资源简介

第2讲 旋转的构造
本讲目标：1.认识作旋转的前提，2.掌握费马点
例题设置：本讲内容分为两个模块，分别为“等腰+1点P”和“费马点”。
①3道例题，其中例1模型练习，加深理解，例2图形变化，从相等能想到旋转，例3引导综合，理解旋转
其实就是反向的手拉手（构造）
②2道例题，例4是费马点的练习基本的“手连心模型”题目的训练，例5是“图形变化后识别费马点及反向
应用
一、等腰+“一点P”
知识导航
等腰+“一点 ”
目的 转移边或转移角
条件 “共顶点，等线段”
旋转中心：两腰的交点
方法 旋转　 旋转方向：顺时针或逆时针
旋转角度：等边旋转 ；等腰直角旋转
示例 等边三角形+“一点 ”
等腰直角三角形+“一点 ”
①连接
结论
②出现等腰（等边三角形或者等腰直角三角形）
①一般情况下旋转比较瘦的三角形
②一般旋转该角所在的三角形，保证该角被直接转移，而不会被拆开，计算方便
备注
③一般题目中已知某个角度时，原则上不破坏该角，因此不旋转该角所在的三角形，而
选择其他的三角形进行旋转
经典例题
例题1
回答下列问题：
(1) 如图， 是等边 内一点，若 ， ， ，求 的度数．
(2) 如图， 是等边 外一点，若 ， ， ，求 的度数．
(3) 如图所示， 是等边 内部一点， ， ， ，求 的边长．
例题2
如图所示， 为正方形 内一点，若 ， ， ．
(1) 求 的度数．
(2) 求正方形的面积．
例题3
如图 ，锐角 中分别以 、 为边向外作等腰 和等腰 ．
(1) 使 ， ， ，连接 ， ，则 （填“ ”或“
”或“ ”）．
(2) 如图 ，四边形 中， ， ， ，求
的长．
(3) 如图 ，四边形 中， ， ， ，求
的长．
图
(4) 如图 ，在（ ）的条件下，当 在线段 的左侧时，请直接写出 的长．
图
二、费马点
知识导航
费马点
对于每个角都小于 的三角形来说，费马点有以下两个定义：
　定义 【定义一】位于三角形内且到三角形三个顶点距离之和最短的点
【定义二】在三角形所在平面上，且满足 的点
图形示例 作法解析
①以点 为旋转中心，将 绕点 顺时
针旋转60°，得 ，连接
由旋转可得 ， ，
，
∴△ 为等边三角形，
∴ ，
证明 ∴ ，
当且仅当 、 、 、 四点共线时，
最小；
②当 、 、 、 四点共线时，
性质 若费马点在三角形内部，则
① 若三角形的每个角都小于120°，
如图所示，点 即为费马点，
找费马点 其中最短距离就为 或者 的长度
② 若三角形的一个内角大于等于120°，则费马点为该钝角顶点
经典例题
例题4
在 中， ， ， ，点 为 内一点，连接 、 、 ，且
，以点 为旋转中心，将 绕点 顺时针方向旋转 ，得到
( 、 的对应点分别为点 、 )．
(1) 用尺规作图作出 ．
(2) 证明：点 、 、 和 四点共线．
(3) 求 的值．
例题5
如图，四边形 是正方形， 是等边三角形， 为对角线 （不含 点）上任意一点，
将 绕点 逆时针旋转 得到 ，连接 、 、 ．
（1）求证： ≌ ；
（2）①当 点在何处时， 的值最小；
②当 点在何处时， 的值最小，并说明理由；
（3）当 的最小值为 时，求正方形的边长．
三、数学万花筒
世界上独一无二的旋转大楼：每时每刻都在360度旋转
达芬奇塔坐落在迪拜，是迪拜众高楼之间又一座造型独特的大楼。整座楼高约420米，共有80层，
是由意大利非建筑师戴维·菲舍尔（David Fisher)设计建造的，总投资达3.4亿美元（人民币22.5亿）。
这座楼在建成之后，便被世人称奇。首当其冲的是，“旋转”，这座大楼的每一层楼都能独立旋转360
度，在旋转的时候还能组成不同的形状，这也是世界上独一无二能旋转的楼。
旋转的楼层使得大楼的整体外观不断变换，加之夜间楼体灯光不同，整座建筑的旋转变换便显得更加魔
幻。不过，不用担心在楼里会感觉到眩晕，每层楼每分钟最多旋转6米，90分钟才能旋转完一圈，在楼
里几乎感觉不到转动，更不要说是“晕楼”了。
达芬奇塔还有一个特别之处在于，它是世界上第一座预制摩天大楼，楼体90%的部分是在同一个工
厂完成，然后才装船运往工地的。整座大楼只有核心部分是直接在工地建成的。
