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第6讲 平行四边形探究
本讲目标：一般的平四证明题和多结论判断，一半的中位线及中位线的构造
例题设置：
1.例1熟悉性质和判定，例2多结论判断，例3证明过程
2.例4简单图形中位线，例5复杂图形中位线，例6中位线构造及逆定理，例7有引导性的中位线构造证明
题
一、平行四边形的性质和判定
知识导航
定义 示例剖析
两组对边分别平行的四边形叫做平
平行四边形
行四边形
四边形 叫做平行四边形
平行四边形的 一般按一定的方向依次表示各顶点.
表示 如：口
平行四边形不能表示成口 ，也不能表示成
口
中心 在平面内，一个图形绕某点旋转180°，如果旋转前后的图形互相重合，那么这个图形叫
对称图形 做中心对称图形
中心对称
中心对称图形上的每一对对应点所连成的线段都被对称中心平分
图形性质
元素 性质 示例剖析
对边平
①边
行且相等
四边形 为平行四边形
且 ； 且
对角相等
②角
邻角互补
四边形 为平行四边形， ，
， ,
对角线
③对角线
互相平分
四边形 为平行四边形， ，
④对称性 中心对称图形
重要结论 示例剖析
①四边形 为平行四边形， 、 在 ，
上，且线段 过点 ，则
平行四边形是中心对称图形，对称中心就是两条对
角线的交点
①连接四边上任意一点和平行四边形的对称中心，
与另一条边相交于一点，则这两个点关于平行四边
形的对称中心对称 ②
②经过平行四边形对称中心的任意一条直线都把平 四边形 四边形 ， 四边形 四边形
行四边形分成面积和周长相等的两部分
判定 示例剖析
两组对边分别平行
四边形 是平行四边形
① 边 一组对边平行且相等
四边形 是平行四边形
两组对边分别相等
四边形 是平行四边形
② 对角线互相平分的四边形是平行四边形
四边形 是平行四边形
经典例题
例题1
1 如图，平行四边形 的周长为 ， ， 相交于点 ， 交 于点 ，则 的
周长为（ ）．
A. B. C. D.
2 如图，平行四边形 中， ， 、 分别在 和 的延长线上， ，
， ，则 的长是（ ）．
A. B. C. D.
3 如图，图中平行四边形 被平行于它的边的平行线 、 和 、 分成 个小平行四边
形．已知 个平行四边形 、 、 、 、 的面积分别为 、 、 、 、
，则四边形MPTF（图中没有画出来）的面积是 ．
A. B. C. D.
例题2
1 如图平行四边形 的对角线 、 交于点 ， 平分 交 于点 ，且 ，
，连接 ．下列结论：
① ；② 四边形 ；③ ；④ ．
成立的个数有（ ）．
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
2 如图分别以直角 的斜边 直角边 为边向 外作等边 和等边 ， 为
的中点， 与 交于点 ， 与 交于点 ， ， ．给出如下结论：①
；②四边形 为菱形；③ ；④ ；其中正确结论的是（ ）．
A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④
例题3
如图，在 中， ， ，分别以 ， 为边向外作正方形 和正方形
．连接 ， ， ， 且 为 的中点．
(1) 判断 与 的关系．并说明理由．
(2) 判断四边形 的形状，并说明理由．
二、三角形的中位线
知识导航
三角形的中位线
定义 示例剖析
定义：连接三角形两边中点的线段
定理：三角形中位线平行于三角形的第三边且等于第三边的一半
若 为 的中位线，
则 ，且
三角形中位线里隐含重要性质：
① 三角形的三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形
② 三角形的三条中位线将原三角形划分出三个面积相等的平行
四边形 若 、 、 是 的三条中位
③ 三角形的三条中位线组成一个三角形，其周长为原三角形的 线，则有：
周长的一半，其面积为原三角形面积的四分之一 ①
② ③
，
判定 示例剖析
在三角形内，与三角形的两边相交，平行且等于三角形第三边一
半的线段是三角形的中位线
为 的中位线
在三角形内，经过三角形一边的中点，且与另一边平行的线段，
是三角形的中位线
为 的中位线
注意：在三角形内部，经过一边中点，且等于第三边一半的线段不一定是三角形的中位线
经典例题
例题4
1 如图所示，在四边形 中， ， 、 、 分别是 、 、 的中点，
， ， 为 度．
2 如图， 中， 、 分别是 、 的中点， 平分 ，交 于点 ，若 ，
，则 的长是（ ）．
A. B. C. D.
例题5
1 如图， 中， ， ， 、 分别是其角平分线和中线，过点 作 于 ，
交 于 ，连接 ，则线段 的长为 ．
2 如图， 的周长为 ，点 ， 都在边 上， 的平分线垂直于 ，垂足为 ，
的平分线垂直于 ，垂足为 ，若 ，则 的长为 .
