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第8讲 一元一次方程
8.1等式与方程
等式
等式的概念：含有等号的式子叫做等式．
在等式中，等号左、右两边的式子，分别叫做这个等式的左边、右边．
等式可以是数字算式，可以是公式、方程，也可以是用式子表示的运算律、运算法则．
等式的性质：
等式的性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等．
如果，那么
等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为的数，结果仍相等．
如果，那么；
如果，那么.
注意：①在对等式变形过程中，等式两边必须同时进行．
②同时加或同时减，同时乘以或同时除以，不能漏掉某一边．
③等式变形过程中，两边同加或同减，同乘或同除以的数或整式必须相同．
④在等式变形中，以下两个性质也经常用到：
等式的对称性，即：如果，那么．
等式的传递性，即：如果，，那么（又称为等量代换）．
移项：把等式一边的某项变号后移到另一边，叫做移项．
方程
方程的概念：含有未知数的等式叫做方程．
它有两层含义：① 方程必须是等式；② 等式中必须含有未知数．
【例】据省统计局发布，2017年我省有效发明专利数比2016年增长22.1%，假定2018年的年增长率保持不变，2016年和2018年我省有效发明专利分别为a万件和b万件，则（　　）
A．b=（1+22.1%×2）a B．b=（1+22.1%）2a
C．b=（1+22.1%）×2a D．b=22.1%×2a
【例】设“●、▲、■”分别表示三种不同的物体，如图（1），（2）所示，天平保持平衡，如果要使得图（3）中的天平也保持平衡，那么在右盘中应该放“■”的个数为（　　）
A．6个 B．5个 C．4个 D．3个
【练习】设x，y，c表示有理数，下列结论始终成立的是（　　）
A．若x=y，则x+c=y﹣c B．若x=y，则xc=yc
C．若x=y，则 D．若，则2x=3y
【巩固】新学期开学，两摞规格相同准备发放的数学课本整齐地叠放在讲台上，请根据图中所给的数据信息，解答下列问题．
（1）一本数学课本的高度是多少厘米？
（2）讲台的高度是多少厘米？
（3）请写出整齐叠放在桌面上的x本数学课本距离地面的高度的代数式（用含有x的代数式表示）
（4）若桌面上有56本同样的数学课本，整齐叠放成一摞，从中取走18本后，求余下的数学课本距离地面的高度．
　
8.2方程的解
方程的解：使方程中等号左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解．
只含有一个未知数的方程的解，也叫方程的根．
求解的过程就是解方程．
关于方程中的未知数和已知数：
已知数：一般是具体的数值，如中（的系数是，是已知数．但可以不说．）和是已知数，如果方程中的已知数需要用字母表示的话，习惯上用、、、、等表示．
未知数：是指要求的数，未知数通常用、、等字母表示．如：关于、的方程中，、、是已知数，、是未知数．
【例】方程，▲处被墨水盖住了，已知方程的解x=2，那么▲处的数字是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．6
【例】已知关于x的一次方程（3a+4b）x+1=0无解，则ab的值为（　　）
A．正数 B．非正数 C．负数 D．非负数
【例】若y=4是方程﹣m=5（y﹣m）的解，则关于x的方程（3m﹣2）x+m﹣5=0的解是多少？
【练习】已知关于x的方程2（x+1）﹣m=﹣的解比方程5（x﹣1）﹣1=4（x﹣1）+1的解大2．
（1）求第二个方程的解；
（2）求m的值．
　
8.3一元一次方程
一元一次方程的概念：只含有一个未知数（元），未知数的次数是，等号两边都是整式，这样的方程叫做一元一次方程．
注意：这里的“元”是指未知数，“次”是指含未知数的项的最高次数．
一元一次方程的形式：
最简形式：方程（，，为已知数）叫一元一次方程的最简形式．
标准形式：方程（其中，，是已知数）叫一元一次方程的标准形式．
注意：
任何一元一次方程都可以转化为最简形式或标准形式，所以判断一个方程是不是一元一次方程，可以通过变形（必须为恒等变换）为最简形式或标准形式来验证．
