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第11讲 一元二次方程的概念及其解法
一、一元二次方程的概念
知识导航
概念 示例
只含有一个未知数 的整式方程并且
都可以化成 （ ， ， 方程 为一元二次方
定义
为常数， ）的形式，这样的方 程．
程叫做一元二次方程
．
方程 的二次项系数、一次
其中 为二次项，其系数为 ； 为
项系数、常数项分别为多少？
一次项，其系数为 ； 为常数项．
一般形式 解：方程 化为一般形式为
①要判断一元二次方程的各项系数必
，∴二次项系数是3、一
须先化简为一般式
次项系数是2、常数项是 ．
② ， 无要求
下列方程中，是一元二次方程的共有
________个
① ；② ；
①整式方程 ③ ；④ ；
②化简后判断 ⑤ ；
判断一元二次
③方程中只含有一个未知数 ⑥ ；
方程的方法
④方程中未知数的最高次数是 ⑦ ．
⑤二次项系数不为 解：①④是一元二次方程；②未说明
③是分式方程；⑤是二元方程；⑥
化简后无二次项；⑦含有分式,化简后 的
取值范围发生了变化，非恒等变形；共
两个．
如果 满足
一元二次方程 若 满足 ，则 是方
，则 就是
的根 程 的一个根．
方程 的一个根
经典例题
例题1
1 判断下列方程是不是一元二次方程．
(1) （ 为常数）．
(2) ．
(3) ．
(4) ．
(5) ．
(6) （ 为常数）．
(7) （ 为常数）．
答案 (1) 是．
(2) 是．
(3) 是．
(4) 不是．
(5) 不是．
(6) 不是．
(7) 是．
解析 (1) 是一元二次方程．
(2) 是一元二次方程．
(3) 是一元二次方程．
(4) 不是，是二元方程．
(5) 不是，整理后是一元一次方程．
(6) 不是，当 时，是一元一次方程．
(7) 为 永远成立，所以无论 为何值，方程 都
是一元二次方程．
标注 方程与不等式 >一元二次方程 >一元二次方程的基础 >题型：判断一元二次方程
2 将下列一元二次方程化成一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项．
(1) ．
(2) ．
(3) ．
(4) ．
答案 (1) ； ， ， ．
(2) ； ， ， ．
(3) ； ， ， ．
(4) ； ， ， ．
解析 (1) ； ， ， ．
(2) ； ， ， ．
(3) ； ， ， ．
(4) 移项合并可得 ；
二次项系数、一次项系数和常数项分别为 、 、 ．
标注 方程与不等式 >一元二次方程 >一元二次方程的基础 >题型：一元二次方程的一般形式
例题2
1 为何值时，关于 的方程 是一元二次方程．
答案 ．
解析 由题意可知， ，∴ ，且 ，∴ ．
标注 方程与不等式 >一元二次方程 >一元二次方程的基础 >题型：由一元二次方程定义求参数的
值
2 若关于 的一元二次方程 的常数项为零，则 的值为
．
答案
解析 由题意可知， ， ，故 ．
标注 方程与不等式 >一元二次方程 >一元二次方程的基础 >题型：由一元二次方程定义求参数的
值
例题3
1 已知 是一元二次方程 的一根，则 ．
答案
解析 将 代入原方程得 ，
故答案为： ．
标注 方程与不等式 >一元二次方程 >根的判别式 >题型：由一元二次方程根的情况确定参数
2 如果一元二次方程 有两个根 、 ，那么 ，
．
答案
1．
2．
解析 略．
标注 方程与不等式 >一元二次方程 >根与系数的关系 >题型：韦达定理应用
3 若 是关于 的方程 的根，则 的值为 ．
答案
解析 ∵ 是关于 的方程 的根，
∴ ，
∵ ．
∴ ，
∴ ．
标注 方程与不等式 >一元二次方程 >一元二次方程的基础 >题型：由一元二次方程的解求参数的
值
4 已知 是方程 的一个根，求代数式 的值．
答案 ．
解析 ∵ 是方程 的一个根，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
标注 方程与不等式 >一元二次方程 >一元二次方程的基础 >题型：由一元二次方程的解求参数的
值
二、一元二次方程的解法
知识导航
一元二次方程的根的情况
分类 示例剖析
两个不相等的实数根 方程 的解为
两个相等的实数根 方程 的解为