例题6
1 如图，四边形 中， ， ， ，点 ， 分别为线段 ， 上的动点
（含端点，但点 不与点 重合），点 ， 分别为 ， 的中点，则 长度的最大值为
．
2 已知：如图， 、 分别是 的中线和角平分线， ， ，相交于点 ，
则 的长等于 ．
G
3 如图， 是 的中位线， 是 的中点， 的延长线交 于点 ，则 等于
（ ）．
A. B. C. D.
三、数学趣事
古地图：穿越科技的辉煌
中国向来地大物博，所以国人地理观念很强，否则官员被贬谪到海南、西域等边疆之地，驱车赶马
都要走上一年半载，那么远的路不迷路才怪。更严重的是，不懂得方位地形，仗怎么打呢？也正因为
此，地图才显得尤为重要。
我们都知道，地图的作用是方便人们辨识方位，这其中包含距离、方向、经纬度、比例以及地形面
积和高低等数学、天文、地理知识，古代没有GPS导航仪、卷尺、海拔测量仪等精确的技术设备，想要
精确地在图纸和布帛上展示这些数据并没有想象中的简单。但古人以他们超群的智慧仍然找到了解决的
方案——那些牛逼闪闪遥遥领先的科技。
1、精算距离的神器——计里鼓车
古代测量距离的方法有很多，其中以步为单位来计算比较常见，比如唐太宗李世民规定以他的双步
即左右脚各一步的长度为一步，一步为五尺，三百尺为一里。但是这种方法十分不固定，毕竟每个人的
双步距离不一，就算是制作成度量尺也只适用于短距离的测量。这对于制作地图需要测量山川湖泊海岸
边境的工作量来说显然不合实际。
或许是受以步计量局限性的困扰，古人脑洞大开，步行太慢，那就坐车呗。于是名叫计道车的工具被发
明了出来，在西汉刘歆的《西京杂记》里就有计道车的记载，后来在东汉被张衡改良后成为计里鼓车。
它实际上是由一套复杂的齿轮组操纵的，车轮滚动分别带动控制鼓人和镯人的大、小平轮，根据评
论转动的周期来实现记录里程的需要，所以叫计里鼓车。它所利用的车速齿轮原理，早于西方1800多
年。除了在皇帝出行时计算里程，还担负着测量土地、提供数据的重任。值得称道的是，车前架上一匹
宝马，一天之内即可测量百里路程，这对绘制地图来说简直是神器。
这在《宋史·舆服志》中有详细的记载，根据北宋卢道隆的设计版本仿制的计里鼓车现在陈列于中国历
史博物馆中。
2、测量海拔等直线距离的经典数学理论——勾股定理和相似比
测量工具和测量技术的改进使汉代的地图事业蓬勃发展，为了应对长期征战戍边的需要，汉代涌现
出一些杰出的将军，他们也掌握着优秀的绘图技术。比如李陵曾绘《北边图》呈于汉武帝，汉昭帝时张
千秋曾在霍光面前“画地成图”解说军事形势；东汉伏波将军马援在光武帝面前“聚米为山谷，指划形
势”。处于行政屯田需要的地图也层出不穷，朝廷还时常委派专门官员从事测绘工作。
随着测量距离越来越精确，对计算方法的演进又提出了高要求。中国古代最著名的数学书籍《周髀
算经》应运而生，其成书大约在公元前1世纪，它用分数运算及勾股定理等数学方法阐述了“盖天说”。大
约同时期成书的《九章算术》，书中明确提出了勾股定理以及某些解勾股形问题的方法，这就使得后来
测量高度变得容易。具体啥是勾股定理，请回去再学一遍中学数学。
高度知道了，可不同高度之间的实际距离是多少？用于一个三角形的勾股定理不够用，那就用两个
三角形做类比，这样两个山头间的距离就可以用三角形的相似性来计算了。这也算是中学数学几何吧，
但它的发现远在两千年前的三国时代，当时叫“重差法”，是根据相似直角三角形对应边成比例的关系进
行测量的理论，用于测算不能直接测量的距离、高程。
