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第3讲 因式分解的高端方法及恒等变形
本讲目标：理解特殊项才能因式分解，多元中的“主元法”，因式分解多了“等号”
例题设置：
1.例1公式、十字相乘的缺项添项，例2公因式的拆添项
2.例3选主元的练习，理解两次因式分解的叠加
3.例4整除整数的应用，例5因式的应用，例6三角形的判别，原本还有求最值的应用（只有一个学校讲
过，原来乘法公式也讲过，备课时老师们可以自行添加）
一、拆、添项法
知识导航
拆、添项法
拆项：把多项式中的某项拆成两项的和或差
定义
添项：把多项式添上两个符号相反的项
目的 多项式经过拆项或添项后，能恰当使用分组分解法
分解因式： ；
分析：本题中多项式 、 易想到完全平方公式，前者缺
，后者缺 ，恰好将 拆分，以便凑配
凑完全平方 解：原式
方法
示例
分解因式： ；
分析：本题中多项式 易想到十字相乘，因欠缺 项，故添项 ，
凑十字相乘 凑十字相乘
解：原式
分解因式： ；
分析：通过观察如果发现题目中，中间的系数是前后系数之和，则可
以通过拆分中间的系数进行分解因式.如本题中， 可以拆分成 和 ，从
而进行因式分解
解：原式
拆分系数 分解因式： ；
分析：对称系数指的是题目中的系数是前后对称的，此类题目一般都
可以用拆项解决，即把所有系数打开，然后按降幂重新三三组合，从
而通过提公因式分解
解：原式
经典例题
例题1
1 分解因式：
(1) ．
(2) ．
(3) ．
(4) ．
答案 (1) ．
(2) ．
(3) ．
(4) ．
解析 (1) 原式
．
(2) 原式
．
(3) 原式
．
(4) 原式 ．
标注 式 >因式分解 >十字相乘法与分组分解法 >题型：与提公因式结合的十字相乘
例题2
1 分解因式：
(1) ．
(2) ．
(3) ．
答案 (1) ．
(2) ．
(3) ．
解析 (1) 方法一：原式
．
方法二：原式
．
(2) 原式 ．
(3) 原式 ．
标注 式 >因式分解 >其他方法 >题型：拆添项法
二、主元法
知识导航
主元法
适用范围 待分解因式所含字母、项数较多时
常用技巧 选择次数较低的字母为主元
步骤 示例
分解因式： ；
分析：本题中含有两个字母 ，在分解时可将 或 视作主
①选一个字母看作未知数（主元），其余看
元，另一字母视为常数，列十字进行分解；
作常数
法1：原式
②按所选字母降幂排列，合并同类项
③分解尾部
法2：原式
④大十字相乘
经典例题
例题3
1 分解因式：
(1) ．
(2) ．
(3) ．
答案 (1) ．
(2) ．
(3) ．
解析 (1) 原式 ．
(2) 原式 ．
(3) 原式 ．
标注 式 >因式分解 >其他方法 >题型：双十字相乘法
三、因式分解的应用
知识导航
整式恒等变形
因式定理 若 是某多项式的一个因式，则当 时，该多项式的值为
若两个多项式恒等，则左右两边同类项系数相等
待定系数法
即当 时，有 ， ，
判断三角形的
因式分解化为 ，则 或
形状
经典例题
例题4
1 求证： 能被 整除．
答案 证明见解析．
解析 原式
．
∴ 能被 整除．
标注 式 >整式的乘除 >幂的运算 >题型：幂的综合运算
2 方程 的非负整数解 有 组．
答案
解析 原方程可变形为
则 、 、 至少有一个为 ：
若 、 、 中一个为零，另两个为正整数，则有 组解；
若 、 、 中有两个为零，一个为正整数，则有 组解；
故原方程有 组非负整数解．
故答案为 ．
标注 式 >因式分解 >因式分解综合应用
例题5
1 解答题．
(1) 已知关于 的多项式 因式分解以后有一个因式为 ．试求 的值，并将多
项式因式分解．
(2) 已知： ，其中 为整式，请分解因式： ．
答案 (1) ， ．
(2) ．
解析 (1) 由题意可知， ，由一次项系数可得 ．
故 ， .
