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第5讲 分式方程
本讲目标：解分式方程，增根、无解、解的正负求参数，
例题设置：
1.例1定义，例2解分式方程，例3技巧方程
2.例4增根，例5无解，例6正负性
一、分式方程的概念及解法
知识导航
概念 分母中含有未知数的方程
核心 化分式方程为整式方程
步骤 示例
①因式分解：分母中能因
式分解的先分解 解方程： ．
②去分母：化分式方程为 解：原方程即：
整式方程，即在方程的两 方程两边同时乘以 ，得
解法
边同时乘以最简公分母 解之得：
③解整式方程 检验：将 代入
④验根：将整式方程的根
代入最简公分母中，检验 ∴原分式方程的解为 ．
是否为0
解分式方程一定要验根，即排除增根，所谓增根是指使原分式方程分母为0的未知数
注意
的值
经典例题
例题1
判断下列方程是否是分式方程．
（1） ．
（2） ．
（3） ．
（4） ．
（5） ．
（6） ．
（7） ．
（8） （ 为字母系数）．
（9） （ 为字母系数）．
（10） ．
例题2
解方程：
(1) ；
(2) ;
(3) ;
(4) ．
例题3
1 解方程： ．
2 解方程： ．
二、分式方程的解
分式方程的解
常见题型 解法 示例
已知分式 ①分式方程化为整式方程 若关于 的分式方程 有增根，求 的
方程有增 ②令最简公分母为 ，求 值．
根，求参 出增根 解：去分母得 ．将增根为 ，代
数值 ③将增根代入整式方程 入得 ．
若关于 的分式方程 无解，求 的值．
解：去分母得 ，整理得
分式方程化为整式方程
（*）
已知分式 后，包含两种情况：
①方程（*）当 时无解，此时 ，原方程亦
方程无 ①分式方程的解为增根
无解；
解，求参 ②整式方程无解，
②方程（*）当 时有解，要使原分式方程无解，
数值 即，若 ，
需满足方程（*）的解是原方程的增根，原方程可能的增
则当 且 时无解
根为 或 ，方程（*）仅当 可解得 ；
综上 或 ．
已知分式 若关于 的方程 的解为正数，求 的取值范
①求得分式方程的解
方程根的 围．
②根据解的情况列不等式
情况，求 解：由 得
③一定要排除增根 ＞
参数范围 且增根为 ， ∴ ，即 且 ．
例题4
1 若方程 有增根，则它的增根是 ．
2 若关于 的分式方程 有增根，则 的值为 ．
3 若关于 的分式方程： 有增根，则 的值为 ．
例题5
1 若关于 的分式方程 无解，则 的值为 ．
2 若关于 的分式方程 无解，则 ．
例题6
1 已知关于 的分式方程 的解是非负数，则 的取值范围是 ．
2 当 为何值时，关于 的方程 的解为负数？
三、数学趣事
哪吒智斗与猪八戒
路遇哪吒:八戒正往前走，忽听背后有人叫他：“老猪，好自在啊！”八戒回头一看，是托塔天王的三
太子哪吒。
八戒摇晃着脑袋说：“这不是那个三头六臂的妖精吗？”
哪吒听八戒叫他妖精，勃然大怒，大喝一声：“变！”随即变做三头六臂，6只手分别拿着6件兵器：
斩妖剑、砍妖刀、缚妖索、降妖杵、绣球儿、火轮儿，恶狠狠地朝八戒打来。
八戒不敢怠慢，舞动钉耙迎了上去，两人“叮叮当当”地打了起来。过了一阵子哪吒见没占到便宜，又喊
了一声：“换！”6只手拿着的兵器立刻交换了一下位置。就这样哪吒不断变换着兵器的拿法，可把八戒打
晕了。
八戒连连摆手说：“不打啦，不打啦，我说你这6只手一共有多少种不同的拿法？”
“720种！”哪吒神气活现。
“吹牛！”八戒把大嘴一撇说，“有个二三十种我还信，720种？你别骗我啦！”
哪吒让5只手依次拿着斩妖剑、砍妖刀、缚妖索、降妖杵、绣球儿，对八戒说：“你看，我5只手拿的
兵器固定不变，这时我第6只手只有拿火轮儿这一种拿法。”
八戒点点头说：“嗯，不错，就一种拿法。”
哪吒又让4只手依次拿着斩妖剑、砍妖刀、缚妖索、降妖杵，这时第5、6只手可以轮换拿绣球儿、
火轮儿，共有两种拿法。
哪吒再让3只手依次拿着斩妖剑、砍妖刀、缚妖索，而另3只手变换出以下6种拿法：
降妖杵、绣球儿、火轮儿；
降妖杵、火轮儿、绣球儿；
绣球儿、降妖杵、火轮儿；