如：方程是一元一次方程．如果不变形，直接判断就出会现错误．
方程与方程是不同的，方程的解需要分类讨论完成．
【例】下列方程=10，3x﹣2y=35，x2﹣14=0，4z﹣3（z+2）=1中是一元一次方程的有（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【例】已知关于x的方程（m+3）x|m+4|+18=0是一元一次方程，试求：
（1）m的值；
（2）2（3m+2）﹣3（4m﹣1）的值．
　
【练习】已知关于x的方程（m+5）x|m|﹣4+18=0是一元一次方程．试求：
（1）m的值；
（2）3（4m﹣1）﹣2（3m+2）的值．
【例】已知关于x的方程（m+3）x|m+4|+18=0是一元一次方程，试求：
（1）m的值；
（2）2（3m+2）﹣3（4m﹣1）的值．
　
【练习】已知（m2﹣4）x2﹣（m+2）x+8=0是关于未知数x的一元一次方程，求代数式﹣199（m+x）（m﹣2x）+m的值．
【巩固】若（m﹣4）x2|m|﹣7﹣4m=0是关于x的一元一次方程，求m2﹣2m+1的值．
8.4一元一次方程的解法
解方程：解方程就是求出使方程中等号左右两边相等的未知数的值，这个值就是方程的解．
解一元一次方程的一般步骤：
变形名称 依据 注意事项
去分母 等式性质2 不含分母的项不要漏乘 ② 注意分数线有括号作用，去掉分母后，如果分子是多项式，要加括号
去括号 分配律，去括号法则 运用分配律去括号时，不要漏乘括号内的项 如果括号前是“－”号，去括号时，括号内各项要变号
移项 等式性质1 移项必须变号 一般把含未知数的项移到左边，其他项移到右边
合并同类项 合并同类项法则 合并同类项是系数相加，字母及其指数不变
系数化为1 等式性质2 分子、分母不要颠倒
【例】当取什么整数时，方程2kx﹣6=（k+2）x的解x的值是正整数？
【例】若关于x的方程2x+a=x﹣1的解是x=﹣2，求a2018的值．
【巩固】若关于x的方程3（x+4）=2a+5的解大于关于x的方程的解，试确定a的取值范围．
【例】若关于x的方程2x+a=x﹣1的解是x=﹣2，求a2018的值．
【例】若关于x的方程3（x+4）=2a+5的解大于关于x的方程的解，试确定a的取值范围．
综合练习
一．选择题（共2小题）
1．解方程+＝0时，去分母正确的是（　　）
A．4（2x﹣1）+9x﹣4＝12 B．4（2x﹣1）+3（3x﹣4）＝12
C．8x﹣1+9x+12＝0 D．4（2x﹣1）+3（3x﹣4）＝0
2．下列变形中：①将方程3x＝﹣4的系数化为1，得x＝﹣；②将方程5＝2﹣x移项得x＝5﹣2；③将方程2（2x﹣1）﹣3（x﹣3）＝1去括号得4x﹣2﹣3x﹣9＝1；④将方程＝1+去分母得2（2x﹣1）＝1+3（x﹣3），其中正确的变形有（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
二．填空题（共2小题）
3．设a，b，c，d为有理数，现规定一种新的运算＝ad﹣bc，则满足等式＝4的x的值为　 　．
4．当代数式2x﹣2与3+x的值相等时，x＝　 　．
三．解答题（共4小题）
5．解方程：
（1）4x+3＝2（x﹣1）+1；
（2）x；
（3）；
（4）x﹣+2．
6．解方程：
（1）x﹣3（x+1）﹣1＝2x
（2）y﹣＝3+
7．解方程：
（1）x﹣9＝4x+27
（2）1﹣x＝3x+
（3）12（2﹣3x）＝4x+4
（4）＝
（5）﹣＝1
（6）﹣＝12
8．化简或解方程：
（1）化简：3a2﹣[5a﹣（2a﹣3）+4a2]
（2）解方程：+1＝
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第8讲 一元一次方程
8.1等式与方程
等式
等式的概念：含有等号的式子叫做等式．
在等式中，等号左、右两边的式子，分别叫做这个等式的左边、右边．
等式可以是数字算式，可以是公式、方程，也可以是用式子表示的运算律、运算法则．
等式的性质：
等式的性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等．
如果，那么
等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为的数，结果仍相等．
如果，那么；
如果，那么.
