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第4讲 分式的化简求值
本讲目标：掌握分式的化简求值类题目，并且会使用消元法、通分法、倒数型、连等设参、分离常数等
常用方法。
例题设置：本讲内容分为两个模块，分别为“常见分式的化简求值”和“特殊分式的化简求值”。
①例1-例3消元法、通分法、倒数型
②例4是连等设参，例5拆分，例6分离常数
一、常见分式的化简求值
知识导航
分式化简求值的常见题型
方法 示例
已知 ，求代数式 的值.
分析：对已知进行化简， ，将所求代数式中的 全部用
换掉，从而约分求解
消元法
解：∵
∴
∴原式
设实数 ， 满足 ，求 的值.
分析：对已知进行通分， ，将所求
代数式中的 全部用 换掉，从而约分求解
解：∵
通分法
∴
∴
又∵原式
∴原式
倒数型 已知 ，求 ， ， 的值．
分析：已知 ， 中互为倒数，乘积为1，要求 ，只需将已知平方
解：∵
∴
∴
∴
又∵
∴
又∵
∴
【拓展】在对倒数型的考查中，经常会对已知条件或问题稍作变形，如
本题中可对已知条件变 化为① ，即分式化为了
整式，同除 即可还原；② ，即化为原条件的倒数，再颠倒
分子分母即可
经典例题
例题1
1 若 ，那么 的值是（ ）．
A. B. C. D.
答案 D
解析 由题意可得 ，
即 ，所以原式 ，
故选 ．
标注 式 >分式 >分式化简求值 >题型：直接代入数值求值
2 已知 ，则 ．
答案
解析 由 得 ，∴ ．
标注 三角形 >相似三角形 >比例线段 >题型：比例的综合应用
例题2
1 已知 ，则 ．
答案
解析 ∵ ，∴ ，∴原式 ．
标注 式 >分式 >分式化简求值 >题型：分式化简求值综合
2 已知 ，则代数式 的值为 ．
答案
解析 ∵ ，
∴ ，
∴ ，
把 代入原式
．
标注 式 >分式 >分式化简求值 >题型：整体代入求值
3 已知 ， ，则 ．
答案
解析 原式
．
标注 式 >分式 >分式化简求值 >题型：整体代入求值
例题3
1 若 ，则 的值是 ．
答案
解析 ∵ ；∴ 即 ∴ ．
标注 式 >整式的乘除 >乘法公式 >题型：利用完全平方公式计算
2 已知 ，求 的值是 ．
答案
解析 ∵ ，
∴ 左右两边同时除以 可得 ，
∴ ，
．
故答案为： ．
标注 式 >分式 >分式化简求值 >题型：分式降次化简求值
3 已知 ，则 的值是 ．
答案
解析 由 得， 且 ，
∴原式 ．
故答案为： ．
标注 式 >分式 >分式化简求值 >题型：整体代入求值
4 已知 ，求 的值．
答案 ．
解析 ．
．
标注 式 >分式 >分式化简求值 >题型：分式条件化简求值
二、特殊分式的化简求值
知识导航
分式化简求值的特殊题型
已知 ，求 的值．
分析：由已知的连等式可想到引入参量，简化结构;
解：设
连
则 ，三式相加，得
等
设 当 时，
参 ∴原式
当时 ， ，即
∴原式
【注意】连等设参时，讨论系数是否为0
已知 ， ， ，求 的值．
分析：由题知，条件的基本形式是分子、分母分别为两项之积与两项之和，满足 ，即
可进行裂项拆分；
解：由题知 ， ，
拆
分 则
法
∴三式相加得
又∵
∴
【拓展】
为何正整数时，下列分式为整数．
① ；② ；③ ；④ ；⑤ ；⑥ ；⑦ ；⑧ ；⑨
．
