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第十一章 三角形
11．1 与三角形有关的线段
11．1．1 三角形的边
学习目标：1．认识三角形的边、内角、顶点，能用几何语言表示三角形；
2．掌握三角形的三边关系定理，能利用定理及其推论进行简单的证明；
3．了解三角形分类的原则和结论．
重点：理解三角形三边之间的不等关系．
难点：运用三角形三边之间的不等关系解题．
一、知识链接
在下面画一个三角形，观察回忆你所学过或知道的三角形的有关知识，并写出来．
二、新知预习
1．根根据小学认识的三角形判断，是三角形的在下面的括号内打“√”，不是三角形的在下面的括号内打“×”．
（ ） （ ） （ ） （ ） （ ）
2．自主归纳：
（1）三角形概念：由不在同一直线上的三条线段首尾_____相连所组成的图形．
（2）三角形的构成：如图，
边： _____条，分别为线段____、______、______；
顶点：___个，点A、B、C为三角形的三个顶点；
角： ____个，分别为∠ A、∠ B、∠ C．∠A，∠B，∠C是相邻两边组成的角，叫做三角形的内角，简称三角形的角.
顶点是A，B，C的三角形记作：△ ，读作： ．
3．三角形按角分类，可以分为______三角形， 三角形和______三角形．
三、自学自测
如图中有几个三角形？用符号表示这些三角形．
有____个三角形，分别记作：_______________________________________．
四、我的疑惑
______________________________________________________________________________________________________________________________________________________
要点探究
探究点1：三角形的相关概念
问题1：观察下面三角形的形成过程，说一说什么叫三角形
问题2：三角形中有几条线段 有几个角？
要点归纳：记法：三角形ABC用符号表示为 .
边的表示：三角形ABC的边AB、AC和BC可用小写字母分别表示为 .
三角形的对边与对角：在△ABC中，AB边所对的角是： ，∠A所对的边是： .
再说几个对边与对角的关系试试.
辨一辨：下列图形符合三角形的定义吗？
要点提醒
三角形应满足以下两个条件：
①位置关系：不在同一直线上；②联接方式：首尾顺次.
表示方法：
三角形用符号“△”表示，如三角形ABC可记作“△ABC”，读作“三角形ABC”，此外△ABC还可记作△BCA，△CAB，△ACB等.
找一找
（1）图中有几个三角形？用符号表示出这些三角形？
（2）以AB为边的三角形有哪些？
（3）以E为顶点的三角形有哪些？
（4）以∠D为角的三角形有哪些？
（5）说出△BCD的三个角和三个顶点所对的边．
探究点2：三角形的分类
问题1：观察下列三角形，说一说，按照三角形内角的大小，三角形可以分为哪几类？
问题2：如果从三角形三边的相等关系来看，三角形该如何分类呢？观察图形回答下面各小题．
等腰三角形和等边三角形的区别是什么
从是否有相等边来看，除了等腰三角形和等边三角形之外还有什么样的三角形
（3）根据上面的内容思考：怎样对三角形进行分类？
三角形按边分类：
三角形
三角形按角分类：
三角形
判断
（1）一个钝角三角形一定不是等腰三角形.（ ）
（2）等边三角形是特殊的等腰三角形.（ ）
（3）等腰三角形的腰和底一定不相等.（ ）
（4）等边三角形是锐角三角形.（ ）
（5）直角三角形一定不是等腰三角形.（ ）
探究点3：三角形的三边关系
做一做：在A点的小狗，为了尽快吃到B点的香肠，它选择A→B路线，而不选择A→C →B路线，难道小狗也懂数学？
答：理由是______________________________．
2．议一议
（1）在同一个三角形中，任意两边长之和与第三边长有什么大小关系？
（2）在同一个三角形中，任意两边长之差与第三边长有什么大小关系？
（3）三角形三边有怎样的不等关系？
通过动手实验同学们可以得到哪些结论？理由是什么？
归纳总结
三角形两边的和_______第三边．
三角形两边的差_______第三边．
典例精析
例1 下列长度的三条线段能否拼成三角形？为什么？
（1）3 cm、8 cm、4 cm； （2）5 cm、6 cm、11 cm；（3）5 cm、6 cm、10 cm．
归纳：判断三条线段是否可以组成三角形，只需说明两条较短线段之和大于第三条线段即可．
针对训练
一根木棒长为7，另一根木棒长为2，那么用长度为4的木棒能和它们首尾相接拼成三角形吗？长度为11的木棒呢？若不能拼成，则第三根木棒长应在什么范围呢？
归纳：设x为三角形第三条边的长，则有两边之差＜x＜两边之和.
