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第14讲 相似初步
一、相似的定义和判定
知识导航
相似的基本概念
记为 ，“∽”读作
1．相似多边形：各角分别相等、各边成比例的两个多边形，叫做
“相似于”
相似多边形
若 ，
2．相似多边形对应边的比叫做相似比
则 （ 为相似
3．相似三角形： 三角分别相等、三边成比例的两个三角形叫做相
比）
似三角形
相似的判定定理
⑴有两个角对应相等的两个三角形相似
⑵两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似
⑶三边对应成比例的两个三角形相似
由⑴得到：
①任何两个等边三角形都相似
②任何顶角相等的两个等腰三角形都相似
③三角形的中位线截三角形得到的小三角形与原三角形相似
④一个锐角相等的两个直角三角形相似
经典例题
例题1
1 如图，每个小正方形边长均为 ，则下列图中的三角形（阴影部分）与左图中 相似的是
（　　）．
A. B. C. D.
2 如图，在 中， 是边 上的一点，联结 ．要使 ∽ ，还需要补充的一个条件
是 ．
例题2
1 如图，在 中， ， ， 于 ．求证： ．
2 如图，在 中，点 是 边上的中点，且 ， ，交 于点 ， 与 相交
于点 ．求证： ．
A
E
F
B D C
例题3
如图，在正三角形 中， ， 分别在 ， 上，且 ， ．求证：
．
例题4
1 如图所示，在 中，已知 ， ， ， ，则 的长为 （ ）．
A. B. C. D.
2 如图，在 中， ， 分别是 ， 上的点， 平分 ，交 于点 ，交 于点 ，
若 ，且 ，则 ．
3 如图，已知 ，若 ， ， ， ，求 的长和
的面积．
二、相似的性质
知识导航
相似的性质
⑴相似三角形的对应角相等，对应边成比例
若 ，
⑵相似三角形对应的高线、中线、角平分线的比等于相似比
则 （ 为相似比）
⑶相似三角形的周长之比等于相似比
，
⑷相似三角形的面积比等于相似比的平方
经典例题
例题5
1 如图， 中，点 在线段 上，且 ，则下列结论一定正确的是（ ）．
A. B.
C. D.
2 如图，在平行四边形 中， ， ， 是 的中点，在 上取一点 ，使
，则 的长是（ ）．
A. B. C. D.
3 如图， ，其中 ， ， ， ，则
， 与 的相似比为 .
例题6
1 若 与 相似且面积之比为 ，则 与 的周长之比为 ．
2 如图，已知 是面积为 的等边三角形， ， ， ，
与 相交于点 ，则 的面积等于 （结果保留根号）．
三、相似的判定与性质综合
经典例题
例题7
如图，已知 ， ，求证： ．
例题8
如图，直角梯形 中， ， ，点 在 上，点 在 上，
．
(1) 求证： ．
(2) 当 ， ，点 、 分别是 、 的中点时，求直角梯形 面积．
四、数学万花筒
泰勒测量金字塔
约公元前600年，泰勒斯从遥远的希腊来到了埃及。在此之前，他已经到过很多东方国家，学习了
各国的数学和天文知识。到埃及后，他学会了土地丈量的方法和规则。他学到的这些知识能够帮助他解
决这个千古难题吗？
泰勒斯已经观察金字塔很久了：底部是正方形，四个侧面都是相同的等腰三角形（有两条边相等的
三角形）。要测量出底部正方形的边长并不困难，但仅仅知道这一点还无法解决问题。他苦苦思索着。
　　
当他看到金字塔在阳光下的影子时，他突然想到办法了。这一天，阳光的角度很合适，他把他底下
的所有东西都拖出一条长长的影子。泰勒斯仔细地观察着影子的变化，找出金字塔地面正方形的一边的
中点（这个点到边的两边的距离相等），并作了标记。然后他笔直地站立在沙地上，并请人不断测量他
的影子的长度。当影子的长度和他的身高相等时，他立即跑过去的测量金字塔影子的顶点到做标记的中
点的距离。他稍做计算，就得出了这座金字塔的高度。
当他算出金字塔高度时，围观的人十分惊讶，纷纷问他是怎样算出金字塔的高度的。泰勒斯一边在
沙地上画图示意，一边解释说：“当我笔直地站立在沙地上时，我和我的影构成了一个直角三角形。当
我的影子和我的身高相等时，就构成了一个等腰直角三角形。二这时金字塔的高（金字塔顶点到底面正
方形中心的连线）和金字塔影子的顶点到底面正方形中心的连线也构成了一个等腰直角三角形。因为这
个巨大的等腰直角三角形的两个腰也相等。”他停顿了一下，又说：“刚才金字塔的影子的顶点与我做
标记的中心的连线，恰好与这个中点所在的边垂直，这时就很容易计算出金字塔影子的顶点与底面正方
形中心的距离了。它等于底面正方形边长的一半加上我刚才测量的距离，算出来的数值也就是金字塔的
高度了。”