注意：①在对等式变形过程中，等式两边必须同时进行．
②同时加或同时减，同时乘以或同时除以，不能漏掉某一边．
③等式变形过程中，两边同加或同减，同乘或同除以的数或整式必须相同．
④在等式变形中，以下两个性质也经常用到：
等式的对称性，即：如果，那么．
等式的传递性，即：如果，，那么（又称为等量代换）．
移项：把等式一边的某项变号后移到另一边，叫做移项．
方程
方程的概念：含有未知数的等式叫做方程．
它有两层含义：① 方程必须是等式；② 等式中必须含有未知数．
【例】据省统计局发布，2017年我省有效发明专利数比2016年增长22.1%，假定2018年的年增长率保持不变，2016年和2018年我省有效发明专利分别为a万件和b万件，则（　　）
A．b=（1+22.1%×2）a B．b=（1+22.1%）2a
C．b=（1+22.1%）×2a D．b=22.1%×2a
【解答】解：因为2016年和2018年我省有效发明专利分别为a万件和b万件，所以b=（1+22.1%）2a．
故选：B．
【例】设“●、▲、■”分别表示三种不同的物体，如图（1），（2）所示，天平保持平衡，如果要使得图（3）中的天平也保持平衡，那么在右盘中应该放“■”的个数为（　　）
A．6个 B．5个 C．4个 D．3个
【解答】解：根据图示可得，
2×○=△+□（1），
○+□=△（2），
由（1），（2）可得，
○=2□，△=3□，
∴○+△=2□+3□=5□，
【练习】设x，y，c表示有理数，下列结论始终成立的是（　　）
A．若x=y，则x+c=y﹣c B．若x=y，则xc=yc
C．若x=y，则 D．若，则2x=3y
【解答】解：A、错误．c≠0时，等式不成立；
B、正确、
C、错误．c=0时，不成立；
D、错误．应该是：若，则3x=2y；
故选：B．
【巩固】新学期开学，两摞规格相同准备发放的数学课本整齐地叠放在讲台上，请根据图中所给的数据信息，解答下列问题．
（1）一本数学课本的高度是多少厘米？
（2）讲台的高度是多少厘米？
（3）请写出整齐叠放在桌面上的x本数学课本距离地面的高度的代数式（用含有x的代数式表示）
（4）若桌面上有56本同样的数学课本，整齐叠放成一摞，从中取走18本后，求余下的数学课本距离地面的高度．
【解答】解：（1）由题意可得，
一本数学课本的高度是：（88﹣86.5）÷3=1.5÷3=0.5（厘米），
答：一本数学课本的高度是0.5厘米；
（2）讲台的高度是：86.5﹣3×0.5=86.5﹣1.5=85（厘米），
即讲台的高度是85厘米；
（3）整齐叠放在桌面上的x本数学课本距离地面的高度是：（85+0.5x）厘米；
（4）余下的数学课本距离地面的高度：85+（56﹣18）×0.5=85+38×0.5=85+19=104（厘米），
即余下的数学课本距离地面的高度是104厘米．
　
8.2方程的解
方程的解：使方程中等号左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解．
只含有一个未知数的方程的解，也叫方程的根．
求解的过程就是解方程．
关于方程中的未知数和已知数：
已知数：一般是具体的数值，如中（的系数是，是已知数．但可以不说．）和是已知数，如果方程中的已知数需要用字母表示的话，习惯上用、、、、等表示．
未知数：是指要求的数，未知数通常用、、等字母表示．如：关于、的方程中，、、是已知数，、是未知数．
【例】方程，▲处被墨水盖住了，已知方程的解x=2，那么▲处的数字是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．6
