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2.3匀变速直线运动位移与时间的关系
一、匀变速直线运动的基本规律
1．概念：沿一条直线且加速度不变的运动。
2．分类
(1)匀加速直线运动：a与v方向相同。
(2)匀减速直线运动：a与v方向相反。
3．基本规律
1．两个导出式
2．重要推论
(1)任意两个连续相等的时间间隔T内的位移之差为一恒量。即位移差：Δx＝x2－x1＝x3－x2＝…＝xn－xn－1＝aT2，可以推广到xm－xn＝(m－n)aT2。
(3)位移中点的速度v＝。
3．初速度为零的匀变速直线运动的常用推论
(1)1T内、2T内、3T内…位移的比为
xⅠ∶xⅡ∶xⅢ∶…∶xN＝12∶22∶32∶…∶n2。
(2)第一个T内、第二个T内、第三个T内…位移的比为x1∶x2∶x3∶…∶xn＝1∶3∶5∶…∶(2n－1)。
(3)从静止开始通过连续相等的位移所用时间的比为
t1∶t2∶t3∶…∶tn＝1∶(－1)∶(－)∶…∶(－)。
一、单选题
1．近年来许多国家开始投身无人驾驶汽车的研发，无人驾驶汽车能够有效降低事故的发生。遇到突发情况时。人工驾驶需要约1.2s的反应时间，若采用自动驾驶系统只需要约0.2s的反应时间，如果同款汽车以30m/s的速度匀速行驶，从发现情况到安全停下来，采用人工驾驶比采用自动驾驶系统多行驶的距离约为（　　）
A．6m B．30m C．36m D．42m
【答案】B
【解析】人工驾驶的距离为
自动驾驶距离为
距离差为
故ACD错误，B正确。
2．如图所示是一物体的图像，则该物体在内的位移是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】图像纵坐标表示物体所处的位置。在时刻，物体处于位置；在时刻，物体也处于位置，则物体在的位移为0，故A正确，BCD错误。
故选A。
3．在推导匀变速直线运动位移公式时，把整个运动过程分成很多小段，然后将各小段位移相加，这种处理问题的方法是（　　）
A．微元法 B．理想模型法
C．等效替代法 D．控制变量法
【答案】A
【解析】在推导匀变速直线运动位移公式时，把整个运动过程分成很多小段，然后将各小段位移相加，这种处理问题的方法是微元法，A正确，BCD错误。
故选A。
4．如图所示，一辆汽车在平直公路上运动，从某时刻开始计时，汽车在第1s、第2s、第3s内前进的距离分别是5.4m、7.2m、9.0m。若汽车在这3s内做匀加速直线运动，汽车在第1s末的瞬时速度大小为（　　）
A．2.7m/s B．5.4m/s C．6.3m/s D．7.2m/s
【答案】C
【解析】小车做匀加速直线运动，第1s末的瞬时速度大小等于前两秒的平均速度，则有
C正确，ABD错误。
故选C。
5．甲、乙两物体从同一点出发且在同一条直线上运动，它们的位移—时间（x－t）图像如图所示，由图像可以看出在0~4 s内（　　）
A．甲、乙两物体始终同向运动
B．第2 s末，甲、乙两物体间的距离最大
C．甲的平均速度大于乙的平均速度
D．乙物体一直做匀加速直线运动
【答案】B
【解析】A．x－t图像的斜率表示速度，可知在0~2 s内甲、乙都沿正向运动，同向运动，在2~4 s内甲沿负向运动，乙仍沿正向运动，二者反向运动，故A错误；
B．0~2 s内两者同向运动，甲的速度大，两者距离增大，2 s后甲反向运动，乙仍沿原方向运动，两者距离减小，则第2 s末甲、乙两物体间的距离最大，故B正确；
C．由题图知在0~4 s内甲、乙的位移都是2 m，平均速度相等，故C错误；
D．根据x－t图像的斜率表示速度，可知乙物体一直做匀速直线运动，故D错误。
故选B。
6．若飞机着陆后以6m/s2的加速度做匀减速直线运动，其着陆时的速度为60m/s，则它着陆后12s内滑行的距离是（　　）
A．288m B．300m C．150m D．144m
【答案】B
【解析】设飞机着陆后到停止所用时间为t，由，得
由此可知飞机在12s内不是始终做匀减速直线运动，它在最后2s内是静止的，故它着陆后12s内滑行的距离为
故ACD错误，B正确。
故选B。
7．甲、乙两车在平直公路上同向行驶，其v—t图像如图所示。已知两车在t=3s时并排行驶，则（　　）
A．在t=1s时，甲车在乙车后
B．在t=0时，甲车在乙车前12.5m
C．两车另一次并排行驶的时刻是t=2s
D．甲、乙两车两次并排行驶的位置之间沿公路方向的距离为40m
【答案】D
【解析】AC．根据图像的“面积”表示位移，由几何知识可知，在内甲、乙两车通过的位移相等，又因为两车在时并排行驶，由此可以推论出在时两车也并排行驶，故AC错误；
B．由图可知，甲的加速度为
乙的加速度为
因此在中，甲的位移为
