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第6讲 一次函数概念与性质
一、一次函数的定义
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定义：一般地，形如 ( ， 为常数， )的函数，叫做一次函数，当 时，
即为 ，所以正比例函数是一种特殊的一次函数．
经典例题
例题1
下列函数① ；② ；③ ；④ ；⑤ 中，是一次函数的有（　
　）
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
例题2
填空：
(1) 对于函数 （ 为常数），当 时，它是正比例函数；当
时，它是一次函数．
(2) 函数 ，在 ， 满足 条件下， 是 的一次函数；在 ， 满
足 条件下， 与 成正比例函数．
(3) 当 时，函数 表示一次函数，其表达式是 ．
二、一次函数的图象和性质
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图象：一次函数 的图象是一条直线，我们称它为直线 ，
图象与 轴交于点 ，与 轴交于点
示意图(草图) 经过的象限 变化趋势 性质
一、二、三
随 的增大而
从左向右
增大， 随 的
上升
减小减小
一、三、四
一、二、四、
随 的增大而
从左向右
减小， 随 的
下降
减小增大
二、三、四
例题3
在同一个坐标系中分别画出下列函数的图象．
⑴ ； ；
⑵ ； ；
例题4
1 已知直线 ，当 时，直线不经过（　　）．
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2 已知直线 ，且 ， ，则直线经过第 象限.
3 已知一次函数 ，其中 ，则所有符合条件的一次函数的图象一定都经过第 象
限.