三国时期东吴赵爽为《周髀算经》作注时作日高图，其中首次提出“重差”理论。其实根据《史记》记
载，利用“相似三角形对应边成比例”的原理进行测量的活动在夏禹时代就已经开展。禹使用准、绳、
规、矩等简单的工具，“平矩以准绳，偃矩以高望，覆矩以测深，卧矩以知远”，这便是利用该原理测算
山高、水深等两点间的距离。
魏晋时数学家刘徽在为《九章算术》作注时，也写了《重差》一卷附于该书之后。他活用了重差理
论，使人们能应对各种不能直接测量的具体情况。
3、计里画方——古代的比例尺
西晋时，被英国科技史专家李约瑟称为“中国科学制图学之父”的裴秀，提出了中国第一个也是对后
世最具影响力的制图理论——“制图六体”。它分别对比例、方位、距离、高程、地形等绘图基本要素进
行论述。这六要素分别是：
（1）“分率”：面积、长宽比例；
（2）“准望”：地物彼此之间的相互方位；
（3）“道里”：道路里程；
（4）“高下”：高低；
（5）“方邪”：方斜；
（6）“迂直”：曲直。
可以看出，这些其实是测量距离时的具体操作原则：即逢高取下、逢高取邪、逢迂取直，即要保证
两点间的距离是直线距离，不能因沟通两地的道路高度不平或迂回阻隔而影响到这一点。
制图六体是对前代制图经验的总结，而这六体中，前代唯一没有确立起来的是“分率”，就是比例尺。以
往的地图没有这个概念，且即使有按比例缩放也只是局部，且全图并不统一，因此十分混乱。
在此基础上，裴秀提出了“计里画方”之法来解决。绘图时，先在图上布满方格，方格边长代表实地
里数，然后按方格绘制地图内容，以此保证一定的准确性。
当时，裴秀把一幅用缣八十匹的“天下大图”以“一分为十里，一寸为百里”的比例尺缩小为一丈见方
的“方长图”，查阅人“可以不下堂而知四方”。他绘制的18篇《禹贡地域图》，范围为全国从古代九州到
西晋初年的十六州。这是目前所知的中国第一部历史地图集。
四、巩固加油站
巩固1
如图，在平行四边形 中，对角线 的垂直平分线分别交 、 于点 、 ，连接 ，若
的周长为 ，则四边形 的周长为（ ）．
A. B. C. D.
巩固2
如图，四边形 是平行四边形，点 是边 上一点，且 ， 交 于点 ，
是 延长线上一点，下列结论：
① 平分 ；② 平分 ；③ ；④ ，
其中正确结论的个数为（ ）．
A. B. C. D.
巩固3
如图，已知 是等边三角形， 为 上一点，连接 ．将 绕点 旋转，使点 落在 上
的点 处，点 落在 上方的点 处，连接 ．求证：四边形 是平行四边形．
巩固4
如图， ， 为 的中点，连接 并延长到 ，使 ，过点 作 ，与
的延长线交于点 ．若 ，则 的长为 ．
巩固5
如图，四边形 中， 、 、 ，一动点 沿着 的路
径运动（不与点 、 重合）；点 、 分别为线段 、 的中点，则线段 的长度为
．
巩固6
如图， 中，已知 是 边的中点， 平分 ， ，若 ，
，则 ．
巩固7
如图， 是 的中位线， 是 的中点， 的延长线交 于点 ，若 的面积为
，则 的值为（ ）．
A. B. C. D.第6讲 平行四边形探究
本讲目标：一般的平四证明题和多结论判断，一半的中位线及中位线的构造
例题设置：
1.例1熟悉性质和判定，例2多结论判断，例3证明过程
2.例4简单图形中位线，例5复杂图形中位线，例6中位线构造及逆定理，例7有引导性的中位线构造证明
题
一、平行四边形的性质和判定
知识导航
定义 示例剖析
两组对边分别平行的四边形叫做平
平行四边形
行四边形
四边形 叫做平行四边形
平行四边形的 一般按一定的方向依次表示各顶点.
