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专题07 函数的基本性质
1.（2021·全国甲卷）下列函数中是增函数的为(　　)
A． B． C． D．
2．（2021·全国甲卷）设f(x)是定义域为R的奇函数，且f(1＋x)＝f（-x）．若 (　　)
A． B． C． D．
1．函数的单调性
(1)单调函数的定义
增函数 减函数
定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D I，如果 x1，x2∈D
当x1f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递减
图象描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的
(2)单调区间的定义
如果函数y＝f(x)在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．
2．函数的最值
前提 设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足
条件 (1) x∈I， 都有f(x)≤M； (2) x0∈I， 使得f(x0)＝M (1) x∈I， 都有f(x)≥M； (2) x0∈I， 使得f(x0)＝M
结论 M为最大值 M为最小值
3．函数的奇偶性
奇偶性 定义 图象特点
偶函数 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果 x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数 关于y轴对称
奇函数 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果 x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数 关于原点对称
4.周期性
(1)周期函数：一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有x＋T∈D，且f(x＋T)＝f(x)，那么函数y＝f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期．
(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．
【常用结论】
1． x1，x2∈D且x1≠x2，有>0(<0)或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0(<0) f(x)在区间D上单调递增(减)．
2．在公共定义域内，增函数＋增函数＝增函数，减函数＋减函数＝减函数．
3．函数y＝f(x)(f(x)>0或f(x)<0)在公共定义域内与y＝－f(x)，y＝的单调性相反．
4．复合函数的单调性：函数y＝f(u)，u＝φ(x)在函数y＝f(φ(x))的定义域上，如果y＝f(u)与u＝φ(x)的单调性相同，那么y＝f(φ(x))单调递增；如果y＝f(u)与u＝φ(x)的单调性相反，那么y＝f(φ(x))单调递减．
5．奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性．
6．函数周期性常用结论
对f(x)定义域内任一自变量的值x：
(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0)．
(2)若f(x＋a)＝，则T＝2a(a>0)．
7．函数对称性常用结论
(1)f(a－x)＝f(a＋x) f(－x)＝f(2a＋x) f(x)＝f(2a－x) f(x)的图象关于直线x＝a对称．
(2)f(a＋x)＝f(b－x) f(x)的图象关于直线x＝对称．
f(a＋x)＝－f(b－x) f(x)的图象关于点对称．
f(2a－x)＝－f(x)＋2b f(x)的图象关于点(a，b)对称．
考点一　确定函数的单调性
1.（2022·吉林模拟）下列函数在其定义域上单调递增的是（　　）
A． B． C． D．
2．（2022·太原二模）已知函数，则（　　）
A．在上单调递增 B．在上单调递减
C．的图象关于直线对称 D．的图象关于点对称
【思维升华】
　确定函数单调性的四种方法
(1)定义法；(2)导数法；(3)图象法；(4)性质法．
考点二　函数单调性的应用
3.(2022·成都模拟)已知函数f(x)为R上的偶函数，对任意x1，x2∈(－∞，0)，均有(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0成立，若a＝f(ln )，b＝f()，c＝f()，则a，b，c的大小关系是(　　)
A．cC．a4.(2022·嘉峪关模拟)函数f(x)＝ln(x2－ax－3)在(1，＋∞)上单调递增，则a的取值范围是(　　)
A．(－∞，－2] B．(－∞，－2)
C．(－∞，2] D．(－∞，2)
【思维升华】
(1)比较函数值的大小时，转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决．
(2)求解函数不等式，由条件脱去“f”，转化为自变量间的大小关系，应注意函数的定义域．
(3)利用单调性求参数的取值(范围)．根据其单调性直接构建参数满足的方程(组)(不等式(组))或先得到其图象的升降，再结合图象求解．对于分段函数，要注意衔接点的取值．
考点三　函数的奇偶性
5.（2022·福州模拟）已知函数，以下结论中错误的是（　　）
A．是偶函数 B．有无数个零点
C．的最小值为 D．的最大值为
6.定义在上的下列函数中，既是奇函数，又是增函数的是（　　）
A． B． C． D．
【思维升华】
判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件
(1)定义域关于原点对称，否则即为非奇非偶函数．
(2)判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数))是否成立．
考点四　函数奇偶性的应用
7.(2022·哈尔滨模拟)函数f(x)＝x(ex＋e－x)＋1在区间[－2,2]上的最大值与最小值分别为M，N，则M＋N的值为(　　)
A．－2 B．0 C．2 D．4
8.(2021·新高考全国Ⅰ)已知函数f(x)＝x3(a·2x－2－x)是偶函数，则a＝________.
