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第7讲 期中复习
一、一元一次不等式（组）
例题1
求不等式组 的整数解．
答案 ， ．
解析 ①
②
由①得
由②得 ．
∴此不等式组的解集为 ．
∴此不等式组的整数解为 ， ．
标注 方程与不等式 >不等式（组） >一元一次不等式组 >题型：一元一次不等式组的整数解
例题2
不等式 的解集是 则 的取值范围 ．
答案
解析 由题意可知 ，即 ，
故 的取值范围为 ．
标注 方程与不等式 >不等式（组） >含参不等式 >题型：由不等式（组）的解集求参数的范围
例题3
已知关于 的不等式组 无解，则 的取值范围是 ．
答案
解析 解不等式组得 ，当 时，不等式组无解，（大于大的，小于小的无解），
∴ ．
标注 方程与不等式 >不等式（组） >含参不等式 >题型：由不等式（组）的解集求参数的范围
例题4
若不等式组 有 个整数解，则 的取值范围是（ ）．
A.
B.
C.
D.
答案 C
解析 解不等式组 得 ，有 个整数解， 、 、 、 、 、 ，所以
，得 ．
标注 方程与不等式 >不等式（组） >含参不等式 >题型：由不等式（组）的整数解情况求参数范
围
二、因式分解
例题5
因式分解：
(1) ．
(2) ．
(3) ．
(4) ．
(5) ．
(6) ．
(7) ．
(8) ．
(9) ．
(10) ．
(11) ．
(12) ．
(13) ．
(14) ．
(15) ．
(16) ．
答案 (1) ．
(2) ．
(3) ．
(4) ．
(5) ．
(6) ．
(7) ．
(8) ．
(9) ．
(10) ．
(11) ．
(12) ．
(13) ．
(14) ．
(15) ．
(16) ．
解析 (1) 原式 ．
(2) 原式 ．
(3) 原式 ．
(4) 原式 ．
(5) 原式 ．
(6) 原式 ．
(7) 原式 ．
(8) 原式 ．
(9) 原式 ．
(10) 原式 ．
(11) 原式 ．
(12) 原式
．
设 ，
原式
．
(13)
．
(14)
．
(15) 首先将原式按 的降幂排列，写成关于 的二次三项式 此时的常
数 提取公因式 即可分解成 ，此时运用十字相乘法便可很快将原式分解成
．
(16) 将原式展开并写成关于 的二次三项式： ，
可以分解为： ，再次运用十字相乘法可知原式
．
标注 式 >因式分解 >十字相乘法与分组分解法 >题型：分组分解法
例题6
多项式 的最小值为 ．
答案
解析 原式
．
∵ ， ，
∴原式最小 ．
标注 式 >因式分解 >提公因式法与公式法 >题型：利用完全平方公式因式分解
例题7
回答下列各题．
(1) 已知 ， ， 是 的三边长，试判断代数式 与 的大小．
(2) 已知 ， ， 是 的三边长，且 ，则 是什么三角形？
答案 (1) ．
(2) 等腰三角形．
解析 (1) ，
∴根据三角形三边关系得 ．
(2) 根据 可以得到： ，
∴ ，
所以 是等腰三角形．
标注 式 >因式分解 >因式分解综合应用
式 >因式分解 >提公因式法与公式法 >题型：利用平方差公式因式分解
三、分式
例题8
1 已知正数 、 、 、 满足 ， ， ， ，则 ．
答案
解析 根据题意将四个式子相乘可得： ，又 ， ， ， 为正数，
所以 ，则 ，又 ，即 ，
解得 ；
则 ， ，
故 ，
解得： ，
同理可求出： ， ，
故 ．
标注 式 >分式 >分式化简求值 >题型：分式条件化简求值
2 求分式 的最小值 ．
答案
解析
，
∵ ，
∴ ，
即 ， ， ，
∴ 可取的最小值为 ．
标注 式 >分式 >分式的基础 >题型：分式基本性质的运用
3 先化简，再求值： ，其中 所取得值在 内一个整数．
答案 ．
解析
，
∵不等式的解集为 ，且 、 ，
∴当 时，原式 ．
故答案为： ．
标注 式 >分式 >分式化简求值 >题型：直接代入数值求值
例题9
1 解方程： ．
答案
解析 去分母得： ，
整理得： ，
解得： ，
经检验 是分式方程的解．
标注 方程与不等式 >分式方程 >分式方程的解与解分式方程 >题型：解可化为一元一次方程的分
式方程
2 分式方程 有增根，则 的值为 .