【解答】解：由题意，得
=2，
解得▲=4．
故选：C．
【例】已知关于x的一次方程（3a+4b）x+1=0无解，则ab的值为（　　）
A．正数 B．非正数 C．负数 D．非负数
【解答】解：∵关于x的方程（3a+4b）x+1=0无解．
∴当且仅当3a+4b=0，
∴a=﹣b，
∴ab=﹣b2，
∵b2≥0，
∴﹣b2≤0，即ab的值为非正数，
故选：B．
【例】若y=4是方程﹣m=5（y﹣m）的解，则关于x的方程（3m﹣2）x+m﹣5=0的解是多少？
【解答】解：将y=4代入方程﹣m=5（y﹣m）得：m=4
再将m=4代入方程入（3m﹣2）x+m﹣5=0得：x=．
【练习】已知关于x的方程2（x+1）﹣m=﹣的解比方程5（x﹣1）﹣1=4（x﹣1）+1的解大2．
（1）求第二个方程的解；
（2）求m的值．
【解答】解：（1）5（x﹣1）﹣1=4（x﹣1）+1，
5x﹣5﹣1=4x﹣4+1，
5x﹣4x=﹣4+1+1+5，
x=3；
（2）由题意得：方程2（x+1）﹣m=﹣的解为x=3+2=5，
把x=5代入方程2（x+1）﹣m=﹣得：
2（5+1）﹣m=﹣，
12﹣m=﹣，
m=22．
　
8.3一元一次方程
一元一次方程的概念：只含有一个未知数（元），未知数的次数是，等号两边都是整式，这样的方程叫做一元一次方程．
注意：这里的“元”是指未知数，“次”是指含未知数的项的最高次数．
一元一次方程的形式：
最简形式：方程（，，为已知数）叫一元一次方程的最简形式．
标准形式：方程（其中，，是已知数）叫一元一次方程的标准形式．
注意：
任何一元一次方程都可以转化为最简形式或标准形式，所以判断一个方程是不是一元一次方程，可以通过变形（必须为恒等变换）为最简形式或标准形式来验证．
如：方程是一元一次方程．如果不变形，直接判断就出会现错误．
方程与方程是不同的，方程的解需要分类讨论完成．
【例】下列方程=10，3x﹣2y=35，x2﹣14=0，4z﹣3（z+2）=1中是一元一次方程的有（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【解答】解：一元一次方程指只含有一个未知数、未知数的最高次数为1且两边都为整式的等式．
4z﹣3（z+2）=1
故选：B．
【例】已知关于x的方程（m+3）x|m+4|+18=0是一元一次方程，试求：
（1）m的值；
（2）2（3m+2）﹣3（4m﹣1）的值．
【解答】解：（1）由题意，得
|m+4|=1且m+3≠0，
解得m=﹣5．
（2）当m=﹣5时，2（3m+2）﹣3（4m﹣1）=2×（﹣15+2）﹣3（﹣20﹣1）=﹣26+63=37．
　
【练习】已知关于x的方程（m+5）x|m|﹣4+18=0是一元一次方程．试求：
（1）m的值；
（2）3（4m﹣1）﹣2（3m+2）的值．
【解答】解：（1）依题意有|m|﹣4=1且m+5≠0，解之得m=5，
故m=5；
（2）3（4m﹣1）﹣2（3m+2）=12m﹣3﹣6m﹣4=6m﹣7，
当m=5时，原式=6×5﹣7=23．
【例】已知关于x的方程（m+3）x|m+4|+18=0是一元一次方程，试求：
（1）m的值；
（2）2（3m+2）﹣3（4m﹣1）的值．
【解答】解：（1）依题意有|m+4|=1且m+3≠0，解之得m=﹣5，
故m=﹣5；
（2）当m=﹣5时，2（3m+2）﹣3（4m﹣1）=﹣6m+7=﹣6×（﹣5）+7=37．
　
【练习】已知（m2﹣4）x2﹣（m+2）x+8=0是关于未知数x的一元一次方程，求代数式﹣199（m+x）（m﹣2x）+m的值．