(2) 略．
标注 式 >因式分解 >十字相乘法与分组分解法 >题型：二次项系数不为±1的十字相乘
例题6
1 已知 三边 、 、 ，满足条件 ，试判断 的形状，并说明理由.
答案 证明见解析．
解析
∴ 或
∴ 是等腰三角形或直角三角形．
标注 三角形 >三角形及多边形 >与三角形有关的线段 >题型：与三边关系有关的证明
2 已知 三边 、 、 ，满足条件 ，试判断 的形状，并
说明理由．
答案 等腰三角形
解析 将等式左边因式分解：
∵
∴ 或 或
∴ 为等腰三角形
标注 式 >因式分解 >因式分解：提公因式法
四、数学万花筒
数学的美丽【绝！ 经典】
很久以前就见到过“数学很美丽”这句话，好像是在华罗庚的传记中。那时不理解，觉
得数学逻辑性那么强，冷冰冰的，和美丽一点都不搭边。学生时代学数学就是背公式解
题就是要应付考试，学数学的唯一目的就是考试得高分，哪里会用欣赏的眼光去看待一
门学问。
昨天看到了这几组算式，很受震动，第一次惊讶地认识到，数学，真是美极了，奇特
极了，仿佛有什么东西藏在其中，静静地展现着它的美丽，静静地注视着我们。
1 x 8 + 1 = 9
12 x 8 + 2 = 98
123 x 8 + 3 = 987
1234 x 8 + 4 = 9876
12345 x 8 + 5 = 98765
123456 x 8 + 6 = 987654
1234567 x 8 + 7 = 9876543
12345678 x 8 + 8 = 98765432
123456789 x 8 + 9 = 987654321
1 x 9 + 2 = 11
12 x 9 + 3 = 111
123 x 9 + 4 = 1111
1234 x 9 + 5 = 11111
12345 x 9 + 6 = 111111
123456 x 9 + 7 = 1111111
1234567 x 9 + 8 = 11111111
12345678 x 9 + 9 = 11111111
123456789 x 9 +10 = 1111111111
9 x 9 + 7 = 88
98 x 9 + 6 = 888
987 x 9 + 5 = 8888
9876 x 9 + 4 = 88888
98765 x 9 + 3 = 888888
987654 x 9 + 2 = 8888888
9876543 x 9 + 1 = 88888888
98765432 x 9 + 0 = 888888888
华丽吧？震撼吧？
再看看下面一组数字的对称性
1 x 1 = 1
11 x 11 = 121
111 x 111 = 12321
1111 x 1111 = 1234321
11111 x 11111 = 123454321
111111 x 111111 = 12345654321
1111111 x 1111111 = 1234567654321
11111111 x 11111111 = 123456787654321
111111111 x 111111111 = 12345678987654321
我觉得这特别适合当父亲的，默默地给记下来。然后在某个北风呼啸的冬夜，在温暖的灯光下，和
孩子坐在一起，拿出纸笔，高深莫测地写出上面的一个或几个算式，告诉孩子数学可以是这样滴。
五、巩固加油站
巩固1
1 分解因式： ．
答案
解析
．
标注 式 >因式分解 >其他方法 >题型：拆添项法
巩固2
1 因式分解： ．
答案 ．
解析 原式
．
标注 式 >因式分解 >其他方法 >题型：拆添项法
巩固3
1 因式分解： ．
答案 ．
解析
．
标注 式 >因式分解 >十字相乘法与分组分解法 >题型：分组分解法
巩固4
1 化简： ．
答案 ．
解析 原式
．
标注 式 >因式分解 >十字相乘法与分组分解法 >题型：分组分解法
巩固5
1 分解因式： ．
答案 ．
解析 原式 ．
．
标注 式 >因式分解 >十字相乘法与分组分解法 >题型：分组分解法
巩固6
1 因式分解：
答案
解析 原式
标注 式 >因式分解 >十字相乘法与分组分解法 >题型：与提公因式结合的十字相乘
巩固7
1 因式分解： ．
答案 ．
解析 原式
．
标注 式 >因式分解 >提公因式法与公式法 >题型：提公因式法
巩固8
1 因式分解： ．
答案 ．
解析 原式
．
标注 式 >因式分解 >十字相乘法与分组分解法 >题型：分组分解法
巩固9
1 因式分解： ．
答案 ．
解析 原式
．
标注 式 >因式分解 >十字相乘法与分组分解法
巩固10
1 因式分解： ．
答案 ．
解析 原式
．
标注 式 >因式分解 >其他方法 >题型：双十字相乘法
巩固11
1 关于 的多项式 因式分解后，其中一个因式为 ，则 .
