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第9讲 四边形中的经典问题
一、四边形中的最值
知识导航
四边形中的线段最值
分类 思路
①垂线段最短
线段最值
②三角形的三边关系(本质为“两点之间，线段最短”)
线段和最值 “将军饮马”——作定点关于动点所在直线的对称点
经典例题
例题1
1 如图，正方形 的边长为 ， 在 边上，且 ， 是 上一动点，则 的最小
值为（ ）．
A. B. C. D.
2 如图，在平行四边形 中， 为 边的中点， 平分 交 于 ， 是 上任意一
点， ， ，则 的最小值为 ．
A F D
E P
B C
3 如图，在矩形 中， ， ，若在 ， 上各取点 ， ，使 最
小，则 的最小值为 ．
例题2
1 如图，菱形 的边长为 ，对角线 ，点 、 在 上，且 ，则 的最
小值为 ．
2 如图（ ）， 、 两单位分别位于一条封闭街道的两旁(直线 、 是街道两边沿)，现准备合作
修建一座过街人行天桥，在图（ ）中作图说明天桥应建在何处才能使由 经过天桥走到 的路程
最短，并计算由 经过天桥走到 的最短路线为 ．(注：桥的宽度忽略不计，桥必须与街道
垂直)．
例题3
1 如图，在菱形 中， ， ，点 ， 分别是边 ， 上的动点，且
，则线段 的最小值为（ ）．
A. B.
C. D.
2 如图，在 中， ， ， ，点 是 边上的动点(不与 ， 重合)过点 作
于点 ，作 于点 ，则 的最小值是（ ）．
A. B. C. D.
3 如图，在边长为 的菱形 中， ， 是 边的中点，点 是 边上一动点，将
沿 所在的直线翻折得到 ，连接 ，则线段 长度的最小值是 ．
4 如图， ，矩形 的顶点 、 分别在边 ， 上，当 在边 上运动时， 随
之在 上运动，矩形 的形状保持不变，其中 ， ，运动过程中，点 到点 的
最大距离为 ．
二、四边形中的折叠
知识导航
折叠：在几何中又可理解为“对称”、“翻折”，意味着操作前后两个图形全等：对应边、对应角相等，且对
称轴垂直平分对应点连结所成线段。
经典例题
例题4
1 如图，将平行四边形纸片 沿对角线 折叠，点 落在点 处， 恰好过 边中点，若
， ，则 的大小为 度．
2 如图，在边长为 的菱形 中， ，点 ， 分别在 ， 上，沿 折叠菱形使
点 落在 边上的点 处，且 于点 ，则 的长为 ．
3 如图，在菱形纸片 中， ，将纸片折叠，点 ， 分别落在 、 处，且 经过点
， 为折痕，当 时， ．
例题5
如图，矩形 中， 为 边上一点，沿直线 将 翻折至 （点 的对应点为点
）， 与 相交于点 ，且 ．
(1) 求证： ．
(2) 若 ， ，求 的长．
例题6
将一矩形纸片 放在直角坐标系中． 为原点， 在 轴上， ， ．
(1) 如图，在 上取一点 ，将 沿 折叠，使 点落在 边上的 点，求 点的坐标．
(2) 如图，在 、 边上选取适当的点 、 ，将 沿 折叠，使 点落在 边上
点，过 作 交 于 点，交 于 点，设 的坐标为 ，求 与 之间的函数
关系式，并直接写出自变量 的取值范围．
(3) 在（ ）的条件下，若 ，求 的面积．（直接写出结果即可）
三、数学万花筒
抽屉原理与电脑算命
“电脑算命”看起来挺玄乎，只要你报出自己出生的年、月、日和性别，一按按键，屏幕上会出现所
谓性格、命运的句子，据说这就是你的“命”。
　　其实这充其量不过是一种电脑游戏而已。我们用数学上的抽屉原理很容易说明它的荒谬。
