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第12讲 一元二次方程的判别式及根系关系
一、一元二次方程的判别式
知识导航
根的判别式 示例剖析
设一元二次方程为
，
其根的判别式为：
则 应用一：不解方程，直接判断方程根的情况
① 方程 不解方程，直接判断下列方程的解的情况：
有两个不 ①
相等的实数根 ②
② 方程 ③
有两个相 ④ （ 为常数）
等的实数根 解：① ，有两个不相等实根
③ 方程 ② ，有两个相等实根
没有实数 ③ ，无实根
根 ④ ，方程有两个不相等实根
注： 方程
有实数根
或有两个实数根
应用二：已知方程根的情况，求参数及参数的取值范围
1、关于 的一元二次方程 有两
个不相等的实数根，则 的取值范围为 .
解：由题意，得 ，
解之得 且 .
2、已知关于 的方程 有实数根，则
的取值范围为 .
解：①当 时，原方程为 有解，故 符合题
意；
②当 时，
由题意，得
解之得 且 ；
综上，
应用三：根的判别式在几何中的应用
经典例题
例题1
1 当 取什么值时，关于 的方程 ．
(1) 有两个不相等的实根；
(2) 有两个相等的实根；
(3) 无实根．
2 已知关于 的一元二次方程 有实数根，则 的取值范围为 ．
3 若关于 的一元二次方程 有实根，则 的取值范围是 ．
例题2
1 已知 、 、 为 的三边，请判断关于 的方程 根的情况．
2 已知 、 、 是 的三边，且方程 有两个相等的实数根，试
判断这个三角形的形状．
例题3
已知关于 的一元二次方程 ．
(1) 求证：不论 取何实数，该方程总有实数根．
(2) 若等腰 的一边长为 ，另两边长恰好是方程的两个根，求 的周长．
二、一元二次方程的根系关系
知识导航
一元二次方程的根系关系（韦达定理）
韦达定理 示例剖析
应用一：已知一根，求另一根
1、已知 是关于 的一元二次方程
若方程 的两根是 、
的一个根，则方程的另一个根 是多
，
少？
则 ， 法1：将 代入原方程得：
∴
注意：隐含的条件
法2：由题可得：3+ =4
∴
应用二、已知方程，求关于两根的代数式
已知实数 ， 是方程 的两根，求代数
式 的值．
解：由题知： ，
∴
应用三：已知方程和两根的关系求字母系数
已知关于 的方程 的两根 、 满足
条件 ，求 的值．
解：由一元二次方程根与系数的关系得：
，
联立方程组解得：
，
∴
经典例题
例题4
1 已知方程 的一个根是 ，求它的另一个根及 的值．
2 已知关于 的一元二次方程 的一根 ，求方程的另一根 ．
例题5
1 已知 ， 是方程 的两个实数根，求下列代数式的值：
(1) ．
(2) ．
(3) ．
(4) ．
2 设 ， 是方程 的两个实数根，则 ．
例题6
1 已知关于 的方程 的两个实数根 、 满足 ，求 的值.
