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第13讲 比例线段
一、成比例线段
知识导航
定义 示例剖析
选用同一长度单位量得的两条线段的长度的比，叫
两条线段的比
做这两条线段的比
如果线段 和 的比等于线段 和 的比，那么线段
， ， ， 叫做成比例线段，记作 或
成比例线段
注：成比例线段是有顺序性的
基本性质：
注：若 ，则称 是 ， 的比例中项．
合分比性质：
①
②
等比性质： ①
② ，当 时
（其中 为正整数，且 ）
黄金分割点
⑴如图，点 把线段 分成两条线段 和 （ ）．
若 ，则称线段 被点 黄金分割，点 叫做线段 的黄金分割点；
⑵ 与 的比叫做黄金比，即
证明：令 ，设 ，则 ，
∵ ，∴ ，
即 ；解得， ， （舍）
∴ ．
⑶一条线段的黄金分割点有两个
经典例题
例题1
填写下列各题：
(1) 填空：
1 ，则 ．
2 ，则 ．
3 ，则 ．
(2) 填空：
1 若互不相等的四个正数 、 、 、 满足 ， 是任意实数，则下列各式中，一
定成立的是（ ）．
A.
B.
C.
D.
2 若 ，则 ； ； ；
； ．
(3) 设 ，则 ， ．
例题2
1 如图所示，一张矩形纸片 的长 ，宽 ， 、 分别为 、 的中点，这
张纸片沿直线 对折后，矩形 的长与宽之比等于矩形 的长与宽之比，则 等于（
）．
A. B. C. D.
2 已知 、 、 、 ，若 、 、 、 是成比例线段且 ， ， ，则线段 ；
若 ， ，线段 是线段 和 的比例中项，则线段c= ．
3 如图，四边形 与四边形 都是矩形， ， ， ．
(1) 求下列各线段的比： ， ， ．
(2) 指出 ， ， ， ， ， 这六条线段中的成比例线段（写一组即可）
4 在 和 中，已知 ，且 的周长为 ，求 的周长．
例题3
1 我们知道，将一条线段 分割成大小两条线段 、 ，使 ，点 把线段 分成两条线
段 和 ，且 ，点 就是线段 的黄金分割点，此时 的值为 ．
2 如图，点 是线段 的黄分割点（ ），下列结论错误的是（ ）．
A. B.
C. D.
3 如图， 中， ， ，现以 为圆心、 长为半径画弧交边 于 ，再以
为圆心、 长为半径画弧交边 于 ．
求证：点 是线段 的黄金分割点．
二、平行线分线段成比例
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平行线分线段成比例定理及其推论
证明：面积法 连接 ， ， ， .
定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比 ，
例． ， ，
如图⑴，所示，如果 ， ，
则 ， ， ． .
平行线分线段成比例定理中的各种情况，都
可用此方法进行证明.
图⑴
温馨提示：可以记为“上比下等于上比下，上比全等于上
比全，下比全等于下比全”