例题5
请回答下列各题
(1) 一次函数 的图象如图所示，则 的取值范围是（ ）．
A. B. C. D.
(2) 直线 过第一、二、四象限，则直线 不经过（ ）．
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
(3) 已知关于 的一次函数 的图象经过第二、三、四象限，则（ ）．
A. ， B. ， C. ， D. ，
例题6
请回答下列各题
(1) 点 ，点 是一次函数 图象上的两个点，且 ，则 与
的大小关系是（ ）．
A. B. C. D.
(2) 已知 ， 均在直线 上，若 ，则 与 的大小关系为
（ ）．
A. B. C. D. 无法确定
(3) 已知直线 上两点 和 ，且 ， ，当 时， 与 的
大小关系为 ．
例题7
请回答下列问题：
(1) 已知一次函数 ，若 随 的增大而增大，则 的取值范围是（ ）．
A. B. C. D.
(2) 已知直线 中，当 时， ，则下列结论中一定正确的是（ ）．
A. B. C. D.
(3) 若一次函数 中，当 时， ，且图象与 轴的负半轴相交，那么对 和
的符号判断正确的是（ ）．
A. ， B. ， C. ， D. ，
例题8
请回答下列各题
(1) 关于 的一次函数 的图象可能是（ ）．
A. B.
C. D.
(2) 下列图象中，不可能是关于 的一次函数 的图象的是（ ）．
A. B.
C. D.
(3) 如下图，在同一直角坐标系中，直线 和直线 的图象可能是（ ）．
A. B.
C. D.
三、数学万花筒
毛毛虫与跟风
美国一个研究“成功”的机构，曾经长期追踪一百个年轻人，直到他们年满六十五岁。结果发现：只
有一个人很富有，其中有五个人有经济保障，剩下九十四人情况不太好，可算是失败者。
这九十四个人之所以晚年拮据，并非年轻时努力不够，主要因为没有选定清晰的目标。
松树毛虫集体吐丝在松树上结网为巢。每当黄昏时刻，它们就倾巢而出，列队爬过树干，去吃那些
充满汁液的松叶。这些毛虫在走动时，有一种互相跟随的本能，头头走在前面，后面紧跟著一条条的毛
虫，秩序井然，蜿蜒而行。
走在前面的头头，一边爬行，一边不断地吐出一条丝。不管它走到哪里，丝就吐到哪里，其吐丝铺
路的目的，就是不论走多远，都能顺著丝路回巢，而不会迷路。
法国昆虫学家法布尔曾对松树毛虫做了一项实验。他把一队的毛虫引到一个高大的花盆上，等全队
的毛虫爬上花盆边缘形成圆圈时，法布尔就用布将花盆上四周的丝擦掉，仅留下花盆边缘上的丝，并在
花盆中央放好了一些松叶。
松树毛虫开始绕著花盆边缘走，一只接一只盲目地走，一圈又一圈重复地走，它们认为只要有丝路
在，就不会迷路。如此走了七天七夜，根本不知道距离几公分处有丰富的食物，最后终因饥饿而力竭身
亡。
许多人跟松树毛虫一样，只会盲目地跟随别人，墨守成规，人云亦云。他们按照既定的窠臼，每天
懵懵懂懂地过日子，如果问他为何如此做，他会说“大家都是这么做嘛”。
一个没有目标的人，就像一艘没有罗盘的船只，迷迷茫茫，随风飘荡，非但到不了彼岸，而且极 易
触礁而亡。没有目标就没有著力点，到头来一事无成。
四、懒人笔记
五、巩固加油站
巩固1
下列函数中，哪些是一次函数？
① ② ③ ④ ⑤
巩固2
函数已知 ，当 为何值时， 是 的一次函数？
巩固3
已知函数 是一次函数，则 的值为多少？
巩固4
若 ， ，则 经过（ ）
A. 第一、二、三象限 B. 第一、三、四象限 C. 第一、二、四象限 D. 第二、三、四象限
巩固5
如果一次函数 的图象经过第一象限，且与 轴负半轴相交， 那么（ ）
A. ， B. ， C. ， D. ，
巩固6
已知一次函数 的图象经过一、三、四象限，则 的取值范围是（ ）
A. B. 或 C. D.
巩固7
已知关于 ， 的一次函数 的图象经过平面直角坐标系中的第一、三、四象限，
那么 的取值范围是（ ）．
A. B. C. D. 不存在
巩固8
若点 ， 和 ， 都在直线 上，且 ，则下列结论正确的是（　　）．
A. B. C. D.
巩固9
已知点 ， 是一次函数 图像上的两个点，且 ；则 与 的大小关
系是（ ）．
A. B. C. D.
巩固10
已知一次函数 ，若 随 的减小而减小，则该函数的图像经过（ ）．
A. 第一、二、三象限 B. 第一、二、四象限 C. 第一、三、四象限 D. 第二、三、四象限
巩固11
已知正比例函数 的函数值 随 的增大而减小，则一次函数 的图象大致是（ ）．
A. B. C. D.
巩固12
直线 经过一、三、四象限，则直线 的图象只能是图中的（ ）．
A. B.
C. D.第6讲 一次函数概念与性质
一、一次函数的定义
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定义：一般地，形如 ( ， 为常数， )的函数，叫做一次函数，当 时，
即为 ，所以正比例函数是一种特殊的一次函数．
经典例题
例题1
下列函数① ；② ；③ ；④ ；⑤ 中，是一次函数的有（　
　）
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
答案 C
解析 ① 是一次函数；
② 是一次函数；
③ ，自变量次数不为 ，不是一次函数；
④ 不是一次函数；
⑤ ，自变量次数不为 ，不是一次函数．
故选 ．
标注 函数 >一次函数 >一次函数基础 >题型：判断一次函数
例题2
填空：
(1) 对于函数 （ 为常数），当 时，它是正比例函数；当
时，它是一次函数．
(2) 函数 ，在 ， 满足 条件下， 是 的一次函数；在 ， 满
足 条件下， 与 成正比例函数．
(3) 当 时，函数 表示一次函数，其表达式是 ．
答案 (1) 1．
2．
(2) 1．
2． 且
(3) 1．
2．
解析 (1) 由一次函数的定义可知 时，为正比例函数，当 时，为一次函数．
(2) 由正比例函数的定义可知 时， 是 的一次函数，当 且 时， 与 成
正比例函数．
(3) 由一次函数的定义可知 时，函数 ，表示一次函数，表
达式为 ．
标注 函数 >一次函数 >一次函数基础 >题型：判断一次函数
二、一次函数的图象和性质
知识导航
图象：一次函数 的图象是一条直线，我们称它为直线 ，
图象与 轴交于点 ，与 轴交于点
示意图(草图) 经过的象限 变化趋势 性质
一、二、三
随 的增大而
从左向右
增大， 随 的
上升
减小减小
一、三、四
一、二、四、
随 的增大而
从左向右
减小， 随 的
下降
减小增大
二、三、四
例题3
在同一个坐标系中分别画出下列函数的图象．
⑴ ； ；
⑵ ； ；
答案 答案见解析．
解析
标注 函数 >一次函数 >一次函数的图象与性质
例题4
1 已知直线 ，当 时，直线不经过（　　）．
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
答案 B
解析 时直线不会经过第二象限
标注 函数 >一次函数 >一次函数基础 >题型：一次函数系数与图象关系
2 已知直线 ，且 ， ，则直线经过第 象限.
答案 二、三、四
解析 ∵
∴ 或
又
∴ ，
∴直线 经过二三四象限
故正确答案为二三四.
标注 函数 >一次函数 >一次函数基础 >题型：一次函数系数与图象关系
3 已知一次函数 ，其中 ，则所有符合条件的一次函数的图象一定都经过第 象
限.