表示 如：口
平行四边形不能表示成口 ，也不能表示成
口
中心 在平面内，一个图形绕某点旋转180°，如果旋转前后的图形互相重合，那么这个图形叫
对称图形 做中心对称图形
中心对称
中心对称图形上的每一对对应点所连成的线段都被对称中心平分
图形性质
元素 性质 示例剖析
对边平
①边
行且相等
四边形 为平行四边形
且 ； 且
对角相等
②角
邻角互补
四边形 为平行四边形， ，
， ,
对角线
③对角线
互相平分
四边形 为平行四边形， ，
④对称性 中心对称图形
重要结论 示例剖析
①四边形 为平行四边形， 、 在 ，
上，且线段 过点 ，则
平行四边形是中心对称图形，对称中心就是两条对
角线的交点
①连接四边上任意一点和平行四边形的对称中心，
与另一条边相交于一点，则这两个点关于平行四边
形的对称中心对称 ②
②经过平行四边形对称中心的任意一条直线都把平 四边形 四边形 ， 四边形 四边形
行四边形分成面积和周长相等的两部分
判定 示例剖析
两组对边分别平行
四边形 是平行四边形
① 边 一组对边平行且相等
四边形 是平行四边形
两组对边分别相等
四边形 是平行四边形
② 对角线互相平分的四边形是平行四边形
四边形 是平行四边形
经典例题
例题1
1 如图，平行四边形 的周长为 ， ， 相交于点 ， 交 于点 ，则 的
周长为（ ）．
A. B. C. D.
答案 C
解析 根据平行四边形的性质得： ．
∵ ，
∴ 为 的垂直平分线．
根据线段的垂直平分线上的点到两个端点的距离相等得： ．
∴ 的周长 ．
故选 ．
标注 四边形 >平行四边形 >平行四边形问题 >题型：平行四边形性质综合应用
2 如图，平行四边形 中， ， 、 分别在 和 的延长线上， ，
， ，则 的长是（ ）．
A. B. C. D.
答案 B
解析 ∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ，
∵ ，
∴四边形 是平行四边形，
∴ ，
即 为 中点，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
标注 四边形 >平行四边形 >平行四边形问题 >题型：平行四边形性质综合应用
3 如图，图中平行四边形 被平行于它的边的平行线 、 和 、 分成 个小平行四边
形．已知 个平行四边形 、 、 、 、 的面积分别为 、 、 、 、
，则四边形MPTF（图中没有画出来）的面积是 ．
A. B. C. D.
答案 C
解析 根据平行四边形的性质，设 ， ，
， ，
又设 四边形 ，
则 ①
又 ②
①+②得 ，
∴ ．
故答案为： ．
标注 四边形 >平行四边形 >平行四边形问题 >题型：平行四边形性质综合应用
例题2
1 如图平行四边形 的对角线 、 交于点 ， 平分 交 于点 ，且 ，
，连接 ．下列结论：
① ；② 四边形 ；③ ；④ ．
成立的个数有（ ）．
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
答案 C
解析 ∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，故①正确；
∵ ，
∴ 四边形 ，故②正确，
∵ ， ，
∵ ，
∴ ，故③错误；
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，故④正确．
标注 四边形 >平行四边形 >平行四边形问题 >题型：平行四边形性质综合应用
2 如图分别以直角 的斜边 直角边 为边向 外作等边 和等边 ， 为
的中点， 与 交于点 ， 与 交于点 ， ， ．给出如下结论：①
；②四边形 为菱形；③ ；④ ；其中正确结论的是（ ）．
A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④
答案 C
解析 ∵ 是等边三角形，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ， ，
