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第1讲 丰富的图形世界
知识点1：几何体的展开图
常见的几何体的展开图有圆柱、圆锥、棱柱、正方体、棱锥。特殊：球没有展开图
圆柱的表面展开图是两个圆（作底面）和一个长方形（作侧面）。
圆锥的表面展开图是一个圆（作底面）和一个扇形（作侧面）
棱柱的表面展开图是两个完全相同的多边形（作底面）和几个长方形（作侧面）
正方体的表面展开图一共有11种可能。
【典例】
1.如图所示的正方体的展开图是（　　）
A. B. C. D.
【解析】解：根据带有各种符号的面的特点及位置，可得如图所示的正方体的展开图是．
故选A
【方法总结】
1.判断特定正方体的展开图首先判断是否是正确的展开图模型，其次通过相邻面的位置、方向来确定正确的展开图．
2.解决几何体的展开图的相关问题只需要记清楚不同立体图形的展开图的模型。
【随堂练习】
1．如图，点A，B，C是正方体三条相邻的棱的中点，沿着A，B，C三点所在的平面将该正方体的一个角切掉，然后将其展开，其展开图可能是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：选项A、B、C折叠后都不符合题意，
只有选项D折叠后两个剪去三角形与另一个剪去的三角形交于一个顶点，与正方体三个剪去三角形交于一个顶点符合．
故选：D．
　
2．由五个全等正方形组成的图形如图所示，将一个同样大小的正方形放在图中的①、②、③、④某一位置，所组成的图形不是正方体表面展开图的是（　　）
A．① B．② C．③ D．④
【解答】解：由题意可得，
所组成的图形不是正方体表面展开图的是①，
故选：A．
　
3．小新将一个有污渍的正方体纸盒沿如图所示的粗实线剪开，并展成平面图，其展开图为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：按照题意动手剪一剪，可知B正确．
故选：B．
　
4．将一个圆柱的侧面展开，得到一个边长为a的正方形，则这个圆柱的体积为______．
【解答】解：设圆柱的底面半径是r，
由题意得，2πr=a，
r=，
所以，这个圆柱的体积为：πr2a=π（）2 a=．
过答案为：．
　
5．底面圆半径为1、高为2的圆柱体，其侧面展开图的周长是________．
【解答】解：圆柱的侧面展开图是长方形，因为底面圆半径为1、高为2的圆柱体，
所以侧面展开图的周长是2（2π+2）=4π+4，
故答案为：4π+4
　
6．一个无盖的长方形包装盒展开后如图所示（单位：cm），则其容积为_______cm3．
【解答】解：20﹣15=5（cm），
15﹣5=10（cm），
26﹣10=16（cm），
16×10×5=800（cm3）．
答：其容积为800cm3．
故答案为：800．
知识点2 展开图折叠成几何体
【典例】
1.将下面的纸片沿虚线折叠，不能折成长方体盒子的是（　　）
A. B. C. D.
【解析】解：选项A，B，C都能折叠成长方体盒子，选项D上面部分重叠无法折叠成长方体盒子．
【方法总结】
展开图折叠成几何体是将几何体展开的对应的操作，解决这类型题首先能够找到正确的几何体展开图，其次找出相邻、相对的面。
【随堂练习】
1．下列四张正方形硬纸片，分别将阴影部分剪去后，再沿虚线折叠，其中可以围成一个封闭长方体包装盒的是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：A、剪去阴影部分后，组成无盖的正方体，故此选项不合题意；
B、剪去阴影部分后，无法组成长方体，故此选项不合题意；
C、剪去阴影部分后，无法组成长方体，故此选项不合题意；
D、剪去阴影部分后，能组成长方体，故此选项正确；
故选：D．
　
2．将图1围成图2的正方体，则图1中的红心“”标志所在的正方形是正方体中的（　　）
A．面CDHE B．面BCEF C．面ABFG D．面ADHG
【解答】解：由图1中的红心“”标志，
可知它与等边三角形相邻，折叠成正方体是正方体中的面CDHE．
故选：A．
　
3．如图所示是立方体的表面展开图，把它折叠成立方体，它会变成（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：折叠后两个阴影三角形的面是邻面，折叠后两个阴影的三角形有一条公共边，
故选：C．
知识点3：正方体的相对两个面
正方体展开图找相对面的方法：
（1）中间隔“一”是对面：中间相隔一个正方形的两个正方形是相对面；
（2）“Z”字两端是对面：呈“Z”字形排列的四个正方形首尾两个正方形是相对面；