这样建造的有利之处是节省成本，提高效率，还最大程度减弱了对市区的环境及噪音影响。而且，工人
大多在工厂工作，相对来说，要比在工地直接建楼的安全性要高些。
最后它被人称赞的点就是节能环保。在达芬奇塔的楼顶安装有太阳能电池板，整幢大楼的电力需求
都是由涡轮机和太阳能电池板提供。产生的能量除了能实现能源自给自足之外，用不完的电还足够周围
五栋相同规模建筑的用电。
对于楼内的基础设施，达芬奇塔也做到了最好。他们在大楼内部预先安装厨房和浴室设备，楼体中
心为每层楼提供专门的专利连接，用于清洁水的使用，这种连接是基于飞机在空中加油时所使用的技
术。
建成后的达芬奇塔从下至上分别是办公区域、豪华酒店以及居民住宅，据称，顶层小型住宅区的价
格也在3600万人民币以上。
四、巩固加油站
巩固1
如图，在等边三角形 内有一点 ， ， ， ．则 度．
巩固2
在四边形 中， ， ， 于 ，四边形 的面积为 ，
求 的长．
巩固3
如图， 为正方形 内一点， ， ， ，求 的度数．
巩固4
阅读下面材料：
小明遇到这样一个问题：如图 ，在 （其中 是一个可以变化的角）中， ，
，以 为边在 的下方作等边 ，求 的最大值．
小明是这样思考的：利用变换将等边三角形各边的位置重新组合．他的方法是以点 为旋转中心
将 逆时针旋转 得到 ，连接 ，当点 落在 上时，此题可解（如图2）．
(1) 请你回答： 的最大值是 ．
(2) 参考小明同学思考问题的方法，解决下列问题：
如图 ，等腰 ．边 ， 为 内部一点，请写出求 的最小
值的解题思路．
提示：要解决 的最小值问题，可仿照题目给出的做法．
把 绕 点逆时针旋转 ，得到 ．
1 请画出旋转后的图形；
2 请写出求 的最小值的解题思路（结果可以不化简）．第2讲 旋转的构造
本讲目标：1.认识作旋转的前提，2.掌握费马点
例题设置：本讲内容分为两个模块，分别为“等腰+1点P”和“费马点”。
①3道例题，其中例1模型练习，加深理解，例2图形变化，从相等能想到旋转，例3引导综合，理解旋转
其实就是反向的手拉手（构造）
②2道例题，例4是费马点的练习基本的“手连心模型”题目的训练，例5是“图形变化后识别费马点及反向
应用
一、等腰+“一点P”
知识导航
等腰+“一点 ”
目的 转移边或转移角
条件 “共顶点，等线段”
旋转中心：两腰的交点
方法 旋转　 旋转方向：顺时针或逆时针
旋转角度：等边旋转 ；等腰直角旋转
示例 等边三角形+“一点 ”
等腰直角三角形+“一点 ”
①连接
结论
②出现等腰（等边三角形或者等腰直角三角形）
①一般情况下旋转比较瘦的三角形
②一般旋转该角所在的三角形，保证该角被直接转移，而不会被拆开，计算方便
备注
③一般题目中已知某个角度时，原则上不破坏该角，因此不旋转该角所在的三角形，而
选择其他的三角形进行旋转
经典例题
例题1
回答下列问题：
(1) 如图， 是等边 内一点，若 ， ， ，求 的度数．
(2) 如图， 是等边 外一点，若 ， ， ，求 的度数．
(3) 如图所示， 是等边 内部一点， ， ， ，求 的边长．
答案 (1) ．
(2) ．
(3) 的边长为 ．
解析 (1) 如图，过点 作 ， ，
＇
连接 ， ．
（等于将 沿点 逆时针旋转 ）．
∵ ， ，
∴ ， ．
∴ ，
∴ ，
∴ ．
(2) 如图，以 为边向四边形 的外面作正 ，
则 ， ≌ ，
∴ ， ， ，
∴ ， ．
(3) 如图，将 绕点 逆时针旋转 ，得到 ．
连接 ，则 ， ，
， ，
故 是等边三角形，
从而 ， ．
在 中， ， ， ，
故 ， ．
过点 作 ，交 的延长线于点 ，
则 ， ，
．
因此，在 中， ．
标注 三角形 >勾股定理 >勾股定理应用 >题型：勾股定理的综合应用
例题2
如图所示， 为正方形 内一点，若 ， ， ．
(1) 求 的度数．
(2) 求正方形的面积．
答案 (1)
(2)
解析 (1) 将 绕点 顺时针旋转 ，得到 ．连接 ，因为 ，
，
所以 ， ．
在 中， ， ， ，
则 ，
所以 ，故
．
(2) 因 ，
则 、 、 三点共线，
故 ， ，
在 中，根据勾股定理得
所以 ．
标注 三角形 >锐角三角函数及解直角三角形 >锐角三角函数 >题型：解直角三角形的综合应用