∵ 为 的中点，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，故①正确，
∵ ， ，
∴ ，
∵ 是 的中点，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，故④说法正确；
∵ ， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ （ ），
∴ ，
∵ ，
∴四边形 为平行四边形，
∵ ，
∴四边形 不是菱形；
故②说法不正确；
∴ ，
∴ ，
∵ ，
则 ，故③说法正确，
故选： ．
标注 四边形 >特殊四边形 >菱形 >题型：菱形的判定-从四边形
例题3
如图，在 中， ， ，分别以 ， 为边向外作正方形 和正方形
．连接 ， ， ， 且 为 的中点．
(1) 判断 与 的关系．并说明理由．
(2) 判断四边形 的形状，并说明理由．
答案 (1)
(2) 证明见解析
解析 (1) 在 和 中，
，
∴ ≌ ．
∴ ．
(2) 设 为 ，则 ， ，
∴ ，
而 是 的中点，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
而 ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 是平行四边形．
标注 四边形 >平行四边形 >平行四边形问题 >题型：平行四边形的判定
二、三角形的中位线
知识导航
三角形的中位线
定义 示例剖析
定义：连接三角形两边中点的线段
定理：三角形中位线平行于三角形的第三边且等于第三边的一半
若 为 的中位线，
则 ，且
三角形中位线里隐含重要性质：
① 三角形的三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形
② 三角形的三条中位线将原三角形划分出三个面积相等的平行
四边形 若 、 、 是 的三条中位
③ 三角形的三条中位线组成一个三角形，其周长为原三角形的 线，则有：
周长的一半，其面积为原三角形面积的四分之一 ①
② ③
，
判定 示例剖析
在三角形内，与三角形的两边相交，平行且等于三角形第三边一
半的线段是三角形的中位线
为 的中位线
在三角形内，经过三角形一边的中点，且与另一边平行的线段，
是三角形的中位线
为 的中位线
注意：在三角形内部，经过一边中点，且等于第三边一半的线段不一定是三角形的中位线
经典例题
例题4
1 如图所示，在四边形 中， ， 、 、 分别是 、 、 的中点，
， ， 为 度．
答案
解析 ∵在四边形 中， 、 、 分别是 、 、 的中点，
∴ ， 分别是 与 的中位线，
∴ ， ， ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ 是等腰三角形，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ．
标注 四边形 >四边形综合 >中点类 >题型：中位线性质以及应用
2 如图， 中， 、 分别是 、 的中点， 平分 ，交 于点 ，若 ，
，则 的长是（ ）．
A. B. C. D.
答案 B
解析 ∵ 、 分别是 、 的中点，
∴ ， ， ，
∴ ．
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
∴ ．
故选 ．
标注 三角形 >等腰三角形 >等腰三角形基础
例题5
1 如图， 中， ， ， 、 分别是其角平分线和中线，过点 作 于 ，
交 于 ，连接 ，则线段 的长为 ．
答案
解析 在 与 中，
，
∴ ≌ ，
∴ ，
又∵ 为中线，
∴ 为 中位线，
∴ ．
标注 三角形 >全等三角形 >全等三角形性质 >题型：对应边与角
2 如图， 的周长为 ，点 ， 都在边 上， 的平分线垂直于 ，垂足为 ，
的平分线垂直于 ，垂足为 ，若 ，则 的长为 .