绣球儿、火轮儿、降妖杵；
火轮儿、绣球儿、降妖杵；
火轮儿、降妖杵、绣球儿。
八戒摸摸脑袋说：“这要是6只手都随便拿可怎么个排法呀？还不排晕喽！”
哪吒笑骂着：“真是个呆子！你观察一下下面的3个数：1＝1，2=1×2，6＝1×2×3。由此推想：如果
固定两只手，而剩下的4只手随意拿，可有1×2×3×4×＝24种拿法。而6只手都随意拿呢？有
1×2×3×4×5×6＝720种不同拿法。”
八戒向哪吒一拱手：“你的变化真多，我服了。”
四、巩固加油站
巩固1
下列方程① ，② ，③ ，④ ，其中是分式方程的有（）．
A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ②③④
巩固2
解方程： ．
巩固3
解方程： ．
巩固4
解方程： ．
巩固5
解方程： ．
巩固6
已知关于 的方程 有增根，则 ．
巩固7
解分式方程 产生增根，求 的值．
巩固8
若关于 的分式方程 无解，则 的值为 ．
巩固9
关于 的方程 无解，求 的值．
巩固10
关于 的方程 的解是负数，则 的取值范围是 ．
巩固11
关于 的方程 的解为正数，则 的取值范围是 .第5讲 分式方程
本讲目标：解分式方程，增根、无解、解的正负求参数，
例题设置：
1.例1定义，例2解分式方程，例3技巧方程
2.例4增根，例5无解，例6正负性
一、分式方程的概念及解法
知识导航
概念 分母中含有未知数的方程
核心 化分式方程为整式方程
步骤 示例
①因式分解：分母中能因
式分解的先分解 解方程： ．
②去分母：化分式方程为 解：原方程即：
整式方程，即在方程的两 方程两边同时乘以 ，得
解法
边同时乘以最简公分母 解之得：
③解整式方程 检验：将 代入
④验根：将整式方程的根
代入最简公分母中，检验 ∴原分式方程的解为 ．
是否为0
解分式方程一定要验根，即排除增根，所谓增根是指使原分式方程分母为0的未知数
注意
的值
经典例题
例题1
判断下列方程是否是分式方程．
（1） ．
（2） ．
（3） ．
（4） ．
（5） ．
（6） ．
（7） ．
（8） （ 为字母系数）．
（9） （ 为字母系数）．
（10） ．
答案 分式方程有（3）、（5）、（7）、(8)、（10）．
解析 略
标注 方程与不等式 >等式与方程 >方程 >题型：方程的判断
例题2
解方程：
(1) ；
(2) ;
(3) ;
(4) ．
答案 (1) .
(2) 原分式方程无解．
(3) .
(4) .
解析 (1) 方程两边同时乘以 ，得
解之得， ,
检验：将 代入 ，
∴原分式方程的解为 ．
(2) 原方程即
方程两边同时乘以 ，得
解之得，
检验：将 代入 ，
∴原分式方程无解．
(3) 原方程即：
方程两边同时乘以 ，得
解之得，
检验： 时 ，
∴原分式方程的解为 ．
(4) 方程两边都乘以 得
∴
检验：当 时，
∴ 是原方程的解，
标注 方程与不等式 >分式方程 >分式方程的解与解分式方程 >题型：解可化为一元二次方程的分
式方程
例题3
1 解方程： ．
答案 或 ．
解析 方程 ．
可化为： ．
．
即 ．
故 ， ．
即 ．
故 或者 ．
经检验，均是原方程的解．
标注 方程与不等式 >分式方程 >分式方程的解与解分式方程 >题型：解可化为一元二次方程的分
式方程
2 解方程： ．
答案
解析 原方程可化为：
故 ，经检验，是原方程的解．
标注 方程与不等式 >分式方程 >分式方程的解与解分式方程
二、分式方程的解
分式方程的解
常见题型 解法 示例
已知分式 ①分式方程化为整式方程 若关于 的分式方程 有增根，求 的
方程有增 ②令最简公分母为 ，求 值．
根，求参 出增根 解：去分母得 ．将增根为 ，代
数值 ③将增根代入整式方程 入得 ．
若关于 的分式方程 无解，求 的值．
解：去分母得 ，整理得
分式方程化为整式方程
（*）
已知分式 后，包含两种情况：
①方程（*）当 时无解，此时 ，原方程亦
方程无 ①分式方程的解为增根
无解；
解，求参 ②整式方程无解，
②方程（*）当 时有解，要使原分式方程无解，
