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第1讲 丰富的图形世界
知识点1：几何体的展开图
常见的几何体的展开图有圆柱、圆锥、棱柱、正方体、棱锥。特殊：球没有展开图
圆柱的表面展开图是两个圆（作底面）和一个长方形（作侧面）。
圆锥的表面展开图是一个圆（作底面）和一个扇形（作侧面）
棱柱的表面展开图是两个完全相同的多边形（作底面）和几个长方形（作侧面）
正方体的表面展开图一共有11种可能。
【典例】
1.如图所示的正方体的展开图是（　　）
A. B. C. D.
【方法总结】
1.判断特定正方体的展开图首先判断是否是正确的展开图模型，其次通过相邻面的位置、方向来确定正确的展开图．
2.解决几何体的展开图的相关问题只需要记清楚不同立体图形的展开图的模型。
【随堂练习】
1．将如图所示的正方体展开，可能正确的是（　　）
A． B． C． D．
　
2．下列图形不是正方体展开图的是（　　）
A． B． C． D．
　
3．如图所示的图形，是下面哪个正方体的展开图（　　）
A． B． C． D．
　
4．如过正方体中有公共顶点的三条棱的中点切出一个平面，形成如图所示的几何体，其正确展开图为（　　）
A． B．
C． D．
知识点2 展开图折叠成几何体
【典例】
1.将下面的纸片沿虚线折叠，不能折成长方体盒子的是（　　）
A. B. C. D.
【方法总结】
展开图折叠成几何体是将几何体展开的对应的操作，解决这类型题首先能够找到正确的几何体展开图，其次找出相邻、相对的面。
【随堂练习】
1．图1和图2中所有的正方形都全等，将图1的正方形放在图2中的①②③④某一位置，所组成的图形不能围成正方体的位置是（　　）
A．① B．② C．③ D．④
　
2．如图给定的是纸盒的外表面，下面能由它折叠而成的是（　　）
A． B． C． D．
知识点3：正方体的相对两个面
正方体展开图找相对面的方法：
（1）中间隔“一”是对面：中间相隔一个正方形的两个正方形是相对面；
（2）“Z”字两端是对面：呈“Z”字形排列的四个正方形首尾两个正方形是相对面；
（3）间二、拐角邻面知：中间隔两个正方形的两个正方形是相邻面，呈拐角形状的三个小正方形，只有一个相邻正方形的两个正方形是相邻面。
【典例】
1.韩老师特制了4个同样的立方块，并将它们如图a放置，然后又如图b放置，则图b中四个底面正方形中的点数之和为（　　）
【方法总结】
通过分析正方体某一个面的4个相邻面，以及4个相邻面又分别是两组相对的面来分析各点数、数字之间的位置关系而得出结果。
【随堂练习】
1．某校九年级（1）班在“迎中考百日誓师”活动中打算制做一个带有正方体挂坠的倒计时牌挂在班级，正方体的每个面上分别书写“成功舍我其谁”六个字．如图是该班同学设计的正方体挂坠的平面展开图，那么“我”字对面的字是（　　）
A．舍 B．我 C．其 D．谁
　
2．有一个正方体的六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6，从三个不同的角度观察这个正方体所得的结果如图所示，如果标有数字5的面所对面上的数字记为a，标有数字6的面所对面上的数字记为b，则a﹣b的值是（　　）
A． B． C． D．
3．如图是一个正方体的平面展开图，正方体中相对的面上的数字或代数式互为相反数，则2x+y的值为（　　）
A．0 B．﹣1 C．﹣2 D．1
综合集训
1.如图1是边长为18cm的正方形纸板，截掉阴影部分后将其折叠成如图2所示的长方体盒子．已知该长方体的宽是高的2倍，则它的体积是________cm3．
2.若如图的平面展开图折叠成正方体后，相对面上两个数都互为相反数，则a+b=_______．
3.有一个正六面体骰子，放在桌面上，将骰子沿如图所示的顺时针方向滚动，每滚动90°算一次，如滚动第1次后，骰子朝上一面的点数是5，则滚动第2017次后，骰子朝上一面的点数是________．