【思维升华】
(1)利用函数的奇偶性可求函数值或求参数的取值，求解的关键在于借助奇偶性转化为求已知区间上的函数或得到参数的恒等式，利用方程思想求参数的值．
(2)利用函数的奇偶性可画出函数在其对称区间上的图象，结合几何直观求解相关问题．
考点五　函数的周期性
9.（2022·衡阳模拟）定义在上的奇函数满足为偶函数，且当时，，则下列结论正确的是（　　）
A． B．
C． D．
10.（2022·武汉模拟）定义在上的函数满足，则下列是周期函数的是（　　）
A． B． C． D．
【思维升华】
(1)求解与函数的周期有关的问题，应根据题目特征及周期定义，求出函数的周期．
(2)利用函数的周期性，可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题，转化到已知区间上，进而解决问题．
考点六　函数的对称性
11.（2022·西安模拟）已知函数是偶函数，的图象关于直线l对称，则直线l的方程为（　　）
A． B． C． D．
12．（2022·福州模拟）定义在上的函数满足.若的图象关于直线对称，则下列选项中一定成立的是（　　）
A． B． C． D．
【思维升华】
(1)求解与函数的对称性有关的问题时，应根据题目特征和对称性的定义，求出函数的对称轴或对称中心．
(2)解决函数对称性有关的问题，一般结合函数图象，利用对称性解决求值或参数问题．
一、单选题
1.（2022·全国乙卷）已知函数 的定义域均为R，且 ．若 的图像关于直线 对称， ，则 （　　）
A．-21 B．-22 C．-23 D．-24
2.（2022·河南模拟）函数的大致图象是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2022·河南模拟）已知函数为定义在上的单调函数，且．若函数有3个零点，则的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
4.(2022·贵阳模拟)已知函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减，且为奇函数，若f(1)＝－2，则满足－2≤f(x－2)≤2的x的取值范围是(　　)
A．[－2,2] B．[－1,1]
C．[1,3] D．[0,4]
5．(2022·南通模拟)已知函数f(x)＝若a＝50.01，b＝log32，c＝log20.9，则有(　　)
A．f(a)>f(b)>f(c)
B．f(b)>f(a)>f(c)
C．f(a)>f(c)>f(b)
D．f(c)>f(a)>f(b)
6.（2022·柯桥模拟）已知函数，，下图可能是下列哪个函数的图象（　　）
A． B． C． D．
7.（2022·湖北模拟）已知函数，则（　　）
A． B． C． D．
8．（2022·安丘模拟）设 是定义在R上的奇函数，且当 时， ，则 的解集为（　　）
A． B．
C． D．
9.(2022·宁德模拟)已知f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意的x∈R都有f(x＋2)＝－f(x)，当x∈[0,2]时，f(x)＝x2＋ax＋b，则a＋b等于(　　)
A．0 B．－1 C．－2 D．2
10．（2022·江西模拟） 是定义在 上的函数，若 是奇函数， 是偶函数，函数
，则（　　）
A． B．当 时，
C． D．
二、填空题
11.（2022·全国乙卷）若 是奇函数，则 　 　， 　 　．
12．（2022·广州模拟）若函数是偶函数，则　 　．
13．（2022·临沂二模）已知函数 是偶函数，则 　 　．
14．（2022·呼和浩特模拟）已知函数 是R上的奇函数，对任意 ，都有 成立，当 ， ，且 时，都有 ，有下列命题：
① ；
②点 是函数 图象的一个对称中心；
③函数 在 上有2023个零点；
④函数 在 上为减函数；
则正确结论的序号为　 　．
三、解答题
15.已知函数f(x)＝a－.