　　抽屉原理又称鸽笼原理或狄利克雷原理，它是数学中证明存在性的一种特殊方法。举个最简单的例
子，把3个苹果按任意的方式放入两个抽屉中，那么一定有一个抽屉里放有两个或两个以上的苹果。这是
因为如果每一个抽屉里最多放有一个苹果，那么两个抽屉里最多只放有两个苹果。运用同样的推理可以
得到：
　　原理1把多于n个的物体放到n个抽屉里，则至少有一个抽屉里有2个或2个以上的物体。原理2把多于
mn个的物体放到n个抽屉里，则至少有一个抽屉里有m+1个或多于m+l个的物体。
　　如果以70年计算，按出生的年、月、日、性别的不同组合数应为70×365×2＝51100，我们把它作为
“抽屉”数。我国现有人口11亿，我们把它作为“物体”数。由于1.1×=21526×51100+21400，根据原理2，
存在21526个以上的人，尽管他们的出身、经历、天资、机遇各不相同，但他们却具有完全相同的“命”，
这真是荒谬绝伦！
　　在我国古代，早就有人懂得用抽屉原理来揭露生辰八字之谬。如清代陈其元在《庸闲斋笔记》中就
写道：“余最不信星命推步之说，以为一时（注：指一个时辰，合两小时）生一人，一日生十二人，以岁
计之则有四千三百二十人，以一甲子（注：指六十年）计之，止有二十五万九千二百人而已，今只以一
大郡计，其户口之数已不下数十万人（如咸丰十年杭州府一城八十万人），则举天下之大，自王公大人
以至小民，何啻亿万万人，则生时同者必不少矣。其间王公大人始生之时，必有庶民同时而生者，又何
贵贱贫富之不同也？”在这里，一年按360日计算，一日又分为十二个时辰，得到的抽屉数为
60×360×12＝259200。
　　所谓“电脑算命”不过是把人为编好的算命语句象中药柜那样事先分别一一存放在各自的柜子里，谁
要算命，即根据出生的年月、日、性别的不同的组合按不同的编码机械地到电脑的各个“柜子”里取出所
谓命运的句子。这种在古代迷信的亡灵上罩上现代科学光环的勾当，是对科学的亵渎。
四、巩固加油站
巩固1
如图，将平行四边形 沿对角线 折叠，使点 落在点 处．若 ，则 为（
）．
A. B. C. D.
巩固2
如图，把一张矩形的纸沿对角线 折叠，若 ， ，则 ．
巩固3
如图，在矩形 中， ， ， 为 上一点，将 沿 翻折至 ， 与
相交于点 ，且 ，则 的长为(　　)．
A. B. C. D.
巩固4
如图，已知菱形 的两条对角线长分别是 和 ，点 、 分别是边 、 的中点，点 是对
角线上的一点，则 的最小值是 ．
巩固5
如图，在菱形 中， ， ，点 是边 边的中点，点 、 分别是 、 上
的两个动点，则 的最小值是 ．
巩固6
如图，在边长为 的菱形 中，对角线 ．点 是 的中点， 、 是 上的动点，
且始终保持 ．则四边形 周长的最小值为 ．
巩固7
如图，在 中， ， ， ，点 是 上的任意一点，作 于点
， 于点 ，连结 ，则 的最小值为 ．
巩固8
如图， ，矩形 的顶点 、 分别在边 、 上，当 在边 上运动时， 随
之在边 上运动，矩形 的形状保持不变，其中 ， ．运动过程中，点 到点
的最大距离是（ ）
A. B.
C. D.
巩固9
如图，将边长为 的正方形 折叠，使点 落在边 的中点 处，点 落在 处，折痕为
．
(1) 求线段 的长．
(2) 求线段 及 的长度．第9讲 四边形中的经典问题
一、四边形中的最值
知识导航
四边形中的线段最值
分类 思路
①垂线段最短
线段最值
②三角形的三边关系(本质为“两点之间，线段最短”)
