资源简介

第5讲 函数初步与正比例函数
一、函数的概念及表示
知识导航
定义 示例剖析
在某一变化过程中，可以取不同数值的量叫做变
常量与变量
量，取值始终保持不变的量叫做常量 如：在圆的面积公式中
在某一变化过程中，有两个量，例如 和 ，对于 中， 是常数，是一个常量，而 随
自变量、因
x的每一个值， 都有唯一的值与之对应，其中 的变化而变化，所以 、 是变量
变量与函数
是自变量， 是因变量，此时也称 是 的函数
注意：
⑴函数不是数，它是指在一个变化过程中两个变量之间的关系，函数本质就是变量间的对应关系
⑵对于每一个给定的 值， 有一个唯一确定的值与之对应，否则 就不是 的函数
⑶对于每一个给定的 值， 可以有一个值与之对应，也可以有多个值与之对应
在初中阶段，自变量的取值范围考
虑下面几个方面：
⑴整式：自变量取值范围是任意实
函数自变量的取值范围是指函数有意义的自变量
数
的取值的全体，求自变量的取值范围通常从两方
函数自变量 ⑵分式：自变量取值范围是使分母
面考虑：
的取值范围 不为零的任意实数
一是要使函数的解析式有意义
⑶根式：当根指数为偶数时，被开
二是要符合客观实际．
方数为非负数
⑷零次幂或负整数次幂；使底数不
为零的实数
函数的三种
⑴列表法：通过列表表示函数的方法 如：
表示方法
⑵解析法：用数学式子表示函数的方法叫做解析
法
⑶图象法：用图象直观、形象地表示一个函数的
方法
一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的 如：当 时， ，此时对应
函数的图象 每对对应值分别作为点的横纵坐标，那么坐标平 坐标为 ，
面内由这些点组成的图形就是这个函数的图象 当 时， ，此时对应坐标
为 ，
画函数图象
列表—描点—连线(平滑的曲线) 满足 的所有的点的坐标组
的步骤
成的图形就是函数 的图象
函数解析式
⑴满足函数解析式的坐标的点，一定在函数图象上
与图象的关
⑵函数图象上的点坐标满足函数解析式
系
经典例题
例题1
1 在下列式子中， 是 的函数的有（　　）
① ；② ；③ ；④ ⑤ ．
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
2 下列图象中 一定不是 的函数的是（ ）．
A. B.
C. D.
例题2
求下列函数关系式中自变量 的取值范围．
(1) ．
(2) ．
(3) ．
(4) ．
例题3
在同一平面直角坐标系中描点画出函数① ；② 的图象，并解决以下问题：
判断下列哪些点分别在函数①②的图象上： ； ； ； ；
； ．
二、正比例函数
知识导航
定义：一般地，形如 ( 为常数， )的函数，叫做正比例函数，其中 叫比例系数
图象：正比例函数图象是一条经过原点的直线．函数
示意图(草图) 图象位置 变化趋势 性质(增减性)
随 的增大而增大
＞ 经过原点和第一、三象限 从左向右上升
随 的减小而减小
随 的增大而减小
＜ 经过原点和第二、四象限 从左向右下降
随 的减小而增大
关于 ：① ＞ ，图象过一、三象限； ＜ ，图象过二、四象限
② 越大，图象越靠近 轴
经典例题
例题4
请回答下列各题
(1) 下列函数关系式中， 是 的正比例函数的是（ ）．
A. B.
C. D.
(2) 若函数 是正比例函数，则 的值是 ．
(3) 若函数 ( 为常数)是正比例函数，则 的值为 ．
例题5
1 下面哪个正比例函数的图象经过一、三象限（ ）．
A.
B.
C. （ 为常数）
D.
2 正比例函数 的图象经过第二、四象限，那么 为（ ）．
A. B. C. D.
3 如图：三个正比例函数的图象分别对应的解析式是① ，② ，③ ，则 、 、 的大
小关系是（　　）．
y
x
O
A. B. C. D.
例题6
1 已知函数 ， 随 增大而（　　）．
A. 增大 B. 减小 C. 与 有关 D. 无法确定
2 和 是正比例函数 图象上的两点，则下列判断正确的是（ ）．
A.