【解答】解：由题意，得
m2﹣4=0且m+2≠0，
解得m=2，
一元一次方程是
﹣4x+8=0，
解得x=2，
﹣199（m+x）（m﹣2x）+m=﹣199×（2+2）×（2﹣2×2）+2=1594．
【巩固】若（m﹣4）x2|m|﹣7﹣4m=0是关于x的一元一次方程，求m2﹣2m+1的值．
【解答】解：由题意得：2|m|﹣7=1，且m﹣4≠0，
解得：m=﹣4，
m2﹣2m+1=16+8+1=25．
8.4一元一次方程的解法
解方程：解方程就是求出使方程中等号左右两边相等的未知数的值，这个值就是方程的解．
解一元一次方程的一般步骤：
变形名称 依据 注意事项
去分母 等式性质2 不含分母的项不要漏乘 ② 注意分数线有括号作用，去掉分母后，如果分子是多项式，要加括号
去括号 分配律，去括号法则 运用分配律去括号时，不要漏乘括号内的项 如果括号前是“－”号，去括号时，括号内各项要变号
移项 等式性质1 移项必须变号 一般把含未知数的项移到左边，其他项移到右边
合并同类项 合并同类项法则 合并同类项是系数相加，字母及其指数不变
系数化为1 等式性质2 分子、分母不要颠倒
【例】当取什么整数时，方程2kx﹣6=（k+2）x的解x的值是正整数？
【解答】解：由原方程，得
（2k﹣k﹣2）x=6，
即（k﹣2）x=6，
∵方程的解是正整数，则k﹣2=1或2或3或6．
解得：k=3或4或5或8．
即k取3或4或5时或8，方程2kx﹣6=（k+2）x的解x的值是正整数．
【例】若关于x的方程2x+a=x﹣1的解是x=﹣2，求a2018的值．
【解答】解：把x=﹣2代入方程2x+a=x﹣1中，
得：2×（﹣2）+a=﹣2﹣1，
解得：a=1，
所以a2018=12018=1，
答：a2018的值为1．
【巩固】若关于x的方程3（x+4）=2a+5的解大于关于x的方程的解，试确定a的取值范围．
【解答】解：∵3（x+4）=2a+5，
∴x=，
∵，
∴x=﹣a，
∴＞﹣a，
解得a＞．
【例】若关于x的方程2x+a=x﹣1的解是x=﹣2，求a2018的值．
【解答】解：把x=﹣2代入方程2x+a=x﹣1中，
得：2×（﹣2）+a=﹣2﹣1，
解得：a=1，
所以a2018=12018=1，
答：a2018的值为1．
【例】若关于x的方程3（x+4）=2a+5的解大于关于x的方程的解，试确定a的取值范围．
【解答】解：∵3（x+4）=2a+5，
∴x=，
∵，
∴x=﹣a，
∴＞﹣a，
解得a＞．
综合练习
一．选择题（共2小题）
1．解方程+＝0时，去分母正确的是（　　）
A．4（2x﹣1）+9x﹣4＝12 B．4（2x﹣1）+3（3x﹣4）＝12
C．8x﹣1+9x+12＝0 D．4（2x﹣1）+3（3x﹣4）＝0
【解答】解：+＝0
在方程两边同乘以12，即可得
4（2x﹣1）+3（3x﹣4）＝0
∴去分母正确的是答案D．
故选：D．
2．下列变形中：①将方程3x＝﹣4的系数化为1，得x＝﹣；②将方程5＝2﹣x移项得x＝5﹣2；③将方程2（2x﹣1）﹣3（x﹣3）＝1去括号得4x﹣2﹣3x﹣9＝1；④将方程＝1+去分母得2（2x﹣1）＝1+3（x﹣3），其中正确的变形有（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【解答】解：①将方程3x＝﹣4的系数化为1，得x＝﹣，错误；
②将方程5＝2﹣x移项得x＝2﹣5，错误；
③将方程2（2x﹣1）﹣3（x﹣3）＝1去括号得4x﹣2﹣3x+9＝1，错误；
④将方程＝1+去分母得2（2x﹣1）＝6+3（x﹣3），错误；
