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第8讲 中点辅助线
一、斜边中线和倍长（类）中线
知识导航
倍长中线
一般
中位线
中点辅助线添加
等腰三角形：三线合一
特殊
直角三角形：斜边中线等于斜边一半
倍长(类)中线
方法 延长过中点的线，使得延长后的线段与原有线段相等
目的 构造一对对顶的全等三角形与一组平行线
如图，其中 ，延长 至 ，使得 如图，其中 ，延长 至 ，
， 使得 ，
则 ≌ ， 则 ≌ ，
示例
应用 ①转移边，②构造平行，转移角
斜边中线
定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的
一半
若 为 斜边上的中线，
⑴ ；
⑵ ， 为等腰三角形
⑶ ，
相关模型：
在由两个直角三角形组成的图中， 为中
点，总有结论：
① ②
经典例题
例题1
1 如图，在 中， ， ， 是斜边 上的中线， ，则 ．
答案
解析 在 中，
∵ ， ，
∴ ，
∵ 是斜边 上的中线，
∴ ， ，
∴ ，
故答案为： ．
标注 四边形 > 四边形综合 > 中点类 > 题型：直角三角形斜边中线性质以及应用
2 锐角 中， ，若 于 ， 于 ， 、 分别为 、 的中点，若
，则 的长为 ．
答案
解析 如图，连接 、 ，
∵ 是 的中点， ， ，
∴ ，
∵ 是 的中点，
∴ ， ，
在 中， ．
标注 四边形 > 四边形综合 > 中点类 > 题型：中位线性质以及应用
3 如图，在 中， ， 分别是 ， 的中点， ， 是 上一点，连接 、 ，
．若 ，则 的长度为（ ）．
A. B. C. D.
答案 C
解析 考察中位线的性质以及直角三角形斜边上的中线为斜边的一半，
∵ 为 中点， 且 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
又∵ 为 中点，
∴ ，
∴ ，
故选 ．
标注 三角形 > 三角形及多边形 > 与三角形有关的线段 > 题型：与三边关系有关的证明
例题2
1 如图，在平行四边形 中， ，点 是 的中点， 于 ．如果
，那么 的值是（ ）．
A. B. C. D.
答案 A
解析 取 中点 ，连接 、 ，则
可知
标注 四边形 > 平行四边形 > 平行四边形问题 > 题型：根据平行四边形角的性质计算与证明
2 如图，在矩形 中， ， 是 的中点， 于点 ，则 的长是 ．
答案
解析 方法一：∵四边形 是矩形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 是 的中点，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
，
∴ ，
过 作 于 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ．
方法二：如图，过点 作 ，
∵ ，
∴ ， ，
∵点 是 中点，
∴ ，
∵四边形 是矩形，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ≌ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