(1)求f(0)；
(2)探究f(x)的单调性，并证明你的结论；
(3)若f(x)为奇函数，求满足f(ax)16．(2022·北京西城区模拟)设函数f(x)的定义域为R.若存在常数T，A(T>0，A>0)，使得对于任意x∈R，f(x＋T)＝Af(x)成立，则称函数f(x)具有性质P.
(1)判断函数y＝x和y＝cos x是否具有性质P？(结论不要求证明)
(2)若函数f(x)具有性质P，且其对应的T＝π，A＝2.已知当x∈(0，π]时，f(x)＝sin x，求函数f(x)在区间[－π，0]上的最大值．
专题07 函数的基本性质
1.（2021·全国甲卷）下列函数中是增函数的为(　　)
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】解：对于A，考察函数f(x)=kx，易知当x<0时，y=kx单调递减，故A错误；
对于B，考察函数f(x)=ax，易知当0对于C，考察函数f(x)=x2，易知当x<0时，f(x)=x2单调递减，当x>0时，f(x)=x2单调递增，故C错误；
对于D，考察函数，易知f(x)=ax单调递增，故D正确.
故答案为：D
2．（2021·全国甲卷）设f(x)是定义域为R的奇函数，且f(1＋x)＝f（-x）．若 (　　)
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】解：因为 f(x)是定义域为R的奇函数，且f(1＋x)＝f－x)，
所以
故答案为：C
1．函数的单调性
(1)单调函数的定义
增函数 减函数
定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D I，如果 x1，x2∈D
当x1f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递减
图象描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的
(2)单调区间的定义
如果函数y＝f(x)在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．
2．函数的最值
前提 设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足
条件 (1) x∈I， 都有f(x)≤M； (2) x0∈I， 使得f(x0)＝M (1) x∈I， 都有f(x)≥M； (2) x0∈I， 使得f(x0)＝M
结论 M为最大值 M为最小值
3．函数的奇偶性
奇偶性 定义 图象特点
偶函数 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果 x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数 关于y轴对称
奇函数 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果 x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数 关于原点对称
4.周期性
(1)周期函数：一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有x＋T∈D，且f(x＋T)＝f(x)，那么函数y＝f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期．
(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．
【常用结论】
1． x1，x2∈D且x1≠x2，有>0(<0)或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0(<0) f(x)在区间D上单调递增(减)．
2．在公共定义域内，增函数＋增函数＝增函数，减函数＋减函数＝减函数．
3．函数y＝f(x)(f(x)>0或f(x)<0)在公共定义域内与y＝－f(x)，y＝的单调性相反．
4．复合函数的单调性：函数y＝f(u)，u＝φ(x)在函数y＝f(φ(x))的定义域上，如果y＝f(u)与u＝φ(x)的单调性相同，那么y＝f(φ(x))单调递增；如果y＝f(u)与u＝φ(x)的单调性相反，那么y＝f(φ(x))单调递减．
5．奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性．
6．函数周期性常用结论
对f(x)定义域内任一自变量的值x：
(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0)．
(2)若f(x＋a)＝，则T＝2a(a>0)．
7．函数对称性常用结论
(1)f(a－x)＝f(a＋x) f(－x)＝f(2a＋x) f(x)＝f(2a－x) f(x)的图象关于直线x＝a对称．
(2)f(a＋x)＝f(b－x) f(x)的图象关于直线x＝对称．
f(a＋x)＝－f(b－x) f(x)的图象关于点对称．
f(2a－x)＝－f(x)＋2b f(x)的图象关于点(a，b)对称．
考点一　确定函数的单调性
1.（2022·吉林模拟）下列函数在其定义域上单调递增的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】对于A选项，因为函数、在上均为增函数，
故函数在上为增函数，A选项满足要求；
对于B选项，函数在上为减函数，B选项不满足要求；
对于C选项，函数在其定义域上不单调，C选项不满足要求；
对于D选项，函数在其定义域上为减函数，D选项不满足要求.