2 已知关于 的一元二次方程 ．
(1) 若方程有实数根，求实数 的取值范围．
(2) 若方程两实数根分别为 、 ，且满足 ，求实数 的值．
三、数学万花筒
古代方程趣味题赏析
我国古代历史悠久，特别是数学成就更是十分辉煌，在民间流传着许多趣味数学题，一般都是以朗
朗上口的诗歌形式表达出来，以下几例供大家欣赏。
（一）周瑜的年龄
大江东去浪淘尽 ，千古风流数人物 。
而立之年督东吴 ，早逝英年两位数 。
十比个位正小三 ，个位六倍与寿符 。
哪位学子算得快 ，多少年华属周瑜 ？
解析：依题意得周瑜的年龄是两位数，且个位数字比十位数字大3，若设
十位数字为x，则个位数字为（x+3），由“个位6倍与寿符”可列
方程得：6(x+3)=10x+(x+3),解得x=3,所以周瑜的年龄为36岁 。
（二）壶中原有多少酒
李白街上走 ，提壶去买酒 。
遇店加一倍 ，见花喝一斗 。
三遇店和花 ，喝光壶中酒 。
试问酒壶中 ，原有多少酒？
解析：李白的壶中原有x斗酒，第一次遇到店加了x斗酒后变为2x斗酒，
第一次赏花喝去1斗酒，此时还剩下（2x-1）斗酒，第二次遇到店时，
壶中酒变为2（2x-1）斗酒，第二次赏花又喝去1斗酒，此时壶中还剩
下【2（2x-1）-1】斗酒，第三次遇店时，壶中酒变为2【2（2x-1）
-1】斗酒，第三次赏花时又喝去1斗酒，这是正好壶中的酒喝完。因此
可得到下面的方程：2【2（2x-1）-1】-1=0，解得x=7/8,所以壶中原
有7/8斗酒。
（三）寺内多少僧人
巍巍古寺在山林 ，不知寺内几多僧 。
三百六十四只碗 ，看看用尽不差争 。
三人共食一碗菜 ，四人共吃一碗羹 。
请问先生名算者 ，算来寺内几多僧 ？
解析：设寺内有僧人x个，三人共食一碗菜，则吃菜用碗x/3个，四人共吃
一碗羹，则喝羹用碗x/4个，正好用完364个碗，得x/3+x/4=364，解得
x=624，所以寺内有624个僧人。
怎么样，同学们，这些古代方程有趣吧，解决此类问题的关键是对古诗文的正确理解，找出关键词
和句，准确列出方程求解，不妨试试下面的《鸡兔同笼》：
今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？
四、巩固加油站
巩固1
若关于 的方程 有两个相等的实数根，则 ．
巩固2
关于 的方程 有两个实数根，则 的取值范围是 ．
巩固3
若关于 的方程 无实根，则 的取值范围为 ．
巩固4
如果关于 的一元二次方程 有两个相等的实根，那么以正数 ， ， 为边
长的三角形是（ ）．
A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 任意三角形
巩固5
已知关于 的一元二次方程 .
(1) 如果此方程有两个不相等的实数根，求 的取值范围；
(2) 在⑴中，若 为符合条件的最大整数，求此时方程的根.
巩固6
请回答下列问题：
(1) 关于 的方程 的一个根是 ，则方程的另一根是 ； ．
(2) 已知 ， 为方程 的两根，且 ， ，求 ， 的值．
巩固7
若方程 的一个根为 ，则方程的另一个根为 ， ．
巩固8
若 ， 是方程 的两个实数根，则 的值为 ．
巩固9
已知 ， 是关于 的一元二次方程 的两个不相等的实数根，且满足
，则 的值是（ ）．
A. B. C. 或 D. 或
巩固10
设 、 是方程 的两个不同的实根，且 ，求 的值．第12讲 一元二次方程的判别式及根系关系
一、一元二次方程的判别式
知识导航
根的判别式 示例剖析
设一元二次方程为
，
其根的判别式为：
则 应用一：不解方程，直接判断方程根的情况
① 方程 不解方程，直接判断下列方程的解的情况：
有两个不 ①
相等的实数根 ②
② 方程 ③
有两个相 ④ （ 为常数）
等的实数根 解：① ，有两个不相等实根
③ 方程 ② ，有两个相等实根
没有实数 ③ ，无实根
根 ④ ，方程有两个不相等实根
注： 方程
有实数根
或有两个实数根
应用二：已知方程根的情况，求参数及参数的取值范围
1、关于 的一元二次方程 有两
个不相等的实数根，则 的取值范围为 .
解：由题意，得 ，
解之得 且 .
2、已知关于 的方程 有实数根，则
的取值范围为 .