数值 即，若 ，
需满足方程（*）的解是原方程的增根，原方程可能的增
则当 且 时无解
根为 或 ，方程（*）仅当 可解得 ；
综上 或 ．
已知分式 若关于 的方程 的解为正数，求 的取值范
①求得分式方程的解
方程根的 围．
②根据解的情况列不等式
情况，求 解：由 得
③一定要排除增根 ＞
参数范围 且增根为 ， ∴ ，即 且 ．
例题4
1 若方程 有增根，则它的增根是 ．
答案
解析 方程两边都乘 ，得
，
由最简公分母 ，可知增根可能是 或 ．
当 时， ，
当 时，得到 ，这是不可能的，
所以增根只能是 ．
标注 方程与不等式 >分式方程 >分式方程的解与解分式方程 >题型：分式方程的増根问题
2 若关于 的分式方程 有增根，则 的值为 ．
答案
解析 方程两边都乘 ，
得 ．
∵原方程有增根，
∴最简公分母 ，
解得 ，
当 时， ．
故 的值是 ．
标注 方程与不等式 >分式方程 >分式方程的解与解分式方程 >题型：分式方程的増根问题
3 若关于 的分式方程： 有增根，则 的值为 ．
答案 或
解析 略
标注 方程与不等式 >分式方程 >分式方程的解与解分式方程 >题型：分式方程的増根问题
例题5
1 若关于 的分式方程 无解，则 的值为 ．
答案
解析 去分母得 ，
∴ ，
∵原方程无解，
∴ ，则 ，
∴ 的值为 ．
故答案为： ．
标注 方程与不等式 >分式方程 >分式方程的解与解分式方程 >题型：分式方程的无解问题
2 若关于 的分式方程 无解，则 ．
答案 或
解析 去分母得 ，整理得 （ ）
①方程（ ）当 时无解，此时 ，原方程亦无解．
②方程（ ）当 时有解，要使原分式方程无解，需满足方程（ ）的解是原方程的增
根，原方程可能的增根为 ，
∴ ，即 ；
综上 或 ．
标注 方程与不等式 >分式方程 >分式方程的解与解分式方程 >题型：分式方程的无解问题
例题6
1 已知关于 的分式方程 的解是非负数，则 的取值范围是 ．
答案 且
解析 去分母得，
，
解得 ，
由题意得， ，
解得， ，
是分式方程的增根，所有当 时，方程无解，即 ，
所以 的取值范围是 且 ．
标注 方程与不等式 >分式方程 >分式方程的解与解分式方程 >题型：由分式方程的解确定参数
2 当 为何值时，关于 的方程 的解为负数？
答案 且 ．
解析 由 得 且增根为 或 ，
∴ ，
∴ 且 ．
标注 方程与不等式 >分式方程 >分式方程的解与解分式方程 >题型：由分式方程的解确定参数
三、数学趣事
哪吒智斗与猪八戒
路遇哪吒:八戒正往前走，忽听背后有人叫他：“老猪，好自在啊！”八戒回头一看，是托塔天王的三
太子哪吒。
八戒摇晃着脑袋说：“这不是那个三头六臂的妖精吗？”
哪吒听八戒叫他妖精，勃然大怒，大喝一声：“变！”随即变做三头六臂，6只手分别拿着6件兵器：
斩妖剑、砍妖刀、缚妖索、降妖杵、绣球儿、火轮儿，恶狠狠地朝八戒打来。
八戒不敢怠慢，舞动钉耙迎了上去，两人“叮叮当当”地打了起来。过了一阵子哪吒见没占到便宜，又喊
了一声：“换！”6只手拿着的兵器立刻交换了一下位置。就这样哪吒不断变换着兵器的拿法，可把八戒打
晕了。
八戒连连摆手说：“不打啦，不打啦，我说你这6只手一共有多少种不同的拿法？”
“720种！”哪吒神气活现。
“吹牛！”八戒把大嘴一撇说，“有个二三十种我还信，720种？你别骗我啦！”
哪吒让5只手依次拿着斩妖剑、砍妖刀、缚妖索、降妖杵、绣球儿，对八戒说：“你看，我5只手拿的
兵器固定不变，这时我第6只手只有拿火轮儿这一种拿法。”
八戒点点头说：“嗯，不错，就一种拿法。”
哪吒又让4只手依次拿着斩妖剑、砍妖刀、缚妖索、降妖杵，这时第5、6只手可以轮换拿绣球儿、
火轮儿，共有两种拿法。
哪吒再让3只手依次拿着斩妖剑、砍妖刀、缚妖索，而另3只手变换出以下6种拿法：
降妖杵、绣球儿、火轮儿；
降妖杵、火轮儿、绣球儿；
绣球儿、降妖杵、火轮儿；
绣球儿、火轮儿、降妖杵；
火轮儿、绣球儿、降妖杵；
火轮儿、降妖杵、绣球儿。
八戒摸摸脑袋说：“这要是6只手都随便拿可怎么个排法呀？还不排晕喽！”
