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第8讲 一元一次方程
8.1等式与方程
等式
等式的概念：含有等号的式子叫做等式．
在等式中，等号左、右两边的式子，分别叫做这个等式的左边、右边．
等式可以是数字算式，可以是公式、方程，也可以是用式子表示的运算律、运算法则．
等式的性质：
等式的性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等．
如果，那么
等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为的数，结果仍相等．
如果，那么；
如果，那么.
注意：①在对等式变形过程中，等式两边必须同时进行．
②同时加或同时减，同时乘以或同时除以，不能漏掉某一边．
③等式变形过程中，两边同加或同减，同乘或同除以的数或整式必须相同．
④在等式变形中，以下两个性质也经常用到：
等式的对称性，即：如果，那么．
等式的传递性，即：如果，，那么（又称为等量代换）．
移项：把等式一边的某项变号后移到另一边，叫做移项．
方程
方程的概念：含有未知数的等式叫做方程．
它有两层含义：① 方程必须是等式；② 等式中必须含有未知数．　
【例】已知a2+2a﹣3=0，则代数式2a2+4a﹣3的值是（　　）
A．﹣3 B．0 C．3 D．6
【解答】解：当a2+2a=3时
原式=2（a2+2a）﹣3
=6﹣3
=3
故选：C．
【练习】当x=1时，代数式x3+x+m的值是7，则当x=﹣1时，这个代数式的值是（　　）
A．7 B．3 C．1 D．﹣7
【解答】解：将x=1代入得：1+1+m=7
解得：m=5
将x=﹣1代入得：原式=﹣1﹣1+m=﹣1﹣1+5=3．
故选：B．
【练习】如果代数式4y2﹣2y+5的值是9，那么代数式2y2﹣y+2的值等于（　　）
A．2 B．3 C．﹣2 D．4
【解答】解：4y2﹣2y+5=9，
4y2﹣2y=4，
2y2﹣y=2，
则2y2﹣y+2=4，
故选：D．
【例】若（m﹣1）x|m|+5=0是一元一次方程，则m的值为（　　）
A．1 B．﹣1 C．±1 D．不能确定
【解答】解：由题意，得，
解得：m=﹣1．
故选：B．
【练习】今年，我校成功举办了“经典诵读”比赛，其中参加比赛的男同学有a人，女同学比男同学的少24人，则参加“经典诵读”比赛的学生一共有（　　）
A．（﹣24）人 B．（a﹣24）人 C．（a+24）人 D．（﹣24）人
【解答】解：女同学人数：a﹣24，
所以一共有学生：a+a﹣24=a﹣24，
故选：D．
【巩固】下列各方程，变形正确的是（　　）
A．3x=1﹣2x化为3x﹣2x=1 B．1﹣[x﹣（2﹣x）]=x化为3x=﹣1
C．﹣=1化为x=﹣ D．﹣=1化为2（x﹣3）﹣5x=10
【解答】解：A、3x=1﹣2x化为3x+2x=1，故此选项错误；
B、1﹣[x﹣（2﹣x）]=x化为：
1﹣x+（2﹣x）=x，
1﹣x+2﹣x=x，
故3x=3，故此选项错误；
C、﹣=1化为x=﹣3，故此选项错误；
D、﹣=1化为2（x﹣3）﹣5x=10，正确．
故选：D．
8.2方程的解
方程的解：使方程中等号左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解．
只含有一个未知数的方程的解，也叫方程的根．
求解的过程就是解方程．
关于方程中的未知数和已知数：
已知数：一般是具体的数值，如中（的系数是，是已知数．但可以不说．）和是已知数，如果方程中的已知数需要用字母表示的话，习惯上用、、、、等表示．
未知数：是指要求的数，未知数通常用、、等字母表示．如：关于、的方程中，、、是已知数，、是未知数．
【例】已知关于x的方程5x+3k=21与5x+3=0的解相同，则k的值是（　　）
A．﹣10 B．7 C．﹣9 D．8
【解答】解：5x+3=0，
解得x=﹣0.6，