4.如图是一个正方体的表面展开图，若正方体中相对的面上的数互为相反数，则2x﹣y的值为_________．
5.（1）请写出对应几何体的名称：①_________；②_________；③_________．
（2）图③中，侧面展开图的宽（较短边）为8cm，圆的半径为2cm，求图③所对应几何体的表面积_________．（结果保留π）
6.如图是由6个相同的正方形拼成的图形，请你将其中一个正方形移动到合适的位置，使它与另5个正方形能拼成一个正方体的表面展开图．（请在图中将要移动的那个正方形涂黑，并画出移动后的正方形）．
7.如图，是一个几何体的侧面展开图．
（1）请写出这个几何体的名称；
（2）请根据图中所标的尺寸，计算这个几何体的侧面积．
8.小明用若干个正方形和长方形准备拼成一个长方体的展开图．拼完后，小明看来看去觉得所拼图形好像存在问题．
（1）请你帮小明查一下拼图是否存在问题：若有多余块，则把图中多余部分涂黑；若还缺少，则直接在原图中补全；
（2）若图中的正方形边长6cm，长方形的长为8cm，宽为6cm，请求出修正后所折叠而成的长方体的表面积和体积．
9.小明在学习了《展开与折叠》这一课后，明白了很多几何体都能展开成平面图形．于是他在家用剪刀展开了一个长方体纸盒，可是一不小心多剪了一条棱，把纸盒剪成了两部分，即图中的①和②．根据你所学的知识，回答下列问题：
（1）小明总共剪开了_________条棱．
（2）现在小明要将剪断的②重新粘贴到①上去，而且经过折叠以后，仍然可以还原成一个长方体纸盒，你认为他应该将剪断的纸条粘贴到①中的什么位置？请你帮助小明在①上补全．
（3）小明说：已知这个长方体纸盒高为20cm，底面是一个正方形，并且这个长方体纸盒所有棱长的和是880cm，求这个长方体纸盒的体积．
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第1讲 丰富的图形世界
知识点1：几何体的展开图
常见的几何体的展开图有圆柱、圆锥、棱柱、正方体、棱锥。特殊：球没有展开图
圆柱的表面展开图是两个圆（作底面）和一个长方形（作侧面）。
圆锥的表面展开图是一个圆（作底面）和一个扇形（作侧面）
棱柱的表面展开图是两个完全相同的多边形（作底面）和几个长方形（作侧面）
正方体的表面展开图一共有11种可能。
【典例】
1.如图所示的正方体的展开图是（　　）
A. B. C. D.
【解析】解：根据带有各种符号的面的特点及位置，可得如图所示的正方体的展开图是．
故选A
【方法总结】
1.判断特定正方体的展开图首先判断是否是正确的展开图模型，其次通过相邻面的位置、方向来确定正确的展开图．
2.解决几何体的展开图的相关问题只需要记清楚不同立体图形的展开图的模型。
【随堂练习】
1．将如图所示的正方体展开，可能正确的是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：由原正方体知，带图案的三个面相交于一点，而通过折叠后A、B、D都不符合，所以能得到的图形是C．
故选：C．
　
2．下列图形不是正方体展开图的是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：A、C、D经过折叠均能围成正方体，B折叠后上边没有面，不能折成正方体．
故选：B．
　
3．如图所示的图形，是下面哪个正方体的展开图（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：根据正方体展开图的特点可得：两个三角形相邻．
故选：D．
　
4．如过正方体中有公共顶点的三条棱的中点切出一个平面，形成如图所示的几何体，其正确展开图为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：选项A、C、D折叠后都不符合题意，只有选项B折叠后两个剪去三角形与另一个剪去的三角形交于一个顶点，与正方体三个剪去三角形交于一个顶点符合．