推论：平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．
如图⑵，所示，若 ，则有 ， ， ．
如图⑶，图⑷，所示，若 ，则有 ， ， ．
图⑵ 图⑶ 图⑷
经典例题
例题4
1 在 中， 交 于 ，交 于 ，下列不能成立的比例式是（ ）．
A. B.
C. D.
2 如图， ，若 ， ， ，则 ．
3 如图， 中有菱形 ，如果 ，则 的值为 ．
例题5
1 如图，在 中，点 为 上一点，且 ，过点 作 交 于点 ，连接 ，过
点 作 交 于点 ．若 ，则 ．
2 如图，点 、 分别在 的边 ， 上， ，点 在边 上， 交 于点 ，点
是线段 的中点，若 ，则 ．
例题6
如图，直线 ，等腰直角三角形 的三个顶点 ， ， 分别在 ， ， 上，
， 交 于点 ，已知 与 的距离为 ， 与 的距离为 ，则 的值为 ．
例题7
1 如图，在四边形 中， 为对角线 上一点，过 作 交 于 ， 交 于
，连结 、 ，求证： ．
D C
F
G
A E B
2 已知：如图， 中， 在 上，且 ， 为 的中点， 的延长线交 于
．求证： ．
三、数学万花筒
一支高智商的反法西斯队伍
二战迫使美国政府将数学与科学技术、军事目标空前紧密地结合起来，开辟了美国数学发展的新时
代。
1941至1945年，政府提供的研究与发展经费占全国同类经费总额的比重骤增至86%。美国的“科
学研究和发展局”(OSRD)于1940年成立了“国家防卫科学委员会”(NDRC)，为军方提供科学服务。
1942年，NDRC又成立了应用数学组(AMP)，它的任务是帮助解决战争中日益增多的数学问题。
AMP和全美11所著名大学订有合同，全美最有才华的数学家都投入了遏制法西斯武力的神圣工作。
AMP的大量研究涉及“改进设计以提高设备的理论精确度”以及“现有设备的最佳运用”，特别是空战
方面的成果，到战争结束时共完成了200项重大研究。
在纽约州立大学，柯朗和弗里德里希领导的小组研究空气动力学、水下爆破和喷气火箭理论。超音
速飞机带来的激波和声爆问题，利用“柯朗-弗里德里希-勒维的有限差分发”求出了这些课题的双曲型
偏微分方程的解。
布朗大学以普拉格为首的应用数学小组集中研究经典动力学和畸变介质力学，以提高军备的使用寿
命。哈佛大学的G 伯克霍夫为海军研究水下弹道问题。
哥伦比亚大学重点研究空对空射击学。例如，空中发射炮弹弹道学;偏射理论;追踪曲线理论;追踪过
程中自己速度的观测和刻划;中心火力系统的基本理论;空中发射装备测试程序的分析;雷达。
普林斯顿大学和新墨西哥大学为空军确定“应用B-29飞机的最佳战术”。冯 诺伊曼和乌拉姆研究
原子弹和计算机。维纳和柯尔莫戈洛夫研究火炮自动瞄准仪。由丹泽西为首的运筹学家发明了解线性规
划的单纯形算法，使美军在战略部署中直接受益。
四、巩固加油站
巩固1
下列长度的各组线段中，能构成比例线段的是（ ）．
A. ， ， ， B. ， ， ，
C. ， ， ， D. ， ， ，
巩固2
如果 ，且 是 和 的比例中项，那么 等于（ ）．
A. B. C. D.
巩固3
如果线段 、 、 、 满足 ，那么 ．
巩固4
已知线段 ， ， ．
(1) 求线段 与线段 的比．
(2) 如果线段 、 、 、 成比例，求线段 的长．
(3) 是 和 的比例中项吗？为什么．
巩固5
若线段 ， 是 的黄金分割点，则较短线段 .
巩固6
如图，在 中， 、 分别为 、 边上的点， // ，若 ， ，则
．
巩固7
已知：如图， ， ， ， ，则 ， ．
巩固8
如图，将 的直角三角板的三个顶点分别放置在三条等距离的平行线 ， ， 上，若 ，
则 ， 之间的距离为（ ）．
A. B.
C. D.
巩固9
如图， 中， 是 边上的中线， 是 边上一点，且 ，射线 交 于 点，则
等于 ．
巩固10
已知：如图， 中， ， ．求证： ．第13讲 比例线段
一、成比例线段
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定义 示例剖析
选用同一长度单位量得的两条线段的长度的比，叫
两条线段的比
做这两条线段的比
如果线段 和 的比等于线段 和 的比，那么线段
， ， ， 叫做成比例线段，记作 或
成比例线段
注：成比例线段是有顺序性的
基本性质：
注：若 ，则称 是 ， 的比例中项．
合分比性质：
①
②
等比性质： ①
② ，当 时
（其中 为正整数，且 ）
黄金分割点
⑴如图，点 把线段 分成两条线段 和 （ ）．
若 ，则称线段 被点 黄金分割，点 叫做线段 的黄金分割点；
⑵ 与 的比叫做黄金比，即
证明：令 ，设 ，则 ，
∵ ，∴ ，
即 ；解得， ， （舍）
∴ ．
⑶一条线段的黄金分割点有两个
经典例题
例题1
填写下列各题：
(1) 填空：
1 ，则 ．
2 ，则 ．
3 ，则 ．
(2) 填空：
1 若互不相等的四个正数 、 、 、 满足 ， 是任意实数，则下列各式中，一
定成立的是（ ）．
A.