把x=﹣0.6代入5x+3k=21，得
5×（﹣0.6）+3k=21，
解得k=8，
故选：D．
【练习】如果x=﹣1是关于x的方程x+2k﹣3=0的解，则k的值是（　　）
A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2
【解答】解：∵x=﹣1是关于x的方程x+2k﹣3=0的解，
∴﹣1+2k﹣3=0，
解得，k=2，
故选：D．
【例】下面是一个被墨水污染过的方程：2x﹣=x﹣，答案显示此方程的解是x=，被墨水遮盖的是一个常数，则这个常数是（　　）
A．2 B．﹣2 C． D．﹣
【解答】解：设被墨水遮盖的常数是a，
根据题意得：﹣=﹣a，
解得：a=﹣2．
故选：B．
【练习】若（|m|﹣1）x2﹣（m﹣1）x﹣8=0是关于x的一元一次方程，则m的值为（　　）
A．﹣1 B．1 C．±1 D．不能确定
【解答】解：由题意可知：|m|﹣1=0，m﹣1≠0，
∴m=﹣1
故选：A．
【巩固】①x﹣2=；②0.3x=1；③=5x﹣1；④x2﹣4x=3；⑤x=6；⑥x+2y=0；⑦7a+=﹣a，其中一元一次方程的个数是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【解答】解：①x﹣2=属于分式方程，故错误；
②0.3x=1、③=5x﹣1、⑤x=6、⑦7a+=﹣a符合一元一次方程的定义，故正确；
④x2﹣4x=3属于一元二次方程，故错误；
⑥x+2y=0属于二元一次方程，故错误；
故选：B．
【练习】下列四个式子中，是一元一次方程的是（　　）
A．1+2+3+4＞8 B．2x﹣3 C．x=1 D．|1﹣0.5x|=0.5y
【解答】解：A、不是方程，故不是一元一次方程；
B、不是方程，故不是一元一次方程；
C、是一元一次方程；
D、含有2个未知数，故不是一元一次方程．
故选：C．
8.3一元一次方程
一元一次方程的概念：只含有一个未知数（元），未知数的次数是，等号两边都是整式，这样的方程叫做一元一次方程．
注意：这里的“元”是指未知数，“次”是指含未知数的项的最高次数．
一元一次方程的形式：
最简形式：方程（，，为已知数）叫一元一次方程的最简形式．
标准形式：方程（其中，，是已知数）叫一元一次方程的标准形式．
注意：
任何一元一次方程都可以转化为最简形式或标准形式，所以判断一个方程是不是一元一次方程，可以通过变形（必须为恒等变换）为最简形式或标准形式来验证．
如：方程是一元一次方程．如果不变形，直接判断就出会现错误．
方程与方程是不同的，方程的解需要分类讨论完成．
【例】下列各方程中，是一元一次方程的是（　　）
A．x﹣2y=4 B．xy=4 C．3y﹣1=4 D．
【解答】解：各方程中，是一元一次方程的是3y﹣1=4，
故选：C．
【练习】下列方程是一元一次方程的是（　　）
A．x2=25 B．x﹣5=6 C．x﹣y=6 D．=2
【解答】解：A、是一元二次方程，故A不符合题意；
B、是一元一次方程，故B符合题意；
C、是二元一次方程，故C不符合题意；
D、是分式方程，故D不符合题意；
故选：B．
【练习】如果关于x的方程（a﹣3）x|a﹣2|+6=0是一元一次方程，那么a的值为（　　）
A．3 B．2 C．3或1 D．1
【解答】解：由（a﹣3）x|a﹣2|+6=0是一元一次方程，得
，解得a=1，a=3（不符合题意要舍去），
故选：D．
【巩固】下列方程中，属于一元一次方程的是（　　）
A． B．2x+5y=3 C． D．2x﹣3=x+1
【解答】解：A、是分式方程，故A错误；
B、是二元一次方程，故B错误；
C、是一元二次方程，故C错误；
D、是一元一次方程，故D正确．
故选：D．
8.4一元一次方程的解法
解方程：解方程就是求出使方程中等号左右两边相等的未知数的值，这个值就是方程的解．
解一元一次方程的一般步骤：
变形名称 依据 注意事项
去分母 等式性质2 不含分母的项不要漏乘 ② 注意分数线有括号作用，去掉分母后，如果分子是多项式，要加括号