故选：B．
知识点2 展开图折叠成几何体
【典例】
1.将下面的纸片沿虚线折叠，不能折成长方体盒子的是（　　）
A. B. C. D.
【解析】解：选项A，B，C都能折叠成长方体盒子，选项D上面部分重叠无法折叠成长方体盒子．
【方法总结】
展开图折叠成几何体是将几何体展开的对应的操作，解决这类型题首先能够找到正确的几何体展开图，其次找出相邻、相对的面。
【随堂练习】
1．图1和图2中所有的正方形都全等，将图1的正方形放在图2中的①②③④某一位置，所组成的图形不能围成正方体的位置是（　　）
A．① B．② C．③ D．④
【解答】解：将图1的正方形放在图2中的①的位置出现重叠的面，所以不能围成正方体．
故选：A．
　
2．如图给定的是纸盒的外表面，下面能由它折叠而成的是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：A、展开得到，不能和原图相对应，故本选项错误；
B、展开得到，能和原图相对，故本选项正确；
C、展开得到，不能和原图相对应，故本选项错误；
D、展开得到，不能和原图相对应，故本选项错误．
故选：B．
知识点3：正方体的相对两个面
正方体展开图找相对面的方法：
（1）中间隔“一”是对面：中间相隔一个正方形的两个正方形是相对面；
（2）“Z”字两端是对面：呈“Z”字形排列的四个正方形首尾两个正方形是相对面；
（3）间二、拐角邻面知：中间隔两个正方形的两个正方形是相邻面，呈拐角形状的三个小正方形，只有一个相邻正方形的两个正方形是相邻面。
【典例】
1.韩老师特制了4个同样的立方块，并将它们如图a放置，然后又如图b放置，则图b中四个底面正方形中的点数之和为（　　）
【解析】解：根据四个图形的点数，可推断出来，点4对面是点2；点5对面是点1；点6对面是点3．
则图b中四个底面正方形中的点数是1，3，6，6，
1+3+6+6=16，
则图b中四个底面正方形中的点数之和为16．
【方法总结】
通过分析正方体某一个面的4个相邻面，以及4个相邻面又分别是两组相对的面来分析各点数、数字之间的位置关系而得出结果。
【随堂练习】
1．某校九年级（1）班在“迎中考百日誓师”活动中打算制做一个带有正方体挂坠的倒计时牌挂在班级，正方体的每个面上分别书写“成功舍我其谁”六个字．如图是该班同学设计的正方体挂坠的平面展开图，那么“我”字对面的字是（　　）
A．舍 B．我 C．其 D．谁
【解答】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，
“我”与“谁”是相对面，
故选：D．
　
2．有一个正方体的六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6，从三个不同的角度观察这个正方体所得的结果如图所示，如果标有数字5的面所对面上的数字记为a，标有数字6的面所对面上的数字记为b，则a﹣b的值是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：从图可以看出1和5、4、3、2都相邻，所以1的对面只能是6，
b=1，
4和6、5、1、3都相邻，∴4的对面是2，
∴5的对面是3，
∴a=3．
a﹣b=3﹣1=，
故选：B．
　
3．如图是一个正方体的平面展开图，正方体中相对的面上的数字或代数式互为相反数，则2x+y的值为（　　）
A．0 B．﹣1 C．﹣2 D．1
【解答】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形．
“5”与“2x﹣3”是相对面，
“y”与“x”是相对面，
“﹣2”与“2”是相对面，
∵相对的面上的数字或代数式互为相反数，
∴2x﹣3+5=0，
x+y=0，
解得x=﹣1，
y=1，
∴2x+y=2×（﹣1）+1=﹣2+1=﹣1．
故选：B．
综合集训
1.如图1是边长为18cm的正方形纸板，截掉阴影部分后将其折叠成如图2所示的长方体盒子．已知该长方体的宽是高的2倍，则它的体积是________cm3．
【解析】解：设该长方体的高为x cm，则长方体的宽为2x cm，