五、巩固加油站
巩固1
如图， 是 的 边上一点， 为 上一点，若 ， ，试说明 ∽
．
巩固2
如图所示，点 是 的 边上一点，且 ， ， ．求证： ∽
．
巩固3
已知 ∽ ，且相似比为2： ，则 与 的对应高之比为（　　）．
A. 2：3 B. 3：2 C. 4：9 D. 9：4
巩固4
如图，在 中， 、 两点分别在 、 边上， ．若 ，则
为（ ）．
A. B. C. D.
巩固5
如图，在平行四边形 中， 为 上一点，连接 、 ，且 、 交于点 ，
，则 ．
巩固6
如图， 中， ， ， ， 是 上一点， ， ，垂足为
，则线段 的长为（ ）．
A. B. C. D.
巩固7
已知 ，其中 ， ， ， ，那么 的周长是 ．
巩固8
如图，在平行四边形 中， 的平分线 分别与 、 交于点 、 ．
(1) 求证： ．
(2) 当 ， 时，求 的值．
巩固9
如图，在平行四边形 中，过点 作 ，垂足为 ，连接 ， 为线段 上一点，且
．
(1) 求证： ∽ ．
(2) 若 ， ， ，求 的长．第14讲 相似初步
一、相似的定义和判定
知识导航
相似的基本概念
记为 ，“∽”读作
1．相似多边形：各角分别相等、各边成比例的两个多边形，叫做
“相似于”