B.
C.
D.
2 若 ，则 ； ； ；
； ．
(3) 设 ，则 ， ．
答案 (1) 1
2
3
(2) 1 D
2 1．
2．
3．
4．
5．
(3) 1．
2．
解析 (1) 1 略
2 略
3 略
(2) 1 略
2 略
(3) 略
标注 三角形 >相似三角形 >比例线段 >题型：比例的综合应用
例题2
1 如图所示，一张矩形纸片 的长 ，宽 ， 、 分别为 、 的中点，这
张纸片沿直线 对折后，矩形 的长与宽之比等于矩形 的长与宽之比，则 等于（
）．
A. B. C. D.
答案 A
解析 ∵ ，
∴ ，
∴ ，
则 ．
故选 ．
标注 四边形 >特殊四边形 >矩形 >题型：矩形的性质
2 已知 、 、 、 ，若 、 、 、 是成比例线段且 ， ， ，则线段 ；
若 ， ，线段 是线段 和 的比例中项，则线段c= ．
答案 1．
2．
解析 解：①∵ 、 、 、 是成比例线段，∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ；
②∵线段 是线段 和 的比例中项， ， ，
∴ ，
解得： ，
又∵线段是正数，
∴ ．
标注 三角形 >相似三角形 >比例线段 >题型：比例中项
3 如图，四边形 与四边形 都是矩形， ， ， ．
(1) 求下列各线段的比： ， ， ．
(2) 指出 ， ， ， ， ， 这六条线段中的成比例线段（写一组即可）
答案 (1) ； ； ．
(2) ．
解析 (1) ∵四边形 与四边形 都是矩形， ， ， ，
∴ ， ， ，
∴ ， ， ．
故答案为： ； ； ．
(2) 成比例线段有 ．
标注 三角形 >相似三角形 >比例线段 >题型：比例的综合应用
4 在 和 中，已知 ，且 的周长为 ，求 的周长．
答案 ．
解析 ∵ ，
∴ ，
∴ 的周长： 的周长 ，
∵ 的周长为 ，
∴ 的周长 ．
标注 三角形 >相似三角形 >相似三角形基础 >题型：相似三角形的性质与判定综合
例题3
1 我们知道，将一条线段 分割成大小两条线段 、 ，使 ，点 把线段 分成两条线
段 和 ，且 ，点 就是线段 的黄金分割点，此时 的值为 ．
答案
解析 设 长为 ， 为线段 上符合题意的一点， ，则 ，
根据题意得， ，
解得， ， （舍去），
故 ，
故答案为： ．
标注 三角形 >相似三角形 >比例线段 >题型：黄金分割
2 如图，点 是线段 的黄分割点（ ），下列结论错误的是（ ）．
A. B.
C. D.
答案 B
解析 ∵
∴ 是较长的线段，
根据黄金分割的定义可知： ，故 正确，不符合题意；
，故 错误，
，故 正确，不符合题意； ，故 正确，不符合题意．
标注 三角形 >相似三角形 >比例线段 >题型：黄金分割
3 如图， 中， ， ，现以 为圆心、 长为半径画弧交边 于 ，再以
为圆心、 长为半径画弧交边 于 ．
求证：点 是线段 的黄金分割点．
答案 证明见解析．
解析 设 ，则 ，
则 ，
由题意得， ，
∴ ，
，
∴ ， ，
∴ ，即点 是线段 的黄金分割点．
标注 三角形 >相似三角形 >比例线段 >题型：黄金分割
二、平行线分线段成比例
知识导航
平行线分线段成比例定理及其推论
证明：面积法 连接 ， ， ， .
定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比 ，
例． ， ，
如图⑴，所示，如果 ， ，
则 ， ， ． .