去括号 分配律，去括号法则 运用分配律去括号时，不要漏乘括号内的项 如果括号前是“－”号，去括号时，括号内各项要变号
移项 等式性质1 移项必须变号 一般把含未知数的项移到左边，其他项移到右边
合并同类项 合并同类项法则 合并同类项是系数相加，字母及其指数不变
系数化为1 等式性质2 分子、分母不要颠倒
【例】解方程：4（x﹣2）﹣1=3（x﹣1）
【解答】解：去括号，得
4x﹣8﹣1=3x﹣3，
移项，得
4x﹣3x=﹣3+8+1，
合并同类项，得
x=6．　
【练习】解方程：﹣=1．
【解答】解：去分母得：3（x﹣3）﹣2（2x+1）=6，
去括号得：3x﹣9﹣4x﹣2=6，
移项得：﹣x=17，
系数化为1得：x=﹣17．
【巩固】y﹣=3﹣
【解答】解：去分母你，得10y﹣5（y﹣1）=30﹣2（y+2），
去括号，得10y﹣5y+5=30﹣2y﹣4，
移项合并同类项，得7y=21，
系数化为1，
得y=3．
【练习】解方程：
（1）
（2）．
【解答】解：（1）6x﹣（2x+5）=6﹣3（2x﹣3）
6x﹣2x﹣5=6﹣6x+9
6x﹣2x+6x=6+9+5
10x=20
x=2
（2）5（x﹣2）﹣2（x+1）=3
5x﹣10﹣2x﹣2=3
5x﹣2x=3+10+2
3x=15
x=5
【巩固】解方程：
（1）3﹣（5﹣2x）=4x﹣1
（2）．
【解答】解：（1）去括号，得：3﹣5+2x=4x﹣1，
移项，得：2x﹣4x=5﹣3﹣1，
合并同类项得：﹣2x=1，
系数化成1得：x=﹣；
（2）去分母，得：3（4﹣x）﹣2（2x+1）=6，
去括号，得：12﹣3x﹣4x﹣2=6，
移项，得：﹣3x﹣4x=6﹣12+2
合并同类项得：﹣7x=﹣4，
系数化成1得：x=．
【练习】解方程：（1）
（2）．
【解答】解：（1）6x﹣（2x+5）=6﹣3（2x﹣3）
6x﹣2x﹣5=6﹣6x+9
6x﹣2x+6x=6+9+5
10x=20
x=2
（2）5（x﹣2）﹣2（x+1）=3
5x﹣10﹣2x﹣2=3
5x﹣2x=3+10+2
3x=15
x=5
【练习】（2017秋 松桃县期末）解方程：
（1）3﹣（5﹣2x）=4x﹣1
（2）．
【解答】解：（1）去括号，得：3﹣5+2x=4x﹣1，
移项，得：2x﹣4x=5﹣3﹣1，
合并同类项得：﹣2x=1，
系数化成1得：x=﹣；
（2）去分母，得：3（4﹣x）﹣2（2x+1）=6，
去括号，得：12﹣3x﹣4x﹣2=6，
移项，得：﹣3x﹣4x=6﹣12+2
合并同类项得：﹣7x=﹣4，
系数化成1得：x=．
综合练习
一．选择题（共2小题）
1．解方程+＝0时，去分母正确的是（　　）
A．4（2x﹣1）+9x﹣4＝12 B．4（2x﹣1）+3（3x﹣4）＝12
C．8x﹣1+9x+12＝0 D．4（2x﹣1）+3（3x﹣4）＝0
【解答】解：+＝0
在方程两边同乘以12，即可得
4（2x﹣1）+3（3x﹣4）＝0
∴去分母正确的是答案D．
故选：D．
2．下列变形中：①将方程3x＝﹣4的系数化为1，得x＝﹣；②将方程5＝2﹣x移项得x＝5﹣2；③将方程2（2x﹣1）﹣3（x﹣3）＝1去括号得4x﹣2﹣3x﹣9＝1；④将方程＝1+去分母得2（2x﹣1）＝1+3（x﹣3），其中正确的变形有（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【解答】解：①将方程3x＝﹣4的系数化为1，得x＝﹣，错误；
②将方程5＝2﹣x移项得x＝2﹣5，错误；
③将方程2（2x﹣1）﹣3（x﹣3）＝1去括号得4x﹣2﹣3x+9＝1，错误；
④将方程＝1+去分母得2（2x﹣1）＝6+3（x﹣3），错误；
故选：A．
二．填空题（共2小题）
3．设a，b，c，d为有理数，现规定一种新的运算＝ad﹣bc，则满足等式＝4的x的值为　　．
【解答】解：根据题意得：
5x﹣3（x+1）＝4，
去括号得：5x﹣3x﹣3＝4，