标注 四边形 > 特殊四边形 > 矩形 > 题型：矩形的性质
例题3
猜想与证明：
(1) 如图 ，摆放矩形纸片 与矩形纸片 ，使 ， ， 三点在一条直线上， 在边
上，连接 ，若 为 的中点，连接 ， ，试猜想 与 的关系，并证明你
的结论．
图
(2) 拓展与延伸：
若将“猜想与证明”中的纸片换成正方形纸片 与正方形纸片 ，其他条件不变，
则 和 的关系为 ．
(3) 如图 摆放正方形纸片 与正方形纸片 ，使点 在边 上，点 仍为 的中
点，试证明（ ）中的结论仍然成立．
图
答案 (1) 证明见解析．
(2) 且
(3) 证明见解析．
解析 (1) ，延长 交 于 ，
图
∵矩形 中 ，同理 ，
∴ ，
∴ ，
∵ 为 的中点，
∴ ，
∴在 和 中，
，
∴ ≌ ，
∴ ，
∴ 中， 为斜边 的中点，
∴ ．
(2) 由（ ）知， ， ，
∴ ， ，
∵四边形 ， 是正方形，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
(3) 连接 ，
图
由题意可知： ， ，
∴ ， ， 共线．
∵ 中， 为斜边中点，
∴ ，
∴ ， ，
同理， ，
∴ ， ，
∴ ，
，
∴ ，
∴ ， ．
标注 四边形 > 四边形综合 > 中点类 > 题型：中点类综合计算与证明
二、中点四边形
知识导航
中点四边形
四边形四边中点
如右图，顺次取四边形 四边中点 ，得
四边形 ，
则：①四边形 一定为平行四边形；
②若 ，则四边形 为矩形；
③若 ，则四边形 为菱形
等对边四边形
如右图，在四边形 中， ，取不相等
的对边中点 、 及对角线 中点 、 ，得四
边形 ，则四边形 一定为菱形
经典例题
例题4
1 如图，在四边形 中， ， 分别为 ， 的中点， 是 的中点，则 与 的关
系是（ ）．
A. B.
C. D. 不确定
答案 C
解析 ∵ 为 中点， 是 中点，∴ ．
同理． ，在 中， ，
∴ ，即 ．
标注 四边形 > 四边形综合 > 中点类 > 题型：中位线性质以及应用
2 如图，在四边形 中， ， 、 、 、 分别是 、 、 、 的中点，则
．
答案
解析 联结 ， ， ， ，
∵ 、 分别是 、 的中点，
∴ 是 的中位线，
∴ ，
同理可得 ， ， 分别是 ， ， 的中位线，
∴ ， ，
∴ ，
∴四边形 为菱形，
∴ ，且垂足为 ，
∴ ， ，
在 中，根据勾股定理得： ，
等式两边同时乘以 得： ，
∴
标注 四边形 > 特殊四边形 > 菱形 > 题型：菱形的性质
四边形 > 特殊四边形 > 菱形 > 题型：菱形的判定-从四边形
例题5
如图 ，在四边形 中， ， ， 分别是 ， 的中点，连结 并延长，分别与
， 的延长线交于点 ， ，求证 .
小明的思路是：在图 中，连结 ，取 的中点 ，连结 ， ，根据三角形中位线定理和平
行线性质，可证得 ．
图
(1) 请完成上述证明过程．
(2) 问题：如图 ，在 中， ， 点在 上， ， ， 分别是 ， 的
中点，连结 并延长，与 的延长线交于点 ，若 ，连结 ，判断
的形状并证明．
图
答案 (1) 证明见解析．
(2) 判断 是直角三角形，证明见解析．
解析 (1) 如图，连结 ，取 的中点 ，连结 、 ，
则 ， 分别为 与 的中位线， ，
，
故 ，从而 ，再利用平行线的性质，
可证得 ．
(2) 如图连结 ，取 的中点 ，连结 、 ，
∵ 是 的中点，
∴ ， ，
∴ ，
同理， ，
，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 为等边三角形，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
即 是直角三角形．
标注 四边形 > 四边形综合 > 中点类 > 题型：中位线性质以及应用
例题6
如图，在五边形 中， ， ， 为 的中点．求证：
．
答案 证明见解析．
解析 方法一：如图 ，取 中点 ，取 中点 ，连 、 、 、 ，得 ，
图
∴
同理
∴
∵
，
∵ ，
又∵
∴
又∵
∴
∴ ≌
∴ ，
方法二： 如图 ，延长 到 ，使得 ，
延长 到 ，使得
连接 、 、 、 ．
图
由
∴ ， 是等腰三角形
∵ 是 中点，
∴ ，
，
∴ ≌ ( )
∴
∴ ．
标注 三角形 > 全等三角形 > 全等辅助线 > 题型：辅助线综合运用
三、数学万花筒
数学江湖中的“独孤九剑” !