B.
C. 当 时，
D. 当 时，
3 若正比例函数 的图象经过点 和点 ，当 时，若 ，则 的取值
范围是 ；若 ，则 的取值范围是 ．
4 已知正比例函数 的函数值随 的增大而减小，则函数的图象经过（ ）．
A. 第一、二象限 B. 第一、三象限 C. 第二、三象限 D. 第二、四象限
三、正比例函数解析式的确定
知识导航
定义 示例剖析
方法：待定系数法
例题：
步骤：
正比例函数 上有一点
⑴设出正比例函数解析式
，
正比例函数解析式的确定 ⑵找出满足正比例函数解析式的点 ，
将 ， 代入 得：
⑶将点 ， 其中 带入正比例函数解
解得：
析式得
则该正比例函数解析式为
⑷确定正比例函数解析式
经典例题
例题7
1 正比例函数 上有一点 ， ，则 的值为 .
2 一个函数的图象是经过原点的直线，并且这条直线经过点 与点 ，求这个函数解析式及
的值．
3 已知：正比例函数 的图象经过第四象限内的两点 ( ， )及 ( ， )．
(1) 求 、 两点的坐标及这个正比例函数．
(2) 根据图象回答，当 从 逐渐减小到 时， 的值是如何变化的？
四、数学万花筒
函数的起源
函数的起源（产生）十六、十七世纪，欧洲资本主义国家先后兴起，为了争夺霸权，迫切需要发展
航海和军火工业。为了发展航海事业，就需要确定船只在大海中的位置，在地球上的经纬度；要打仗，
也需知道如何使炮弹打的准确无误等问题，这就促使了人们对各种“运动”的研究，对各种运动中的数量
关系进行研究，这就为函数概念的产生提供了客观实际需要的基础。十七世纪中叶，笛卡儿
（Descartes）引入变数（变量）的概念，制定了解析几何学，从而打破了局限于方程的未知数的理解；
后来，牛顿（ Newton）、莱布尼兹（Leibniz）分别独立的建立了微分学说。这期间，随着数学内容的
丰富，各种具体的函数已大量出现，但函数还未被给出一个一般的定义。
牛顿于 1665年开始研究微积分之后，一直用“流量”（ fluent）一词来表示变量间的关系。1673年，
莱布尼兹在一篇手稿里第一次用“函数”（ fluent）这一名词，他用函数表示任何一个随着曲线上的点的变
动而变动的量。（定义1）这可以说是函数的第一个“定义”。例如，切线，弦，法线等长度和横、纵坐
标，后来，又用这个名词表示幂，即表示 x , x2, x3,…。显然，“函数”这个词最初的含义是非常的模糊和
不准确的。人们是不会满足于这样不准确的概念，数学家们纷纷对函数进行进一步讨论。二、函数概念
的发展与完善⒈以“变量”为基础的函数概念在 1718年，瑞士科学家，莱布尼兹的学生约翰·贝奴里
（Bernoulli,Johann）给出了函数的明确定义：变量的函数是由这些变量与常量所组成的一个解析表达
式。（定义2）并在此给出了函数的记号φx。这一定义使得函数第一次有了解析意义。
五、巩固加油站
巩固1
判断下列式子中 是否是 的函数．
1. ．
2. ．
3. ．
4. ．
巩固2
函数 自变量 的取值范围是 ．
巩固3
在函数 中，自变量 的取值范围是 ．
巩固4
在函数 中，自变量 的取值范围是 ．
巩固5
函数 自变量 的取值范围是 ．
巩固6
下列 关于 的函数中，是正比例函数的为（ ）．
A. B.
C. D.
巩固7
若函数 是正比例函数，则 的值是 ．
巩固8
已知函数 ，如果 是 的正比例函数，则 的值为（ ）．
A. B. C. ， D.
巩固9
函数 是正比例函数的条件是（ ）．
A. B.
C. 且 D. ， 可取任意实数
巩固10
正比例函数 的图像经过坐标系的（ ）．
A. 第一、二象限 B. 第一、三象限 C. 第一、四象限 D. 第二、四象限
巩固11
， 是正比例函数 图像上两点，则下列正确的是（ ）．
A.