答案
解析 分式方程去分母得： ，即 ，
由分式方程有增根，得到 ，
解得： 或 ，
把 代入整式方程得： ；
把 代入整式方程得： （舍），
则 的值是 ．
故答案为： ；
标注 方程与不等式 >分式方程 >分式方程的解与解分式方程 >题型：分式方程的増根问题
3 若关于 的方程 无解，则 的值是 ．
答案 或
解析 方法一： ，解得： ．
方程去分母，得： ，即 ．
当 时，把 代入方程 得： ，
解得： ，此时 为方程增根，原方程无解．
当 ，即 时，原方程无解．
综上， 的值是 或 ．
方法二：原方程化为 ①，当 时，原方程无解；又原方程可能的增根是 ，
把 代入①得 ；综上， 或 ．
标注 方程与不等式 >分式方程 >分式方程的解与解分式方程 >题型：分式方程的无解问题
4 已知关于 的分式方程 的解为负数，则 的取值范围是 ．
答案 且
解析 去分母得 ，
整理得 ，
因为方程 的解为负数，
所以 且 ，
即 且 ，
解得 且 ，
即 的取值范围为 且 ．
标注 方程与不等式 >分式方程 >分式方程的解与解分式方程 >题型：由分式方程的解确定参数
四、图形的平移与旋转
例题10
1 如图，正方形 的对角线相交于点 ，正三角形 绕点 旋转．在旋转过程中，当
时， 的大小是（ ）．
E A D
O
F
B C
A.
B.
C.
D. 或
答案 D
解析 连接 、 ，
如图 ，
∵四边形 为正方形， E A D
∴ ， ，
O
∵ 为等边三角形，
∴ ， ，
F
∵在 和 中， B C
图
，
∴ ≌ ,
∴ ．
如图 ，
∵在 和 中，
，
∴ ≌ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 大小为 或 ， A D F
故答案为 或 ．
O
B C E
图
标注 三角形 >全等三角形 >全等形判定 >题型：SSS
2 在 中， ， ， 为斜边 上一动点， 平移到 使得 与 重
合，得到 ，则 的最小值等于（ ）．
A.
B.
C.
D.
答案 B
解析 由题可得： 在直线 上运动，
∴当 时， 最小，
即为： ．
标注 综合类问题 >最短路径问题 >题型：垂线段最短
3 如图，在矩形 中，已知 ， ，矩形在直线上绕其右下角的顶点 向右旋转
至图①位置，再绕右下角的顶点继续向右旋转 至图②位置， ，依次类推，这样连续旋转
次后，顶点 在整个旋转过程中所经过的路程之和是 ．
答案
解析 ， ，
，
转动一次 的路线长是： ，
转动第二次的路线长是： ，
转动第三次的路线长是： ，
转动第四次的路线长是： ，
以此类推，每四次循环，
故顶点 转动四次经过的路线长为： ，
余 ，
顶点 转动四次经过的路线长为： ．
故答案为： ．
标注 综合类问题 >规律探究和定义新运算 >规律探究 >题型：循环找规律
例题11
如图 、 是两个相似比为 的等腰直角三角形，将两个三角形如图 放置，小直角三角形的斜
边与大直角三角形的一直角边重合．
(1) 在图 中，绕点 旋转小直角三角形，使两直角边分别与 、 交于点 、 ，如图 ．
求证： ；
(2) 若在图 中，绕点 旋转小直角三角形，使它的斜边和 延长线分别与 交于点 、 ，
如图 ，此时结论 是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请
说明理由．
(3) 如图，在正方形 中， 、 分别是边 、 上的点，满足 的周长等于正方形
的周长的一半， 、 分别与对角线 交于 、 ，试问线段 、 、
能否构成三角形的三边长？若能，指出三角形的形状，并给出证明；若不能，请说明理
由．
答案 (1) 证明见解析．
(2) 成立，理由见解析．
(3) 直角三角形．
解析 (1) 连 ，如图 ，
∵两个等腰直角三角形的相似比为 ，
而小直角三角形的斜边等于大直角三角形的直角边，
∴点 为 的中点，
又∵ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ≌ ，
∴ ，同理可得 ≌ ，
∴ ，
而 ，
∴ ；
(2) 结论 仍然成立．理由如下：
把 绕点 顺时针旋转 ，得到 ，如图 ，
∴ ， ， ， ，
∴ ，而 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ≌ ，
∴ ，
在 中，
∴ ，
∴ ；
(3) 线段 、 、 能构成直角三角形的三边长．理由如下：
把 绕点 顺时针旋转 得到 ，点 的对
应点为 ，如图
∴ ， ，
， ， ，
∵ 的周长等于正方形 的周长的一半，
∴ ，
∴ ，
∴ ≌ ，
∴ ，
而 ，
∴ ≌ ，
∴ ，
∴而 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
标注 几何变换 >旋转 >旋转基础 >题型：旋转性质应用
五、平行四边形
例题12
如图，将平行四边形 沿过点 的直线折叠，使点 落到 边上的点 处，折痕交 边于
点 ，连接 ．