分析：分离常数法其核心是化简分子，在分子里面构造与分母相同的项，其本质是整数解问题；
解：①
②
分 ∴
离 ③
常 ∴
数 ④
法 ∴
∴
⑤
∴
⑥
∴
⑦
∴
⑧
∴
⑨
∴
∴
经典例题
例题4
1 已知 且 ，则 ．
答案
解析 设 ，则 、 、 ，∴ ，∴ ，
即 、 、 ，∴ ．
故答案为： ．
标注 式 >整式加减 >整式加减化简求值 >题型：直接代入化简求值
2 已知 ，则 ．
答案 或
解析 由 ，
可得 ，相加得 ：
①若 ，则 ；
②若 ，则 ；
综上所述： 或 ．
标注 三角形 >相似三角形 >比例线段 >题型：比例的综合应用
例题5
已知 ， ， 为实数，且 ， ， ，那么 的值为 ．
答案
解析 由 ， ， 可知
故 ．
标注 式 >分式 >分式化简求值 >题型：分式条件化简求值
例题6
1 为何整数时，下列分式的值为整数？
(1)
(2)
(3)
(4)
答案 (1) ， ， ， ．
(2) ， ， ， ．
(3) ， ， ， ．
(4) ， ， ， ， ， ．
解析 (1) ， ，故 ， ， ， ．
(2) ， ， ， ， ， ， ．
(3) ，故 ， ， ， ， ， ．
(4) ，
， ， ， ， ， ， ， ， ．
标注 式 >分式 >分式的基础 >题型：分式为特殊值
2 已知 为整数，且 为整数，则所有符合条件的 值的和为 ．
答案
解析
∴ 、 且 ．
∴ 或 或 或 ．
∴ 值的和 ．
标注 式 >分式 >分式的基础 >题型：分式为特殊值
3 分式 可取得的最小值为 .
答案
解析
标注 式 >分式 >分式的运算 >题型：分式约分
三、数学万花筒
小欧拉智改羊圈
欧拉爸爸的羊群渐渐增多了，达到了100只。原来的羊圈有点小了，爸爸决定建造一个新的羊圈。
他用尺量出了一块长方形的土地，长40米，宽15米，他一算，面积正好是600平方米，平均每一头羊占
地6平方米。正打算动工的时候，他发现他的材料只够围100米的篱笆，不够用。若要围成长40米，宽15
米的羊圈，其周长将是110米（15+15+40+40=110）父亲感到很为难，若要按原计划建造，就要再添10
米长的材料；要是缩小面积，每头羊的面积就会小于6平方米。　　
小欧拉却向父亲说，不用缩小羊圈，也不用担心每头羊的领地会小于原来的计划。他有办法。父亲不相
信小欧拉会有办法，听了没有理他。小欧拉急了，大声说，只有稍稍移动一下羊圈的桩子就行了。　　
父亲听了直摇头，心想："世界上哪有这样便宜的事情？"但是，小欧拉却坚持说，他一定能两全齐
美。父亲终于同意让儿子试试看。　　
小欧拉见父亲同意了，站起身来，跑到准备动工的羊圈旁。他以一个木桩为中心，将原来的40米边
长截短，缩短到25米。父亲着急了，说："那怎么成呢？那怎么成呢？这个羊圈太小了，太小了。"小欧
拉也不回答，跑到另一条边上，将原来15米的边长延长，又增加了10米，变成了25米。经这样一改，原
来计划中的羊圈变成了一个25米边长的正方形。然后，小欧拉很自信地对爸爸说："现在，篱笆也够了，
面积也够了。"　　
父亲照着小欧拉设计的羊圈扎上了篱笆，100米长的篱笆真的够了，不多不少，全部用光。面积也
足够了，而且还稍稍大了一些。父亲心里感到非常高兴。孩子比自己聪明，真会动脑筋，将来一定大有
出息。　　
父亲感到，让这么聪明的孩子放羊实在是及可惜了。后来，他想办法让小欧拉认识了一个大数学家