无实数根(不能说无解) 方程 无实数根
具体方法 示例剖析
解关于 的方程：
① ；
法1：直接开平方法
② ；
对于形如 或
③ ．
的一元二
解：①
次方程，即一元二次方程的一边是含
② ,
有未知数的一次式的平方，而另一边
∴
是一个非负数，可用直接开平方法求
③
解
或
∴
法2：配方法
通过配方把一元二次方程转化成形如
的方程，再运用直接开
平方的方法求解
配方法的一般步骤：
①移项：把一元二次方程中含有未知
解关于 的方程： ．
数的项移到方程的左边，常数项移到
解：
方程的右边
②“二次项系数化 ”：根据等式的性
或
质把二次项的系数化为
∴
③配方：将方程两边分别加上一次项
系数一半的平方，把方程变形为
的形式
④求解：若 时，方程的解为
，若 时，方程无实
数根
法3：公式法
1、用配方法推导一元二次方程
的求根公式
∵ ，方程两边同除以 ，得：
移项得：
配方得：
∵
∴ ＞
①当 时，直接开平方得：
解关于 方程： ．
解：原方程即
又∵式子前面已有符号“ ”，∴无论 ∵
＞ 还是 ＜ ，最终结果总是
∴
即
∴
②当 ＜ 时，原方程无实数根
即
故一元二次方程
的求根公式
为：
当 时，
当 ＜ 时，原方程无实数根
2、根的判别式：
3、一般步骤：
①化为一般式
②确定系数 的值(注意符号)
③计算
代公式
④
无实数根
法4：因式分解法 解关于 方程： ．
若两个因式的乘积为 ，则至少有一 解：
个为 ，即若 ，则 则 或
∴ ,
经典例题
例题4
用直接开平方法解下列方程(其中 ， 为常数)：
(1) ．
(2) ．
(3) ．
答案 (1) ， ．
(2) 无实数根．
(3) ， ．
解析 (1) 略．
(2) 略．
(3) 或 ，
解得 ， ，
故答案为： ， ．
标注 方程与不等式 >一元二次方程 >解一元二次方程 >题型：直接开平方法
例题5
用配方法解下列方程（其中 为常数）：
(1) ．
(2) ．
(3) ．
(4) ．
答案 (1) ， ．
(2) 无实根（或无实数解）．
(3) ， ．
(4) ．
解析 (1) 略
(2) 略．
(3) ， ， 或 ，即 ，
．
(4) ， ， ，∴ ， ．
标注 方程与不等式 >一元二次方程 >解一元二次方程 >题型：配方法
例题6
用公式法解下列方程：
(1) ．
(2) ．
(3) ．
(4) ．
答案 (1) 无实数根．
(2) ， ．
(3) ．
(4) ， ．
解析 (1) 原方程即 ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴无实数根，
故答案为：无实数根．
(2) 略．
(3) 略．
(4) 原方程即 ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ， ，
故答案为： ， ．
标注 方程与不等式 >一元二次方程 >解一元二次方程 >题型：公式法
例题7
1 用因式分解法解下列方程：
(1) ．
(2) ．
(3) ．
(4) ．
答案 (1) ， ．
(2) ， ．
(3) ， ．
(4) ， ．
解析 (1) ，
∴ ， ，
故答案为； ， ．
(2) ，
∴ ， ，
故答案为： ， ．
(3) ，
， ，
故答案为： ， ．
(4) 略．
标注 方程与不等式 >一元二次方程 >解一元二次方程 >题型：因式分解法
2 用因式分解法解下列方程：
(1) ．
(2) ．
(3) ．
(4) ．
答案 (1) ， ．
(2) ， ．
(3) ， ．
(4) ， ．
解析 (1) ，
∴ ， ，
故答案为： ， ．
(2) ，
∴ ， ，
故答案为： ， ．
(3) ，
∴ ， ，
故答案为： ， ．
(4) ，
∴ ， ，
故答案为： ， ．
标注 方程与不等式 >一元二次方程 >解一元二次方程 >题型：因式分解法
例题8
解方程：
(1) ．
(2) ．
(3) ．
(4) ．
答案 (1) ， ．
(2) ， ．
(3) ， ．
(4) 此方程无实数根．
解析 (1) 由原方程，得 ，
则 或 ，
解得 ， ，
故答案为： ， ．
(2) 由原方程，得 ，
则 或 ，
解得 ， ，
故答案为： ， ．
(3) ∵ ， ， ，
∴ ，