线段和最值 “将军饮马”——作定点关于动点所在直线的对称点
经典例题
例题1
1 如图，正方形 的边长为 ， 在 边上，且 ， 是 上一动点，则 的最小
值为（ ）．
A. B. C. D.
答案 C
解析 如图，连接 ， ，
∵点 关于 的对称点为点 ，
∴
根据两点之间线段最短可得 就是 的最小值，
∵正方形 的边长为 ， ，
∴
∴ 的最小值是 ．
标注 四边形 > 特殊四边形 > 正方形 > 题型：正方形的性质
2 如图，在平行四边形 中， 为 边的中点， 平分 交 于 ， 是 上任意一
点， ， ，则 的最小值为 ．
A F D
E P
B C
答案
解析 作点 和 关于 对称，则连接 交 于点 ，
A F D
E P
B
E' C
∵ ， 平分 交 于 ，
∴ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
所以最小值为 ．
标注 四边形 > 平行四边形 > 平行四边形问题 > 题型：平行四边形与角平分线结合
3 如图，在矩形 中， ， ，若在 ， 上各取点 ， ，使 最
小，则 的最小值为 ．
答案
解析 略
标注 三角形 > 相似三角形 > 相似三角形基础 > 题型：相似三角形的性质与判定综合
例题2
1 如图，菱形 的边长为 ，对角线 ，点 、 在 上，且 ，则 的最
小值为 ．
答案
解析 略．
标注 四边形 > 四边形综合 > 四边形综合应用 > 题型：动点与特殊平行四边形问题
2 如图（ ）， 、 两单位分别位于一条封闭街道的两旁(直线 、 是街道两边沿)，现准备合作
修建一座过街人行天桥，在图（ ）中作图说明天桥应建在何处才能使由 经过天桥走到 的路程
最短，并计算由 经过天桥走到 的最短路线为 ．(注：桥的宽度忽略不计，桥必须与街道
垂直)．
答案
解析 ∵ ， ，
∴四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴ ．
过 作 的垂线，垂足为 ．如图．
在 中， ， ，
，
则 ，
．
故由 经过天桥走到 的最短路线的长 米．
标注 综合类问题 > 最短路径问题 > 题型：两点之间线段最短
例题3
1 如图，在菱形 中， ， ，点 ， 分别是边 ， 上的动点，且
，则线段 的最小值为（ ）．
A. B.
C. D.
答案 B
解析 连接 、 、 ，如图所示：
∵四边形 是边长为 的菱形，
∴ 、 都是边长为 的正三角形，
∴ ，
，
∵ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ≌ ( )，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是正三角形，