(1) 求证：四边形 是平行四边形．
(2) 若 平分 ，求证： ．
答案 (1) 证明见解析．
(2) 证明见解析．
解析 (1) ∵将平行四边形 沿过点 的直线折叠，使点 落到 边上的点 处，
∴ ， ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 是平行四边形，
∴ ，
∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 是平行四边形．
(2) ∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
标注 四边形 >平行四边形 >平行四边形问题 >题型：平行四边形性质综合应用
例题13
我们知道：平行四边形的面积 (底边) (这条底边上的高)．如图，四边形 是平行四边形，
， ，设它的面积为 ．
图 图
图
(1) 如图①，点 为 上任意一点，若 的面积为 ，则 ．
(2) 如图②，点 为平行四边形 内任意一点时，记 的面积为 ， 的面积为
，平行四边形 的面积为 ，猜想 、 的和与 的数量关系式为 ．
(3) 如图③，已知点 为平行四边形 内任意一点， 的面积为 ， 的面积为
，求 的面积．
答案 (1)
(2)
(3) ．
解析 (1) ∵四边形 是平行四边形， ， ，
∴ 与 等底等高，
∴ ，
故答案为： ．
(2) ．
理由：过点 作 于点 ，延长 交 于点 ，
∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
(3) ∵ ， ， ，
∴ 四边形 ，
即 ．
标注 四边形 >平行四边形 >平行四边形问题 >题型：平行四边形性质综合应用
例题14
1 如图， 是 的 边的中点， 平分 ， 于点 ，且 ， ，则
的长度为 ．
答案
解析 延长 ， 交于点 ．
∵ 平分 ， ，
∴ ， ，
在 与 中，
，
∴ ≌ （ ），
∴ ， ，
∴ ，
又∵ 是 中点，
∴ ，
∴ 是 的中位线，
∴ ．
故答案为： ．
标注 三角形 >全等三角形 >全等形判定 >题型：ASA
2 如图， 中， ， ， ， 平分 ， 平分 ，
， ，则 ．
答案
解析 延长 交 于 ，延长 交 于 ，
∵ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ≌ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
同理 ，
， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
故答案为： ．
标注 三角形 >全等三角形 >全等三角形性质 >题型：对应边与角
六、巩固加油站
巩固1
不等式组 的解集是（ ）．
A.
B.
C.
D.
答案 C
解析 解不等式 得 ；
解不等式 可得 ，所以不等式组的解为 ．
故答案为 ．
标注 方程与不等式 >不等式（组） >一元一次不等式组 >题型：判断一元一次不等式组的解集
巩固2
不等式 的正整数解为 ， ， ，那么 的范围是 ．
答案
解析 不等式的解集为 ，由于正整数解为 ， ， 知 ，即 ．
故答案为： ．
标注 方程与不等式 >不等式（组） >含参不等式 >题型：由不等式（组）的整数解情况求参数范
围
巩固3
若不等式组 有解，则实数 的取值范围是（ ）．
A.
B.
C.
D.
答案 C
解析 ① ，
②
解①得： ，
解②得： ，
∵方程有解，
∴ ，
解得： ．
标注 方程与不等式 >不等式（组） >一元一次不等式组 >题型：解不等式组
巩固4
因式分解： ．
答案 ．
解析 原式 ，
，
．
标注 式 >因式分解 >其他方法 >题型：拆添项法
巩固5
因式分解： ．
答案 ．
解析 原式 ，
，
．
标注 式 >因式分解 >因式分解综合应用
巩固6
分解因式： ．
答案 ．
解析 原式
．
标注 式 >因式分解 >十字相乘法与分组分解法 >题型：分组分解法
巩固7
三边 ， ， 满足 ，判断 的形状是（ ）．
A. 直角三角形
B. 等腰三角形
C. 等腰直角三角形
D. 等边三角形
答案 B
解析 ∵
∴ ，
∴ ，
∴ 或 ，
∴ 的形状是等腰三角形．
故选 ．
标注 式 >因式分解 >十字相乘法与分组分解法 >题型：分组分解法
巩固8
已知 ， ， ，且 ，则 的值
．
答案
解析 原式
．
标注 式 >整式的乘除 >乘法公式 >题型：配方思想的运用
巩固9
解方程：
(1) ．
(2) ．
答案 (1) 无解．
(2) 无解．
解析 (1) 在方程两边同乘以 得：
，
，
，
经检验 是方程增根，
故原方程无解．
(2) 在方程两边同乘以 得：
，
，
，
经检验 是方程增根，
故原方程无解．
标注 方程与不等式 >分式方程 >分式方程的解与解分式方程 >题型：解可化为一元一次方程的分
式方程
巩固10
已知关于 的方程 有增根，则 的值为（ ）．
A.