解得 ， ，
故答案为： ， ．
(4) ， ， ，
，
∴此方程无实数根，
故答案为：此方程无实数根．
标注 方程与不等式 >一元二次方程 >解一元二次方程 >题型：因式分解法
三、数学万花筒
一元二次方程的起源
一元二次方程（quadratic equation of one variable）是指含有一个未知数且未知数的最高次项是二
次的整式方程。
在公元前两千年左右，一元二次方程及其解法已出现于古巴比伦人的泥板文书中：求出一个数使它
与它的倒数之和等于一个已给数.可见巴比伦人已知道一元二次方程并知道了求根公式。但他们当时并不
接受负数，所以负根是略而不提的。
埃及的纸草文书中也涉及到最简单的二次方程，在公元前4、5世纪时，古中国也已掌握了一元二次
方程的求根公式。
希腊的丢番图（246-330）却只取二次方程的一个正根，即使遇到两个都是正根的情况，他亦只取
其中之一。
公元628年，从印度的婆罗摩笈多写成的《婆罗摩修正体系》中，得到二次方程二次项系数为一的
一个求根公式。
在阿拉伯阿尔．花拉子米的《代数学》中讨论到方程的解法，解出了一次、二次方程，其中涉及到
六种不同的形式，令 a、b、c为正数。把二次方程分成不同形式作讨论，是依照丢番图的做法。阿尔．
花拉子米除了给出二次方程的几种特殊解法外，还第一次给出二次方程的一般解法，承认方程有两个
根，并有无理根存在，但却未有虚根的认识。十六世纪意大利的数学家们为了解三次方程而开始应用复
数根。
韦达（1540-1603）除已知一元方程在复数范围内恒有解外，还给出根与系数的关系。
我国《九章算术．勾股》章中的第二十题是通过求相当于的正根而解决的。我国数学家还在方程的
研究中应用了内插法。
四、巩固加油站
巩固1
下列方程中，是关于 的一元二次方程的是（ ）．
A. B.
C. D.
答案 B
解析 选项最高次为 ，故不是一元二次方程．
选项中有分式，故与题意不符．
选项中有两个未知数，故与题意不符．
故选 ．
标注 方程与不等式 >一元二次方程 >一元二次方程的基础 >题型：判断一元二次方程
巩固2
下列方程是一元二次方程（ ）．
A. B.
C. D.
答案 D
解析 、 是二元一次方程，故错误；
、方程去括号得： ，
整理得： ，为一元一次方程，故错误；
、 是分式方程，故错误；
、 ，符合一元二次方程的形式，正确．
标注 方程与不等式 >一元二次方程 >一元二次方程的基础 >题型：判断一元二次方程
巩固3
如果关于 的方程 是关于 的一元二次方程，则 的值为 ．
答案
解析 由一元二次方程定义可知，最高次项指数为 ，平方项系数不为 ，计算可得， ．
标注 方程与不等式 >一元二次方程 >一元二次方程的基础 >题型：由一元二次方程定义求参数的
值
巩固4
已知关于 的方程 是一元二次方程，求 的取值范围．
答案
解析 原方程可以变化为：
因为此方程是一元二次方程
所以 即
故答案为：
标注 方程与不等式 >一元二次方程 >一元二次方程的基础 >题型：由一元二次方程定义求参数的
值
巩固5
已知关于 的一元二次方程 的一个根是 ，那么 的值是 ．
答案
解析 原方程即 ，则 ．
将 代入原方程得 ．
标注 方程与不等式 >一元二次方程 >根的判别式 >题型：由一元二次方程根的情况确定参数
巩固6
若关于 的一元二次方程 有一个根是 ，则 的值是 ．
答案
解析 将 代入 中，
得到 ，
解得 ， ，
又∵二次项系数 ，
∴ ，
故答案为： ．
标注 方程与不等式 >一元二次方程 >根的判别式 >题型：由一元二次方程根的情况确定参数
巩固7
如果 是关于 的方程 的根，那么关于 的方程 的根是 ．
答案
解析 ∵ 是关于 的方程 的根，
∴ ，
解得 ．
则由 得： ，即 ．
解得 ．
标注 方程与不等式 >一元二次方程 >一元二次方程的基础 >题型：利用根求代数式的值
巩固8
已知 是关于 的方程 的一个根，则 的值是 ．
答案
解析 把 带入
所以
标注 方程与不等式 >一元二次方程 >一元二次方程的基础 >题型：由一元二次方程的解求参数的
值
巩固9
用直接开平方法解方程： ．
答案 ， ．
解析 ，
∴ ，
， ，
故答案为： ， ．
标注 方程与不等式 >一元二次方程 >解一元二次方程 >题型：直接开平方法