解：①当 时，原方程为 有解，故 符合题
意；
②当 时，
由题意，得
解之得 且 ；
综上，
应用三：根的判别式在几何中的应用
经典例题
例题1
1 当 取什么值时，关于 的方程 ．
(1) 有两个不相等的实根；
(2) 有两个相等的实根；
(3) 无实根．
答案 (1) ；
(2) ；
(3) ．
解析 (1)
，即 ， 时有两个不相等的实根
(2)
，即 ， 时有两个相等的实根
(3) $
，即 ， 时无实数
标注 方程与不等式 > 一元二次方程 > 根的判别式 > 题型：由一元二次方程根的情况确定参数
2 已知关于 的一元二次方程 有实数根，则 的取值范围为 ．
答案 且
解析 由题知， ，解之得 且 ．
故答案为： 且 ．
标注 方程与不等式 > 一元二次方程 > 根的判别式 > 题型：由一元二次方程根的情况确定参数
3 若关于 的一元二次方程 有实根，则 的取值范围是 ．
答案 且
解析 且 .
标注 方程与不等式 > 一元二次方程 > 根的判别式 > 题型：由一元二次方程根的情况确定参数
例题2
1 已知 、 、 为 的三边，请判断关于 的方程 根的情况．
答案 方程无实根
解析 ∵ ∴方程为一元二次方程
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，∴方程无实根．
标注 方程与不等式 > 一元二次方程 > 根的判别式 > 题型：与三角形三边关系结合
2 已知 、 、 是 的三边，且方程 有两个相等的实数根，试
判断这个三角形的形状．
答案 为等边三角形．
解析
∵方程有两个相等实根，
∴ ，即
∴ ，即
∴ 为等边三角形．
标注 方程与不等式 > 一元二次方程 > 根的判别式 > 题型：与三角形三边关系结合
例题3
已知关于 的一元二次方程 ．
(1) 求证：不论 取何实数，该方程总有实数根．
(2) 若等腰 的一边长为 ，另两边长恰好是方程的两个根，求 的周长．
答案 (1) 证明见解析．
(2) 的周长为： ．
解析 (1) ，
故不论 取何实数，该方程总有实数根．
(2) 当 的底边长为 时，方程有两个相等的实数根，
则 ，
解得 ，
方程为 ，
解得 ，
故 的周长为： ．
当 的一腰长为 时，方程有一根为 ，
方程为 ，
解得， ， ，
故 的周长为： ．
标注 方程与不等式 > 一元二次方程 > 根的判别式 > 题型：与等腰三角形结合
二、一元二次方程的根系关系
知识导航
一元二次方程的根系关系（韦达定理）
韦达定理 示例剖析
若方程 的两根是 、 应用一：已知一根，求另一根
， 1、已知 是关于 的一元二次方程
的一个根，则方程的另一个根 是多
则 ，
少？
法1：将 代入原方程得：
∴
法2：由题可得：3+ =4
∴
应用二、已知方程，求关于两根的代数式
已知实数 ， 是方程 的两根，求代数
式 的值．
解：由题知： ，
注意：隐含的条件
∴
应用三：已知方程和两根的关系求字母系数
已知关于 的方程 的两根 、 满足
条件 ，求 的值．
解：由一元二次方程根与系数的关系得：
，
联立方程组解得：
，
∴
经典例题
例题4
1 已知方程 的一个根是 ，求它的另一个根及 的值．
答案 ， ．
解析 方法一：设方程的另一根为 ，则由方程的根与系数关系得：
，
解得： ．
方法二：由题意： ，
解得： ，
根据韦达定理设另一根为 ，则
，∴ ，
∴ ， ，
故答案为： ， ．
标注 方程与不等式 > 一元二次方程 > 根与系数的关系 > 题型：韦达定理应用
2 已知关于 的一元二次方程 的一根 ，求方程的另一根 ．
答案 ．
解析 由题知 ，∴ ．
故答案为： ．
标注 方程与不等式 > 一元二次方程 > 根与系数的关系 > 题型：韦达定理应用
例题5
1 已知 ， 是方程 的两个实数根，求下列代数式的值：
(1) ．
(2) ．
(3) ．
(4) ．
答案 (1) ．
(2) ．
(3) ．
(4) ．
解析 (1) 由韦达定理知 ， ．于是 ， ．则
．
(2) 由韦达定理知 ， ．于是 ， ．则
．
(3) 由韦达定理知 ， ．于是 ， ．则
．
(4) 由韦达定理知 ， ．于是 ， ．则
．
标注 方程与不等式 > 一元二次方程 > 根与系数的关系 > 题型：韦达定理应用
2 设 ， 是方程 的两个实数根，则 ．
答案
解析 由已知可得： ．
∴ ，
即 ．
再结合 ．
∴ ．
∴原式 ，由韦达定理即可得到 = ．
标注 方程与不等式 > 一元二次方程 > 根与系数的关系 > 题型：韦达定理应用
例题6
1 已知关于 的方程 的两个实数根 、 满足 ，求 的值.