答案
解析 ∵ 平分 ， ，
∴ 是等腰三角形，
同理 是等腰三角形，
∴点 是 中点，点 是 中点（三线合一），
∴ 是 的中位线，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
标注 三角形 >等腰三角形 >等腰三角形基础 >题型：三线合一应用
例题6
1 如图，四边形 中， ， ， ，点 ， 分别为线段 ， 上的动点
（含端点，但点 不与点 重合），点 ， 分别为 ， 的中点，则 长度的最大值为
．
答案
解析 ∵ ， ，
∴ ，
∴ 最大时， 最大，
∵ 与 重合时 最大，
此时 ，
∴ 的最大值为： ．
故答案为： ．
标注 三角形 >勾股定理 >勾股定理基础 >题型：直接用勾股求边长
2 已知：如图， 、 分别是 的中线和角平分线， ， ，相交于点 ，
则 的长等于 ．
G
答案
解析 方法一：延长 至 ，使 ，
过点 作 与 延长线交于点 ，
过点 作 ，交 于点 ，连接 ，如图所示．
在 中， ， ，
根据勾股定理得： ，
在 和 中，
，
∴ ≌ ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 是平行四边形，
∴ ．
在 和 中，
，
∴ ≌ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ．
解得 ．
方法二：过 点作 ，
∵ 是 的中线， ，
∴ 为 中点， ，
∵ ，
则 ，$
$，
∵ 是 的角平分线， ，
∴ ≌ ，
∴ 为 中点，
∴ 为 中点，
∴ ．
故答案为： ．
标注 三角形 >三角形及多边形 >与三角形有关的线段 >题型：作三角形的高，中线和角平分线
3 如图， 是 的中位线， 是 的中点， 的延长线交 于点 ，则 等于
（ ）．
A. B. C. D.
答案 B
解析 如图，取 的中点 ，连接 ，
∵ 是 的中点，
∴ 是 的中位线，
∴ ，
∴ ，
∵ 是 的中点，
∴ ，
在 和 中，
（对顶角相等）
∴ ≌ ，
∴ ， ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
因此， ．
故选 ．
标注 四边形 >四边形综合 >中点类 >题型：中位线性质以及应用
三、数学趣事
古地图：穿越科技的辉煌
中国向来地大物博，所以国人地理观念很强，否则官员被贬谪到海南、西域等边疆之地，驱车赶马
都要走上一年半载，那么远的路不迷路才怪。更严重的是，不懂得方位地形，仗怎么打呢？也正因为
此，地图才显得尤为重要。
我们都知道，地图的作用是方便人们辨识方位，这其中包含距离、方向、经纬度、比例以及地形面
积和高低等数学、天文、地理知识，古代没有GPS导航仪、卷尺、海拔测量仪等精确的技术设备，想要
精确地在图纸和布帛上展示这些数据并没有想象中的简单。但古人以他们超群的智慧仍然找到了解决的
方案——那些牛逼闪闪遥遥领先的科技。
1、精算距离的神器——计里鼓车
古代测量距离的方法有很多，其中以步为单位来计算比较常见，比如唐太宗李世民规定以他的双步
即左右脚各一步的长度为一步，一步为五尺，三百尺为一里。但是这种方法十分不固定，毕竟每个人的
双步距离不一，就算是制作成度量尺也只适用于短距离的测量。这对于制作地图需要测量山川湖泊海岸
边境的工作量来说显然不合实际。
或许是受以步计量局限性的困扰，古人脑洞大开，步行太慢，那就坐车呗。于是名叫计道车的工具被发
明了出来，在西汉刘歆的《西京杂记》里就有计道车的记载，后来在东汉被张衡改良后成为计里鼓车。
它实际上是由一套复杂的齿轮组操纵的，车轮滚动分别带动控制鼓人和镯人的大、小平轮，根据评