　　若问金庸江湖中哪套剑法最厉害，十有八九都会想到“独孤九剑”。那位俨如神话的剑魔独孤求
败，终其一生欲求一败而不得，大抵是所有剑客们心向往之的至高境界。其实在数学江湖中也有一套
“独孤九剑”，那便是被誉为“中国数学圣经”的《九章算术》。
《九章算术》作者不详，师承不明，无门无派，身世神秘，仿佛天外飞仙般突然降临江湖，一出现便惊
艳了众生，引得历代名家尽折腰，甘愿殚精竭虑，纷纷为之作注，九章之学，遂成大宗。
如此经典，非圣贤不能为。魏晋数坛盟主刘徽归戴周公，“周公制礼而有九数，九数之流则《九章》是
矣”，又云西汉张苍、耿寿昌曾“因旧文之遗残，各称删补”。若斯言足征，则《九章算术》之渊源，
实可远溯千年，至迟于西汉初期已见成书，其后递经修订，于东汉初期已传定本。
　　正如“独孤九剑”有九式一样，《九章算术》当然也有九章，每章研习一术，分别是方田术、粟米
术、衰分术、少广术、商功术、均输术、盈不足术、方程术、勾股术，合称“九术”，即九种算法，不
过听起来怎么都像是武功秘诀或兵战奇略。
中国人重务实而轻务虚，《九章算术》亦不屑于纯粹的数理推演，凡所研习，莫不与社会生活息息相
关。对此，刘徽曾有精辟的论述：方田者，“以御田畴界域”；粟米者，“以御交质变易”；衰分者，
“以御贵贱禀税”；少广者，“以御积幂方圆”；商功者，“以御功程积实”；均输者，“以御远近劳
费”；盈不足者，“以御隐杂互见”；方程者，“以御错糅正负”；勾股者，“以御高深广远”。
　　可见，《九章算术》所要解决的是诸如田亩丈量、粮食折换、商品交易、物资分配、土木工程、水
利建设、赋税缴纳、徭役摊派、盈亏平衡等方方面面的问题，是基于现实的需要，而非偶发的兴趣，故
而所要探究的也是如何计算面积、体积、容积，如何进行分数运算、比例运算、等差运算、正负数运
算，如何开平方、开立方，如何求解多元线性方程组，如何运用勾股定理测高望远等实用实效的数学方
法。
剑有剑招，算有算题，“独孤九剑”须得从一招一招练起，《九章算术》也得从一题一题做起。　　整
部《九章算术》说到底就是一本算题集，共列举了二百四十六道算题，每题皆有问有答有解。这又好比
二人对剑，一人出招，一人接招，至于如何见招拆招，则全赖“九术”之妙用。
四、懒人笔记
五、巩固加油站
巩固1
如图，在 中， ， 边上的中线 ， ，则 等于（ ）．
A. B.
C. D.
答案 D
解析 ∵
∴ ， ，
∴ ．
故选 ．
标注 三角形 > 勾股定理 > 勾股定理基础 > 题型：勾股逆定理的应用
巩固2
如图，在 中， ， ， 于 ， 于 ， 是 的中点，则
的周长是 ．
答案
解析 ∵ ， ， 于 ， 于 ， 是 的中点，
∴ 是直角三角形， 是 的中线，
，
又∵点 是 的中点，
∴ 是 的中线， 是 的中线，
∴ ，
∴三角形 的周长 ．
故答案为： ．
标注 四边形 > 四边形综合 > 中点类 > 题型：直角三角形斜边中线性质以及应用
巩固3
在四边形 中， ， ， 、 、 、 分别是边 、 、 、 的中
点，则四边形 的周长为 ．
答案
解析 ∵四边形 中， ， ，
、 、 、 分别是边 、 、 、 的中点，
∴ ， ，
∴四边形 的周长为：
，
，
，
，
故答案为 ．
标注 四边形 > 四边形综合 > 中点类 > 题型：中位线性质以及应用
巩固4
如图，四边形 中， ， 、 、 分别是 、 、 的中点，若 ，
，则 ．
答案
解析 连接 ，
∵ ， ， ， 分别是 ， ， 的中点，
∴ 是 的中位线， 是 的中位线，
又∵ ，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
标注 四边形 > 梯形 > 梯形特殊性质 > 题型：梯形的中位线
巩固5
如图，在四边形 中， ， 、 分别是 、 的中点，连结 并延长，分别与