B.
C. 当 时，
D. 当 时，
巩固12
已知正比例函数 ，且 随 的增大而减小，则 的取值范围是（ ）．
A. B. C. D.
巩固13
正比例函数 图象上有两点 ，当 时， ，则 的取值范围
是 ．
巩固14
关于正比例函数 ，下列结论正确的是（　　）
A. 图象必经过点( ， ） B. 图象经过第一、三象限
C. 随 的增大而减小 D. 不论 取何值，总有
巩固15
已知正比例函数 的图象经过点 ．
(1) 求这个函数的解析式．
(2) 在如图所示的坐标系中画出这个函数的图象．
y
4
2
x
–4 –2 O 2 4 6
–2
–4
(3) 判断点 、点 是否在这个函数图象上 ．
(4) 已知图象上两点 ， ， ， ，如果 ，比较 ， 的大小．第5讲 函数初步与正比例函数
一、函数的概念及表示
知识导航
定义 示例剖析
在某一变化过程中，可以取不同数值的量叫做变
常量与变量
量，取值始终保持不变的量叫做常量 如：在圆的面积公式中
在某一变化过程中，有两个量，例如 和 ，对于 中， 是常数，是一个常量，而 随
自变量、因
x的每一个值， 都有唯一的值与之对应，其中 的变化而变化，所以 、 是变量
变量与函数
是自变量， 是因变量，此时也称 是 的函数
注意：
⑴函数不是数，它是指在一个变化过程中两个变量之间的关系，函数本质就是变量间的对应关系
⑵对于每一个给定的 值， 有一个唯一确定的值与之对应，否则 就不是 的函数
⑶对于每一个给定的 值， 可以有一个值与之对应，也可以有多个值与之对应
在初中阶段，自变量的取值范围考
虑下面几个方面：
⑴整式：自变量取值范围是任意实
函数自变量的取值范围是指函数有意义的自变量
数
的取值的全体，求自变量的取值范围通常从两方
函数自变量 ⑵分式：自变量取值范围是使分母
面考虑：
的取值范围 不为零的任意实数
一是要使函数的解析式有意义
⑶根式：当根指数为偶数时，被开
二是要符合客观实际．
方数为非负数
⑷零次幂或负整数次幂；使底数不
为零的实数
函数的三种
⑴列表法：通过列表表示函数的方法 如：
表示方法
⑵解析法：用数学式子表示函数的方法叫做解析
法
⑶图象法：用图象直观、形象地表示一个函数的
方法
一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的 如：当 时， ，此时对应
函数的图象 每对对应值分别作为点的横纵坐标，那么坐标平 坐标为 ，
面内由这些点组成的图形就是这个函数的图象 当 时， ，此时对应坐标
为 ，
画函数图象
列表—描点—连线(平滑的曲线) 满足 的所有的点的坐标组
的步骤
成的图形就是函数 的图象
函数解析式
⑴满足函数解析式的坐标的点，一定在函数图象上
与图象的关
⑵函数图象上的点坐标满足函数解析式
系
经典例题
例题1
1 在下列式子中， 是 的函数的有（　　）
① ；② ；③ ；④ ⑤ ．
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
答案 C
解析 在下列式子中， 是 的函数的有①， ③， ④ ，所以选C．
标注 函数 >函数概念和图象 >函数基础 >题型：判断函数
2 下列图象中 一定不是 的函数的是（ ）．
A. B.
C. D.
答案 D
解析 根据函数的定义可得选D
标注 函数 >函数概念和图象 >函数的图象 >题型：判断函数的图象
例题2
求下列函数关系式中自变量 的取值范围．
(1) ．
(2) ．
(3) ．
(4) ．
答案 (1) ．
(2) ．
(3) 或 ．
(4) ．
解析 (1) 略．
(2) 略．
(3) 略．
(4) 略．
标注 式 >分式 >分式的基础 >题型：分式有意义的条件
例题3
在同一平面直角坐标系中描点画出函数① ；② 的图象，并解决以下问题：
判断下列哪些点分别在函数①②的图象上： ； ； ； ；
； ．
答案 图象见解析．点 、 、 均不在两个图象上，点 在②上，点 在①上，点 均在①和②