哪吒笑骂着：“真是个呆子！你观察一下下面的3个数：1＝1，2=1×2，6＝1×2×3。由此推想：如果
固定两只手，而剩下的4只手随意拿，可有1×2×3×4×＝24种拿法。而6只手都随意拿呢？有
1×2×3×4×5×6＝720种不同拿法。”
八戒向哪吒一拱手：“你的变化真多，我服了。”
四、巩固加油站
巩固1
下列方程① ，② ，③ ，④ ，其中是分式方程的有（）．
A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ②③④
答案 D
解析 略
标注 方程与不等式 >分式方程 >分式方程的解与解分式方程 >题型：判断分式方程的解
巩固2
解方程： ．
答案 原方程无解．
解析 方程两边同乘 ，
得 ，
整理得 ，
解得 ，
检验：当 时， ，
∴ 是增根，应舍去，
∴原方程无解．
标注 方程与不等式 >分式方程 >分式方程的解与解分式方程
巩固3
解方程： ．
答案 ．
解析 原方程即 ，
方程两边同时乘以 ，得 ，
解之得， ，
检验：将 代入 ，
∴原分式方程的解为 ．
标注 方程与不等式 >分式方程 >分式方程的解与解分式方程
巩固4
解方程： ．
答案 ．
解析 原方程可化为 ，
化简，得 ，
所以 ，
所以 ．
检验：把 代入原方程中的每一个分母，各分母均不为零．
所以 是原方程的根．
标注 方程与不等式 >分式方程 >分式方程的解与解分式方程 >题型：解可化为一元一次方程的分
式方程
巩固5
解方程： ．
答案 ．
解析 方法一：解法一： 方程两边分别通分得
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，∴ ．
经检验， 是原方程的解．
解法二：可将 与 调换位置，变为 ，
再左右两边通分．
解法三：将分式分离常数，原方程为 ，
再解分式方程，更为简单．
方法二：
，
检验：当 时 ，
∴ 是原方程的解．
标注 方程与不等式 >分式方程 >分式方程的解与解分式方程
巩固6
已知关于 的方程 有增根，则 ．
答案
解析 方程两边都乘以 ，得 ，将增根 代入，得 ．
方程两边都乘 ，
得 ，
化简，得
，
∵原方程有增根，
∴最简公分母 ，
解得 ，
当 时， ，
故答案为：4．
标注 方程与不等式 >分式方程 >分式方程的解与解分式方程 >题型：分式方程的増根问题
巩固7
解分式方程 产生增根，求 的值．
答案 或 ．
解析 方程两边都乘以 得， ，
若分式方程产生增根，则 ，
解得 或 ，
当 时， ，解得 ，
当 时， ，解得 ，
∴ 的值为 或 ．
标注 方程与不等式 >分式方程 >分式方程的解与解分式方程 >题型：分式方程的増根问题
巩固8
若关于 的分式方程 无解，则 的值为 ．
答案
解析 方程去分母得： ，
解得： ，
∴当 时分母为 ，方程无解，
即 ，
∴ 时方程无解．
标注 方程与不等式 >分式方程 >分式方程的解与解分式方程 >题型：分式方程的无解问题
巩固9
关于 的方程 无解，求 的值．
答案 或 ．
解析 方程去分母得： ，
解得： ，
∴当 即 时，整式方程无解，分式方程无解，
当 时，x= ，
时分母为 ，方程无解，
即 ，
∴ 时方程无解，
综上，当 或 时，原分式方程无解．
标注 方程与不等式 >分式方程 >分式方程的解与解分式方程 >题型：分式方程的无解问题
巩固10
关于 的方程 的解是负数，则 的取值范围是 ．
答案 且
解析 方法一：根据 ，可以知道 的取值范围是 且 ．
方法二：同乘以 得： ，
有解且为负数，则 ，
则 且 ．
标注 方程与不等式 >分式方程 >分式方程的解与解分式方程 >题型：由分式方程的解确定参数
巩固11
关于 的方程 的解为正数，则 的取值范围是 .
答案 且
解析
由题知， 且增根为 ，∴ ， 且 ．
标注 方程与不等式 >分式方程 >分式方程的解与解分式方程 >题型：由分式方程的解确定参数

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