故答案为：A.
2．（2022·太原二模）已知函数，则（　　）
A．在上单调递增 B．在上单调递减
C．的图象关于直线对称 D．的图象关于点对称
【答案】C
【解析】解：因为，当时，
此时为常数函数，不具有单调性，A、B均错误；
因为，，
所以，
所以关于对称，C符合题意，D不符合题意；
故答案为：C
【思维升华】
　确定函数单调性的四种方法
(1)定义法；(2)导数法；(3)图象法；(4)性质法．
考点二　函数单调性的应用
3.(2022·成都模拟)已知函数f(x)为R上的偶函数，对任意x1，x2∈(－∞，0)，均有(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0成立，若a＝f(ln )，b＝f()，c＝f()，则a，b，c的大小关系是(　　)
A．cC．a答案　B
解析　∵对任意x1，x2∈(－∞，0)，
均有(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0成立，
∴此时函数在区间(－∞，0)上单调递减，
∵f(x)是偶函数，
∴当x∈(0，＋∞)时，f(x)单调递增，
又f(x)＝在x∈(0，＋∞)上单调递增，
∴1<<，
又0∴ln <<，
∴>>f(ln )，
即a4.(2022·嘉峪关模拟)函数f(x)＝ln(x2－ax－3)在(1，＋∞)上单调递增，则a的取值范围是(　　)
A．(－∞，－2] B．(－∞，－2)
C．(－∞，2] D．(－∞，2)
答案　A
解析　函数f(x)＝ln(x2－ax－3)为复合函数，令u(x)＝x2－ax－3，
y＝ln u为增函数，
故只要u(x)＝x2－ax－3在(1，＋∞)上单调递增即可，只要
解得a≤－2.
【思维升华】
(1)比较函数值的大小时，转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决．
(2)求解函数不等式，由条件脱去“f”，转化为自变量间的大小关系，应注意函数的定义域．
(3)利用单调性求参数的取值(范围)．根据其单调性直接构建参数满足的方程(组)(不等式(组))或先得到其图象的升降，再结合图象求解．对于分段函数，要注意衔接点的取值．
考点三　函数的奇偶性
5.（2022·福州模拟）已知函数，以下结论中错误的是（　　）
A．是偶函数 B．有无数个零点
C．的最小值为 D．的最大值为
【答案】C
【解析】对于A，定义域为，，
为偶函数，A正确，不符合题意；
对于B，令，即，，解得：，
有无数个零点，B正确，不符合题意；
对于C，，若的最小值为，则是的一个极小值点，则；
，，
不是的极小值点，C错误，符合题意；
对于D，，；
则当，，即时，取得最大值1，D正确，不符合题意.
故答案为：C.
6.定义在上的下列函数中，既是奇函数，又是增函数的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】A. ，由正弦函数的性质可知在上不为增函数，故排除；
B.在上单调递减，故排除；
C. ，故函数在上为偶函数，故排除；
D. ，，故函数在上为奇函数，且由幂函数的性质知在上单调递增，则在上单调递增，满足题意；
故答案为：D
【思维升华】
判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件
(1)定义域关于原点对称，否则即为非奇非偶函数．
(2)判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数))是否成立．
考点四　函数奇偶性的应用
7.(2022·哈尔滨模拟)函数f(x)＝x(ex＋e－x)＋1在区间[－2,2]上的最大值与最小值分别为M，N，则M＋N的值为(　　)
A．－2 B．0 C．2 D．4
答案　C
解析　依题意，令g(x)＝x(ex＋e－x)，
显然函数g(x)的定义域为R，
则g(－x)＝－x(e－x＋ex)＝－g(x)，
即函数g(x)是奇函数，
因此，函数g(x)在区间[－2,2]上的最大值与最小值的和为0，而f(x)＝g(x)＋1，
则有M＝g(x)max＋1，N＝g(x)min＋1，
于是得M＋N＝g(x)max＋1＋g(x)min＋1＝2，
所以M＋N的值为2.