、 的延长线交于点 、 ，证明： ．
答案 证明见解析．
解析 连接 ，取 中点 ，连接 、 ，
∵ 、 、 为中点，
∴ ， ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ．
标注 四边形 > 四边形综合 > 中点类 > 题型：中位线性质以及应用
巩固6
如图，已知 为 的角平分线， ，在 上截取 ， 、 分别为边 、
的中点．求证： ．
答案 证明见解析．
解析 如图，连接 ，取 的中点 ，连接 、 ．
∵ 是 的中位线
FM是
易知 ， ．
又∵ ，∴
∴
又∵
∴
∴
又∵
∴
∵ 平分
∴
易证 ．
标注 四边形 > 四边形综合 > 中点类 > 题型：中位线性质以及应用
巩固7
在 中， ， ， 、 、 分别是 、 、 的中点， 是 的中
点，求证： ．
G
答案 见解析
解析 连结 、 ，可证 ， ， ，
则 ≌ ，得证．
标注 三角形 > 全等三角形 > 全等形判定 > 题型：SAS第8讲 中点辅助线
一、斜边中线和倍长（类）中线
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倍长中线
一般
中位线
中点辅助线添加
等腰三角形：三线合一
特殊
直角三角形：斜边中线等于斜边一半
倍长(类)中线
方法 延长过中点的线，使得延长后的线段与原有线段相等
目的 构造一对对顶的全等三角形与一组平行线
如图，其中 ，延长 至 ，使得 如图，其中 ，延长 至 ，
， 使得 ，
则 ≌ ， 则 ≌ ，
示例
应用 ①转移边，②构造平行，转移角
斜边中线
定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的
一半
若 为 斜边上的中线，
⑴ ；
⑵ ， 为等腰三角形
⑶ ，
相关模型：
在由两个直角三角形组成的图中， 为中
点，总有结论：
① ②
经典例题
例题1
1 如图，在 中， ， ， 是斜边 上的中线， ，则 ．
2 锐角 中， ，若 于 ， 于 ， 、 分别为 、 的中点，若
，则 的长为 ．
3 如图，在 中， ， 分别是 ， 的中点， ， 是 上一点，连接 、 ，
．若 ，则 的长度为（ ）．
A. B. C. D.
例题2
1 如图，在平行四边形 中， ，点 是 的中点， 于 ．如果
，那么 的值是（ ）．
A. B. C. D.
2 如图，在矩形 中， ， 是 的中点， 于点 ，则 的长是 ．
例题3
猜想与证明：
(1) 如图 ，摆放矩形纸片 与矩形纸片 ，使 ， ， 三点在一条直线上， 在边
上，连接 ，若 为 的中点，连接 ， ，试猜想 与 的关系，并证明你
的结论．
图
(2) 拓展与延伸：
若将“猜想与证明”中的纸片换成正方形纸片 与正方形纸片 ，其他条件不变，
则 和 的关系为 ．
(3) 如图 摆放正方形纸片 与正方形纸片 ，使点 在边 上，点 仍为 的中
点，试证明（ ）中的结论仍然成立．
图
二、中点四边形
知识导航
中点四边形
四边形四边中点
如右图，顺次取四边形 四边中点 ，得
四边形 ，
则：①四边形 一定为平行四边形；
②若 ，则四边形 为矩形；
③若 ，则四边形 为菱形
等对边四边形
如右图，在四边形 中， ，取不相等
的对边中点 、 及对角线 中点 、 ，得四
边形 ，则四边形 一定为菱形
经典例题
例题4
1 如图，在四边形 中， ， 分别为 ， 的中点， 是 的中点，则 与 的关
系是（ ）．
A. B.
C. D. 不确定
2 如图，在四边形 中， ， 、 、 、 分别是 、 、 、 的中点，则
．
例题5
如图 ，在四边形 中， ， ， 分别是 ， 的中点，连结 并延长，分别与
， 的延长线交于点 ， ，求证 .
