：坐标系中的平移
4 在平面直角坐标系中有一个已知点 ，现在 轴向下平移 个单位， 轴向左平移 个单位，单位长
度不变，得到新的坐标系，在新的坐标系下点 的坐标为( ， )，在旧的坐标系下，点 的坐标
为 ．
答案
解析 ，提示：反向移动坐标系．
标注 函数 >平面直角坐标系 >坐标系综合 >题型：坐标系中的平移
例题5
1 在平面直角坐标系中，线段 是由线段 经过平移得到的，已知点 的对应点为 ，
点 的对应点为 ，则点 的坐标为（ ）．
A. B. C. D.
答案
B
解析 由点 到点 ，需要左移 个单位长度，下移 个单位长度；故点 平移后得到
点 ．
标注 函数 >平面直角坐标系 >坐标系综合 >题型：坐标系中的平移
2 如图， ， 的坐标为 ， ，若将线段 平移至 ，则 的值为（ ）．
A. B. C. D.
答案 A
解析 由 点平移前后的纵坐标分别为 、 ，可得 点向上平移了 个单位，
由 点平移前后的横坐标分别是为 、 ，可得 点向右平移了 个单位，
由此得线段 的平移的过程是：向上平移 个单位，再向右平移 个单位，
所以点 、 均按此规律平移，
由此可得 ， ．
故 ．
标注 函数 >平面直角坐标系 >坐标系综合 >题型：坐标系中的平移
3 已知线段 轴，且 ， ，当把线段 进行平移后 ，则 的坐标为
．
答案 或
解析 略．
标注 几何变换 >平移 >平移的概念
例题6
在平面直角坐标系中， 的三个顶点的位置如图所示，点 的坐标是( ， )，现将 平
移，使点 变换为点 ，点 、 分别是 、 的对应点．
(1) 请画出平移后的 （不写画法），并直接写出点 、 的坐标： __________，
__________．
(2) 若 内部一点 的坐标为( ， )，点 得对应点 的坐标是__________．
答案 (1) ， ， ，
(2) （ ， ）
解析 (1) ， ， ，
(2) （ ， ）
标注 几何变换 >平移 >平移问题 >题型：平移作图
三、坐标系中的旋转
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定义
旋转三要素： ⑴ 旋转中心 ⑵旋转方向 ⑶ 旋转角度.
经典例题
例题7
1 已知点 的坐标为( ， )， 为坐标原点，连结 ，将线段 绕点 按逆时针方向旋转 得
，则点 的坐标为（　　）．
A. ( ， ) B. ( ， ) C. （ ， ） D. ( ， ）
答案 C
解析 y
2
x
–2 O 2
–2
已知点 的坐标为 ，则 ， ，
将线段 绕点 按逆时针方向旋转 得 ，则 ， ，
∴ ≌
∴ ，
∴点 的坐标为 ．
标注 几何变换 >旋转 >旋转基础 >题型：旋转性质应用
2 点 的坐标为 ，把点 绕着坐标原点顺时针旋转 到点 ，那么点 的坐标是 ．
答案
解析
标注 函数 >平面直角坐标系 >坐标系综合 >题型：坐标系中的旋转
3 如图，在 中， ， ， ．将 绕 点旋转 后得到 ，则点
的坐标为（ ）．
A. B. 或
C. D. 或
答案 B
解析 ∵ 中， ， ， ，
∴ ，
当 绕点 顺时针旋转 后得到 ，
则易求 ，
当 绕点 逆时针旋转 后得到 ，
则易求 ．
标注 几何变换 >旋转 >旋转基础 >题型：旋转性质应用
四、数学万花筒
鲁道夫的墓志铭
当你看到这个名字的时候，第一反应是不是这样的：鲁道夫？我怎么不知道还有叫这个名字的数学
家？
确实，这位数学家不是最出名的，甚至可能是最不出名的（之一），但是他的墓碑一定是最霸气
的。他的墓碑完整地概括了其一生的经历：
3.14159265358979323846264338327950288..