上．
解析 列表略，图象如下，注意强调几点：⑴自变量在定义域内取值；⑵连线时按照横坐标由小到
大的顺序用平滑曲线连接；⑶由定义域判断图象是否有端点．
标注 函数 >二次函数 >二次函数基础 >题型：画二次函数图象
二、正比例函数
知识导航
定义：一般地，形如 ( 为常数， )的函数，叫做正比例函数，其中 叫比例系数
图象：正比例函数图象是一条经过原点的直线．函数
示意图(草图) 图象位置 变化趋势 性质(增减性)
随 的增大而增大
＞ 经过原点和第一、三象限 从左向右上升
随 的减小而减小
随 的增大而减小
＜ 经过原点和第二、四象限 从左向右下降
随 的减小而增大
关于 ：① ＞ ，图象过一、三象限； ＜ ，图象过二、四象限
② 越大，图象越靠近 轴
经典例题
例题4
请回答下列各题
(1) 下列函数关系式中， 是 的正比例函数的是（ ）．
A. B.
C. D.
(2) 若函数 是正比例函数，则 的值是 ．
(3) 若函数 ( 为常数)是正比例函数，则 的值为 ．
答案 (1) B
(2)
(3)
解析 (1) 是 的正比例函数的是 ．
(2) 且 ，所以 ．
(3) 略．
标注 函数 >一次函数 >正比例函数 >题型：解析式
例题5
1 下面哪个正比例函数的图象经过一、三象限（ ）．
A.
B.
C. （ 为常数）
D.
答案 D
解析 ∵ ，
∴正比例函数 的图象经过二、四象限.
故A错误.
∵ .
∴正比例函数 的图象经过二、四象限.
故B错误.
∵ .
∴正比例函数 的图象经过二、四象限.
故C错误.
∵ .
∴正比例函数 的图象经过一、三象限.
标注 函数 >一次函数 >正比例函数 >正比例函数的图象与性质
2 正比例函数 的图象经过第二、四象限，那么 为（ ）．
A. B. C. D.
答案 D
解析 因为正比例函数 的图象经过第二、四象限，所以 ，所以 ．
故选 ．
标注 函数 >一次函数 >正比例函数 >题型：正比例函数图象与性质
3 如图：三个正比例函数的图象分别对应的解析式是① ，② ，③ ，则 、 、 的大
小关系是（　　）．
y
x
O
A. B. C. D.
答案 C
解析 首先根据图象经过的象限，得 ， ， ，再根据直线越陡， 越大，则 ．
故选 ．
标注 函数 >一次函数 >正比例函数 >题型：正比例函数图象与性质
例题6
1 已知函数 ， 随 增大而（　　）．
A. 增大 B. 减小 C. 与 有关 D. 无法确定
答案 A
解析 已知函数 ， 随 增大而增大 ．
标注 函数 >一次函数 >正比例函数 >题型：正比例函数图象与性质
2 和 是正比例函数 图象上的两点，则下列判断正确的是（ ）．
A.
B.
C. 当 时，
D. 当 时，
答案 C
解析 正比例函数 ，所以 随 的增大而减少．故选 ．
标注 函数 >一次函数 >一次函数基础 >题型：一次函数图象与性质
3 若正比例函数 的图象经过点 和点 ，当 时，若 ，则 的取值
范围是 ；若 ，则 的取值范围是 ．
答案 1．
2．
解析 若正比例函数 的图像经过点 和点 ，当 时， ，则函数随
值增大而减小，为减函数,那么 ．
标注 函数 >一次函数 >正比例函数 >题型：正比例函数图象与性质
4 已知正比例函数 的函数值随 的增大而减小，则函数的图象经过（ ）．
A. 第一、二象限 B. 第一、三象限 C. 第二、三象限 D. 第二、四象限
答案 D
解析 ∵ ，
∴函数的图象过二、四象限，
故选 ．
标注 函数 >一次函数 >正比例函数 >题型：正比例函数图象与性质
三、正比例函数解析式的确定
知识导航
定义 示例剖析
方法：待定系数法
例题：
步骤：
正比例函数 上有一点
⑴设出正比例函数解析式
，
正比例函数解析式的确定 ⑵找出满足正比例函数解析式的点 ，
将 ， 代入 得：
⑶将点 ， 其中 带入正比例函数解
解得：
析式得
则该正比例函数解析式为
⑷确定正比例函数解析式
经典例题
例题7
1 正比例函数 上有一点 ， ，则 的值为 .