相似多边形
若 ，
2．相似多边形对应边的比叫做相似比
则 （ 为相似
3．相似三角形： 三角分别相等、三边成比例的两个三角形叫做相
比）
似三角形
相似的判定定理
⑴有两个角对应相等的两个三角形相似
⑵两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似
⑶三边对应成比例的两个三角形相似
由⑴得到：
①任何两个等边三角形都相似
②任何顶角相等的两个等腰三角形都相似
③三角形的中位线截三角形得到的小三角形与原三角形相似
④一个锐角相等的两个直角三角形相似
经典例题
例题1
1 如图，每个小正方形边长均为 ，则下列图中的三角形（阴影部分）与左图中 相似的是
（　　）．
A. B. C. D.
答案 B
解析 已知给出的三角形的各边 、 、 分别为 、 、 、
只有选项B的各边为 、 、 与它的各边对应成比例．故选：B．
标注 三角形 >相似三角形 >相似三角形基础 >题型：网格中的三角形相似
2 如图，在 中， 是边 上的一点，联结 ．要使 ∽ ，还需要补充的一个条件
是 ．
答案 ，或 或 （ ）
解析 略
标注 三角形 >相似三角形 >相似三角形基础 >题型：相似三角形的性质与判定综合
例题2
1 如图，在 中， ， ， 于 ．求证： ．
答案 证明见解析．
解析 ∵ ， ，
∴ ,
∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
标注 三角形 >相似三角形 >相似三角形基础 >题型：相似三角形的性质与判定综合
2 如图，在 中，点 是 边上的中点，且 ， ，交 于点 ， 与 相交
于点 ．求证： ．
A
E
F
B D C
答案 证明见解析．
解析 ∵ ，
∴ ；
∵ 垂直平分 ，
∴ ， ．
∴ ．
标注 三角形 >相似三角形 >相似三角形基础 >题型：相似三角形的性质与判定综合
例题3
如图，在正三角形 中， ， 分别在 ， 上，且 ， ．求证：
．
答案 证明见解析．
解析 ∵ 为正三角形，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
而 ，
∴ ．
标注 三角形 >相似三角形 >相似三角形基础 >题型：相似三角形的性质与判定综合
例题4
1 如图所示，在 中，已知 ， ， ， ，则 的长为 （ ）．
A. B. C. D.
答案 C
解析 ∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
标注 三角形 >相似三角形 >相似三角形基础 >题型：相似三角形的性质与判定综合
2 如图，在 中， ， 分别是 ， 上的点， 平分 ，交 于点 ，交 于点 ，
若 ，且 ，则 ．
答案
解析 ∵ ，
而 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故答案为 ．
标注 三角形 >相似三角形 >相似三角形基础 >题型：相似三角形的性质与判定综合
3 如图，已知 ，若 ， ， ， ，求 的长和
的面积．
答案 ．
解析 ∵ ，
∴ ，
即 ，
∵ ，
∴ ，
又 ，
∴ ，
即 ，
∴ ，
过 作 于 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
标注 几何图形初步 >相交线与平行线 >平行线 >题型：平行线的性质
二、相似的性质
知识导航
相似的性质
⑴相似三角形的对应角相等，对应边成比例
若 ，
⑵相似三角形对应的高线、中线、角平分线的比等于相似比
则 （ 为相似比）
⑶相似三角形的周长之比等于相似比
，
⑷相似三角形的面积比等于相似比的平方
经典例题
例题5
1 如图， 中，点 在线段 上，且 ，则下列结论一定正确的是（ ）．
A. B.
C. D.
答案 C
解析
故选 ．
标注 三角形 >相似三角形 >相似三角形基础 >题型：相似三角形的性质与判定综合
2 如图，在平行四边形 中， ， ， 是 的中点，在 上取一点 ，使
，则 的长是（ ）．
A. B. C. D.
答案 D
解析 ∵在平行四边形 中， ， ， 是 的中点，
∴ ， ， ．
∵ ，
∴ ，
∴ ．
标注 四边形 >平行四边形 >平行四边形问题 >题型：平行四边形性质综合应用
3 如图， ，其中 ， ， ， ，则
， 与 的相似比为 .
答案 1．
2．
解析 ∵ ， ，
∴
∵ ， ，
∴
．
标注 三角形 >相似三角形 >相似三角形基础 >题型：相似三角形的性质与判定综合
例题6
1 若 与 相似且面积之比为 ，则 与 的周长之比为 ．
答案
解析 ∵ 与 相似且面积之比为 ，
∴ 与 的相似比为 ；
∴ 与 的周长之比为 ．
标注 三角形 >相似三角形 >比例线段 >题型：比例的综合应用
2 如图，已知 是面积为 的等边三角形， ， ， ，
与 相交于点 ，则 的面积等于 （结果保留根号）．
答案
解析 ∵ ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
如图，在 中，过点 作 交 于 ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
设 ，则
又∵ ，
作 交 于 ，
∵ 是面积为的等边三角形，
∴ ，
，
设 ， ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
解得 ．
∴ ．
故答案为： ．
标注 三角形 >相似三角形 >相似三角形基础 >题型：相似三角形的性质与判定综合
三、相似的判定与性质综合
经典例题
例题7
如图，已知 ， ，求证： ．
答案 证明见解析．
解析 ∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ．