例2 用一条长为18 cm的细绳围成一个等腰三角形．
（1）如果腰长是底边长的2倍，那么各边的长是多少？
（2）能围成有一边的长是4 cm的等腰三角形吗？为什么？
归纳：等腰三角形与三角形的三边关系结合时，若腰和底不明确时，需要分类讨论，再检验是否符合三边关系．
二、课堂小结
下图中的锐角三角形有 ( )
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
2．用木棒钉成一个三角架，两根小棒分别是7 cm和10 cm，第三根小棒可取( )
A．20 cm B．3 cm C．11 cm D．2 cm
3．如图，在△ACE中，∠CEA的对边是 ．
4．已知等腰三角形的两边长分别为8 cm，3 cm，则这个三角形的周长为_______．
5．若三角形的两边长分别是3和8，第三边长为奇数，求第三边的长．
拓展提升
6．已知a、b、c为三角形的三边长，化简：|b+c-a|+|b-c-a|-|c-a-b|-|a-b+c|．
参考答案
自主学习
一、知识链接
如图，由不在同一条直线上的三条线段首位顺次相接所组成的图形叫做三角形. 三角形有三条边和三个角.三条边都相等的三角形叫做等边三角形；有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.按照三个内角的大小，可以将三角形分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形.
二、新知预习
1．√ × × × ×
2．（1）顺次
（2） 3 AB AC BC 3 3 ABC 三角形ABC
3．锐角 直角 钝角
三、自学自测
解：3 △ABD、△ACD、△ABC
四、我的疑惑
课堂探究
五、要点探究
探究点1：三角形的相关概念
问题1 定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫作做三角形.
问题2 有三条线段，三个角.
边：线段AB，BC，CA是三角形的边.
顶点：点A，B，C是三角形的顶点，
角：∠A，∠B，∠C叫做三角形的内角，简称三角形的角.
要点归纳 △ABC c，b，a ∠C BC
辨一辨 不符合 不符合 不符合
找一找 解：（1）5个，它们分别是△ABE，△ABC， △BEC，△BCD，△ECD.
（2）△ABC、△ABE.
（3）△ ABE 、△BCE、 △CDE.
（4）△ BCD、 △DEC.
（5）△BCD的三个角是∠BCD、∠BDC、∠CBD.顶点B所对应的边为DC，顶点C所对应的边为BD，顶点D所对应的边为BC.
探究点2：三角形的分类
问题1 解：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形.
问题2 解：（1）等腰三角形两边相等，等边三角形三边相等.
（2）三边都不相等的三角形.
（3）三角形按边分类：三边都不相等的三角形 等腰三角形 底边和腰不相等的等腰三角形 等边三角形；三角形按角分类：锐角三角形 直角三角形 钝角三角形
判断 × √ × √ ×
探究点3：三角形的三边关系
1．做一做 AC+CB>AB（两点之间线段最短）
2．议一议 解：（1）在同一个三角形中，任意两边之和大于第三边.
（2）在同一个三角形中，任意两边之差小于第三边.
（3）在同一个三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边.
归纳总结 大于 小于
典例精析
例1 解：（1）不能，因为3 cm+4 cm<8 cm.
（2）不能，因为5 cm+6 cm=11 cm.
（3）能，因为5 cm+6 cm>10 cm.
针对训练 解：设第三根木棒长为x，则应有7-2例2 解：（1）设底边长为x cm，则腰长为2x cm，x+2x+2x=18.解得 x=3.6.
所以三边长分别为3.6 cm、7.2 cm、7.2 cm.
（2）因为长为4 cm的边可能是腰，也可能是底边，所以需要分情况讨论.
①若底边长为4 cm，设腰长为x cm，则有4+2x=18，解得x=7.
②若腰长为4 cm，设底边长为x cm，则有2×4+x=18，解得x=10.
因为4+4＜10，不符合三角形三边关系，所以该情况不存在.
综上可知，可以围成底边长是4 cm，腰长是7 cm的等腰三角形.
当堂检测
1．A 2．C 3．AC 4．19 cm
5．解：设第三边长为x，根据三角形的三边关系，可得8-3＜x＜8+3，即5＜x＜11．
又因为x为奇数，所以x=7或9，即第三边的长为7或9.
拓展提升
6．解：∵a、b、c为三角形三边的长，
∴a+b＞c，a+c＞b，b+c＞a，
∴原式=|(b+c)-a|+|b(c+a)|-|c-(a+b)|-|(a+c)-b|=b+c-a+a+c-b-a-b+c+b-a-c=2c-2a．

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