（3）间二、拐角邻面知：中间隔两个正方形的两个正方形是相邻面，呈拐角形状的三个小正方形，只有一个相邻正方形的两个正方形是相邻面。
【典例】
1.韩老师特制了4个同样的立方块，并将它们如图a放置，然后又如图b放置，则图b中四个底面正方形中的点数之和为（　　）
【解析】解：根据四个图形的点数，可推断出来，点4对面是点2；点5对面是点1；点6对面是点3．
则图b中四个底面正方形中的点数是1，3，6，6，
1+3+6+6=16，
则图b中四个底面正方形中的点数之和为16．
【方法总结】
通过分析正方体某一个面的4个相邻面，以及4个相邻面又分别是两组相对的面来分析各点数、数字之间的位置关系而得出结果。
【随堂练习】
1．把下列所示的图形折成正方体，如果相对面的值相等，则2a﹣x+3y的值为（　　）
A．7 B．8 C．9 D．10
【解答】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，
“a”与“﹣1”是相对面，
“x”与“6”是相对面，
“y”与“5”是相对面，
∵相对面的值相等，
∴a=﹣1，x=6，y=5，
∴2a﹣x+3y=2×（﹣1）﹣6+3×5=﹣2﹣6+15=7．
故选：A．
　
2．如图是一个正方体的展开图，标注了字母A的面是正方体的正面，如果正方体的左面与右面所标注代数式的值相等，则x的值是______．
【解答】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，
∵标注了字母A的面是正面，
∴左右面是标注了x2与3x﹣2的面，
∴x2=3x﹣2，
解得x1=1，x2=2．
故答案为：1或2．
　
3．小华在一个正方体的六个面上分别写上“x，y，z，1，﹣1，2”字样，表面展开图如图所示，则在该正方体中，相对面的数字相等，则xy=____．
【解答】解：∵正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，
∴“x”与“﹣1”是相对面，
“y”与“2”是相对面，
“1”与“z”是相对面，
∵在该正方体中，相对面的数字相等，
∴x=﹣1，y=2，
∴xy=（﹣1）2=1．
故答案为：1．
综合集训
1.如图1是边长为18cm的正方形纸板，截掉阴影部分后将其折叠成如图2所示的长方体盒子．已知该长方体的宽是高的2倍，则它的体积是________cm3．
【解析】解：设该长方体的高为x cm，则长方体的宽为2x cm，
2x+2x+x+x=18，解得x=3，
所以该长方体的高为3 cm，则长方体的宽为6 cm，长为18﹣6=12 cm，
所以它的体积为3×6×12=216（cm3）．
故答案为216．
2.若如图的平面展开图折叠成正方体后，相对面上两个数都互为相反数，则a+b=_______．
【解析】解：这是一个正方体的平面展开图，共有六个面，其中面“a”与面“1”相对，面“b”与面“3”相对，“2”与面“﹣2”相对．
因为相对面上两个数都互为相反数，
所以a=﹣1，b=﹣3，
故a+b=﹣4．
3.有一个正六面体骰子，放在桌面上，将骰子沿如图所示的顺时针方向滚动，每滚动90°算一次，如滚动第1次后，骰子朝上一面的点数是5，则滚动第2017次后，骰子朝上一面的点数是________．
【解析】解：观察图象可知点数3和点数4相对，点数2和点数5相对，且四次一循环，
∵2017÷4=504…1，
∴滚动第2017次后与第一次相同，
∴朝上一面的点数为5，
故答案为：5．
4.如图是一个正方体的表面展开图，若正方体中相对的面上的数互为相反数，则2x﹣y的值为_________．
【解析】解：∵“5”与“2x﹣3”是对面，“x”与“y”是对面，
∴2x﹣3=﹣5，y=﹣x，
解得x=﹣1，y=1，
∴2x﹣y=﹣2﹣1=﹣3．
故答案为：﹣3．
5.（1）请写出对应几何体的名称：①_________；②_________；③_________．
（2）图③中，侧面展开图的宽（较短边）为8cm，圆的半径为2cm，求图③所对应几何体的表面积_________．（结果保留π）
【解析】解：（1）请写出对应几何体的名称：①圆锥；②三棱柱；③圆柱，
故答案为：圆锥，三棱柱，圆柱；
（2）圆柱的表面积为πr2+πr2+2πrh=4π+4π+32π=40πcm2，
故答案为：40πcm2．
6.如图是由6个相同的正方形拼成的图形，请你将其中一个正方形移动到合适的位置，使它与另5个正方形能拼成一个正方体的表面展开图．（请在图中将要移动的那个正方形涂黑，并画出移动后的正方形）．
【解析】解：答案如下：
或
或等．
7.如图，是一个几何体的侧面展开图．
（1）请写出这个几何体的名称；
（2）请根据图中所标的尺寸，计算这个几何体的侧面积．