∴ ，
当动点 运动到点 或点 时， 的最大值为 ，
当 ，即 为 的中点时 的最小值为 ，
∵ ，
∴ 的最小值为 ．
故选： ．
标注 四边形 > 四边形综合 > 四边形综合应用 > 题型：菱形与全等综合
2 如图，在 中， ， ， ，点 是 边上的动点(不与 ， 重合)过点 作
于点 ，作 于点 ，则 的最小值是（ ）．
A. B. C. D.
答案 B
解析 ∵ 中， ， ， ，
∴ ，
连接 ，
∵ ， ，
∴四边形 是矩形，
∴ ，
当 最小时，则 最小，根据垂线段最短可知当 时，则 最小，
∴ ．
故选 ．
标注 四边形 > 特殊四边形 > 矩形 > 题型：矩形的性质
3 如图，在边长为 的菱形 中， ， 是 边的中点，点 是 边上一动点，将
沿 所在的直线翻折得到 ，连接 ，则线段 长度的最小值是 ．
答案
解析 如图所示：
∵ 是定值， 长度取最小值时，即 在 上时，
过点 作 于点 ，
∵在边长为 的菱形 中， ， 是 中点，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
标注 四边形 > 特殊四边形 > 菱形 > 题型：菱形的性质
4 如图， ，矩形 的顶点 、 分别在边 ， 上，当 在边 上运动时， 随
之在 上运动，矩形 的形状保持不变，其中 ， ，运动过程中，点 到点 的
最大距离为 ．
答案
解析 取 中点 ，连接 、 、 ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，四边形 是矩形，
∴ ，
∴ ，
根据三角形的三边关系， ，
∴当 过点 是最大，最大值为 ．
标注 四边形 > 特殊四边形 > 矩形 > 题型：矩形的性质
二、四边形中的折叠
知识导航
折叠：在几何中又可理解为“对称”、“翻折”，意味着操作前后两个图形全等：对应边、对应角相等，且对
称轴垂直平分对应点连结所成线段。
经典例题
例题4
1 如图，将平行四边形纸片 沿对角线 折叠，点 落在点 处， 恰好过 边中点，若
， ，则 的大小为 度．
答案
解析 与 相交于 点，如图，
∵四边形 为平行四边形，
∴ ，
∴ ．
∵平行四边形纸片 沿对角线 折叠，点 落在点 处，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 为 边中点， ，
∴ ，
而 ，
∴ 为等边三角形，
∴ ．
故答案为： ．
标注 几何变换 > 对称 > 对称问题 > 题型：其它翻折问题
2 如图，在边长为 的菱形 中， ，点 ， 分别在 ， 上，沿 折叠菱形使
点 落在 边上的点 处，且 于点 ，则 的长为 ．
答案
解析 如图 ，连接 ，交 于点 ，
∵四边形 是菱形，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵沿 折叠菱形，使点 落在 边上的点 处，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