答案
解析 ∵正比例函数 上有一点 ，
∴ ，
∴ ，故答案为： ．
标注 函数 >一次函数 >正比例函数 >题型：解析式
2 一个函数的图象是经过原点的直线，并且这条直线经过点 与点 ，求这个函数解析式及
的值．
答案 , ,．
解析 设解析式为 ，由过点 可得当 ， 代入得 ，
∴解析式为
再将 ， 代入 中，解得 .
画正比例函数 的图象可选取两点： ， .
标注 函数 >一次函数 >一次函数的解析式 >题型：已知两点求一次函数解析式
3 已知：正比例函数 的图象经过第四象限内的两点 ( ， )及 ( ， )．
(1) 求 、 两点的坐标及这个正比例函数．
(2) 根据图象回答，当 从 逐渐减小到 时， 的值是如何变化的？
答案 (1) ( ， )， ( ， )，
(2) 的值从 增大到
解析 (1) 将 、 两点坐标代入 中，得 解得 ，
∵点在第四象限，所以 ， ，
∴解析式为 ， ( ， )， ( ， )．
(2) 当 时， ，当 时， ，
∴ 的值从 增大到 ．
标注 函数 >一次函数 >正比例函数 >题型：正比例函数图象与性质
四、数学万花筒
函数的起源
函数的起源（产生）十六、十七世纪，欧洲资本主义国家先后兴起，为了争夺霸权，迫切需要发展
航海和军火工业。为了发展航海事业，就需要确定船只在大海中的位置，在地球上的经纬度；要打仗，
也需知道如何使炮弹打的准确无误等问题，这就促使了人们对各种“运动”的研究，对各种运动中的数量
关系进行研究，这就为函数概念的产生提供了客观实际需要的基础。十七世纪中叶，笛卡儿
（Descartes）引入变数（变量）的概念，制定了解析几何学，从而打破了局限于方程的未知数的理解；
后来，牛顿（ Newton）、莱布尼兹（Leibniz）分别独立的建立了微分学说。这期间，随着数学内容的
丰富，各种具体的函数已大量出现，但函数还未被给出一个一般的定义。
牛顿于 1665年开始研究微积分之后，一直用“流量”（ fluent）一词来表示变量间的关系。1673年，
莱布尼兹在一篇手稿里第一次用“函数”（ fluent）这一名词，他用函数表示任何一个随着曲线上的点的变
动而变动的量。（定义1）这可以说是函数的第一个“定义”。例如，切线，弦，法线等长度和横、纵坐
标，后来，又用这个名词表示幂，即表示 x , x2, x3,…。显然，“函数”这个词最初的含义是非常的模糊和
不准确的。人们是不会满足于这样不准确的概念，数学家们纷纷对函数进行进一步讨论。二、函数概念
的发展与完善⒈以“变量”为基础的函数概念在 1718年，瑞士科学家，莱布尼兹的学生约翰·贝奴里
（Bernoulli,Johann）给出了函数的明确定义：变量的函数是由这些变量与常量所组成的一个解析表达
式。（定义2）并在此给出了函数的记号φx。这一定义使得函数第一次有了解析意义。
五、巩固加油站
巩固1
判断下列式子中 是否是 的函数．
1. ．
2. ．
3. ．
4. ．
答案 FTFT
解析 ⑴不是；⑵是；⑶不是；⑷是.