小明的思路是：在图 中，连结 ，取 的中点 ，连结 ， ，根据三角形中位线定理和平
行线性质，可证得 ．
图
(1) 请完成上述证明过程．
(2) 问题：如图 ，在 中， ， 点在 上， ， ， 分别是 ， 的
中点，连结 并延长，与 的延长线交于点 ，若 ，连结 ，判断
的形状并证明．
图
例题6
如图，在五边形 中， ， ， 为 的中点．求证：
．
三、数学万花筒
数学江湖中的“独孤九剑” !
　　若问金庸江湖中哪套剑法最厉害，十有八九都会想到“独孤九剑”。那位俨如神话的剑魔独孤求
败，终其一生欲求一败而不得，大抵是所有剑客们心向往之的至高境界。其实在数学江湖中也有一套
“独孤九剑”，那便是被誉为“中国数学圣经”的《九章算术》。
《九章算术》作者不详，师承不明，无门无派，身世神秘，仿佛天外飞仙般突然降临江湖，一出现便惊
艳了众生，引得历代名家尽折腰，甘愿殚精竭虑，纷纷为之作注，九章之学，遂成大宗。
如此经典，非圣贤不能为。魏晋数坛盟主刘徽归戴周公，“周公制礼而有九数，九数之流则《九章》是
矣”，又云西汉张苍、耿寿昌曾“因旧文之遗残，各称删补”。若斯言足征，则《九章算术》之渊源，
实可远溯千年，至迟于西汉初期已见成书，其后递经修订，于东汉初期已传定本。
　　正如“独孤九剑”有九式一样，《九章算术》当然也有九章，每章研习一术，分别是方田术、粟米
术、衰分术、少广术、商功术、均输术、盈不足术、方程术、勾股术，合称“九术”，即九种算法，不
过听起来怎么都像是武功秘诀或兵战奇略。
中国人重务实而轻务虚，《九章算术》亦不屑于纯粹的数理推演，凡所研习，莫不与社会生活息息相
关。对此，刘徽曾有精辟的论述：方田者，“以御田畴界域”；粟米者，“以御交质变易”；衰分者，
“以御贵贱禀税”；少广者，“以御积幂方圆”；商功者，“以御功程积实”；均输者，“以御远近劳
费”；盈不足者，“以御隐杂互见”；方程者，“以御错糅正负”；勾股者，“以御高深广远”。
　　可见，《九章算术》所要解决的是诸如田亩丈量、粮食折换、商品交易、物资分配、土木工程、水
利建设、赋税缴纳、徭役摊派、盈亏平衡等方方面面的问题，是基于现实的需要，而非偶发的兴趣，故
而所要探究的也是如何计算面积、体积、容积，如何进行分数运算、比例运算、等差运算、正负数运
算，如何开平方、开立方，如何求解多元线性方程组，如何运用勾股定理测高望远等实用实效的数学方
法。
剑有剑招，算有算题，“独孤九剑”须得从一招一招练起，《九章算术》也得从一题一题做起。　　整
部《九章算术》说到底就是一本算题集，共列举了二百四十六道算题，每题皆有问有答有解。这又好比
二人对剑，一人出招，一人接招，至于如何见招拆招，则全赖“九术”之妙用。
四、懒人笔记
五、巩固加油站
巩固1
如图，在 中， ， 边上的中线 ， ，则 等于（ ）．
A. B.
C. D.
巩固2
如图，在 中， ， ， 于 ， 于 ， 是 的中点，则
的周长是 ．
巩固3
在四边形 中， ， ， 、 、 、 分别是边 、 、 、 的中
点，则四边形 的周长为 ．
巩固4
如图，四边形 中， ， 、 、 分别是 、 、 的中点，若 ，
，则 ．
巩固5
如图，在四边形 中， ， 、 分别是 、 的中点，连结 并延长，分别与
、 的延长线交于点 、 ，证明： ．
巩固6
如图，已知 为 的角平分线， ，在 上截取 ， 、 分别为边 、
的中点．求证： ．
巩固7
在 中， ， ， 、 、 分别是 、 、 的中点， 是 的中
点，求证： ．
G

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