故选：A．
二．填空题（共2小题）
3．设a，b，c，d为有理数，现规定一种新的运算＝ad﹣bc，则满足等式＝4的x的值为　　．
【解答】解：根据题意得：
5x﹣3（x+1）＝4，
去括号得：5x﹣3x﹣3＝4，
移项得：5x﹣3x＝4+3，
合并同类项得：2x＝7，
系数化为1得：x＝，
故答案为：．
4．当代数式2x﹣2与3+x的值相等时，x＝　5　．
【解答】解：根据题意得：2x﹣2＝3+x，
移项合并得：x＝5，
故答案为：5．
三．解答题（共4小题）
5．解方程：
（1）4x+3＝2（x﹣1）+1；
（2）x；
（3）；
（4）x﹣+2．
【解答】解：
（1）原式去括号得：
4x+3＝2x﹣1
移项并合并同类项得，2x＝﹣4
系数化为1得，x＝﹣2
（2）原式去分母得，4（3x+7）＝28﹣21x
去括号得，12x+28＝28﹣21x
移项合并同类项得，33x＝0
系数化为1得，x＝0
（3）原式去括号得，x﹣4＝2
移项得，x＝6
（4）原式去分母得，18x﹣3（2﹣18x）＝2x+36
去括号得，18x﹣6+54x＝2x+36
移项合并同类项得，70x＝42
系数化为1得，x＝
6．解方程：
（1）x﹣3（x+1）﹣1＝2x
（2）y﹣＝3+
【解答】解：（1）去括号得：x﹣3x﹣3﹣1＝2x，
移项得：x﹣3x﹣2x＝3+1，
合并同类项得：﹣4x＝4，
系数化为1得：x＝﹣1，
（2）原方程可整理得：y﹣（4y+20）＝3+，
方程两边同时乘以2得：2y﹣2（4y+20）＝6+（y+3），
去括号得：2y﹣8y﹣40＝6+y+3，
移项得：2y﹣8y﹣y＝6+3+40，
合并同类项得：﹣7y＝49，
系数化为1得：y＝﹣7．
7．解方程：
（1）x﹣9＝4x+27
（2）1﹣x＝3x+
（3）12（2﹣3x）＝4x+4
（4）＝
（5）﹣＝1
（6）﹣＝12
【解答】解：（1）移项得：x﹣4x＝27+9，
合并同类项得：﹣3x＝36，
系数化为1得：x＝﹣12，
（2）方程两边同时乘以2得：2﹣3x＝6x+5，
移项得：﹣3x﹣6x＝5﹣2，
合并同类项得：﹣9x＝3，
系数化为1得：x＝﹣，
（3）去括号得：24﹣36x＝4x+4，
移项得：﹣36x﹣4x＝4﹣24，
合并同类项得：﹣40x＝﹣20，
系数化为1得：x＝，
（4）方程两边同时乘以24得：4（2x﹣1）＝3（5x+1），
去括号得：8x﹣4＝15x+3，
移项得：8x﹣15x＝3+4，
合并同类项得：﹣7x＝7，
系数化为1得：x＝﹣1，
（5）方程两边同时乘以6得：2（2x+1）﹣（5x﹣1）＝6，
去括号得：4x+2﹣5x+5＝6，
移项得：4x﹣5x＝6﹣5﹣2，
合并同类项得：﹣x＝﹣1，
系数化为x＝1，
（6）原方程可整理得：﹣（2x+4）＝12，
方程两边同时乘以3得：10x﹣10﹣3（2x+4）＝36，
去括号得：10x﹣10﹣6x﹣12＝36，
移项得：10x﹣6x＝36+12+10，
合并同类项得：4x＝58，
系数化为1得：x＝．
8．化简或解方程：
（1）化简：3a2﹣[5a﹣（2a﹣3）+4a2]
（2）解方程：+1＝
【解答】解：（1）3a2﹣[5a﹣（2a﹣3）+4a2]
＝3a2﹣[5a﹣2a+3+4a2]
＝3a2﹣5a+2a﹣3﹣4a2
＝﹣a2﹣3a﹣3；
（2）+1＝，
2（2x﹣1）+6＝2x+1，
4x﹣2+6＝2x+1，
4x﹣2x＝1+2﹣6，
2x＝﹣3，
x＝﹣1.5．
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