标注 函数 >函数概念和图象 >函数基础 >题型：判断函数
巩固2
函数 自变量 的取值范围是 ．
答案 ．
解析 函数 自变量 的取值范围是 ．
标注 式 >二次根式 >二次根式的基础 >题型：二次根式有意义的条件
巩固3
在函数 中，自变量 的取值范围是 ．
答案
解析 分式有意义的条件是分母不为 ，
∴ ，解得 ．
标注 函数 >函数概念和图象 >函数基础 >题型：函数自变量的取值范围
巩固4
在函数 中，自变量 的取值范围是 ．
答案 且
解析 由题意，得 且 ，
解得 且 ．
标注 函数 >函数概念和图象 >函数基础 >题型：函数自变量的取值范围
巩固5
函数 自变量 的取值范围是 ．
答案
解析 略．
标注 式 >分式 >分式的基础 >题型：分式有意义的条件
巩固6
下列 关于 的函数中，是正比例函数的为（ ）．
A. B.
C. D.
答案 C
解析 是正比例函数，故选 ．
标注 函数 >一次函数 >正比例函数 >题型：判断正比例函数
巩固7
若函数 是正比例函数，则 的值是 ．
答案
解析 由题意可得 ，
解之，得 ，
所以， ．
故答案为： ．
标注 函数 >一次函数 >正比例函数 >题型：解析式
巩固8
已知函数 ，如果 是 的正比例函数，则 的值为（ ）．
A. B. C. ， D.
答案 A
解析 由正比例函数的定义可得： ， ，解得； ．
故选 ．
标注 函数 >一次函数 >正比例函数
巩固9
函数 是正比例函数的条件是（ ）．
A. B.
C. 且 D. ， 可取任意实数
答案 C
解析 根据正比例函数定义，有 ，故 ．
故选 ．
标注 函数 >一次函数 >正比例函数 >题型：判断正比例函数
巩固10
正比例函数 的图像经过坐标系的（ ）．
A. 第一、二象限 B. 第一、三象限 C. 第一、四象限 D. 第二、四象限
答案 D
解析 根据 ，
所以正比例函数 的图象经过第二、四象限．
故选 ．
标注 函数 >一次函数 >一次函数基础 >题型：一次函数系数与图象关系
巩固11
， 是正比例函数 图像上两点，则下列正确的是（ ）．
A.
B.
C. 当 时，
D. 当 时，
答案 C
解析 中一次项系数为负数，
∴ 随 的增大而减小，
∴当 时， ．
标注 函数 >一次函数 >正比例函数 >题型：正比例函数图象与性质
巩固12
已知正比例函数 ，且 随 的增大而减小，则 的取值范围是（ ）．
A. B. C. D.
答案 D
解析 的系数小于 ， ，故选 ．
标注 函数 >一次函数 >一次函数基础 >题型：一次函数系数与图象关系
巩固13
正比例函数 图象上有两点 ，当 时， ，则 的取值范围
是 ．
答案
解析 由于 时， ，所以函数递减，则 ,
标注 函数 >一次函数 >正比例函数 >题型：正比例函数图象与性质
巩固14
关于正比例函数 ，下列结论正确的是（　　）
A. 图象必经过点( ， ） B. 图象经过第一、三象限
C. 随 的增大而减小 D. 不论 取何值，总有
答案 C
解析 A． 当 时， 错误；
B． 不对；
C． 根据 ，得图像经过二、四象限， 随 的增大而减少，正确；
D． 不对．
标注 函数 >一次函数 >正比例函数 >题型：正比例函数图象与性质
巩固15
已知正比例函数 的图象经过点 ．
(1) 求这个函数的解析式．
(2) 在如图所示的坐标系中画出这个函数的图象．
y
4
2
x
–4 –2 O 2 4 6
–2
–4
(3) 判断点 、点 是否在这个函数图象上 ．
(4) 已知图象上两点 ， ， ， ，如果 ，比较 ， 的大小．
答案 (1) ．
(2) y
4
2
x
–4 –2 O 2 4 6
–2
–4
–6
(3) 点 不在这个函数图象上;点 在这个函数图象上．
(4) ．
解析 (1) ∵正比例函数 的图象经过点 ，
∴ ，
解得：
∴这个函数的解析式为 ．
(2) y
4
2
x
–4 –2 O 2 4 6
–2
–4
–6
(3) 把 代入 ， ，故点 不在这个函数图象上．
把 代入 ， ，故点 在这个函数图象上．
(4) ∵ ，
∴ 随 的增大而减小．
∵
∴ ．
标注 函数 >一次函数 >一次函数基础 >题型：一次函数图象与性质

展开更多......

收起↑