巩固10
用直接开平方法解方程： ．
答案 ， ．
解析 或 ，
∴ ， ．
标注 方程与不等式 >一元二次方程 >解一元二次方程 >题型：直接开平方法
巩固11
用配方法解方程： ．
答案 ， ．
解析 ，
，
，
，
， ．
标注 方程与不等式 >一元二次方程 >解一元二次方程 >题型：配方法
巩固12
解方程： ．
答案 ， ．
解析 ， ，
即 ，
所以 ， ．
标注 方程与不等式 >一元二次方程 >解一元二次方程 >题型：配方法
巩固13
用配方法解方程： ．
答案 无实根．
解析 ，
，
∴无实根．
标注 方程与不等式 >一元二次方程 >解一元二次方程 >题型：配方法
巩固14
用公式法解方程：
答案 ， ．
解析 ∵ 、 、 ，
∴ ，
∴ ， ．
标注 方程与不等式 >一元二次方程 >解一元二次方程 >题型：公式法
巩固15
用公式法解方程： ．
答案 ， ．
解析 原方程即 ，
∵ 、 、 ，
∴ ，
∴ ， ．
标注 方程与不等式 >一元二次方程 >解一元二次方程 >题型：公式法
巩固16
用因式分解法解方程：
答案 ，
解析 ， ， ， ．
标注 方程与不等式 >一元二次方程 >解一元二次方程 >题型：因式分解法
巩固17
用因式分解法解方程：
答案 ， ．
解析 ， ，
， ．
标注 方程与不等式 >一元二次方程 >解一元二次方程 >题型：因式分解法
巩固18
用因式分解法解方程： ．
答案 ， ．
解析 ，
∴ ， ．
标注 方程与不等式 >一元二次方程 >解一元二次方程 >题型：因式分解法第11讲 一元二次方程的概念及其解法
一、一元二次方程的概念
知识导航
概念 示例
只含有一个未知数 的整式方程并且
都可以化成 （ ， ， 方程 为一元二次方
定义
为常数， ）的形式，这样的方 程．
程叫做一元二次方程
．
方程 的二次项系数、一次
其中 为二次项，其系数为 ； 为
项系数、常数项分别为多少？
一次项，其系数为 ； 为常数项．
一般形式 解：方程 化为一般形式为
①要判断一元二次方程的各项系数必
，∴二次项系数是3、一
须先化简为一般式
次项系数是2、常数项是 ．
② ， 无要求
下列方程中，是一元二次方程的共有
________个
① ；② ；
①整式方程 ③ ；④ ；
②化简后判断 ⑤ ；
判断一元二次
③方程中只含有一个未知数 ⑥ ；
方程的方法
④方程中未知数的最高次数是 ⑦ ．
⑤二次项系数不为 解：①④是一元二次方程；②未说明
③是分式方程；⑤是二元方程；⑥
化简后无二次项；⑦含有分式,化简后 的
取值范围发生了变化，非恒等变形；共
两个．
如果 满足
一元二次方程 若 满足 ，则 是方
，则 就是
的根 程 的一个根．
方程 的一个根
经典例题
例题1
1 判断下列方程是不是一元二次方程．
(1) （ 为常数）．
(2) ．
(3) ．
(4) ．
(5) ．
(6) （ 为常数）．
(7) （ 为常数）．
2 将下列一元二次方程化成一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项．
(1) ．
(2) ．
(3) ．
(4) ．
例题2
1 为何值时，关于 的方程 是一元二次方程．
2 若关于 的一元二次方程 的常数项为零，则 的值为
．
例题3
1 已知 是一元二次方程 的一根，则 ．
2 如果一元二次方程 有两个根 、 ，那么 ，
．
3 若 是关于 的方程 的根，则 的值为 ．
4 已知 是方程 的一个根，求代数式 的值．
二、一元二次方程的解法
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一元二次方程的根的情况
分类 示例剖析
两个不相等的实数根 方程 的解为
两个相等的实数根 方程 的解为
无实数根(不能说无解) 方程 无实数根
具体方法 示例剖析
法1：直接开平方法 解关于 的方程：
对于形如 或 ① ；
的一元二 ② ；
次方程，即一元二次方程的一边是含 ③ ．
解：①
② ,
有未知数的一次式的平方，而另一边
∴
是一个非负数，可用直接开平方法求
③
解
或
∴
法2：配方法
通过配方把一元二次方程转化成形如
的方程，再运用直接开
平方的方法求解
配方法的一般步骤：