标注 三角形 >相似三角形 >相似三角形基础 >题型：相似三角形的性质与判定综合
例题8
如图，直角梯形 中， ， ，点 在 上，点 在 上，
．
(1) 求证： ．
(2) 当 ， ，点 、 分别是 、 的中点时，求直角梯形 面积．
答案 (1) 证明见解析．
(2) ．
解析 (1) 在梯形 中， ，
∴ ．
∴ ，
∴ ．
∴ ．
(2) 在 中，
∵ ， ， ，
∴ ．
∵ 是 的中点，
∴ ．
由（ ）可知： ，
∴ ．
∴ ．
∴ ．
∵ 是 的中点，
∴ ．
∴ 梯形 ．
标注 三角形 >相似三角形 >相似三角形基础 >题型：相似三角形的性质与判定综合
四、数学万花筒
泰勒测量金字塔
约公元前600年，泰勒斯从遥远的希腊来到了埃及。在此之前，他已经到过很多东方国家，学习了
各国的数学和天文知识。到埃及后，他学会了土地丈量的方法和规则。他学到的这些知识能够帮助他解
决这个千古难题吗？
泰勒斯已经观察金字塔很久了：底部是正方形，四个侧面都是相同的等腰三角形（有两条边相等的
三角形）。要测量出底部正方形的边长并不困难，但仅仅知道这一点还无法解决问题。他苦苦思索着。
　　
当他看到金字塔在阳光下的影子时，他突然想到办法了。这一天，阳光的角度很合适，他把他底下
的所有东西都拖出一条长长的影子。泰勒斯仔细地观察着影子的变化，找出金字塔地面正方形的一边的
中点（这个点到边的两边的距离相等），并作了标记。然后他笔直地站立在沙地上，并请人不断测量他
的影子的长度。当影子的长度和他的身高相等时，他立即跑过去的测量金字塔影子的顶点到做标记的中
点的距离。他稍做计算，就得出了这座金字塔的高度。
当他算出金字塔高度时，围观的人十分惊讶，纷纷问他是怎样算出金字塔的高度的。泰勒斯一边在
沙地上画图示意，一边解释说：“当我笔直地站立在沙地上时，我和我的影构成了一个直角三角形。当
我的影子和我的身高相等时，就构成了一个等腰直角三角形。二这时金字塔的高（金字塔顶点到底面正
方形中心的连线）和金字塔影子的顶点到底面正方形中心的连线也构成了一个等腰直角三角形。因为这
个巨大的等腰直角三角形的两个腰也相等。”他停顿了一下，又说：“刚才金字塔的影子的顶点与我做
标记的中心的连线，恰好与这个中点所在的边垂直，这时就很容易计算出金字塔影子的顶点与底面正方
形中心的距离了。它等于底面正方形边长的一半加上我刚才测量的距离，算出来的数值也就是金字塔的
高度了。”
五、巩固加油站
巩固1
如图， 是 的 边上一点， 为 上一点，若 ， ，试说明 ∽
．
答案 证明见解析．
解析 ∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ∽ ．
标注 三角形 >相似三角形 >相似三角形基础 >题型：相似三角形的性质与判定综合
巩固2
如图所示，点 是 的 边上一点，且 ， ， ．求证： ∽
．
答案 证明见解析．
解析 ∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ∽ ．
标注 三角形 >相似三角形 >相似三角形基础 >题型：相似三角形的性质与判定综合
巩固3
已知 ∽ ，且相似比为2： ，则 与 的对应高之比为（　　）．
A. 2：3 B. 3：2 C. 4：9 D. 9：4
答案 A
解析 ∵ ，且相似比为 ，
∴ 与 的对应高之比为 ，
故选 A．
标注 三角形 >相似三角形 >相似三角形基础 >题型：相似三角形的性质与判定综合
巩固4
如图，在 中， 、 两点分别在 、 边上， ．若 ，则
为（ ）．
A. B. C. D.
答案 A
解析 ∵ ， ，
∴ ．
标注 三角形 >相似三角形 >相似三角形模型 >题型：相似A字型
巩固5
如图，在平行四边形 中， 为 上一点，连接 、 ，且 、 交于点 ，
，则 ．
答案
解析 ∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
故答案为： ．
标注 三角形 >相似三角形 >相似三角形基础 >题型：相似三角形的性质与判定综合
巩固6
如图， 中， ， ， ， 是 上一点， ， ，垂足为
，则线段 的长为（ ）．
A. B. C. D.
答案 A
解析 ∵ ，∴ ，
又 ，∴ ．
又 ，
∴ ，
∴ ，
标注 三角形 >相似三角形 >相似三角形基础 >题型：相似三角形的性质与判定综合
巩固7
已知 ，其中 ， ， ， ，那么 的周长是 ．
答案
解析 ∵ ，
的周长
∴ ，即 ，
的周长 的周长
∴ 的周长 ．
标注 三角形 >相似三角形 >比例线段 >题型：比例的综合应用
巩固8
如图，在平行四边形 中， 的平分线 分别与 、 交于点 、 ．
(1) 求证： ．
(2) 当 ， 时，求 的值．
答案 (1) 证明见解析．
(2) ．
解析 (1) 如图，在平行四边形 中， ．
∴ ．
∵ 是 的平分线，
∴ ．
∴ ．
∴ ．
(2) ∵ ， ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∴ ．
标注 四边形 >平行四边形 >平行四边形问题 >题型：根据平行四边形边的性质计算与证明
巩固9
如图，在平行四边形 中，过点 作 ，垂足为 ，连接 ， 为线段 上一点，且
．
(1) 求证： ∽ ．
(2) 若 ， ， ，求 的长．
答案 (1) 证明见解析．
(2) ．
解析 (1) 四边形 是平行四边形
，
，
，
．
(2) 四边形 是平行四边形
，
又
在 中，
．
标注 三角形 >相似三角形 >相似三角形基础 >题型：相似三角形的性质与判定综合

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