B.
C. 或
D. 或
答案 D
解析 方程两边都乘 ，
得 ，
化简，得
．
∵原方程有增根，
∴最简公分母 ，
解得 或 ，
当 时， ，
当 时， ．
故 的值为 或 ．
故选： .
标注 方程与不等式 >分式方程 >分式方程的解与解分式方程 >题型：分式方程的増根问题
巩固11
已知关于 的分式方程 无解，则 的值为（ ）．
A.
B. 或
C.
D. 0或
答案 D
解析 分式方程去分母得： ，即 ，
当 ，即 时，方程无解；
当 时， 或 ，方程无解，此时 ，
综上， 的值为 或 ，
故选： ．
标注 方程与不等式 >分式方程 >分式方程的解与解分式方程 >题型：由分式方程的解确定参数
巩固12
关于 的方程 的解是正数，则 的取值范围是（ ）．
A.
B. 且
C.
D. 且
答案 D
解析
去分母得
解得
原分式方程的解是正数，所以 ，故选 ．
标注 方程与不等式 >分式方程 >分式方程的解与解分式方程 >题型：由分式方程的解确定参数
巩固13
如图 ，已知 中， ， ，把一块含 角的三角板 的直角顶点 放在
的中点上（直角三角板的短直角边为 ，长直角边为DF），点 在 上点 在 上．
图
(1) 求重叠部分 的面积．
(2) 如图 ，将直角三角板 绕 点按顺时针方向旋转 度， 交 于点 ， 交 于点
．
图
1 请说明 ．
2 在此条件下重叠部分的面积会发生变化吗？若不发生变化，请求出重叠部分的面
积，若发生变化，请说明理由．
(3) 如图 ，将直角三角板 绕 点按顺时针方向旋转α度（ ）， 交 于点
， 交 于点 ，则 的结论仍成立吗？重叠部分的四边形 的面积会变
化吗？（请直接写出结论不需说明理由）
图
答案 (1) ．
(2) 1 证明见解析．
2 证明见解析．
(3) 证明见解析．
解析 (1) ∵ ， ，
,
．
(2) 1 连结 ．
∵ 是 中点， ，
∴ ，
∵
∴
在 和 中有
∴ ≌
∴ ．
2 不变：理由如下：
四
又∵ ≌
∴
∴ 四
．
(3) 的结论仍成立，面积不会变．
标注 三角形 >全等三角形 >全等模型 >题型：旋转型全等
巩固14
已知：如图，点 是平行四边形 的边 上一点，且 和 分别平分 和 ．
(1) 求证： ；
(2) 如果 ， ，求平行四边形 的面积．
答案 (1) 证明见解析．
(2)
解析 (1) ∵ 和 分别平分 和 ，
∴ ， ，
又∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
从而 ．
(2) ∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
又∵ 和 分别平分 和 ，
∴ ，
∴ ，
同理 ，
∴ ，
∴在 中，应用勾股定理得： ，
∴ 平行四边形 ．
标注 四边形 >平行四边形 >平行四边形问题 >题型：平行四边形性质综合应用第7讲 期中复习
一、一元一次不等式（组）
例题1
求不等式组 的整数解．
例题2
不等式 的解集是 则 的取值范围 ．
例题3
已知关于 的不等式组 无解，则 的取值范围是 ．
例题4
若不等式组 有 个整数解，则 的取值范围是（ ）．
A.
B.
C.
D.
二、因式分解
例题5
因式分解：
(1) ．
(2) ．
(3) ．
(4) ．
(5) ．
(6) ．
(7) ．
(8) ．
(9) ．
(10) ．
(11) ．
(12) ．
(13) ．
(14) ．
(15) ．
(16) ．
例题6
多项式 的最小值为 ．
例题7
回答下列各题．
(1) 已知 ， ， 是 的三边长，试判断代数式 与 的大小．
(2) 已知 ， ， 是 的三边长，且 ，则 是什么三角形？
三、分式
例题8
1 已知正数 、 、 、 满足 ， ， ， ，则 ．
2 求分式 的最小值 ．
3 先化简，再求值： ，其中 所取得值在 内一个整数．
例题9
1 解方程： ．
2 分式方程 有增根，则 的值为 .