答案 二、三
解析 根据题意， ，则 、 同号，
当 时， ，此时函数图象过一二三象限，
当 时， ，此时函数图象过二三四象限，
综合可得，所有符合条件的一次函数的图象一定通过第二、三象限，
标注 函数 >一次函数 >一次函数基础 >题型：一次函数系数与图象关系
例题5
请回答下列各题
(1) 一次函数 的图象如图所示，则 的取值范围是（ ）．
A. B. C. D.
(2) 直线 过第一、二、四象限，则直线 不经过（ ）．
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
(3) 已知关于 的一次函数 的图象经过第二、三、四象限，则（ ）．
A. ， B. ， C. ， D. ，
答案 (1) B
(2) B
(3) D
解析 (1) 可知此函数的斜率小于 ，所以 ，故选 ．
(2) 由直线 过第一、二、四象限可知， ， ，所以直线 不经
过第二象限，故选 ．
(3) 已知关于 的一次函数 的图象经过第二、三、四象限，则 ， ，
故选 ．
标注 函数 >一次函数 >一次函数基础 >题型：一次函数系数与图象关系
例题6
请回答下列各题
(1) 点 ，点 是一次函数 图象上的两个点，且 ，则 与
的大小关系是（ ）．
A. B. C. D.
(2) 已知 ， 均在直线 上，若 ，则 与 的大小关系为
（ ）．
A. B. C. D. 无法确定
(3) 已知直线 上两点 和 ，且 ， ，当 时， 与 的
大小关系为 ．
答案 (1) A
(2) C
(3)
解析 (1) 由一元一次函数的单调性可知，当 时，可知此函数的是单调递减函数，如果
， ，故选 ．
(2) 由一元一次函数的单调性可知，直线 上的斜率 ，所以 ，
，故选 ．
(3) 由一元一次函数的单调性可知，当 ， 时，若 ， 与 的大小关系
式为 ．
标注 函数 >一次函数 >一次函数基础 >题型：一次函数系数与图象关系
例题7
请回答下列问题：
(1) 已知一次函数 ，若 随 的增大而增大，则 的取值范围是（ ）．
A. B. C. D.
(2) 已知直线 中，当 时， ，则下列结论中一定正确的是（ ）．
A. B. C. D.
(3) 若一次函数 中，当 时， ，且图象与 轴的负半轴相交，那么对 和
的符号判断正确的是（ ）．
A. ， B. ， C. ， D. ，
答案 (1) A
(2) A
(3) D
解析 (1) 已知一次函数 中 y随 的增大而增大，所以： ，故 ，故
选 ．
(2) 由题意可知 随 的增大而增大，所以 ，故选 ．
(3) 由一次函数单调性可知 ， ，故选 ．
标注 函数 >一次函数 >一次函数基础 >题型：一次函数图象与性质
例题8
请回答下列各题
(1) 关于 的一次函数 的图象可能是（ ）．
A. B.
C. D.
(2) 下列图象中，不可能是关于 的一次函数 的图象的是（ ）．
A. B.
C. D.
(3) 如下图，在同一直角坐标系中，直线 和直线 的图象可能是（ ）．
A. B.
C. D.
答案 (1) C
(2) C
(3) B
解析 (1) 略．
(2) 略．
(3) 略．
标注 函数 >一次函数 >一次函数基础 >题型：一次函数系数与图象关系
三、数学万花筒
毛毛虫与跟风
美国一个研究“成功”的机构，曾经长期追踪一百个年轻人，直到他们年满六十五岁。结果发现：只
有一个人很富有，其中有五个人有经济保障，剩下九十四人情况不太好，可算是失败者。
这九十四个人之所以晚年拮据，并非年轻时努力不够，主要因为没有选定清晰的目标。
松树毛虫集体吐丝在松树上结网为巢。每当黄昏时刻，它们就倾巢而出，列队爬过树干，去吃那些
充满汁液的松叶。这些毛虫在走动时，有一种互相跟随的本能，头头走在前面，后面紧跟著一条条的毛
虫，秩序井然，蜿蜒而行。
走在前面的头头，一边爬行，一边不断地吐出一条丝。不管它走到哪里，丝就吐到哪里，其吐丝铺
路的目的，就是不论走多远，都能顺著丝路回巢，而不会迷路。
法国昆虫学家法布尔曾对松树毛虫做了一项实验。他把一队的毛虫引到一个高大的花盆上，等全队
的毛虫爬上花盆边缘形成圆圈时，法布尔就用布将花盆上四周的丝擦掉，仅留下花盆边缘上的丝，并在
花盆中央放好了一些松叶。
松树毛虫开始绕著花盆边缘走，一只接一只盲目地走，一圈又一圈重复地走，它们认为只要有丝路