解得 ，
∴ 的长为 ．
标注 四边形 > 特殊四边形 > 菱形 > 题型：菱形的性质
3 如图，在菱形纸片 中， ，将纸片折叠，点 ， 分别落在 、 处，且 经过点
， 为折痕，当 时， ．
答案
解析 过 作 于 ，
菱形 中， ，
∴ ， ，
∴ 中， ，
∴ , ，
中， ， ，
∴ ，
∴ 为等腰三角形，
∴ 为 中点，即 ，
∴ 中， ，
∵ ，
，
∴ ，
∴ ．
标注 四边形 > 特殊四边形 > 菱形 > 题型：菱形的性质
例题5
如图，矩形 中， 为 边上一点，沿直线 将 翻折至 （点 的对应点为点
）， 与 相交于点 ，且 ．
(1) 求证： ．
(2) 若 ， ，求 的长．
答案 (1) 证明见解析．
(2) ．
解析 (1) ∵ ， ， ，
∴ ≌ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
(2) 设 ，则 ， ，
，
∴在 中， ，
，
∴ ，
∴ ．
标注 三角形 > 全等三角形 > 全等三角形性质 > 题型：对应边与角
例题6
将一矩形纸片 放在直角坐标系中． 为原点， 在 轴上， ， ．
(1) 如图，在 上取一点 ，将 沿 折叠，使 点落在 边上的 点，求 点的坐标．
(2) 如图，在 、 边上选取适当的点 、 ，将 沿 折叠，使 点落在 边上
点，过 作 交 于 点，交 于 点，设 的坐标为 ，求 与 之间的函数
关系式，并直接写出自变量 的取值范围．
(3) 在（ ）的条件下，若 ，求 的面积．（直接写出结果即可）
答案 (1) 点 的坐标为 ．
(2) ， ．
(3) ．
解析 (1) 设 ，
则 ，
由折叠后 点与 点重合，
得 ≌ ，
∴ ，
，
在 中，
由勾股定理得， ，
又 ，
∴ ，
∴ ，
在 中，
由勾股定理得， ，
∴ ，
解得 ，
∴点 的坐标为 ．
(2) 连接 ，
由折叠后 点与 点重合，
得 ≌ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
在 中，由勾股定理得， ，
∴ ，
即 ，
自变量 的取值范围是 ．
(3) 的面积为 ．
标注 几何变换 > 对称 > 对称问题 > 题型：翻折问题与勾股定理
三、数学万花筒
抽屉原理与电脑算命
“电脑算命”看起来挺玄乎，只要你报出自己出生的年、月、日和性别，一按按键，屏幕上会出现所
谓性格、命运的句子，据说这就是你的“命”。
　　其实这充其量不过是一种电脑游戏而已。我们用数学上的抽屉原理很容易说明它的荒谬。
　　抽屉原理又称鸽笼原理或狄利克雷原理，它是数学中证明存在性的一种特殊方法。举个最简单的例
子，把3个苹果按任意的方式放入两个抽屉中，那么一定有一个抽屉里放有两个或两个以上的苹果。这是
因为如果每一个抽屉里最多放有一个苹果，那么两个抽屉里最多只放有两个苹果。运用同样的推理可以
得到：
　　原理1把多于n个的物体放到n个抽屉里，则至少有一个抽屉里有2个或2个以上的物体。原理2把多于
mn个的物体放到n个抽屉里，则至少有一个抽屉里有m+1个或多于m+l个的物体。
　　如果以70年计算，按出生的年、月、日、性别的不同组合数应为70×365×2＝51100，我们把它作为
“抽屉”数。我国现有人口11亿，我们把它作为“物体”数。由于1.1×=21526×51100+21400，根据原理2，
存在21526个以上的人，尽管他们的出身、经历、天资、机遇各不相同，但他们却具有完全相同的“命”，
这真是荒谬绝伦！
　　在我国古代，早就有人懂得用抽屉原理来揭露生辰八字之谬。如清代陈其元在《庸闲斋笔记》中就
写道：“余最不信星命推步之说，以为一时（注：指一个时辰，合两小时）生一人，一日生十二人，以岁
计之则有四千三百二十人，以一甲子（注：指六十年）计之，止有二十五万九千二百人而已，今只以一
大郡计，其户口之数已不下数十万人（如咸丰十年杭州府一城八十万人），则举天下之大，自王公大人
以至小民，何啻亿万万人，则生时同者必不少矣。其间王公大人始生之时，必有庶民同时而生者，又何
贵贱贫富之不同也？”在这里，一年按360日计算，一日又分为十二个时辰，得到的抽屉数为
60×360×12＝259200。
　　所谓“电脑算命”不过是把人为编好的算命语句象中药柜那样事先分别一一存放在各自的柜子里，谁
要算命，即根据出生的年月、日、性别的不同的组合按不同的编码机械地到电脑的各个“柜子”里取出所
谓命运的句子。这种在古代迷信的亡灵上罩上现代科学光环的勾当，是对科学的亵渎。
四、巩固加油站
巩固1
如图，将平行四边形 沿对角线 折叠，使点 落在点 处．若 ，则 为（