平行线分线段成比例定理中的各种情况，都
可用此方法进行证明.
图⑴
温馨提示：可以记为“上比下等于上比下，上比全等于上
比全，下比全等于下比全”
推论：平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．
如图⑵，所示，若 ，则有 ， ， ．
如图⑶，图⑷，所示，若 ，则有 ， ， ．
图⑵ 图⑶ 图⑷
经典例题
例题4
1 在 中， 交 于 ，交 于 ，下列不能成立的比例式是（ ）．
A. B.
C. D.
答案 D
解析 略.
标注 三角形 >相似三角形 >比例线段 >题型：比例的综合应用
2 如图， ，若 ， ， ，则 ．
答案
解析 ∵ ，
∴ ，
即 ，
∴ ，
∴ ．
标注 三角形 >相似三角形 >比例线段 >题型：比例的综合应用
3 如图， 中有菱形 ，如果 ，则 的值为 ．
答案
解析 ∵四边形 是菱形，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
标注 三角形 >相似三角形 >比例线段 >题型：比例的综合应用
例题5
1 如图，在 中，点 为 上一点，且 ，过点 作 交 于点 ，连接 ，过
点 作 交 于点 ．若 ，则 ．
答案
解析 ∵ ，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ．
标注 三角形 >相似三角形 >相似三角形基础 >题型：相似三角形的性质与判定综合
2 如图，点 、 分别在 的边 ， 上， ，点 在边 上， 交 于点 ，点
是线段 的中点，若 ，则 ．
答案
解析 ∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∵点 是线段 的中点，
∴ ，
∴ ．
标注 三角形 >相似三角形 >比例线段 >题型：比例的综合应用
例题6
如图，直线 ，等腰直角三角形 的三个顶点 ， ， 分别在 ， ， 上，
， 交 于点 ，已知 与 的距离为 ， 与 的距离为 ，则 的值为 ．
答案
解析 如图所示，过点 作 于点 ，交直线 于点 ．
∵ ，
∴所以 ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
故 ．
设 ，则 ，
在 中，由勾股定理得，
，
．
在 中，由勾股定理得
，
故 ．
标注 三角形 >相似三角形 >相似三角形基础 >题型：相似三角形的性质与判定综合
例题7
1 如图，在四边形 中， 为对角线 上一点，过 作 交 于 ， 交 于
，连结 、 ，求证： ．
D C
F
G
A E B
答案 证明见解析
解析 ∵ ，∴ ，∵ ，∴ ，∴ ，∴ ．
标注 三角形 >相似三角形 >比例线段 >题型：比例的综合应用
2 已知：如图， 中， 在 上，且 ， 为 的中点， 的延长线交 于
．求证： ．
答案 证明见解析．
解析 证明：∵ ，∴ ．作 平行于 交 于 ，则 = ，
根据比例的性质知， ，
又 是 的中点，
∴ 是 的中位线，
∴ ．
∴
，即 ．
标注 三角形 >相似 >平行线分线段成比例
三、数学万花筒
一支高智商的反法西斯队伍
二战迫使美国政府将数学与科学技术、军事目标空前紧密地结合起来，开辟了美国数学发展的新时
代。
1941至1945年，政府提供的研究与发展经费占全国同类经费总额的比重骤增至86%。美国的“科
学研究和发展局”(OSRD)于1940年成立了“国家防卫科学委员会”(NDRC)，为军方提供科学服务。
1942年，NDRC又成立了应用数学组(AMP)，它的任务是帮助解决战争中日益增多的数学问题。
AMP和全美11所著名大学订有合同，全美最有才华的数学家都投入了遏制法西斯武力的神圣工作。
AMP的大量研究涉及“改进设计以提高设备的理论精确度”以及“现有设备的最佳运用”，特别是空战
方面的成果，到战争结束时共完成了200项重大研究。