例题3
如图 ，锐角 中分别以 、 为边向外作等腰 和等腰 ．
(1) 使 ， ， ，连接 ， ，则 （填“ ”或“
”或“ ”）．
(2) 如图 ，四边形 中， ， ， ，求
的长．
(3) 如图 ，四边形 中， ， ， ，求
的长．
图
(4) 如图 ，在（ ）的条件下，当 在线段 的左侧时，请直接写出 的长．
图
答案 (1)
(2) ．
(3) ．
(4) ．
解析 (1) 易证 ≌ ，可得 ．
(2) 如图所示，在 的外部，以 为顶点作等边 ，
在 和 中
∵ ．
∴ ≌ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
过点 作 ，垂足为 ，则有 ，
在 中， ．
∴ ， ．
在 中，
．
∴ ．
(3) 如图所示，以 为直角顶点作等腰直角 ，令 ，
∵ ．
∴ ，且 ，
在 和 中，
∵ ．
∴ ≌ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∵ ．
∴ 为直角三角形．
在 中，
．
∴ ．
(4) 如图，以 为直角顶点向右做 ，
使 ， ．
易证 ≌ ．
∴ ．
．
∴ ．
标注 三角形 >全等三角形 >全等形判定 >题型：SAS
二、费马点
知识导航
费马点
对于每个角都小于 的三角形来说，费马点有以下两个定义：
　定义 【定义一】位于三角形内且到三角形三个顶点距离之和最短的点
【定义二】在三角形所在平面上，且满足 的点
图形示例 作法解析
①以点 为旋转中心，将 绕点 顺时
针旋转60°，得 ，连接
证明 由旋转可得 ， ，
，
∴△ 为等边三角形，
∴ ，
∴ ，
当且仅当 、 、 、 四点共线时，
最小；
②当 、 、 、 四点共线时，
性质 若费马点在三角形内部，则
① 若三角形的每个角都小于120°，
如图所示，点 即为费马点，
找费马点 其中最短距离就为 或者 的长度
② 若三角形的一个内角大于等于120°，则费马点为该钝角顶点
经典例题
例题4
在 中， ， ， ，点 为 内一点，连接 、 、 ，且
，以点 为旋转中心，将 绕点 顺时针方向旋转 ，得到
( 、 的对应点分别为点 、 )．
(1) 用尺规作图作出 ．
(2) 证明：点 、 、 和 四点共线．
(3) 求 的值．
答案 (1)
(2) 证明见解析．
(3) ．
解析 (1) 如下图所示：
(2) ∵ ，
∴点 、 、 和 四点共线．
(3) 略
标注 几何变换 >旋转 >旋转基础 >题型：旋转性质应用
例题5
如图，四边形 是正方形， 是等边三角形， 为对角线 （不含 点）上任意一点，
将 绕点 逆时针旋转 得到 ，连接 、 、 ．
（1）求证： ≌ ；
（2）①当 点在何处时， 的值最小；
②当 点在何处时， 的值最小，并说明理由；
（3）当 的最小值为 时，求正方形的边长．
答案 （1）略； （2）略； （3）
解析 （1）证明：∵ 是等边三角形，∴ ，
∵ ，∴
即 ．又∵ ，∴ ≌ ．
（2）①当 在 的中点时， 、 、 三点共线， 值最小．
②如图，连接 ，当 是 与 交点时， 值最小．
理由如下：连接 ，由（1）知， ≌ ，∴ ，
∵ , ，∴ 是等边三角形．
∴ ．∴ ．
根据“两点之间线段最短”，得 最短．
∴当 点位于 与 交点处时， 的值最小，即等于 的长．
（3）过 点作 交 的延长线于 ，
∴ °．
设正方形边长为 ，则 ， ．
在 中，∵ ，
∴
解得 ， （舍）．∴正方形的边长为 ．
标注 几何变换 >旋转 >旋转基础 >题型：旋转性质应用
三、数学万花筒
世界上独一无二的旋转大楼：每时每刻都在360度旋转
达芬奇塔坐落在迪拜，是迪拜众高楼之间又一座造型独特的大楼。整座楼高约420米，共有80层，
是由意大利非建筑师戴维·菲舍尔（David Fisher)设计建造的，总投资达3.4亿美元（人民币22.5亿）。
这座楼在建成之后，便被世人称奇。首当其冲的是，“旋转”，这座大楼的每一层楼都能独立旋转360
度，在旋转的时候还能组成不同的形状，这也是世界上独一无二能旋转的楼。
旋转的楼层使得大楼的整体外观不断变换，加之夜间楼体灯光不同，整座建筑的旋转变换便显得更加魔