答案 ．
解析 ， ，
∵ ，
即 ，
得 ，
解得 ， ，
但当 时， ， 应舍去，
故 ，
故答案为： ．
标注 方程与不等式 > 一元二次方程 > 根与系数的关系 > 题型：韦达定理应用
2 已知关于 的一元二次方程 ．
(1) 若方程有实数根，求实数 的取值范围．
(2) 若方程两实数根分别为 、 ，且满足 ，求实数 的值．
答案 (1) ．
(2)
解析 (1) ∵关于 的一元二次方程 有实数根，
∴ ，即 ，
∴ ．
(2) 根据题意得 ， ，
∵ ，
∴ ，
即 ，
解得 ， （舍去），
∴ ．
标注 方程与不等式 > 一元二次方程 > 一元二次方程的基础 > 题型：由一元二次方程的解求参数的
值
三、数学万花筒
古代方程趣味题赏析
我国古代历史悠久，特别是数学成就更是十分辉煌，在民间流传着许多趣味数学题，一般都是以朗
朗上口的诗歌形式表达出来，以下几例供大家欣赏。
（一）周瑜的年龄
大江东去浪淘尽 ，千古风流数人物 。
而立之年督东吴 ，早逝英年两位数 。
十比个位正小三 ，个位六倍与寿符 。
哪位学子算得快 ，多少年华属周瑜 ？
解析：依题意得周瑜的年龄是两位数，且个位数字比十位数字大3，若设
十位数字为x，则个位数字为（x+3），由“个位6倍与寿符”可列
方程得：6(x+3)=10x+(x+3),解得x=3,所以周瑜的年龄为36岁 。
（二）壶中原有多少酒
李白街上走 ，提壶去买酒 。
遇店加一倍 ，见花喝一斗 。
三遇店和花 ，喝光壶中酒 。
试问酒壶中 ，原有多少酒？
解析：李白的壶中原有x斗酒，第一次遇到店加了x斗酒后变为2x斗酒，
第一次赏花喝去1斗酒，此时还剩下（2x-1）斗酒，第二次遇到店时，
壶中酒变为2（2x-1）斗酒，第二次赏花又喝去1斗酒，此时壶中还剩
下【2（2x-1）-1】斗酒，第三次遇店时，壶中酒变为2【2（2x-1）
-1】斗酒，第三次赏花时又喝去1斗酒，这是正好壶中的酒喝完。因此
可得到下面的方程：2【2（2x-1）-1】-1=0，解得x=7/8,所以壶中原
有7/8斗酒。
（三）寺内多少僧人
巍巍古寺在山林 ，不知寺内几多僧 。
三百六十四只碗 ，看看用尽不差争 。
三人共食一碗菜 ，四人共吃一碗羹 。
请问先生名算者 ，算来寺内几多僧 ？
解析：设寺内有僧人x个，三人共食一碗菜，则吃菜用碗x/3个，四人共吃
一碗羹，则喝羹用碗x/4个，正好用完364个碗，得x/3+x/4=364，解得
x=624，所以寺内有624个僧人。
怎么样，同学们，这些古代方程有趣吧，解决此类问题的关键是对古诗文的正确理解，找出关键词
和句，准确列出方程求解，不妨试试下面的《鸡兔同笼》：
今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？
四、巩固加油站
巩固1
若关于 的方程 有两个相等的实数根，则 ．
答案
解析 方程有两个相等的实数根，则 ，∴ ，故 ．
标注 方程与不等式 > 一元二次方程 > 根的判别式 > 题型：由一元二次方程根的情况确定参数
巩固2
关于 的方程 有两个实数根，则 的取值范围是 ．
答案 且
解析
由题知， ，
∴ 且 ．
故答案为： 且 ．
标注 方程与不等式 > 一元二次方程 > 根的判别式 > 题型：由一元二次方程根的情况确定参数