在纽约州立大学，柯朗和弗里德里希领导的小组研究空气动力学、水下爆破和喷气火箭理论。超音
速飞机带来的激波和声爆问题，利用“柯朗-弗里德里希-勒维的有限差分发”求出了这些课题的双曲型
偏微分方程的解。
布朗大学以普拉格为首的应用数学小组集中研究经典动力学和畸变介质力学，以提高军备的使用寿
命。哈佛大学的G 伯克霍夫为海军研究水下弹道问题。
哥伦比亚大学重点研究空对空射击学。例如，空中发射炮弹弹道学;偏射理论;追踪曲线理论;追踪过
程中自己速度的观测和刻划;中心火力系统的基本理论;空中发射装备测试程序的分析;雷达。
普林斯顿大学和新墨西哥大学为空军确定“应用B-29飞机的最佳战术”。冯 诺伊曼和乌拉姆研究
原子弹和计算机。维纳和柯尔莫戈洛夫研究火炮自动瞄准仪。由丹泽西为首的运筹学家发明了解线性规
划的单纯形算法，使美军在战略部署中直接受益。
四、巩固加油站
巩固1
下列长度的各组线段中，能构成比例线段的是（ ）．
A. ， ， ， B. ， ， ，
C. ， ， ， D. ， ， ，
答案 B
解析 ∵ ，
∴ ， ， ， 成比例．
故选 ．
标注 三角形 >相似三角形 >比例线段 >题型：比例的综合应用
巩固2
如果 ，且 是 和 的比例中项，那么 等于（ ）．
A. B. C. D.
答案 B
解析 ∵ 是 和 的比例中项，∴ ．
标注 三角形 >相似三角形 >比例线段 >题型：比例中项
巩固3
如果线段 、 、 、 满足 ，那么 ．
答案
解析 ∵ ，
∴由等比性质，得 ．
故答案为： ．
标注 三角形 >相似三角形 >比例线段 >题型：比例的综合应用
巩固4
已知线段 ， ， ．
(1) 求线段 与线段 的比．
(2) 如果线段 、 、 、 成比例，求线段 的长．
(3) 是 和 的比例中项吗？为什么．
答案 (1) ．
(2) ．
(3) 是．
解析 (1) ∵ ； ，
∴ ．
(2) ∵线段 、 、 、 是成比例线段，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
(3) 是．
理由：∵ ， ，
∴ ，
∴ 是 和 的比例中项．
标注 三角形 >相似三角形 >比例线段 >题型：比例的综合应用
巩固5
若线段 ， 是 的黄金分割点，则较短线段 .
答案
解析 ∵ ，∴ ，
∴
标注 三角形 >相似三角形 >比例线段 >题型：黄金分割
巩固6
如图，在 中， 、 分别为 、 边上的点， // ，若 ， ，则
．
答案
备选答案 :
解析 ∵ ，∴ ，∴ ，∴ ．
标注 三角形 >相似三角形 >相似三角形模型 >题型：相似A字型
巩固7
已知：如图， ， ， ， ，则 ， ．
答案 1．
2．
解析 ∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
．
标注 三角形 >相似三角形 >比例线段 >题型：比例的综合应用
巩固8
如图，将 的直角三角板的三个顶点分别放置在三条等距离的平行线 ， ， 上，若 ，
则 ， 之间的距离为（ ）．
A. B.
C. D.
答案 C
解析 过 、 作 于 ，作 于 ，
易得 ，
，
设 ，则 ，
∵ ，
∴ ，
在 中， ，
即 ，
∵ ∴ ，
故选 ．
标注 三角形 >相似三角形 >相似三角形基础 >题型：相似三角形的性质与判定综合
巩固9
如图， 中， 是 边上的中线， 是 边上一点，且 ，射线 交 于 点，则
等于 ．
答案
解析
过点 作 交 于 ，
∵ 是 边上的中线，
∴ 是 的中位线，
∴ ， ．
∵ ，
∴
∵ ，
∴ ．
故答案是： ．
标注 三角形 >相似三角形 >相似图形
巩固10
已知：如图， 中， ， ．求证： ．
答案 证明见解析．
解析 ，
，
，
，
，
．
标注 三角形 >相似三角形 >比例线段 >题型：比例的综合应用

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