移项得：5x﹣3x＝4+3，
合并同类项得：2x＝7，
系数化为1得：x＝，
故答案为：．
4．当代数式2x﹣2与3+x的值相等时，x＝　5　．
【解答】解：根据题意得：2x﹣2＝3+x，
移项合并得：x＝5，
故答案为：5．
三．解答题（共4小题）
5．解方程：
（1）4x+3＝2（x﹣1）+1；
（2）x；
（3）；
（4）x﹣+2．
【解答】解：
（1）原式去括号得：
4x+3＝2x﹣1
移项并合并同类项得，2x＝﹣4
系数化为1得，x＝﹣2
（2）原式去分母得，4（3x+7）＝28﹣21x
去括号得，12x+28＝28﹣21x
移项合并同类项得，33x＝0
系数化为1得，x＝0
（3）原式去括号得，x﹣4＝2
移项得，x＝6
（4）原式去分母得，18x﹣3（2﹣18x）＝2x+36
去括号得，18x﹣6+54x＝2x+36
移项合并同类项得，70x＝42
系数化为1得，x＝
6．解方程：
（1）x﹣3（x+1）﹣1＝2x
（2）y﹣＝3+
【解答】解：（1）去括号得：x﹣3x﹣3﹣1＝2x，
移项得：x﹣3x﹣2x＝3+1，
合并同类项得：﹣4x＝4，
系数化为1得：x＝﹣1，
（2）原方程可整理得：y﹣（4y+20）＝3+，
方程两边同时乘以2得：2y﹣2（4y+20）＝6+（y+3），
去括号得：2y﹣8y﹣40＝6+y+3，
移项得：2y﹣8y﹣y＝6+3+40，
合并同类项得：﹣7y＝49，
系数化为1得：y＝﹣7．
7．解方程：
（1）x﹣9＝4x+27
（2）1﹣x＝3x+
（3）12（2﹣3x）＝4x+4
（4）＝
（5）﹣＝1
（6）﹣＝12
【解答】解：（1）移项得：x﹣4x＝27+9，
合并同类项得：﹣3x＝36，
系数化为1得：x＝﹣12，
（2）方程两边同时乘以2得：2﹣3x＝6x+5，
移项得：﹣3x﹣6x＝5﹣2，
合并同类项得：﹣9x＝3，
系数化为1得：x＝﹣，
（3）去括号得：24﹣36x＝4x+4，
移项得：﹣36x﹣4x＝4﹣24，
合并同类项得：﹣40x＝﹣20，
系数化为1得：x＝，
（4）方程两边同时乘以24得：4（2x﹣1）＝3（5x+1），
去括号得：8x﹣4＝15x+3，
移项得：8x﹣15x＝3+4，
合并同类项得：﹣7x＝7，
系数化为1得：x＝﹣1，
（5）方程两边同时乘以6得：2（2x+1）﹣（5x﹣1）＝6，
去括号得：4x+2﹣5x+5＝6，
移项得：4x﹣5x＝6﹣5﹣2，
合并同类项得：﹣x＝﹣1，
系数化为x＝1，
（6）原方程可整理得：﹣（2x+4）＝12，
方程两边同时乘以3得：10x﹣10﹣3（2x+4）＝36，
去括号得：10x﹣10﹣6x﹣12＝36，
移项得：10x﹣6x＝36+12+10，
合并同类项得：4x＝58，
系数化为1得：x＝．
8．化简或解方程：
（1）化简：3a2﹣[5a﹣（2a﹣3）+4a2]
（2）解方程：+1＝
【解答】解：（1）3a2﹣[5a﹣（2a﹣3）+4a2]
＝3a2﹣[5a﹣2a+3+4a2]
＝3a2﹣5a+2a﹣3﹣4a2
＝﹣a2﹣3a﹣3；
（2）+1＝，
2（2x﹣1）+6＝2x+1，
4x﹣2+6＝2x+1，
4x﹣2x＝1+2﹣6，
2x＝﹣3，
x＝﹣1.5．
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第8讲 一元一次方程
8.1等式与方程
等式
等式的概念：含有等号的式子叫做等式．
在等式中，等号左、右两边的式子，分别叫做这个等式的左边、右边．
等式可以是数字算式，可以是公式、方程，也可以是用式子表示的运算律、运算法则．
等式的性质：
等式的性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等．
如果，那么
等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为的数，结果仍相等．
如果，那么；
如果，那么.