2x+2x+x+x=18，解得x=3，
所以该长方体的高为3 cm，则长方体的宽为6 cm，长为18﹣6=12 cm，
所以它的体积为3×6×12=216（cm3）．
故答案为216．
2.若如图的平面展开图折叠成正方体后，相对面上两个数都互为相反数，则a+b=_______．
【解析】解：这是一个正方体的平面展开图，共有六个面，其中面“a”与面“1”相对，面“b”与面“3”相对，“2”与面“﹣2”相对．
因为相对面上两个数都互为相反数，
所以a=﹣1，b=﹣3，
故a+b=﹣4．
3.有一个正六面体骰子，放在桌面上，将骰子沿如图所示的顺时针方向滚动，每滚动90°算一次，如滚动第1次后，骰子朝上一面的点数是5，则滚动第2017次后，骰子朝上一面的点数是________．
【解析】解：观察图象可知点数3和点数4相对，点数2和点数5相对，且四次一循环，
∵2017÷4=504…1，
∴滚动第2017次后与第一次相同，
∴朝上一面的点数为5，
故答案为：5．
4.如图是一个正方体的表面展开图，若正方体中相对的面上的数互为相反数，则2x﹣y的值为_________．
【解析】解：∵“5”与“2x﹣3”是对面，“x”与“y”是对面，
∴2x﹣3=﹣5，y=﹣x，
解得x=﹣1，y=1，
∴2x﹣y=﹣2﹣1=﹣3．
故答案为：﹣3．
5.（1）请写出对应几何体的名称：①_________；②_________；③_________．
（2）图③中，侧面展开图的宽（较短边）为8cm，圆的半径为2cm，求图③所对应几何体的表面积_________．（结果保留π）
【解析】解：（1）请写出对应几何体的名称：①圆锥；②三棱柱；③圆柱，
故答案为：圆锥，三棱柱，圆柱；
（2）圆柱的表面积为πr2+πr2+2πrh=4π+4π+32π=40πcm2，
故答案为：40πcm2．
6.如图是由6个相同的正方形拼成的图形，请你将其中一个正方形移动到合适的位置，使它与另5个正方形能拼成一个正方体的表面展开图．（请在图中将要移动的那个正方形涂黑，并画出移动后的正方形）．
【解析】解：答案如下：
或
或等．
7.如图，是一个几何体的侧面展开图．
（1）请写出这个几何体的名称；
（2）请根据图中所标的尺寸，计算这个几何体的侧面积．
【解析】解：（1）这个几何体的名称是六棱柱；
（2）侧面积=（2+4）ab=6ab
8.小明用若干个正方形和长方形准备拼成一个长方体的展开图．拼完后，小明看来看去觉得所拼图形好像存在问题．
（1）请你帮小明查一下拼图是否存在问题：若有多余块，则把图中多余部分涂黑；若还缺少，则直接在原图中补全；
（2）若图中的正方形边长6cm，长方形的长为8cm，宽为6cm，请求出修正后所折叠而成的长方体的表面积和体积．
【解析】解：（1）根据长方体有6个面，可得拼图中有多余块，多余部分如图所示：
（2）表面积=6×8×4+62×2=192+72=264cm2．
体积=62×8=288cm3．
【难度】中
【结束】
9.小明在学习了《展开与折叠》这一课后，明白了很多几何体都能展开成平面图形．于是他在家用剪刀展开了一个长方体纸盒，可是一不小心多剪了一条棱，把纸盒剪成了两部分，即图中的①和②．根据你所学的知识，回答下列问题：
（1）小明总共剪开了_________条棱．
（2）现在小明要将剪断的②重新粘贴到①上去，而且经过折叠以后，仍然可以还原成一个长方体纸盒，你认为他应该将剪断的纸条粘贴到①中的什么位置？请你帮助小明在①上补全．
（3）小明说：已知这个长方体纸盒高为20cm，底面是一个正方形，并且这个长方体纸盒所有棱长的和是880cm，求这个长方体纸盒的体积．
【解析】解（1）由图可得，小明一共剪了8条棱，
故答案为：8．
（2）如图，粘贴的位置有四种情况如下：
（3）∵长方体纸盒的底面是一个正方形，
∴可设底面边长acm，
∵长方体纸盒所有棱长的和是880cm，长方体纸盒高为20cm，
∴4×20+8a=880，
解得a=100，
∴这个长方体纸盒的体积为：20×100×100=200000立方厘米．
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