）．
A. B. C. D.
答案 C
解析 ∵ ， ，
由折叠知 ．
在 中，
．
标注 几何变换 > 对称 > 对称问题 > 题型：其它翻折问题
巩固2
如图，把一张矩形的纸沿对角线 折叠，若 ， ，则 ．
答案
解析 由翻折的性质可知： ， ．
∵四边形 是矩形，
∴ ．
∴ ．
∴ ．
∴ ．
∴ ．
故答案为： ．
标注 几何变换 > 对称 > 对称问题 > 题型：其它翻折问题
巩固3
如图，在矩形 中， ， ， 为 上一点，将 沿 翻折至 ， 与
相交于点 ，且 ，则 的长为(　　)．
A. B. C. D.
答案 A
解析 如图所示，∵四边形 是矩形，
∴ ， ， ，
根据题意得： ≌ ，
∴ ， ， ，
在 和 中，
，
∴ ≌ ( )，
∴ ， ，
∴ ，
设 ，则 ， ，∴ ， ，
根据勾股定理得： ，
即 ，
解得： ，
∴ ．
故选： ．
标注 几何变换 > 对称 > 对称问题 > 题型：翻折问题与勾股定理
巩固4
如图，已知菱形 的两条对角线长分别是 和 ，点 、 分别是边 、 的中点，点 是对
角线上的一点，则 的最小值是 ．
答案
解析 作 关于 的对称点 ，连接 ，交 于 ，连接 ，此时 的值最小，连接
，如图所示：
∵四边形 是菱形，
∴ ， ，
即 在 上，
∵ ，
∴ ，
∵ 为 中点，
∴ 为 中点，
∵ 为 中点，四边形 是菱形，
∴ ， ，
∴四边形 是平行四边形，
∴ ，
∵四边形 是菱形，
∴ ， ，
在 中，由勾股定理得： ，
即 ，
，
故答案为： ．
标注 四边形 > 四边形综合 > 中点类 > 题型：中点类综合计算与证明
巩固5
如图，在菱形 中， ， ，点 是边 边的中点，点 、 分别是 、 上
的两个动点，则 的最小值是 ．
答案
解析 如图作 垂足为 与 交于点 ，
∵四边形 是菱形，
∵ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 是等边三角形，
∵ 是中线，
∴
∴点 关于 的对称点 在 上，此时 最小 ．
在 中，
∵ ， ， ，
∴ ， ，
∴ 的最小值 ．
故答案为 ．
标注 综合类问题 > 最短路径问题 > 题型：将军饮马问题
巩固6
如图，在边长为 的菱形 中，对角线 ．点 是 的中点， 、 是 上的动点，
且始终保持 ．则四边形 周长的最小值为 ．
答案
解析 如图所示：
将菱形 放置在平面直角坐标系中，使得 为原点， 在 的正半轴上，∵菱形 的
边长是 ，对角线 ，点 是 的中点，∴ ， ， ，将 平行向左移动
个单位到 点，则 ，作 关于 轴的对称点 ，则 ，连 ，交 轴于点 ，在
轴上向正方向上截取 ，此时，四边形 的周长最小，∵ ， ，
，∴四边形 的周长
．
故答案为： ．
标注 四边形 > 特殊四边形 > 菱形 > 题型：菱形的性质
巩固7
如图，在 中， ， ， ，点 是 上的任意一点，作 于点
， 于点 ，连结 ，则 的最小值为 ．
答案
解析 ∵ 中， ， ， ，
∴ ，
连接 ，
∵ 于点 ， 于点 ，
∴四边形 是矩形，
∴ ，
当 最小时，则 最小，根据垂线段最短可知当 时，
则 最小，
，
故答案为： ．
标注 综合类问题 > 最短路径问题 > 题型：垂线段最短
巩固8
如图， ，矩形 的顶点 、 分别在边 、 上，当 在边 上运动时， 随
之在边 上运动，矩形 的形状保持不变，其中 ， ．运动过程中，点 到点
的最大距离是（ ）
A. B.
C. D.
答案 B
解析 如图，取 的中点 ，连接 、 、 ，
∵ ，
∴当 、 、 三点共线时，点 到点 的距离最大，
此时，∵ ， ，
∴ ，
，
∴ 的最大值为： ．
故选 ．
标注 四边形 > 四边形综合 > 四边形综合应用 > 题型：动点与特殊平行四边形问题
巩固9
如图，将边长为 的正方形 折叠，使点 落在边 的中点 处，点 落在 处，折痕为
．
(1) 求线段 的长．
(2) 求线段 及 的长度．
答案 (1) ．
(2) ．
．
解析 (1) 设 ，则 ， ．
在 中，由勾股定理得， ，
即 ．
解得 ．
(2) 连接 且过 作 于 点， 与 相交于 点．
由折叠性质可知， ．
∴ ， ．
∴ ．
在 和 中，
，
∴ ≌ ．
∴ ．
在 中， ， ，由勾股定理知 ．
故 ．
又∵ ，由（ ）可知， ，
∴ ，
∴ ．
标注 几何变换 > 对称 > 对称问题 > 题型：翻折问题与勾股定理

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