注意：①在对等式变形过程中，等式两边必须同时进行．
②同时加或同时减，同时乘以或同时除以，不能漏掉某一边．
③等式变形过程中，两边同加或同减，同乘或同除以的数或整式必须相同．
④在等式变形中，以下两个性质也经常用到：
等式的对称性，即：如果，那么．
等式的传递性，即：如果，，那么（又称为等量代换）．
移项：把等式一边的某项变号后移到另一边，叫做移项．
方程
方程的概念：含有未知数的等式叫做方程．
它有两层含义：① 方程必须是等式；② 等式中必须含有未知数．　
【例】已知a2+2a﹣3=0，则代数式2a2+4a﹣3的值是（　　）
A．﹣3 B．0 C．3 D．6
【练习】当x=1时，代数式x3+x+m的值是7，则当x=﹣1时，这个代数式的值是（　　）
A．7 B．3 C．1 D．﹣7
【练习】如果代数式4y2﹣2y+5的值是9，那么代数式2y2﹣y+2的值等于（　　）
A．2 B．3 C．﹣2 D．4
【例】若（m﹣1）x|m|+5=0是一元一次方程，则m的值为（　　）
A．1 B．﹣1 C．±1 D．不能确定
【练习】今年，我校成功举办了“经典诵读”比赛，其中参加比赛的男同学有a人，女同学比男同学的少24人，则参加“经典诵读”比赛的学生一共有（　　）
A．（﹣24）人 B．（a﹣24）人 C．（a+24）人 D．（﹣24）人
【巩固】下列各方程，变形正确的是（　　）
A．3x=1﹣2x化为3x﹣2x=1 B．1﹣[x﹣（2﹣x）]=x化为3x=﹣1
C．﹣=1化为x=﹣ D．﹣=1化为2（x﹣3）﹣5x=10
8.2方程的解
方程的解：使方程中等号左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解．
只含有一个未知数的方程的解，也叫方程的根．
求解的过程就是解方程．
关于方程中的未知数和已知数：
已知数：一般是具体的数值，如中（的系数是，是已知数．但可以不说．）和是已知数，如果方程中的已知数需要用字母表示的话，习惯上用、、、、等表示．
未知数：是指要求的数，未知数通常用、、等字母表示．如：关于、的方程中，、、是已知数，、是未知数．
【例】已知关于x的方程5x+3k=21与5x+3=0的解相同，则k的值是（　　）
A．﹣10 B．7 C．﹣9 D．8
【练习】如果x=﹣1是关于x的方程x+2k﹣3=0的解，则k的值是（　　）
A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2
【例】下面是一个被墨水污染过的方程：2x﹣=x﹣，答案显示此方程的解是x=，被墨水遮盖的是一个常数，则这个常数是（　　）
A．2 B．﹣2 C． D．﹣
【练习】若（|m|﹣1）x2﹣（m﹣1）x﹣8=0是关于x的一元一次方程，则m的值为（　　）
A．﹣1 B．1 C．±1 D．不能确定
【巩固】①x﹣2=；②0.3x=1；③=5x﹣1；④x2﹣4x=3；⑤x=6；⑥x+2y=0；⑦7a+=﹣a，其中一元一次方程的个数是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【练习】下列四个式子中，是一元一次方程的是（　　）
A．1+2+3+4＞8 B．2x﹣3 C．x=1 D．|1﹣0.5x|=0.5y
8.3一元一次方程
一元一次方程的概念：只含有一个未知数（元），未知数的次数是，等号两边都是整式，这样的方程叫做一元一次方程．
注意：这里的“元”是指未知数，“次”是指含未知数的项的最高次数．