答案
解析 ∵ 的多项式 分解因式后有一个因式是 ，
当 时多项式的值为 ，
即 ，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
标注 式 >因式分解 >因式分解：十字相乘法
巩固12
1 若点 的坐标( ， )满足 ，求点 的坐标．
答案 或 ．
解析 原式
， ，
， 或 ， ，
点 的坐标为 或 ．
标注 式 >整式的乘除 >乘法公式 >题型：利用完全平方公式计算
巩固13
1 已知 、 、 是 的三边长，且满足 ，试判断 的形状．
答案 等边三角形．
解析 ∵
∴
∴
即
∴
∴ 为等边三角形．
标注 式 >整式的乘除 >乘法公式 >题型：配方思想的运用
巩固14
1 数 能被 到 之间的四个整数整除，请说明是哪四个整数．
答案 ； ； ； ．
解析 ，
∵ ， ， ，
∴ ，
故数 能被 到 之间的 ， ， ， 整除．
标注 式 >整式的乘除 >乘法公式 >题型：利用平方差公式计算第3讲 因式分解的高端方法及恒等变形
本讲目标：理解特殊项才能因式分解，多元中的“主元法”，因式分解多了“等号”
例题设置：
1.例1公式、十字相乘的缺项添项，例2公因式的拆添项
2.例3选主元的练习，理解两次因式分解的叠加
3.例4整除整数的应用，例5因式的应用，例6三角形的判别，原本还有求最值的应用（只有一个学校讲
过，原来乘法公式也讲过，备课时老师们可以自行添加）
一、拆、添项法
知识导航
拆、添项法
拆项：把多项式中的某项拆成两项的和或差
定义
添项：把多项式添上两个符号相反的项
目的 多项式经过拆项或添项后，能恰当使用分组分解法
分解因式： ；
分析：本题中多项式 、 易想到完全平方公式，前者缺
，后者缺 ，恰好将 拆分，以便凑配
凑完全平方 解：原式
方法
示例
分解因式： ；
分析：本题中多项式 易想到十字相乘，因欠缺 项，故添项 ，
凑十字相乘 凑十字相乘
解：原式
分解因式： ；
分析：通过观察如果发现题目中，中间的系数是前后系数之和，则可
以通过拆分中间的系数进行分解因式.如本题中， 可以拆分成 和 ，从
而进行因式分解
解：原式
拆分系数 分解因式： ；
分析：对称系数指的是题目中的系数是前后对称的，此类题目一般都
可以用拆项解决，即把所有系数打开，然后按降幂重新三三组合，从
而通过提公因式分解
解：原式
经典例题
例题1
1 分解因式：
(1) ．
(2) ．
(3) ．
(4) ．
例题2
1 分解因式：
(1) ．
(2) ．
(3) ．
二、主元法
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主元法
适用范围 待分解因式所含字母、项数较多时
常用技巧 选择次数较低的字母为主元
步骤 示例
分解因式： ；
分析：本题中含有两个字母 ，在分解时可将 或 视作主
①选一个字母看作未知数（主元），其余看
元，另一字母视为常数，列十字进行分解；
作常数
法1：原式
②按所选字母降幂排列，合并同类项
③分解尾部
法2：原式
④大十字相乘
经典例题
例题3
1 分解因式：
(1) ．
(2) ．
(3) ．
三、因式分解的应用
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整式恒等变形
因式定理 若 是某多项式的一个因式，则当 时，该多项式的值为
若两个多项式恒等，则左右两边同类项系数相等
待定系数法
即当 时，有 ， ，
判断三角形的
因式分解化为 ，则 或
形状
经典例题
例题4
1 求证： 能被 整除．
2 方程 的非负整数解 有 组．
例题5
1 解答题．
(1) 已知关于 的多项式 因式分解以后有一个因式为 ．试求 的值，并将多
项式因式分解．
(2) 已知： ，其中 为整式，请分解因式： ．
例题6
1 已知 三边 、 、 ，满足条件 ，试判断 的形状，并说明理由.
