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第10讲 四边形综合
一、四边形之多结论探究
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对于四边形综合中的多结论问题，一般采取先易后难、相关推导的原则，在已知结论的基础上推导确认
剩余结论的准确性，有时候也要用到“假定反推”的方法，即假定结论是正确的，来寻找条件中的矛盾。
经典例题
例题1
1 已知如图，在平行四边形 中， 、 分别为边 、 的中点， 是对角线， ，
交 的延长线于 ，连接 ，若 ．下列结论：
① ；
②四边形 是菱形；
③ ；
④ ．
其中正确的是（ ）．
A. ①②③④ B. ①② C. ①③ D. ①②④
2 如图，在平行四边形 中， ， 是 的中点，作 ，垂足 在线段 上，连
接 、 ，则下列结论中：① ；② ；③ ；④
．一定成立的是（ ）．
A. ①②③ B. ②③④ C. ①②④ D. ①③④
二、四边形之动点探究
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四边形的动点问题就是在四边形的背景下，继续遵循解决动态问题的原则：变化中寻找不变量，这个不
变量可能是线段、图形的数量关系或者位置关系，以求证不同图形下的相同或相似结论。
经典例题
例题2
观察下列图形的变化过程，解答以下问题：
如图，在 中， 为 边上的一动点（ 点不与 、 两点重合）． 交 于 点，
交 于 点．
(1) 试探索 满足什么条件时，四边形 为菱形，并说明理由．
(2) 在（ ）的条件下， 满足什么条件时，四边形 为正方形．为什么？
例题3
如图，在 中，点 是边上一个动点，过点 作直线 ，设 交 的平分线于点
，交 的外角平分线于点 ．
(1) 探究 与 的数量关系并加以证明．
(2) 当点 在边 运动时，四边形 会是菱形吗？若是，请加以证明；若不是，则说明理
由．
(3) 当点 在 运动到什么位置，四边形 是矩形，请说明理由．
(4) 在（ ）问的基础上， 满足什么条件时，四边形 是正方形？为什么？
例题4
如图，在矩形 中， ， ．点 从点 出发向点 运动，运动到点 即停止；
同时，点 从点 出发向点 运动，运动到点 即停止，点 、 的速度都是 ．连接 、
、 ．设点 、 运动的时间为 ．
(1) 当 为何值时，四边形 是矩形．
(2) 当 为何值时，四边形 是菱形．
(3) 分别求出（ ）中菱形 的周长和面积．
三、四边形之旋转探究
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四边形中的旋转问题是图形的动态问题，寻找变化中的不变关系仍是解决问题的关键。
经典例题
例题5
如图，菱形 中， 、 分别是边 ， 上的两个动点（不与菱形的顶点重合），且满足
， ．
图
(1) 写出图中一对全等三角形： ．
(2) 若菱形 的边长为 ．
1 设 的周长为 ，则 的取值范围为 （直接写出答案）．
2 设 的面积为 ，求出 的最大值．
3 连接 分别与边 、 交于点 、 ，且 ，试说明：
．
备用图
四、数学万花筒
富兰克林的遗嘱与拿破仑的诺言
　　你知道本杰明·富兰克林是何许人吗？
　　富兰克林利用放风筝而感受到电击，从而发明了避雷针。这位美国著名的科学家死后留下了一份有
趣的遗嘱：
　　“……一千英磅赠给波士顿的居民，如果他们接受了这一千英磅，那么这笔钱应该托付给一些挑选出
来的公民，他们得把这些钱按每年5％的利率借给一些年轻的手工业者去生息。这些款过了100年增加到
131000英磅。我希望那时候用100000英磅来建立一所公共建筑物，剩下的31000英磅拿去继续生息100
年。在第二个100年末了，这笔款增加到4061000英磅，其中1061000英磅还是由波士顿的居民来支配，