一元一次方程的形式：
最简形式：方程（，，为已知数）叫一元一次方程的最简形式．
标准形式：方程（其中，，是已知数）叫一元一次方程的标准形式．
注意：
任何一元一次方程都可以转化为最简形式或标准形式，所以判断一个方程是不是一元一次方程，可以通过变形（必须为恒等变换）为最简形式或标准形式来验证．
如：方程是一元一次方程．如果不变形，直接判断就出会现错误．
方程与方程是不同的，方程的解需要分类讨论完成．
【例】下列各方程中，是一元一次方程的是（　　）
A．x﹣2y=4 B．xy=4 C．3y﹣1=4 D．
【练习】下列方程是一元一次方程的是（　　）
A．x2=25 B．x﹣5=6 C．x﹣y=6 D．=2
【练习】如果关于x的方程（a﹣3）x|a﹣2|+6=0是一元一次方程，那么a的值为（　　）
A．3 B．2 C．3或1 D．1
【巩固】下列方程中，属于一元一次方程的是（　　）
A． B．2x+5y=3 C． D．2x﹣3=x+1
8.4一元一次方程的解法
解方程：解方程就是求出使方程中等号左右两边相等的未知数的值，这个值就是方程的解．
解一元一次方程的一般步骤：
变形名称 依据 注意事项
去分母 等式性质2 不含分母的项不要漏乘 ② 注意分数线有括号作用，去掉分母后，如果分子是多项式，要加括号
去括号 分配律，去括号法则 运用分配律去括号时，不要漏乘括号内的项 如果括号前是“－”号，去括号时，括号内各项要变号
移项 等式性质1 移项必须变号 一般把含未知数的项移到左边，其他项移到右边
合并同类项 合并同类项法则 合并同类项是系数相加，字母及其指数不变
系数化为1 等式性质2 分子、分母不要颠倒
【例】解方程：4（x﹣2）﹣1=3（x﹣1）
【练习】解方程：﹣=1．
【巩固】y﹣=3﹣
【练习】解方程：
（1）
（2）．
【巩固】解方程：
（1）3﹣（5﹣2x）=4x﹣1
（2）．
【练习】解方程：（1）
（2）．
【练习】解方程：
（1）3﹣（5﹣2x）=4x﹣1
（2）．
综合练习
一．选择题（共2小题）
1．解方程+＝0时，去分母正确的是（　　）
A．4（2x﹣1）+9x﹣4＝12 B．4（2x﹣1）+3（3x﹣4）＝12
C．8x﹣1+9x+12＝0 D．4（2x﹣1）+3（3x﹣4）＝0
2．下列变形中：①将方程3x＝﹣4的系数化为1，得x＝﹣；②将方程5＝2﹣x移项得x＝5﹣2；③将方程2（2x﹣1）﹣3（x﹣3）＝1去括号得4x﹣2﹣3x﹣9＝1；④将方程＝1+去分母得2（2x﹣1）＝1+3（x﹣3），其中正确的变形有（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
二．填空题（共2小题）
3．设a，b，c，d为有理数，现规定一种新的运算＝ad﹣bc，则满足等式＝4的x的值为　 　．
4．当代数式2x﹣2与3+x的值相等时，x＝　 　．
三．解答题（共4小题）
5．解方程：
（1）4x+3＝2（x﹣1）+1；
（2）x；
（3）；
（4）x﹣+2．
6．解方程：
（1）x﹣3（x+1）﹣1＝2x
（2）y﹣＝3+
7．解方程：
（1）x﹣9＝4x+27
（2）1﹣x＝3x+
（3）12（2﹣3x）＝4x+4
（4）＝
（5）﹣＝1
（6）﹣＝12
8．化简或解方程：
（1）化简：3a2﹣[5a﹣（2a﹣3）+4a2]
（2）解方程：+1＝
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