论转动的周期来实现记录里程的需要，所以叫计里鼓车。它所利用的车速齿轮原理，早于西方1800多
年。除了在皇帝出行时计算里程，还担负着测量土地、提供数据的重任。值得称道的是，车前架上一匹
宝马，一天之内即可测量百里路程，这对绘制地图来说简直是神器。
这在《宋史·舆服志》中有详细的记载，根据北宋卢道隆的设计版本仿制的计里鼓车现在陈列于中国历
史博物馆中。
2、测量海拔等直线距离的经典数学理论——勾股定理和相似比
测量工具和测量技术的改进使汉代的地图事业蓬勃发展，为了应对长期征战戍边的需要，汉代涌现
出一些杰出的将军，他们也掌握着优秀的绘图技术。比如李陵曾绘《北边图》呈于汉武帝，汉昭帝时张
千秋曾在霍光面前“画地成图”解说军事形势；东汉伏波将军马援在光武帝面前“聚米为山谷，指划形
势”。处于行政屯田需要的地图也层出不穷，朝廷还时常委派专门官员从事测绘工作。
随着测量距离越来越精确，对计算方法的演进又提出了高要求。中国古代最著名的数学书籍《周髀
算经》应运而生，其成书大约在公元前1世纪，它用分数运算及勾股定理等数学方法阐述了“盖天说”。大
约同时期成书的《九章算术》，书中明确提出了勾股定理以及某些解勾股形问题的方法，这就使得后来
测量高度变得容易。具体啥是勾股定理，请回去再学一遍中学数学。
高度知道了，可不同高度之间的实际距离是多少？用于一个三角形的勾股定理不够用，那就用两个
三角形做类比，这样两个山头间的距离就可以用三角形的相似性来计算了。这也算是中学数学几何吧，
但它的发现远在两千年前的三国时代，当时叫“重差法”，是根据相似直角三角形对应边成比例的关系进
行测量的理论，用于测算不能直接测量的距离、高程。
三国时期东吴赵爽为《周髀算经》作注时作日高图，其中首次提出“重差”理论。其实根据《史记》记
载，利用“相似三角形对应边成比例”的原理进行测量的活动在夏禹时代就已经开展。禹使用准、绳、
规、矩等简单的工具，“平矩以准绳，偃矩以高望，覆矩以测深，卧矩以知远”，这便是利用该原理测算
山高、水深等两点间的距离。
魏晋时数学家刘徽在为《九章算术》作注时，也写了《重差》一卷附于该书之后。他活用了重差理
论，使人们能应对各种不能直接测量的具体情况。
3、计里画方——古代的比例尺
西晋时，被英国科技史专家李约瑟称为“中国科学制图学之父”的裴秀，提出了中国第一个也是对后
世最具影响力的制图理论——“制图六体”。它分别对比例、方位、距离、高程、地形等绘图基本要素进
行论述。这六要素分别是：
（1）“分率”：面积、长宽比例；
（2）“准望”：地物彼此之间的相互方位；
（3）“道里”：道路里程；
（4）“高下”：高低；
（5）“方邪”：方斜；
（6）“迂直”：曲直。
可以看出，这些其实是测量距离时的具体操作原则：即逢高取下、逢高取邪、逢迂取直，即要保证
两点间的距离是直线距离，不能因沟通两地的道路高度不平或迂回阻隔而影响到这一点。
制图六体是对前代制图经验的总结，而这六体中，前代唯一没有确立起来的是“分率”，就是比例尺。以
往的地图没有这个概念，且即使有按比例缩放也只是局部，且全图并不统一，因此十分混乱。
在此基础上，裴秀提出了“计里画方”之法来解决。绘图时，先在图上布满方格，方格边长代表实地
里数，然后按方格绘制地图内容，以此保证一定的准确性。
当时，裴秀把一幅用缣八十匹的“天下大图”以“一分为十里，一寸为百里”的比例尺缩小为一丈见方
的“方长图”，查阅人“可以不下堂而知四方”。他绘制的18篇《禹贡地域图》，范围为全国从古代九州到
西晋初年的十六州。这是目前所知的中国第一部历史地图集。
四、巩固加油站
巩固1
如图，在平行四边形 中，对角线 的垂直平分线分别交 、 于点 、 ，连接 ，若