幻。不过，不用担心在楼里会感觉到眩晕，每层楼每分钟最多旋转6米，90分钟才能旋转完一圈，在楼
里几乎感觉不到转动，更不要说是“晕楼”了。
达芬奇塔还有一个特别之处在于，它是世界上第一座预制摩天大楼，楼体90%的部分是在同一个工
厂完成，然后才装船运往工地的。整座大楼只有核心部分是直接在工地建成的。
这样建造的有利之处是节省成本，提高效率，还最大程度减弱了对市区的环境及噪音影响。而且，工人
大多在工厂工作，相对来说，要比在工地直接建楼的安全性要高些。
最后它被人称赞的点就是节能环保。在达芬奇塔的楼顶安装有太阳能电池板，整幢大楼的电力需求
都是由涡轮机和太阳能电池板提供。产生的能量除了能实现能源自给自足之外，用不完的电还足够周围
五栋相同规模建筑的用电。
对于楼内的基础设施，达芬奇塔也做到了最好。他们在大楼内部预先安装厨房和浴室设备，楼体中
心为每层楼提供专门的专利连接，用于清洁水的使用，这种连接是基于飞机在空中加油时所使用的技
术。
建成后的达芬奇塔从下至上分别是办公区域、豪华酒店以及居民住宅，据称，顶层小型住宅区的价
格也在3600万人民币以上。
四、巩固加油站
巩固1
如图，在等边三角形 内有一点 ， ， ， ．则 度．
答案
解析
将 绕点 顺时针旋转 到 位置，
∴ ， ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ 是直角三角形，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
标注 三角形 >等腰三角形 >等腰等边综合 >题型：等边三角形的性质
巩固2
在四边形 中， ， ， 于 ，四边形 的面积为 ，
求 的长．
答案 ．
解析 根据 、 将 绕点 逆时针方向旋转 ，
如图，
∵ ，
∴ ，
∴ 、 、 共线，
又∵ ， ，
∴四边形 为正方形，且面积为 ，
∴ ．
标注 几何变换 >旋转 >旋转基础 >题型：旋转性质应用
巩固3
如图， 为正方形 内一点， ， ， ，求 的度数．
答案
解析 方法一：作 ，且 ，连接 、 ．
则 ≌ 且 是等腰直角三角形，
∵ ，且 ， ．
又∵ 、 、 ，
∴ ．
∴ ．
∴ ．
方法二：如图，
将 绕点 顺时针旋转90°，使得 与 重合，
则 ， 是等腰直角三角形，∵ ，∴ ， ，
在 中， ， ，
∴ ，
∴ 是直角三角形， ，
∵ 是 绕点 顺时针旋转 得到，∴ ．
标注 几何变换 >旋转 >旋转基础
巩固4
阅读下面材料：
小明遇到这样一个问题：如图 ，在 （其中 是一个可以变化的角）中， ，
，以 为边在 的下方作等边 ，求 的最大值．
小明是这样思考的：利用变换将等边三角形各边的位置重新组合．他的方法是以点 为旋转中心
将 逆时针旋转 得到 ，连接 ，当点 落在 上时，此题可解（如图2）．
(1) 请你回答： 的最大值是 ．
(2) 参考小明同学思考问题的方法，解决下列问题：
如图 ，等腰 ．边 ， 为 内部一点，请写出求 的最小
值的解题思路．
提示：要解决 的最小值问题，可仿照题目给出的做法．
把 绕 点逆时针旋转 ，得到 ．
1 请画出旋转后的图形；
2 请写出求 的最小值的解题思路（结果可以不化简）．
答案 (1)
(2) 1 画图见解析．
2 ．
解析 (1) ∵ 逆时针旋转 得到 ，
∴ ， ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
在 中， ，即 ，
则当点 、 、 三点共线时， ，
即 ，
即 的最大值是： ；
故答案是： ．
(2) 1 旋转后的图形如图．
2 ∵ 是等腰三角形，∴ ．
以 为中心，将 逆时针
旋转 得到 ．
则 ，
， ，
∴
．
∵当 、 、 、 四点共线时， 最短，
即线段 最短，
∴ 最小，
∴ 长度即为所求．
过 作 交延长线于 ．
∵ （由旋转可知），
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ；
在 中， ．
标注 几何变换 >旋转 >旋转基础 >题型：旋转性质应用

展开更多......

收起↑