因此两者位移差为
即在时，甲车在乙车前，故B错误；
D．末甲车的速度为
在甲车的位移为
即甲、乙两车两次并排行驶的位置之间沿公路方向的距离为40m，故D正确。
故选D。
8．甲、乙两车在公路上沿同一方向做直线运动，在t=0时，乙车在甲车前50m处，它们的v-t图像如图所示，下列对汽车运动情况的描述中正确的是（ ）
A．甲车先做匀速直线运动再做反向匀减速直线运动
B．在第20s末，甲、乙两车的加速度大小相等
C．在第30s末，甲、乙两车相距100m
D．在整个运动过程中，甲、乙两车可以相遇两次
【答案】D
【解析】A．由图像可知，甲车先做匀速直线运动后做匀减速直线运动，但图线一直在时间轴的上方，故甲车一直沿正方向运动，没有反向运动，故A错误；
B．图像的斜率表示加速度，则在第20s末，甲车的加速度为
乙车的加速度为
所以甲、乙两车的加速度大小不等，甲车的加速度较大，故B错误；
C．图线与t轴所围的“面积”表示位移，则在0～30s内，甲车的位移大小为
乙车的位移大小为
又因为t＝0时乙车在甲车前50m处，所以在0～30s内，甲、乙两车相距
故C错误；
D．由于刚开始运动时乙车在甲车前50m处，甲车的速度大于乙车的速度，经过一段时间甲车可以追上乙车，然后甲车运动到乙车的前面，到30s末，甲车停止运动，甲车在乙车前50m处，此时乙车以20m/s的速度匀速运动，所以再经过2.5s乙车追上甲车，故在整个运动过程中，甲、乙两车可以相遇两次，故D正确。
故选D。
9．一辆汽车在平直公路上做刹车实验，若从0时刻起汽车在运动过程中的位移与速度的关系式为x=（10-0.1v2）m，则下列分析正确的是（　　）
A．0时刻的初速度为10m/s
B．刹车过程持续的时间为5s
C．上述过程的加速度大小为10m/s2
D．刹车过程的位移为5m
【答案】A
【解析】AC．根据公式
与位移与速度的关系式为
可得
解得
即加速度大小为5m/s2，初速度为10m/s，C错误，A正确；
B．刹车时间
B错误；
D．刹车位移为
D错误。
故选A。
10．甲、乙两质点从同一位置出发，沿同一直线路面运动，它们的图象如图所示。对这两质点在0~3s内运动的描述，下列说法正确的是（　　）
A．t=1s时，甲、乙两质点位移相等
B．t=2s时，甲、乙两质点位移相等
C．甲质点的加速度比乙质点的加速度大
D．t=3s时，乙质点的速度是2m/s
【答案】C
【解析】A．图象与坐标轴所围面积表示位移，由图可知，t=1s时，甲、乙两质点位移不相等，故A错误；
B．t=2s时，甲的位移
乙的位移
位移不等，故B错误；
C．图象的斜率表示加速度，斜率绝对值越大，加速度越大。由图象可知，甲质点的加速度比乙质点的加速度大，故C正确；
D．由图可知，乙的加速度为
则t=3s时，乙质点的速度
故D错误。
故选C。
二、解答题
11．一辆汽车在十字路口等候绿灯，当绿灯亮时汽车以的加速度开始行驶，恰在这一时刻一辆自行车以的速度匀速驶来，从旁边超过汽车。试求：
（1）汽车从路口开动后，在追上自行车之前经过多长时间两车相距最远？此时距离是多少？
（2）什么时候汽车能追上自行车？此时汽车的速度是多少？
【答案】（1）2 s，6 m；（2）4 s，12 m/s
【解析】（1）解法一
汽车与自行车的速度相等时相距最远，设此时经过的时间为，汽车和自行车间的距离为，则有
可得
汽车和自行车间的距离为
解法二
以自行车为参考系，则从开始到相距最远的这段时间内，汽车相对这个参考系的各个物理量
初速度
末速度
加速度
所以汽车和自行车相距最远时经历的时间为
最大相对位移
负号表示汽车在后
（2）当汽车和自行车位移相等时，汽车追上自行车，设此时经过的时间为，则有
解得
此时汽车的速度
12．某一可被视为质点的物体做匀加速直线运动，初速度为0.5m/s，加速度为1.0m/s2，在某一秒内通过的位移为5.0m。求这一秒前物体运动的时间。
【答案】4s
【解析】设物体在这一秒的初速度大小为v1，则根据位移时间关系式有
解得
根据速度时间关系式可得这一秒前物体运动的时间为
13．某住宅楼的升降电梯向上运动的v-t图像如图所示。分别求出0～2s、2～5s、5～6s内的加速度，指出哪段时间内运动最快，哪段时间内速度变化最快。求出0～6s内通过的位移。
【解析】v-t图像的斜率表示加速度，据此可得0～2s内的加速度为
2～5s内的加速度为
5～6s内的加速度为
电梯先做匀加速运动，然后做匀速运动，最后做匀减速运动，所以2～5s内运动最快。
加速度反映物体速度变化快慢，所以5～6s内速度变化最快。
v-t图像与t轴所围的面积表示位移，据此可得电梯0～6s内通过的位移为

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