而其余的3000000英磅让马萨诸塞州的公众来管理。过此之后，我可不敢多作主张了！”
　　同学们，你可曾想过：区区的1000英磅遗产，竟立下几百万英磅财产分配的遗嘱，是“信口开河”，
还是“言而有据”呢？事实上，只要借助于复利公式，同学们完全可以通过计算而作出自己的判断。
　　就是复利公式，其中m为本金，a为年利率，为n年后本金与利息的总和。在第一个100年末富兰克
林的财产应增加到y；（英磅），比遗嘱中写的还多出501英磅。在第二个100年末，遗产就更多了：
（英磅）。可见富兰克林的遗嘱是有科学根据的。
　　遗嘱故事启示我们：在指数效应下，微薄的财产，低廉的利率，可以变得令人瞠目结舌。威名显赫
的拿破仑，由于陷进了指数效应的旋涡而使法国政府十分难堪！
　　1797年，拿破仑参观国立卢森堡小学，赠上了一束价值三个金路易的玫瑰花，并许诺只要法兰西共
和国存在一天，他将每年送一束价值相等的玫瑰花，以作两国友谊的象征。由于连年征战，拿破仑忘却
了这一诺言！1894年，卢森堡王国郑重地向法兰西共和国提出了“玫瑰花悬案”。要求法国政府在拿破仑
的声誉和1375596法郎的债款中，二者选取其一。这笔巨款就是三个金路易的本金，以5％的年利率，在
97年的指数效应下的产物。
五、巩固加油站
巩固1
如图，在菱形 中， ， 、 分别是 、 的中点， 、 相交于点 ，连接
、 ．有下列结论：
① ；② ；③ ≌ ；④ ．
其中正确的有（ ）．
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
巩固2
如图，在 中， ，过点 的直线 ， 为 边上一点，过点 作
，交直线 于 ，垂足为 ，连接 、 ．
(1) 求证： ．
(2) 当 在 中点时，四边形 是什么特殊四边形？说明你的理由．
(3) 若 为 中点，则当 的大小满足什么条件时，四边形 是正方形？请说明你的理
由．
巩固3
如图，在四边形 中， ， ， ， ．点 从点 出发，以
的速度向终点 运动；点 从点 同时出发，以 的速度向终点 运动，当其中一个动点
到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动时间为 秒．
(1) 若 ，求 的长．
(2) 当 为何值时，四边形 是平行四边形？
(3) 探究：当线段 的长为多少时，第⑵小题中的四边形 是菱形？
巩固4
某研究性学习小组在探究矩形的折纸问题时，将一块直角三角板的直角顶点绕着矩形 （
）的对角线交点 旋转（如图①→②→③），图中 、 分别为直角三角板的直角边与
矩形 的边 、 的交点．
图 图 图
(1) 该学习小组中一名成员意外地发现：在图①（三角板的一直角边与 重合）中，
；在图③（三角板的一直角边与 重合）中， ．请
你对这名成员在图①中发现的结论说明理由．
(2) 试探究图②中 、 、 、 这四条线段之间的关系，写出你的结论，并说明理
由．第10讲 四边形综合
一、四边形之多结论探究
知识导航
对于四边形综合中的多结论问题，一般采取先易后难、相关推导的原则，在已知结论的基础上推导确认
剩余结论的准确性，有时候也要用到“假定反推”的方法，即假定结论是正确的，来寻找条件中的矛盾。
经典例题
例题1
1 已知如图，在平行四边形 中， 、 分别为边 、 的中点， 是对角线， ，
交 的延长线于 ，连接 ，若 ．下列结论：
① ；
②四边形 是菱形；
③ ；
④ ．
其中正确的是（ ）．
A. ①②③④ B. ①② C. ①③ D. ①②④
答案 D
解析 ①∵在平行四边 中， 、 分别为边 、 的中点
∴四边形 为平行四边形
∴ 故①正确
②由①知四边形 为平行四边形
∵ E为边 的中点
∴
∴四边形 是菱形故②正确
③∵
∴ 为矩形
∴
要使 ，则
不能证明 ，即 不恒成立
故③不正确
④由③知
∴ 三角形
∵ 为 中点
∴ 平行四边形
平行四边形
故④正确
故选 .