是的，他墓碑上的主要内容就是一个 π 的精确到小数点后 35 位近似值——实际上，他这辈子的大
部分时间都在算这个数字！
这位德国数学家的全名是鲁道夫·范·科伊伦（Ludolph van Ceulen），他在 1600 年成为荷兰莱顿大
学的第一位数学教授，但是把主要精力全都放在了求解圆周率的更精确的值上。在那个计算基本靠手的
年代，他选择了前文提到的简单而繁琐的阿基米德式方法对圆周率进行逼近，最后得到墓碑上的结果的
时候，使用的多边形已达到了惊人的 262 条边！相比之下，阿基米德倒稍显“平淡无奇”。由于使用了阿
基米德的夹逼法，所以墓碑上其实给出了圆周率的上界和下界。
看来把一件事情做到极致，那就是伟大。鲁道夫的这种精神无疑让很多人佩服，以至于圆周率在德
国被称为鲁道夫数。到今天，人们已经把鲁道夫先生的工作向前推进了很多很多，计算圆周率也已经成
为了考察计算机运算能力的一个方式。作为在这个道路上跨出坚实一步的人，鲁道夫先生一定也含笑九
泉的吧。
五、懒人笔记
六、巩固加油站
巩固1
在平面直角坐标系中，点 与点 关于 轴对称，则点 的坐标是（ ）．
A. B. C. D.
答案 C
解析 点 关于 轴对称点的坐标 ，
∴点 关于 轴对称的点的坐标为 ，
故选 ．
标注 函数 >平面直角坐标系 >坐标系综合 >题型：坐标系中的对称
巩固2
在平面直角坐标系中，将点 ( ， )的横坐标乘以 ，纵坐标不变，得到点 ，则点 和点 的关
系是（　　）．
A. 关于 轴对称 B. 关于 轴对称
C. 关于原点对称 D. 将点 向 轴负方向平移一个单位得点
答案 B
解析 根据轴对称的性质，可知横坐标都乘以 ，即是横坐标变成相反数，则实际是作出了这个图
形关于 轴的对称图形，故选： ．
标注 函数 >平面直角坐标系 >坐标系综合 >题型：坐标系中的对称
巩固3
已知点 与点 关于 轴对称，则 ， ．
答案 1．
2．
解析 ， ；由 解得 ．
标注 函数 >平面直角坐标系 >坐标系综合 >题型：坐标系中的对称
巩固4
已知点 ， ，如果 ， ，那么点 ， （ ）．
A. 关于原点对称 B. 关于 轴对称
C. 关于 轴对称 D. 关于过点 ， 的直线对称
答案 A
解析 ∵
∴
∵
∴
平面直角坐标系中任意一点 ， 点的坐标是 ，那么点 与 关于原点对称
故选： ．
标注 函数 >平面直角坐标系 >坐标系综合 >题型：坐标系中的对称
巩固5
如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为 ，格点三角形（顶点是网格线的交点的三角
形） 的顶点 ， 的坐标分别为 ， ．
(1) 请在如图所示的网格内作出平面直角坐标系．
(2) 请作出 关于 轴对称的 ．
(3) 写出点 的坐标．
答案 (1) 画图见解析．
(2) 画图见解析．
(3) ．
解析 (1) 根据题意可作出如图所示的坐标系．
(2) 如图， 即为所求．
(3) 由图可知， ．
标注 函数 >平面直角坐标系 >坐标系综合 >题型：坐标系中的对称
巩固6
将点 先向右平移 个单位，再向上平移 个单位后，则得到点 的坐标
为（ ）
A. B. C. D.
答案 D
解析 点 向右平移 个单位变成 ,再向上平移 个单位后变成 ．
故选 ．
标注 函数 >平面直角坐标系 >坐标系综合 >题型：坐标系中的平移
巩固7
点 向左平移 个单位，再向下平移 个单位到点 ，则点 的坐标为 ．
答案
解析 设 原来坐标为 向左平移 个单位即 ，向下平移一个单位即： ；
所以 解得： ， 原坐 ；
故答案为 ．
标注 函数 >平面直角坐标系 >坐标系综合 >题型：坐标系中的平移
巩固8
将点 ( ， )向右平移 个单位，再向下平移 个单位，得到点 ，则线段 的中点 的坐标为
（　　）．
A. ( ， ) B. ( ， ) C. ( ， ) D. ( ， )
答案 A
解析 将点 （ ， ）向右平移 个单位，再向下平移 个单位，得到点 ，
点 的横坐标为 ；纵坐标为 ，
线段 的中点 的横坐标为 ；纵坐标为 ，
所以线段 的中点 的坐标为( ， ）．
标注 函数 >平面直角坐标系 >坐标系综合 >题型：坐标系中的平移
巩固9
如图，将一朵小花放置在平面直角坐标系中第三象限内的甲位置，先将它绕原点 旋转 到乙
位置，再将它向下平移 个单位长到丙位置，则小花顶点 在丙位置中的对应点 的坐标为（
）．
A. B. C. D.
答案 C
解析 根据图示可知 点坐标为 ，
根据绕原点 旋转 横纵坐标互为相反数
∴旋转后得到的坐标为 ，
根据平移“上加下减”原则，
∴向下平移 个单位得到的坐标为 ．
标注 函数 >平面直角坐标系 >坐标系综合 >题型：坐标系中的旋转
巩固10