2 已知 三边 、 、 ，满足条件 ，试判断 的形状，并
说明理由．
四、数学万花筒
数学的美丽【绝！ 经典】
很久以前就见到过“数学很美丽”这句话，好像是在华罗庚的传记中。那时不理解，觉
得数学逻辑性那么强，冷冰冰的，和美丽一点都不搭边。学生时代学数学就是背公式解
题就是要应付考试，学数学的唯一目的就是考试得高分，哪里会用欣赏的眼光去看待一
门学问。
昨天看到了这几组算式，很受震动，第一次惊讶地认识到，数学，真是美极了，奇特
极了，仿佛有什么东西藏在其中，静静地展现着它的美丽，静静地注视着我们。
1 x 8 + 1 = 9
12 x 8 + 2 = 98
123 x 8 + 3 = 987
1234 x 8 + 4 = 9876
12345 x 8 + 5 = 98765
123456 x 8 + 6 = 987654
1234567 x 8 + 7 = 9876543
12345678 x 8 + 8 = 98765432
123456789 x 8 + 9 = 987654321
1 x 9 + 2 = 11
12 x 9 + 3 = 111
123 x 9 + 4 = 1111
1234 x 9 + 5 = 11111
12345 x 9 + 6 = 111111
123456 x 9 + 7 = 1111111
1234567 x 9 + 8 = 11111111
12345678 x 9 + 9 = 11111111
123456789 x 9 +10 = 1111111111
9 x 9 + 7 = 88
98 x 9 + 6 = 888
987 x 9 + 5 = 8888
9876 x 9 + 4 = 88888
98765 x 9 + 3 = 888888
987654 x 9 + 2 = 8888888
9876543 x 9 + 1 = 88888888
98765432 x 9 + 0 = 888888888
华丽吧？震撼吧？
再看看下面一组数字的对称性
1 x 1 = 1
11 x 11 = 121
111 x 111 = 12321
1111 x 1111 = 1234321
11111 x 11111 = 123454321
111111 x 111111 = 12345654321
1111111 x 1111111 = 1234567654321
11111111 x 11111111 = 123456787654321
111111111 x 111111111 = 12345678987654321
我觉得这特别适合当父亲的，默默地给记下来。然后在某个北风呼啸的冬夜，在温暖的灯光下，和
孩子坐在一起，拿出纸笔，高深莫测地写出上面的一个或几个算式，告诉孩子数学可以是这样滴。
五、巩固加油站
巩固1
1 分解因式： ．
巩固2
1 因式分解： ．
巩固3
1 因式分解： ．
巩固4
1 化简： ．
巩固5
1 分解因式： ．
巩固6
1 因式分解：
巩固7
1 因式分解： ．
巩固8
1 因式分解： ．
巩固9
1 因式分解： ．
巩固10
1 因式分解： ．
巩固11
1 关于 的多项式 因式分解后，其中一个因式为 ，则 .
巩固12
1 若点 的坐标( ， )满足 ，求点 的坐标．
巩固13
1 已知 、 、 是 的三边长，且满足 ，试判断 的形状．
巩固14
1 数 能被 到 之间的四个整数整除，请说明是哪四个整数．

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