伯努利。通过这位数学家的推荐，1720年，小欧拉成了巴塞尔大学的大学生。这一年，小欧拉13岁，是
这所大学最年轻的大学生。
四、巩固加油站
巩固1
已知 ，则 ．
答案
解析 由 可得 ，
∴原式 ．
故答案为： ．
标注 式 >分式 >分式化简求值 >题型：分式条件化简求值
巩固2
若 ，则 的值为 ．
答案
解析 由题得
∴
∴
又∵
∴原式 ．
故答案为： ．
标注 式 >分式 >分式的运算 >题型：分式通分
巩固3
若 ，则 的值是 ．
答案
备选答案1 :
备选答案2 :
解析 由题得 ，
∴原式 ．
故答案为： ．
标注 式 >分式 >分式化简求值 >题型：分式条件化简求值
巩固4
已知 ，则 的值是 ．
答案
解析 ∵
∴
∴
又∵
∴原式 ．
故答案为： ．
标注 式 >整式的乘除 >整式乘除化简求值 >题型：整式乘除条件化简求值
巩固5
若 ，求 的值．
答案 或 ．
解析 方法一：法一：叠加法．
若 ，则 ， ， ，原式 ；
若 ，则 ，
此时 ， ， ，原式 ．
法二：轮换法．
由 得 ，分解即 ，
同理可得 ， ．
若 ，则 ， ， ，原式 ；
若 ，则 ，即 ，原式 ．
法三：硬解法．
令 ，
则 ， ， ，
相加得 ．
若 ，则 ， ， ，原式 ；
若 ， ，此时 ， ， ，原式 ．
法四：
令 ，
若 ，则 ， ， ，原式 ；
若 ，则 ，
此时 ，故原式 ．
法五：令 ，
则 ①， ②， ③
① ② ③有 ，即 ，
故有 或 ．
当 时， ，
时 ．
方法二：若 ，则 , , ，故
；
若 ，则 （等比性质），
故有 ，从而可知 ．
故答案为： ．
标注 式 >分式 >分式的运算 >题型：分式加减、乘除混合运算
巩固6
已知三个数 ， ， 满足 ， ， ，求 的值．
答案 ．
解析 ∵ ， ， ，
∴ ， ， ，
即 ， ， ，
解得： ，
，
∴ ．
标注 式 >分式 >分式化简求值 >题型：分式条件化简求值
巩固7
若整数 使 为整数，则 的值为 ．
答案 或
解析 ．
根据题意，得： 是 的因数．
又 为整数，
或 ．
的值为 或 ．
标注 数 >有理数 >有理数的概念及分类
数 >有理数 >数轴与有理数有关的概念 >题型：有理数的分类
巩固8
如果 为整数，分式 的值为整数，则所有符合条件的 的值为 ．
答案 ， ， ，
解析 原式
；
∴ ，
∴ ， ， ， ．
故答案为： ， ， ， ．
标注 式 >分式 >分式的运算 >题型：分式加减、乘除混合运算
巩固9
当 发生变化时，分式 的最小值为 ．
答案
解析 ，
当 时， 有最小值，最小值为 ．
∴ ．
∴分式 的最小值为 ．
故答案为： ．
标注 式 >分式 >分式化简求值 >题型：分式化简求值综合第4讲 分式的化简求值
本讲目标：掌握分式的化简求值类题目，并且会使用消元法、通分法、倒数型、连等设参、分离常数等
常用方法。
例题设置：本讲内容分为两个模块，分别为“常见分式的化简求值”和“特殊分式的化简求值”。
①例1-例3消元法、通分法、倒数型
②例4是连等设参，例5拆分，例6分离常数
一、常见分式的化简求值
知识导航
分式化简求值的常见题型
方法 示例
已知 ，求代数式 的值.
分析：对已知进行化简， ，将所求代数式中的 全部用
换掉，从而约分求解
消元法
解：∵
∴
∴原式
设实数 ， 满足 ，求 的值.