如图， 的顶点坐标分别为 （ ， ）、 （ ， ）、 （ ， ），将 绕点 按逆时针
方向旋转 得到 ，则点 、 的坐标分别为（ ）．
A. （ ， ）、 （ ， ） B. ( ， ）、 ( ， )
C. ( ， )、 ( ， ) D. ( ， )、 ( ， )
答案 B
解析 ∵图形旋转后大小不变，
∴ ，
、 显然错误；
同理 ，
∴C错误．
标注 函数 >平面直角坐标系 >坐标系综合 >题型：坐标系中的旋转
巩固11
如图，在平面直角坐标系 中， ， ， ．
(1) 求出 的面积．
(2) 在图中画出 向右平移 个单位，再向下平移 个单位的图形 ．
(3) 写出点 ， ， 坐标．
答案 (1) ．
(2) 图形见解析．
(3) ， ， ．
解析 (1) ．
(2)
(3) ， ， ．
标注 函数 >平面直角坐标系 >坐标系综合 >题型：坐标系中的平移第4讲 平面直角坐标系中点的变换
一、坐标系中的对称
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定义 示例剖析
点 ， 关于 轴的对称点是
即横坐标不变，纵坐标互为相反数．
点 ， 关于 轴的对称点是
， 关于 轴对称点是
即纵坐标不变横坐标互为相反数．
， 关于 轴对称点是
点 ， 关于坐标原点的对称点是
， 关于原点对称点是
即横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数．
点 ， 关于点 ， 的对称点是
， ．
经典例题
例题1
填空．
(1) 若 和 关于 轴对称，则 ．
(2) 在平面直角坐标系中，点 与点 关于 轴对称，则 ．
(3) 在平面直角坐标系中，点 关于原点对称点 的坐标是 ．
(4) 点 关于点 对称的点是 ．
例题2
填写下列各空．
(1) 点 关于直线 对称点是 ，关于直线 对称点是 ．
(2) 点 关于直线 的对称点为 ，关于直线 的对称点为 ．
(3) 在坐标平面上有一个轴对称图形，其中 ， 是图形上的一对对称点，若此
图形上另有一点 ，则 点对称点的坐标是 ．
例题3
如图所示，在平面直角坐标系中，直线过点 ，且平行于 轴．
(1) 如果 三个顶点的坐标分别是 ， ， ， 关于 轴的对称图
形是 ， 关于直线的对称图形是 ，写出 的三个顶点的
坐标．
(2) 如果点 的坐标是 ，其中 ，点 关于 轴的对称点是 ，点 关于直线的对称
点是 ，求 的长．
二、坐标系中的平移
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定义 示例剖析
点平移：
①将点 ， 向右(或向左)平移 个单位可得对应点
， 向右平移3个单位是 ，
， 或 ， ．
， 向上平移3个单位是 ，
②将点 ， 向上(或向下)平移 个单位可得对应点
， 或 ， ．
图形平移：
①把一个图形各个点的横坐标都加上(或减去)一个正数 ，相应的新图形就是把原图形向右(或向
左)平移 个单位．
②如果把图形各个点的纵坐标都加上(或减去)一个正数 ，相应的新图形就是把原图形向上(或向
下)平移 个单位．
【注意】平移只改变图形的位置，图形的大小和形状不发生变化．
经典例题
例题4
1 点 向上平移 个单位得到点 的坐标为 ；再向左平移 个单位得到点 的坐标
为 ．
2 点 先向左平移 个长度单位，再向下平移 个长度单位后的对应点 ，则 点的坐标为（
）．
A. B. C. D.
3 将点 ( ， )沿 轴平移 个单位，得到 ( ， )，则点 坐标是 ．
4 在平面直角坐标系中有一个已知点 ，现在 轴向下平移 个单位， 轴向左平移 个单位，单位长
度不变，得到新的坐标系，在新的坐标系下点 的坐标为( ， )，在旧的坐标系下，点 的坐标
为 ．
例题5
1 在平面直角坐标系中，线段 是由线段 经过平移得到的，已知点 的对应点为 ，
点 的对应点为 ，则点 的坐标为（ ）．
A. B. C. D.
2 如图， ， 的坐标为 ， ，若将线段 平移至 ，则 的值为（ ）．
A. B. C. D.
3 已知线段 轴，且 ， ，当把线段 进行平移后 ，则 的坐标为
．
例题6
在平面直角坐标系中， 的三个顶点的位置如图所示，点 的坐标是( ， )，现将 平
移，使点 变换为点 ，点 、 分别是 、 的对应点．
(1) 请画出平移后的 （不写画法），并直接写出点 、 的坐标： __________，
__________．
(2) 若 内部一点 的坐标为( ， )，点 得对应点 的坐标是__________．
三、坐标系中的旋转
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定义
旋转三要素： ⑴ 旋转中心 ⑵旋转方向 ⑶ 旋转角度.