在，就不会迷路。如此走了七天七夜，根本不知道距离几公分处有丰富的食物，最后终因饥饿而力竭身
亡。
许多人跟松树毛虫一样，只会盲目地跟随别人，墨守成规，人云亦云。他们按照既定的窠臼，每天
懵懵懂懂地过日子，如果问他为何如此做，他会说“大家都是这么做嘛”。
一个没有目标的人，就像一艘没有罗盘的船只，迷迷茫茫，随风飘荡，非但到不了彼岸，而且极 易
触礁而亡。没有目标就没有著力点，到头来一事无成。
四、懒人笔记
五、巩固加油站
巩固1
下列函数中，哪些是一次函数？
① ② ③ ④ ⑤
答案 ①③是一次函数．
解析 ①③是一次函数．
标注 函数 >一次函数 >一次函数基础 >题型：判断一次函数
巩固2
函数已知 ，当 为何值时， 是 的一次函数？
答案
解析 依题意，得： ，∴
∴当 时， 是 的一次函数．
标注 函数 >一次函数 >一次函数的解析式 >题型：根据条件写解析式
巩固3
已知函数 是一次函数，则 的值为多少？
答案 ．
解析 略．
标注 函数 >一次函数 >一次函数的解析式 >题型：根据条件写解析式
巩固4
若 ， ，则 经过（ ）
A. 第一、二、三象限 B. 第一、三、四象限 C. 第一、二、四象限 D. 第二、三、四象限
答案 D
解析 因为 ， ，故 ，所以 经过第二、三、四象限．
标注 函数 >一次函数 >一次函数基础 >题型：一次函数系数与图象关系
巩固5
如果一次函数 的图象经过第一象限，且与 轴负半轴相交， 那么（ ）
A. ， B. ， C. ， D. ，
答案 B
解析 因为一次函数 的图象经过第一象限，且与 轴负半轴相交，故一次函数经过第一、
三、四象限，故 ， ，选 ．
标注 函数 >一次函数 >一次函数的图象与性质
巩固6
已知一次函数 的图象经过一、三、四象限，则 的取值范围是（ ）
A. B. 或 C. D.
答案 A
解析 已知一次函数 的图象经过一、三、四象限，
则 ， ，
∴ 的取值范围是 ；
故选 ．
标注 函数 >一次函数 >一次函数基础 >题型：一次函数系数与图象关系
巩固7
已知关于 ， 的一次函数 的图象经过平面直角坐标系中的第一、三、四象限，
那么 的取值范围是（ ）．
A. B. C. D. 不存在
答案 C
解析 ∵ 的图象经过平面直角坐标系中的第一、三、四象限，
∴
∴ ．
故选 ．
标注 函数 >一次函数 >一次函数基础 >题型：一次函数系数与图象关系
巩固8
若点 ， 和 ， 都在直线 上，且 ，则下列结论正确的是（　　）．
A. B. C. D.
答案 B
解析 已知点 ， 和 ， 都在直线 上，且 ，因为 ，所以函数图象的单
调递减．
标注 函数 >一次函数 >一次函数基础 >题型：一次函数图象与性质
巩固9
已知点 ， 是一次函数 图像上的两个点，且 ；则 与 的大小关
系是（ ）．
A. B. C. D.
答案 A
解析 ∵点 ， 是一次函数 图像上的两个点，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
故选 ．
标注 函数 >一次函数 >一次函数基础 >题型：一次函数系数与图象关系
巩固10
已知一次函数 ，若 随 的减小而减小，则该函数的图像经过（ ）．
A. 第一、二、三象限 B. 第一、二、四象限 C. 第一、三、四象限 D. 第二、三、四象限
答案 A
解析 已知一次函数 ，若 随 的减小而减小，所以可知 ，所以函数图象经过第一、
二、三象限．
标注 函数 >一次函数 >一次函数基础 >题型：一次函数图象与性质
巩固11
已知正比例函数 的函数值 随 的增大而减小，则一次函数 的图象大致是（ ）．
A. B. C. D.
答案 C
解析 ∵正比例函数 ( )函数值随 的增大而减小，
∴ ，∴ ，
∴一次函数 的图象经过一、二、四象限，故选 ．
标注 函数 >一次函数 >一次函数基础 >题型：一次函数系数与图象关系
巩固12
直线 经过一、三、四象限，则直线 的图象只能是图中的（ ）．
A. B.
C. D.
答案 C
解析 ∵直线 经过第一、三、四象限，
∴ ， ，
∴ ，
∴直线 经过第二、三、四象限．
标注 函数 >一次函数 >一次函数基础 >题型：一次函数系数与图象关系

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