标注 四边形 >特殊四边形 >菱形 >题型：菱形的判定-从四边形
2 如图，在平行四边形 中， ， 是 的中点，作 ，垂足 在线段 上，连
接 、 ，则下列结论中：① ；② ；③ ；④
．一定成立的是（ ）．
A. ①②③ B. ②③④ C. ①②④ D. ①③④
答案 A
解析 略
标注 四边形 >平行四边形 >平行四边形问题 >题型：平行四边形性质综合应用
二、四边形之动点探究
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四边形的动点问题就是在四边形的背景下，继续遵循解决动态问题的原则：变化中寻找不变量，这个不
变量可能是线段、图形的数量关系或者位置关系，以求证不同图形下的相同或相似结论。
经典例题
例题2
观察下列图形的变化过程，解答以下问题：
如图，在 中， 为 边上的一动点（ 点不与 、 两点重合）． 交 于 点，
交 于 点．
(1) 试探索 满足什么条件时，四边形 为菱形，并说明理由．
(2) 在（ ）的条件下， 满足什么条件时，四边形 为正方形．为什么？
答案 (1) 当 平分 时，四边形 为菱形，理由见解析．
(2) 当 为直角三角形， 时，证明见解析．
解析 (1) 当 平分 时，四边形 为菱形，
∵ ， ，
∴四边形 为平行四边形，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 为菱形．
(2) 方法一：当 为直角三角形， 时，四边形 为正方形，
理由：由（ ）知，四边形 为菱形，
∵ ，
∴四边形 为正方形．
方法二：当 时，菱形 是正方形．因为有一个角是直角的菱形是正方
形．
标注 四边形 >特殊四边形 >菱形 >题型：菱形的判定-从平行四边形
例题3
如图，在 中，点 是边上一个动点，过点 作直线 ，设 交 的平分线于点
，交 的外角平分线于点 ．
(1) 探究 与 的数量关系并加以证明．
(2) 当点 在边 运动时，四边形 会是菱形吗？若是，请加以证明；若不是，则说明理
由．
(3) 当点 在 运动到什么位置，四边形 是矩形，请说明理由．
(4) 在（ ）问的基础上， 满足什么条件时，四边形 是正方形？为什么？
答案 (1) ．
(2) 不可能．
(3) 当点 运动到 的中点时，四边形 是矩形．
(4) 当点 运动到 的中点时，且 是满足 为直角的直角三角形时，四边形
是正方形．
解析 (1) ∵ ，
∴ ， ，
又∵ 平分 ， 平分 ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ．
(2) 如图所示，连接 ，
∵ 平分 ， 平分 ，
∴ ，
若四边形 是菱形，则 ，
但在 中，不可能存在两个角为 ，所以不存在其为菱形．
(3) 当点 运动到 的中点时，四边形 是矩形．
理由如下：
∵当点 运动到 的中点时， ，
又∵ ，
∴四边形 是平行四边形，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴四边形 是矩形．
(4) 当点 运动到 的中点时，且 是满足 为直角的直角三角形时，四边形
是正方形．
∵由（ ）知，当点 运动到 的中点时，四边形 是矩形，
已知 ，当 ，则
，
∴ ，
∴四边形 是正方形．
标注 三角形 >全等三角形 >角平分线 >题型：角分线性质应用
例题4
如图，在矩形 中， ， ．点 从点 出发向点 运动，运动到点 即停止；
同时，点 从点 出发向点 运动，运动到点 即停止，点 、 的速度都是 ．连接 、
、 ．设点 、 运动的时间为 ．
(1) 当 为何值时，四边形 是矩形．
(2) 当 为何值时，四边形 是菱形．
(3) 分别求出（ ）中菱形 的周长和面积．
答案 (1) ．
(2) ．
(3) ； ．
解析 (1) 由已知可得， ， ，
在矩形 中， ， ，
当 时，四边形 为矩形，
∴ ，得 ，
故当 时，四边形 为矩形．
故答案为： ．
(2) 由（ ）可知，四边形 为平行四边形，
∴当 时，四边形 为菱形，
即 时，四边形 为菱形，解得 ，
故当 时，四边形 为菱形．