分析：对已知进行通分， ，将所求
代数式中的 全部用 换掉，从而约分求解
解：∵
通分法
∴
∴
又∵原式
∴原式
倒数型 已知 ，求 ， ， 的值．
分析：已知 ， 中互为倒数，乘积为1，要求 ，只需将已知平方
解：∵
∴
∴
∴
又∵
∴
又∵
∴
【拓展】在对倒数型的考查中，经常会对已知条件或问题稍作变形，如
本题中可对已知条件变 化为① ，即分式化为了
整式，同除 即可还原；② ，即化为原条件的倒数，再颠倒
分子分母即可
经典例题
例题1
1 若 ，那么 的值是（ ）．
A. B. C. D.
2 已知 ，则 ．
例题2
1 已知 ，则 ．
2 已知 ，则代数式 的值为 ．
3 已知 ， ，则 ．
例题3
1 若 ，则 的值是 ．
2 已知 ，求 的值是 ．
3 已知 ，则 的值是 ．
4 已知 ，求 的值．
二、特殊分式的化简求值
知识导航
分式化简求值的特殊题型
已知 ，求 的值．
分析：由已知的连等式可想到引入参量，简化结构;
解：设
连
则 ，三式相加，得
等
设 当 时，
参 ∴原式
当时 ， ，即
∴原式
【注意】连等设参时，讨论系数是否为0
已知 ， ， ，求 的值．
分析：由题知，条件的基本形式是分子、分母分别为两项之积与两项之和，满足 ，即
可进行裂项拆分；
解：由题知 ， ，
拆
分 则
法
∴三式相加得
又∵
∴
【拓展】
为何正整数时，下列分式为整数．
① ；② ；③ ；④ ；⑤ ；⑥ ；⑦ ；⑧ ；⑨
．
分析：分离常数法其核心是化简分子，在分子里面构造与分母相同的项，其本质是整数解问题；
解：①
②
分 ∴
离 ③
常 ∴
数 ④
法 ∴
∴
⑤
∴
⑥
∴
⑦
∴
⑧
∴
⑨
∴
∴
经典例题
例题4
1 已知 且 ，则 ．
2 已知 ，则 ．
例题5
已知 ， ， 为实数，且 ， ， ，那么 的值为 ．
例题6
1 为何整数时，下列分式的值为整数？
(1)
(2)
(3)
(4)
2 已知 为整数，且 为整数，则所有符合条件的 值的和为 ．
3 分式 可取得的最小值为 .
三、数学万花筒
小欧拉智改羊圈
欧拉爸爸的羊群渐渐增多了，达到了100只。原来的羊圈有点小了，爸爸决定建造一个新的羊圈。
他用尺量出了一块长方形的土地，长40米，宽15米，他一算，面积正好是600平方米，平均每一头羊占
地6平方米。正打算动工的时候，他发现他的材料只够围100米的篱笆，不够用。若要围成长40米，宽15
米的羊圈，其周长将是110米（15+15+40+40=110）父亲感到很为难，若要按原计划建造，就要再添10
米长的材料；要是缩小面积，每头羊的面积就会小于6平方米。　　
小欧拉却向父亲说，不用缩小羊圈，也不用担心每头羊的领地会小于原来的计划。他有办法。父亲不相
信小欧拉会有办法，听了没有理他。小欧拉急了，大声说，只有稍稍移动一下羊圈的桩子就行了。　　
父亲听了直摇头，心想："世界上哪有这样便宜的事情？"但是，小欧拉却坚持说，他一定能两全齐
美。父亲终于同意让儿子试试看。　　
小欧拉见父亲同意了，站起身来，跑到准备动工的羊圈旁。他以一个木桩为中心，将原来的40米边
长截短，缩短到25米。父亲着急了，说："那怎么成呢？那怎么成呢？这个羊圈太小了，太小了。"小欧
拉也不回答，跑到另一条边上，将原来15米的边长延长，又增加了10米，变成了25米。经这样一改，原
来计划中的羊圈变成了一个25米边长的正方形。然后，小欧拉很自信地对爸爸说："现在，篱笆也够了，
面积也够了。"　　
父亲照着小欧拉设计的羊圈扎上了篱笆，100米长的篱笆真的够了，不多不少，全部用光。面积也
足够了，而且还稍稍大了一些。父亲心里感到非常高兴。孩子比自己聪明，真会动脑筋，将来一定大有
出息。　　
父亲感到，让这么聪明的孩子放羊实在是及可惜了。后来，他想办法让小欧拉认识了一个大数学家
伯努利。通过这位数学家的推荐，1720年，小欧拉成了巴塞尔大学的大学生。这一年，小欧拉13岁，是
这所大学最年轻的大学生。
四、巩固加油站
巩固1
已知 ，则 ．
巩固2
若 ，则 的值为 ．
巩固3
若 ，则 的值是 ．
巩固4
已知 ，则 的值是 ．
巩固5
若 ，求 的值．
巩固6
已知三个数 ， ， 满足 ， ， ，求 的值．
巩固7
若整数 使 为整数，则 的值为 ．
巩固8
如果 为整数，分式 的值为整数，则所有符合条件的 的值为 ．
巩固9
当 发生变化时，分式 的最小值为 ．

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