巩固3
若关于 的方程 无实根，则 的取值范围为 ．
答案
解析 ∵ 无实根，
∴ ，
∴ ．
标注 方程与不等式 > 一元二次方程 > 根的判别式 > 题型：由一元二次方程根的情况确定参数
巩固4
如果关于 的一元二次方程 有两个相等的实根，那么以正数 ， ， 为边
长的三角形是（ ）．
A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 任意三角形
答案 C
解析 将方程化成一般形式： ．
∵ ，方程有两个相等实根，
∴ ．
即 ，∴为直角三角形，选C．
标注 方程与不等式 > 一元二次方程 > 根的判别式 > 题型：与三角形三边关系结合
巩固5
已知关于 的一元二次方程 .
(1) 如果此方程有两个不相等的实数根，求 的取值范围；
(2) 在⑴中，若 为符合条件的最大整数，求此时方程的根.
答案 (1) m的取值范围是
(2) ， .
解析 (1) .
.
∵ 该方程有两个不相等的实数根，
∴ .
解得 .
∴ m的取值范围是 .
(2) ∵ ，
∴ 符合条件的最大整数是 .
此时方程为 ，
解得 .
∴方程的根为 ， .
标注 方程与不等式 > 一元二次方程 > 根的判别式 > 题型：由一元二次方程根的情况确定参数
巩固6
请回答下列问题：
(1) 关于 的方程 的一个根是 ，则方程的另一根是 ； ．
(2) 已知 ， 为方程 的两根，且 ， ，求 ， 的值．
答案 (1) 1．
2．
(2) ； ．
解析 (1) 设另一根为 ，由根与系数的关系可建立关于 和 的方程组，解之即得． ，
．
(2) ； ．
标注 方程与不等式 > 一元二次方程 > 根与系数的关系 > 题型：利用构造的方程求解
巩固7
若方程 的一个根为 ，则方程的另一个根为 ， ．
答案 1．
2．
解析 设另一根为 ，则 ，
∴ ，
∴ ．
标注 方程与不等式 > 一元二次方程 > 根与系数的关系 > 题型：韦达定理应用
巩固8
若 ， 是方程 的两个实数根，则 的值为 ．
答案
解析 ∵ 是方程 的根，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 、 是方程 的两个实数根，
∴ ，
∴ ．
故答案为: ．
标注 方程与不等式 > 一元二次方程 > 根与系数的关系 > 题型：韦达定理应用
巩固9
已知 ， 是关于 的一元二次方程 的两个不相等的实数根，且满足
，则 的值是（ ）．
A. B. C. 或 D. 或
答案 A
解析 根据条件知：
， ，
∴ ，
即 ，
所以，得 ，
解得 ．
标注 方程与不等式 > 一元二次方程 > 根与系数的关系 > 题型：韦达定理应用
巩固10
设 、 是方程 的两个不同的实根，且 ，求 的值．
答案 ．
解析 方法一：由根与系数的关系得
， ．
且有 ，即 ．
已知 ．
从而 ，
解之得 或 ．又 ，所以 ．
故答案为： ．
方法二：由题意得，
，得 ．
又 ， ，那么
，
即 ，
，
解得 ， ．
但 不满足 ，所以 ．
标注 方程与不等式 > 一元二次方程 > 根的判别式 > 题型：由一元二次方程根的情况确定参数

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