经典例题
例题7
1 已知点 的坐标为( ， )， 为坐标原点，连结 ，将线段 绕点 按逆时针方向旋转 得
，则点 的坐标为（　　）．
A. ( ， ) B. ( ， ) C. （ ， ） D. ( ， ）
2 点 的坐标为 ，把点 绕着坐标原点顺时针旋转 到点 ，那么点 的坐标是 ．
3 如图，在 中， ， ， ．将 绕 点旋转 后得到 ，则点
的坐标为（ ）．
A. B. 或
C. D. 或
四、数学万花筒
鲁道夫的墓志铭
当你看到这个名字的时候，第一反应是不是这样的：鲁道夫？我怎么不知道还有叫这个名字的数学
家？
确实，这位数学家不是最出名的，甚至可能是最不出名的（之一），但是他的墓碑一定是最霸气
的。他的墓碑完整地概括了其一生的经历：
3.14159265358979323846264338327950288..
是的，他墓碑上的主要内容就是一个 π 的精确到小数点后 35 位近似值——实际上，他这辈子的大
部分时间都在算这个数字！
这位德国数学家的全名是鲁道夫·范·科伊伦（Ludolph van Ceulen），他在 1600 年成为荷兰莱顿大
学的第一位数学教授，但是把主要精力全都放在了求解圆周率的更精确的值上。在那个计算基本靠手的
年代，他选择了前文提到的简单而繁琐的阿基米德式方法对圆周率进行逼近，最后得到墓碑上的结果的
时候，使用的多边形已达到了惊人的 262 条边！相比之下，阿基米德倒稍显“平淡无奇”。由于使用了阿
基米德的夹逼法，所以墓碑上其实给出了圆周率的上界和下界。
看来把一件事情做到极致，那就是伟大。鲁道夫的这种精神无疑让很多人佩服，以至于圆周率在德
国被称为鲁道夫数。到今天，人们已经把鲁道夫先生的工作向前推进了很多很多，计算圆周率也已经成
为了考察计算机运算能力的一个方式。作为在这个道路上跨出坚实一步的人，鲁道夫先生一定也含笑九
泉的吧。
五、懒人笔记
六、巩固加油站
巩固1
在平面直角坐标系中，点 与点 关于 轴对称，则点 的坐标是（ ）．
A. B. C. D.
巩固2
在平面直角坐标系中，将点 ( ， )的横坐标乘以 ，纵坐标不变，得到点 ，则点 和点 的关
系是（　　）．
A. 关于 轴对称 B. 关于 轴对称
C. 关于原点对称 D. 将点 向 轴负方向平移一个单位得点
巩固3
已知点 与点 关于 轴对称，则 ， ．
巩固4
已知点 ， ，如果 ， ，那么点 ， （ ）．
A. 关于原点对称 B. 关于 轴对称
C. 关于 轴对称 D. 关于过点 ， 的直线对称
巩固5
如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为 ，格点三角形（顶点是网格线的交点的三角
形） 的顶点 ， 的坐标分别为 ， ．
(1) 请在如图所示的网格内作出平面直角坐标系．
(2) 请作出 关于 轴对称的 ．
(3) 写出点 的坐标．
巩固6
将点 先向右平移 个单位，再向上平移 个单位后，则得到点 的坐标
为（ ）
A. B. C. D.
巩固7
点 向左平移 个单位，再向下平移 个单位到点 ，则点 的坐标为 ．
巩固8
将点 ( ， )向右平移 个单位，再向下平移 个单位，得到点 ，则线段 的中点 的坐标为
（　　）．
A. ( ， ) B. ( ， ) C. ( ， ) D. ( ， )
巩固9
如图，将一朵小花放置在平面直角坐标系中第三象限内的甲位置，先将它绕原点 旋转 到乙
位置，再将它向下平移 个单位长到丙位置，则小花顶点 在丙位置中的对应点 的坐标为（
）．
A. B. C. D.
巩固10
如图， 的顶点坐标分别为 （ ， ）、 （ ， ）、 （ ， ），将 绕点 按逆时针
方向旋转 得到 ，则点 、 的坐标分别为（ ）．
A. （ ， ）、 （ ， ） B. ( ， ）、 ( ， )
C. ( ， )、 ( ， ) D. ( ， )、 ( ， )
巩固11
如图，在平面直角坐标系 中， ， ， ．
(1) 求出 的面积．
(2) 在图中画出 向右平移 个单位，再向下平移 个单位的图形 ．
(3) 写出点 ， ， 坐标．

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