3 若关于 的方程 无解，则 的值是 ．
4 已知关于 的分式方程 的解为负数，则 的取值范围是 ．
四、图形的平移与旋转
例题10
1 如图，正方形 的对角线相交于点 ，正三角形 绕点 旋转．在旋转过程中，当
时， 的大小是（ ）．
E A D
O
F
B C
A.
B.
C.
D. 或
2 在 中， ， ， 为斜边 上一动点， 平移到 使得 与 重
合，得到 ，则 的最小值等于（ ）．
A.
B.
C.
D.
3 如图，在矩形 中，已知 ， ，矩形在直线上绕其右下角的顶点 向右旋转
至图①位置，再绕右下角的顶点继续向右旋转 至图②位置， ，依次类推，这样连续旋转
次后，顶点 在整个旋转过程中所经过的路程之和是 ．
例题11
如图 、 是两个相似比为 的等腰直角三角形，将两个三角形如图 放置，小直角三角形的斜
边与大直角三角形的一直角边重合．
(1) 在图 中，绕点 旋转小直角三角形，使两直角边分别与 、 交于点 、 ，如图 ．
求证： ；
(2) 若在图 中，绕点 旋转小直角三角形，使它的斜边和 延长线分别与 交于点 、 ，
如图 ，此时结论 是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请
说明理由．
(3) 如图，在正方形 中， 、 分别是边 、 上的点，满足 的周长等于正方形
的周长的一半， 、 分别与对角线 交于 、 ，试问线段 、 、
能否构成三角形的三边长？若能，指出三角形的形状，并给出证明；若不能，请说明理
由．
五、平行四边形
例题12
如图，将平行四边形 沿过点 的直线折叠，使点 落到 边上的点 处，折痕交 边于
点 ，连接 ．
(1) 求证：四边形 是平行四边形．
(2) 若 平分 ，求证： ．
例题13
我们知道：平行四边形的面积 (底边) (这条底边上的高)．如图，四边形 是平行四边形，
， ，设它的面积为 ．
图 图
图
(1) 如图①，点 为 上任意一点，若 的面积为 ，则 ．
(2) 如图②，点 为平行四边形 内任意一点时，记 的面积为 ， 的面积为
，平行四边形 的面积为 ，猜想 、 的和与 的数量关系式为 ．
(3) 如图③，已知点 为平行四边形 内任意一点， 的面积为 ， 的面积为
，求 的面积．
例题14
1 如图， 是 的 边的中点， 平分 ， 于点 ，且 ， ，则
的长度为 ．
2 如图， 中， ， ， ， 平分 ， 平分 ，
， ，则 ．
六、巩固加油站
巩固1
不等式组 的解集是（ ）．
A.
B.
C.
D.
巩固2
不等式 的正整数解为 ， ， ，那么 的范围是 ．
巩固3
若不等式组 有解，则实数 的取值范围是（ ）．
A.
B.
C.
D.
巩固4
因式分解： ．
巩固5
因式分解： ．
巩固6
分解因式： ．
巩固7
三边 ， ， 满足 ，判断 的形状是（ ）．
A. 直角三角形
B. 等腰三角形
C. 等腰直角三角形
D. 等边三角形
巩固8
已知 ， ， ，且 ，则 的值
．
巩固9
解方程：
(1) ．
(2) ．
巩固10
已知关于 的方程 有增根，则 的值为（ ）．
A.
B.
C. 或
D. 或
巩固11
已知关于 的分式方程 无解，则 的值为（ ）．
A.
B. 或
C.
D. 0或
巩固12
关于 的方程 的解是正数，则 的取值范围是（ ）．
A.
B. 且
C.
D. 且
巩固13
如图 ，已知 中， ， ，把一块含 角的三角板 的直角顶点 放在
的中点上（直角三角板的短直角边为 ，长直角边为DF），点 在 上点 在 上．
图
(1) 求重叠部分 的面积．
(2) 如图 ，将直角三角板 绕 点按顺时针方向旋转 度， 交 于点 ， 交 于点
．
图
1 请说明 ．
2 在此条件下重叠部分的面积会发生变化吗？若不发生变化，请求出重叠部分的面
积，若发生变化，请说明理由．
(3) 如图 ，将直角三角板 绕 点按顺时针方向旋转α度（ ）， 交 于点
， 交 于点 ，则 的结论仍成立吗？重叠部分的四边形 的面积会变
化吗？（请直接写出结论不需说明理由）
图
巩固14
已知：如图，点 是平行四边形 的边 上一点，且 和 分别平分 和 ．
(1) 求证： ；
(2) 如果 ， ，求平行四边形 的面积．

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