故答案为： ．
(3) 当 时， ， ，
则周长为： ，
面积为： ．
故答案为： ； ．
标注 四边形 >特殊四边形 >菱形 >题型：菱形的周长与面积
三、四边形之旋转探究
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四边形中的旋转问题是图形的动态问题，寻找变化中的不变关系仍是解决问题的关键。
经典例题
例题5
如图，菱形 中， 、 分别是边 ， 上的两个动点（不与菱形的顶点重合），且满足
， ．
图
(1) 写出图中一对全等三角形： ．
(2) 若菱形 的边长为 ．
1 设 的周长为 ，则 的取值范围为 （直接写出答案）．
2 设 的面积为 ，求出 的最大值．
3 连接 分别与边 、 交于点 、 ，且 ，试说明：
．
备用图
答案 (1) ≌
(2) 1
2 ．
3 证明见解析．
解析 (1) 如图 ， ≌ ， ≌ ， ≌ ，共三对；
图
证明： ≌ ．
在 和 中，
，
∴ ≌ （ ）．
故答案为： ≌ ．
(2) 1 易证 是等边三角形，则 ．
则 ．
当 时， 最短，此时 的周长最短，
∵在 中， ， ，
∴ ．
∴ ．
当点 与点 重合， 的周长最长，此时 ．
综上所述， 的取值范围是： ．
故答案为： ．
2 当 时， 最短，此时 的面积最小， 的面积最大， 的最大
值为 ．
故答案为： ．
3 如图 ，把 绕点 逆时针旋转 ，使 与 重合， 对应点为 ，连
接 ．则 ．
图
∴ ．
在 与 中，
，
∴ ≌ （ ），
∴ ， ．
又∵ ，
∴ ，
∴ ．
标注 四边形 >四边形综合 >四边形综合应用 >题型：菱形与全等综合
四、数学万花筒
富兰克林的遗嘱与拿破仑的诺言
　　你知道本杰明·富兰克林是何许人吗？
　　富兰克林利用放风筝而感受到电击，从而发明了避雷针。这位美国著名的科学家死后留下了一份有
趣的遗嘱：
　　“……一千英磅赠给波士顿的居民，如果他们接受了这一千英磅，那么这笔钱应该托付给一些挑选出
来的公民，他们得把这些钱按每年5％的利率借给一些年轻的手工业者去生息。这些款过了100年增加到
131000英磅。我希望那时候用100000英磅来建立一所公共建筑物，剩下的31000英磅拿去继续生息100
年。在第二个100年末了，这笔款增加到4061000英磅，其中1061000英磅还是由波士顿的居民来支配，
而其余的3000000英磅让马萨诸塞州的公众来管理。过此之后，我可不敢多作主张了！”
　　同学们，你可曾想过：区区的1000英磅遗产，竟立下几百万英磅财产分配的遗嘱，是“信口开河”，
还是“言而有据”呢？事实上，只要借助于复利公式，同学们完全可以通过计算而作出自己的判断。
　　就是复利公式，其中m为本金，a为年利率，为n年后本金与利息的总和。在第一个100年末富兰克
林的财产应增加到y；（英磅），比遗嘱中写的还多出501英磅。在第二个100年末，遗产就更多了：
（英磅）。可见富兰克林的遗嘱是有科学根据的。
　　遗嘱故事启示我们：在指数效应下，微薄的财产，低廉的利率，可以变得令人瞠目结舌。威名显赫
的拿破仑，由于陷进了指数效应的旋涡而使法国政府十分难堪！
　　1797年，拿破仑参观国立卢森堡小学，赠上了一束价值三个金路易的玫瑰花，并许诺只要法兰西共
和国存在一天，他将每年送一束价值相等的玫瑰花，以作两国友谊的象征。由于连年征战，拿破仑忘却
了这一诺言！1894年，卢森堡王国郑重地向法兰西共和国提出了“玫瑰花悬案”。要求法国政府在拿破仑
的声誉和1375596法郎的债款中，二者选取其一。这笔巨款就是三个金路易的本金，以5％的年利率，在
97年的指数效应下的产物。
五、巩固加油站
巩固1
如图，在菱形 中， ， 、 分别是 、 的中点， 、 相交于点 ，连接
、 ．有下列结论：
① ；② ；③ ≌ ；④ ．
其中正确的有（ ）．
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
答案 C
解析 ①由菱形的性质可得 、 是等边三角形，
，故①正确；
②∵ ， ，
∴可得 ( 角所对直角边等于斜边一半)、 ，故可得出 ，
即②也正确．