8.(2021·新高考全国Ⅰ)已知函数f(x)＝x3(a·2x－2－x)是偶函数，则a＝________.
答案　1
解析　方法一　(定义法)因为f(x)＝x3(a·2x－2－x)的定义域为R，且是偶函数，所以f(－x)＝f(x)对任意的x∈R恒成立，所以(－x)3(a·2－x－2x)＝x3(a·2x－2－x)对任意的x∈R恒成立，所以x3(a－1)(2x＋2－x)＝0对任意的x∈R恒成立，所以a＝1.
方法二　(取特殊值检验法)因为f(x)＝x3(a·2x－2－x)的定义域为R，且是偶函数，所以f(－1)＝f(1)，所以－＝2a－，解得a＝1，经检验，f(x)＝x3(2x－2－x)为偶函数，所以a＝1.
方法三　(转化法)由题意知f(x)＝x3(a·2x－2－x)的定义域为R，且是偶函数．设g(x)＝x3，h(x)＝a·2x－2－x，因为g(x)＝x3为奇函数，所以h(x)＝a·2x－2－x为奇函数，
所以h(0)＝a·20－2－0＝0，
解得a＝1，经检验，f(x)＝x3(2x－2－x)为偶函数，
所以a＝1.
【思维升华】
(1)利用函数的奇偶性可求函数值或求参数的取值，求解的关键在于借助奇偶性转化为求已知区间上的函数或得到参数的恒等式，利用方程思想求参数的值．
(2)利用函数的奇偶性可画出函数在其对称区间上的图象，结合几何直观求解相关问题．
考点五　函数的周期性
9.（2022·衡阳模拟）定义在上的奇函数满足为偶函数，且当时，，则下列结论正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】因为为偶函数，所以满足，又因为是奇函数，所以故
因此即是以4为周期的周期函数.
，
当时，，在单调递增，在单调递减，故在单调递增.所以
故答案为：A
10.（2022·武汉模拟）定义在上的函数满足，则下列是周期函数的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】依题意，定义在上的函数满足，
所以，
所以是周期为1的周期函数.
故答案为：D
【思维升华】
(1)求解与函数的周期有关的问题，应根据题目特征及周期定义，求出函数的周期．
(2)利用函数的周期性，可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题，转化到已知区间上，进而解决问题．
考点六　函数的对称性
11.（2022·西安模拟）已知函数是偶函数，的图象关于直线l对称，则直线l的方程为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为函数是偶函数，所以的图象关于直线对称，
向左平移两个单位可得的图象关于直线对称.
故答案为：A
12．（2022·福州模拟）定义在上的函数满足.若的图象关于直线对称，则下列选项中一定成立的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】函数的图象关于直线对称，则必有，所以，，
，又因为满足，取，所以，，，则，取，则，A对；
故答案为：A
【思维升华】
(1)求解与函数的对称性有关的问题时，应根据题目特征和对称性的定义，求出函数的对称轴或对称中心．
(2)解决函数对称性有关的问题，一般结合函数图象，利用对称性解决求值或参数问题．
一、单选题
1.（2022·全国乙卷）已知函数 的定义域均为R，且 ．若 的图像关于直线 对称， ，则 （　　）
A．-21 B．-22 C．-23 D．-24
【答案】D
【解析】因为 的图像关于直线 对称，所以 ，
由 ，得 ，即 ，
因为 ，所以 ，
代入得 ，即 ，
所以 ，
.