的周长为 ，则四边形 的周长为（ ）．
A. B. C. D.
答案 B
解析 ∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ，
∵ 的垂直平分线交 于点 ，
∴ ，
∴ 的周长 ，
∴平行四边形 的周长 ．
标注 四边形 >平行四边形 >平行四边形问题 >题型：平行四边形性质综合应用
巩固2
如图，四边形 是平行四边形，点 是边 上一点，且 ， 交 于点 ，
是 延长线上一点，下列结论：
① 平分 ；② 平分 ；③ ；④ ，
其中正确结论的个数为（ ）．
A. B. C. D.
答案 D
解析 ∵ ，
∴ ，
∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴① 平分 ，正确；
∵ ， ，
∴ ，
∴② 平分 ，正确；
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴③正确；
∵ ， ，
∴ 点一定在 的垂直平分线上，即 垂直平分 ，
∴ ，故④正确．
标注 四边形 >平行四边形 >平行四边形问题 >题型：平行四边形性质综合应用
巩固3
如图，已知 是等边三角形， 为 上一点，连接 ．将 绕点 旋转，使点 落在 上
的点 处，点 落在 上方的点 处，连接 ．求证：四边形 是平行四边形．
答案 证明见解析．
解析 ∵ 是等边三角形，
∴ ， ；
∵将 绕点 旋转
∴ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ， ，
∴ ，
∴ 、 、 均为等边三角形，
∴ ，
∴ ， ，
∴四边形 是平行四边形．
标注 四边形 >平行四边形 >平行四边形问题 >题型：平行四边形的判定
巩固4
如图， ， 为 的中点，连接 并延长到 ，使 ，过点 作 ，与
的延长线交于点 ．若 ，则 的长为 ．
答案
解析 ∵ ， 为 的中点， ，∴ ；又∵ ，
∴ ，∴ ；
又∵ ，点 是 的中点，
∴ 是 的中位线．
∴ ，
即 的长为 ．
故答案为： ．
标注 四边形 >四边形综合 >中点类 >题型：中位线性质以及应用
巩固5
如图，四边形 中， 、 、 ，一动点 沿着 的路
径运动（不与点 、 重合）；点 、 分别为线段 、 的中点，则线段 的长度为
．
答案
解析 连接 ，
∵ 、 、 ，
由勾股定理得， ，
∵点 、 分别为线段 、 的中点，
∴ ，
故答案为： ．
标注 四边形 >四边形综合 >中点类 >题型：中位线性质以及应用
巩固6
如图， 中，已知 是 边的中点， 平分 ， ，若 ，
，则 ．
答案
解析 延长 交 于 ，
∵ 平分 ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ 是 边的中点， ，
∴ ，
故答案为： ．
标注 三角形 >锐角三角函数及解直角三角形 >锐角三角函数 >题型：解直角三角形的综合应用
巩固7
如图， 是 的中位线， 是 的中点， 的延长线交 于点 ，若 的面积为
，则 的值为（ ）．
A. B. C. D.
答案 A
解析 如图，取 的中点 ，连接 ，
∵ 是 的中点，
∴ 是 的中位线，
∴ ，
∴ ，
∵ 是 的中点，
∴ ，
在 和 中， ，
∴ ≌ （ ），
∴ ， ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ （ ）．
故选 ．
标注 三角形 >全等三角形 >全等三角形性质 >题型：对应边与角

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