③首先可得对应边 ，因为 ， ,故可得 不全等 ，即③
错误．
④ ，即④正确．
综上可得①②④正确，共 个．
故选 ．
标注 四边形 >特殊四边形 >菱形 >题型：菱形的性质
巩固2
如图，在 中， ，过点 的直线 ， 为 边上一点，过点 作
，交直线 于 ，垂足为 ，连接 、 ．
(1) 求证： ．
(2) 当 在 中点时，四边形 是什么特殊四边形？说明你的理由．
(3) 若 为 中点，则当 的大小满足什么条件时，四边形 是正方形？请说明你的理
由．
答案 (1) 证明见解析．
(2) 四边形 是菱形．
(3) 当 时，四边形 是正方形．
解析 (1) ∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，即 ，
∴四边形 是平行四边形，
∴ ．
(2) 方法一：四边形 是菱形，
理由是：∵ 为 中点，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴四边形 是平行四边形，
∵ ， 为 中点，
∴ ，
∴四边形 是菱形．
方法二：四边形 是菱形．因为在 中， 是 的中点，所以
，因为 ，所以 ，因为 ，所以四边形
为平行四边形，因为 ， 是 的中点，所以 ，故四边形
是菱形．
(3) 方法一：当 时，四边形 是正方形，理由是：
解：∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ 为 中点，
∴ ，
∴ ，
∵四边形 是菱形，
∴四边形 是正方形，
即当 时，四边形 是正方形．
方法二：当 时，四边形 是正方形．因为四边形 为平行四边形，
所以 ，因为四边形 是菱形，菱形的对角线互相垂直，并且每
一条对角线平分一组对角，所以 ，则 ，所以四边形
是正方形．
标注 四边形 >特殊四边形 >正方形 >题型：正方形的判定
巩固3
如图，在四边形 中， ， ， ， ．点 从点 出发，以
的速度向终点 运动；点 从点 同时出发，以 的速度向终点 运动，当其中一个动点
到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动时间为 秒．
(1) 若 ，求 的长．
(2) 当 为何值时，四边形 是平行四边形？
(3) 探究：当线段 的长为多少时，第⑵小题中的四边形 是菱形？
答案 (1) ．
(2) ．
(3) ．
解析 (1) 过点 作 于点 ，
∵ ， ，
∴四边形 是矩形，
∴ ， ．
∵ ， ， ，
∴ ， ， ．
(2) 由题意得 ， ，
当 时，四边形 是平行四边形，
，
解得： ，
即当 时，四边形 是平行四边形．
(3) 当 时， ．
∵四边形 是菱形，
∴ ．
又∵ ，
∴ ，
即当 时，第⑵小题中的四边形 是菱形．
标注 四边形 >四边形综合 >四边形综合应用 >题型：动点与特殊平行四边形问题
巩固4
某研究性学习小组在探究矩形的折纸问题时，将一块直角三角板的直角顶点绕着矩形 （
）的对角线交点 旋转（如图①→②→③），图中 、 分别为直角三角板的直角边与
矩形 的边 、 的交点．
图 图 图
(1) 该学习小组中一名成员意外地发现：在图①（三角板的一直角边与 重合）中，
；在图③（三角板的一直角边与 重合）中， ．请
你对这名成员在图①中发现的结论说明理由．
(2) 试探究图②中 、 、 、 这四条线段之间的关系，写出你的结论，并说明理
由．
答案 (1) ．
(2) ．
解析 (1) 连接 ，
∵四边形 是矩形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
(2) 延长 交 于点 ，连接 ， ，
图 图 图
∵四边形 是矩形，
∴ ， ，
∴ ， ，
在 和 中，
∵ ，
∴ ≌ （ ），
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ．
标注 三角形 >勾股定理 >勾股定理应用 >题型：勾股定理与全等

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