因为 ，所以 ，即 ，所以 .
因为 ，所以 ，又因为 ，
联立得， ，所以 的图像关于点 中心对称，
因为函数 的定义域为R，所以
因为 ，所以 .
所以 .
故选：D
2.（2022·河南模拟）函数的大致图象是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】，所以是奇函数，排除CD，
又，所以是增函数，排除A，选B．
故答案为：B．
3．（2022·河南模拟）已知函数为定义在上的单调函数，且．若函数有3个零点，则的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为为定义在R上的单调函数，所以存在唯一的，使得，
则，，即，
因为函数为增函数，且，所以，.
当时，由，得；当时，由，得.
结合函数的图象可知，若有3个零点，则．
故答案为：A
4.(2022·贵阳模拟)已知函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减，且为奇函数，若f(1)＝－2，则满足－2≤f(x－2)≤2的x的取值范围是(　　)
A．[－2,2] B．[－1,1]
C．[1,3] D．[0,4]
答案　C
解析　因为f(x)为奇函数，
若f(1)＝－2，则f(－1)＝2，
所以不等式－2≤f(x－2)≤2可化为
f(1)≤f(x－2)≤f(－1)，
又f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减，
所以－1≤x－2≤1，解得1≤x≤3.
5．(2022·南通模拟)已知函数f(x)＝若a＝50.01，b＝log32，c＝log20.9，则有(　　)
A．f(a)>f(b)>f(c)
B．f(b)>f(a)>f(c)
C．f(a)>f(c)>f(b)
D．f(c)>f(a)>f(b)
答案　A
解析　y＝ex是增函数，y＝e－x是减函数，
因此在(0，＋∞)上y＝ex－e－x单调递增，且此时f(x)>0.
f(x)＝－x2在x≤0时单调递增，
所以f(x)在R上单调递增．
c＝log20.9<0，b＝log32，
所以01，
即a>b>c，所以f(a)>f(b)>f(c)．
6.（2022·柯桥模拟）已知函数，，下图可能是下列哪个函数的图象（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由图可知，图象对应函数为奇函数，且；
显然对应的函数都不是奇函数，故排除；
对：，其为奇函数，
且当时，，故错误；
对：，其为奇函数，
且当时，，故正确.
故答案为：D.
7.（2022·湖北模拟）已知函数，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】当 时，
当 时，
故答案为：D
8．（2022·安丘模拟）设 是定义在R上的奇函数，且当 时， ，则 的解集为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】 即 时， ， ，即 ，可得 ，
当 时， ， ，
因此 即 时， ， ，所以 ，
综上，不等式的解集为 或 ．
故答案为：C．
9.(2022·宁德模拟)已知f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意的x∈R都有f(x＋2)＝－f(x)，当x∈[0,2]时，f(x)＝x2＋ax＋b，则a＋b等于(　　)
A．0 B．－1 C．－2 D．2
答案　C
解析　因为f(x)是定义在R上的奇函数，
且x∈[0,2]时，f(x)＝x2＋ax＋b，
所以f(0)＝b＝0，f(－x)＝－f(x)，
又对任意的x∈R都有f(x＋2)＝－f(x)，
所以f(x＋2)＝f(－x)，
所以函数图象关于直线x＝1对称，
所以－＝1，解得a＝－2，
所以a＋b＝－2.
10．（2022·江西模拟） 是定义在 上的函数，若 是奇函数， 是偶函数，函数
，则（　　）
A． B．当 时，
C． D．
【答案】D
【解析】因为 是奇函数， 是偶函数，
所以 ，解得 ，则选项 错误；
由 得，当 时， ，
∵ ，∴ ，则选项 错误；
同理可得，
当 时， ，
以此类推，得到 的图像如图所示，由图可知，
根据图象可知 刚好是每一段抛物线的最大值，其最大值成首项为 ，公比为 的等比数列，则 ，
同理可知 的值成首项为 ，公比为 的等比数列，
，
即 ，则选项 错误；
表示数列 的前项和，
即 ，则选项 正确；
故答案为： .