①移项：把一元二次方程中含有未知
解关于 的方程： ．
数的项移到方程的左边，常数项移到
解：
方程的右边
②“二次项系数化 ”：根据等式的性
或
质把二次项的系数化为
∴
③配方：将方程两边分别加上一次项
系数一半的平方，把方程变形为
的形式
④求解：若 时，方程的解为
，若 时，方程无实
数根
法3：公式法
1、用配方法推导一元二次方程
的求根公式
∵ ，方程两边同除以 ，得：
移项得：
配方得：
∵
∴ ＞
①当 时，直接开平方得：
解关于 方程： ．
解：原方程即
又∵式子前面已有符号“ ”，∴无论 ∵
＞ 还是 ＜ ，最终结果总是
∴
即
∴
②当 ＜ 时，原方程无实数根
即
故一元二次方程
的求根公式
为：
当 时，
当 ＜ 时，原方程无实数根
2、根的判别式：
3、一般步骤：
①化为一般式
②确定系数 的值(注意符号)
③计算
代公式
④
无实数根
法4：因式分解法 解关于 方程： ．
若两个因式的乘积为 ，则至少有一 解：
个为 ，即若 ，则 则 或
∴ ,
经典例题
例题4
用直接开平方法解下列方程(其中 ， 为常数)：
(1) ．
(2) ．
(3) ．
例题5
用配方法解下列方程（其中 为常数）：
(1) ．
(2) ．
(3) ．
(4) ．
例题6
用公式法解下列方程：
(1) ．
(2) ．
(3) ．
(4) ．
例题7
1 用因式分解法解下列方程：
(1) ．
(2) ．
(3) ．
(4) ．
2 用因式分解法解下列方程：
(1) ．
(2) ．
(3) ．
(4) ．
例题8
解方程：
(1) ．
(2) ．
(3) ．
(4) ．
三、数学万花筒
一元二次方程的起源
一元二次方程（quadratic equation of one variable）是指含有一个未知数且未知数的最高次项是二
次的整式方程。
在公元前两千年左右，一元二次方程及其解法已出现于古巴比伦人的泥板文书中：求出一个数使它
与它的倒数之和等于一个已给数.可见巴比伦人已知道一元二次方程并知道了求根公式。但他们当时并不
接受负数，所以负根是略而不提的。
埃及的纸草文书中也涉及到最简单的二次方程，在公元前4、5世纪时，古中国也已掌握了一元二次
方程的求根公式。
希腊的丢番图（246-330）却只取二次方程的一个正根，即使遇到两个都是正根的情况，他亦只取
其中之一。
公元628年，从印度的婆罗摩笈多写成的《婆罗摩修正体系》中，得到二次方程二次项系数为一的
一个求根公式。
在阿拉伯阿尔．花拉子米的《代数学》中讨论到方程的解法，解出了一次、二次方程，其中涉及到
六种不同的形式，令 a、b、c为正数。把二次方程分成不同形式作讨论，是依照丢番图的做法。阿尔．
花拉子米除了给出二次方程的几种特殊解法外，还第一次给出二次方程的一般解法，承认方程有两个
根，并有无理根存在，但却未有虚根的认识。十六世纪意大利的数学家们为了解三次方程而开始应用复
数根。
韦达（1540-1603）除已知一元方程在复数范围内恒有解外，还给出根与系数的关系。
我国《九章算术．勾股》章中的第二十题是通过求相当于的正根而解决的。我国数学家还在方程的
研究中应用了内插法。
四、巩固加油站
巩固1
下列方程中，是关于 的一元二次方程的是（ ）．
A. B.
C. D.
巩固2
下列方程是一元二次方程（ ）．
A. B.
C. D.
巩固3
如果关于 的方程 是关于 的一元二次方程，则 的值为 ．
巩固4
已知关于 的方程 是一元二次方程，求 的取值范围．
巩固5
已知关于 的一元二次方程 的一个根是 ，那么 的值是 ．
巩固6
若关于 的一元二次方程 有一个根是 ，则 的值是 ．
巩固7
如果 是关于 的方程 的根，那么关于 的方程 的根是 ．
巩固8
已知 是关于 的方程 的一个根，则 的值是 ．
巩固9
用直接开平方法解方程： ．
巩固10
用直接开平方法解方程： ．
巩固11
用配方法解方程： ．
巩固12
解方程： ．
巩固13
用配方法解方程： ．
巩固14
用公式法解方程：
巩固15
用公式法解方程： ．
巩固16
用因式分解法解方程：
巩固17
用因式分解法解方程：
巩固18
用因式分解法解方程： ．

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