二、填空题
11.（2022·全国乙卷）若 是奇函数，则 　 　， 　 　．
【答案】；
【解析】因为函数 为奇函数，所以其定义域关于原点对称．
由 可得， ，所以 ，解得： ，即函数的定义域为 ，再由 可得， ．即 ，在定义域内满足 ，符合题意．
故答案为： ；
12．（2022·广州模拟）若函数是偶函数，则　 　．
【答案】
【解析】解：因为函数是偶函数，故，即，解得.
故，则.
故答案为：.
13．（2022·临沂二模）已知函数 是偶函数，则 　 　．
【答案】2
【解析】由 得 的定义域为 ，
则∵ 是偶函数，故f(-1)=f(1)，
即 ，解得m=2．
此时 ，而 ，
故 确为偶函数，故m=2．
故答案为：2．
14．（2022·呼和浩特模拟）已知函数 是R上的奇函数，对任意 ，都有 成立，当 ， ，且 时，都有 ，有下列命题：
① ；
②点 是函数 图象的一个对称中心；
③函数 在 上有2023个零点；
④函数 在 上为减函数；
则正确结论的序号为　 　．
【答案】①②③
【解析】 ，令 得 ， ，令 得 ， ，
所以 ，又 是奇函数，
， ， 是周期函数，4是它的周期，
当 ， ，且 时，都有 ，即 时， ， 在 是增函数，由奇函数性质知 在 上也是增函数，所以 在 上递增，
所以 ，从而 ，
，
，①正确；
，则函数图象关于直线 对称，又函数图象关于原点对称，因此也关于点 对称，②正确；
由上讨论知 在 上有2个零点， ，
注意 ，
因此 在 上零点个数为 ，③正确；
由周期性知函数在 与 时的图象相同，函数同为增函数，④错误．
故答案为：①②③．
三、解答题
15.已知函数f(x)＝a－.
(1)求f(0)；
(2)探究f(x)的单调性，并证明你的结论；
(3)若f(x)为奇函数，求满足f(ax)解　(1)f(0)＝a－＝a－1.
(2)f(x)在R上单调递增．证明如下：
∵f(x)的定义域为R，
∴任取x1，x2∈R且x1则f(x1)－f(x2)＝a－－a＋
＝，
∵y＝2x在R上单调递增且x1∴0<<，∴－<0,＋1>0,＋1>0.
∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)∴f(x)在R上单调递增．
(3)∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，
即a－＝－a＋，解得a＝1.
∴f(ax)又∵f(x)在R上单调递增，∴x<2.
∴x的取值范围是(－∞，2)．
16．(2022·北京西城区模拟)设函数f(x)的定义域为R.若存在常数T，A(T>0，A>0)，使得对于任意x∈R，f(x＋T)＝Af(x)成立，则称函数f(x)具有性质P.
(1)判断函数y＝x和y＝cos x是否具有性质P？(结论不要求证明)
(2)若函数f(x)具有性质P，且其对应的T＝π，A＝2.已知当x∈(0，π]时，f(x)＝sin x，求函数f(x)在区间[－π，0]上的最大值．
解　(1)因为函数y＝x是增函数，
所以函数y＝x不具有性质P，
当A＝1，T＝2π时，
函数y＝cos x对于任意x∈R，
f(x＋T)＝Af(x)成立，
所以y＝cos x具有性质P.
(2)设x∈(－π，0]，
则x＋π∈(0，π]，
由题意得f(x＋π)＝2f(x)＝sin(x＋π)，
所以f(x)＝－sin x，x∈(－π，0]，
由f(－π＋π)＝2f(－π)，f(0＋π)＝2f(0)，
得f(－π)＝f(π)＝0，
所以当x∈[－π，0]时，f(x)＝－sin x，
所以当x＝－时，
f(x)在[－π，0]上有最大值f ＝.

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