【解析】解：（1）这个几何体的名称是六棱柱；
（2）侧面积=（2+4）ab=6ab
8.小明用若干个正方形和长方形准备拼成一个长方体的展开图．拼完后，小明看来看去觉得所拼图形好像存在问题．
（1）请你帮小明查一下拼图是否存在问题：若有多余块，则把图中多余部分涂黑；若还缺少，则直接在原图中补全；
（2）若图中的正方形边长6cm，长方形的长为8cm，宽为6cm，请求出修正后所折叠而成的长方体的表面积和体积．
【解析】解：（1）根据长方体有6个面，可得拼图中有多余块，多余部分如图所示：
（2）表面积=6×8×4+62×2=192+72=264cm2．
体积=62×8=288cm3．
【难度】中
【结束】
9.小明在学习了《展开与折叠》这一课后，明白了很多几何体都能展开成平面图形．于是他在家用剪刀展开了一个长方体纸盒，可是一不小心多剪了一条棱，把纸盒剪成了两部分，即图中的①和②．根据你所学的知识，回答下列问题：
（1）小明总共剪开了_________条棱．
（2）现在小明要将剪断的②重新粘贴到①上去，而且经过折叠以后，仍然可以还原成一个长方体纸盒，你认为他应该将剪断的纸条粘贴到①中的什么位置？请你帮助小明在①上补全．
（3）小明说：已知这个长方体纸盒高为20cm，底面是一个正方形，并且这个长方体纸盒所有棱长的和是880cm，求这个长方体纸盒的体积．
【解析】解（1）由图可得，小明一共剪了8条棱，
故答案为：8．
（2）如图，粘贴的位置有四种情况如下：
（3）∵长方体纸盒的底面是一个正方形，
∴可设底面边长acm，
∵长方体纸盒所有棱长的和是880cm，长方体纸盒高为20cm，
∴4×20+8a=880，
解得a=100，
∴这个长方体纸盒的体积为：20×100×100=200000立方厘米．
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第1讲 丰富的图形世界
知识点1：几何体的展开图
常见的几何体的展开图有圆柱、圆锥、棱柱、正方体、棱锥。特殊：球没有展开图
圆柱的表面展开图是两个圆（作底面）和一个长方形（作侧面）。
圆锥的表面展开图是一个圆（作底面）和一个扇形（作侧面）
棱柱的表面展开图是两个完全相同的多边形（作底面）和几个长方形（作侧面）
正方体的表面展开图一共有11种可能。
【典例】
1.如图所示的正方体的展开图是（　　）
A. B. C. D.
【方法总结】
1.判断特定正方体的展开图首先判断是否是正确的展开图模型，其次通过相邻面的位置、方向来确定正确的展开图．
2.解决几何体的展开图的相关问题只需要记清楚不同立体图形的展开图的模型。
【随堂练习】
1．如图，点A，B，C是正方体三条相邻的棱的中点，沿着A，B，C三点所在的平面将该正方体的一个角切掉，然后将其展开，其展开图可能是（　　）
A． B． C． D．
　
2．由五个全等正方形组成的图形如图所示，将一个同样大小的正方形放在图中的①、②、③、④某一位置，所组成的图形不是正方体表面展开图的是（　　）
A．① B．② C．③ D．④
3．小新将一个有污渍的正方体纸盒沿如图所示的粗实线剪开，并展成平面图，其展开图为（　　）
A． B． C． D．
　
4．将一个圆柱的侧面展开，得到一个边长为a的正方形，则这个圆柱的体积为______．
　
5．底面圆半径为1、高为2的圆柱体，其侧面展开图的周长是________．
6．一个无盖的长方形包装盒展开后如图所示（单位：cm），则其容积为_______cm3．
知识点2 展开图折叠成几何体
【典例】
1.将下面的纸片沿虚线折叠，不能折成长方体盒子的是（　　）
A. B. C. D.
【解析】解：选项A，B，C都能折叠成长方体盒子，选项D上面部分重叠无法折叠成长方体盒子．
【方法总结】
展开图折叠成几何体是将几何体展开的对应的操作，解决这类型题首先能够找到正确的几何体展开图，其次找出相邻、相对的面。
【随堂练习】
1．下列四张正方形硬纸片，分别将阴影部分剪去后，再沿虚线折叠，其中可以围成一个封闭长方体包装盒的是（　　）
A． B． C． D．
　
2．将图1围成图2的正方体，则图1中的红心“”标志所在的正方形是正方体中的（　　）
A．面CDHE B．面BCEF C．面ABFG D．面ADHG
　
3．如图所示是立方体的表面展开图，把它折叠成立方体，它会变成（　　）
A． B． C． D．
知识点3：正方体的相对两个面
正方体展开图找相对面的方法：
（1）中间隔“一”是对面：中间相隔一个正方形的两个正方形是相对面；
（2）“Z”字两端是对面：呈“Z”字形排列的四个正方形首尾两个正方形是相对面；
（3）间二、拐角邻面知：中间隔两个正方形的两个正方形是相邻面，呈拐角形状的三个小正方形，只有一个相邻正方形的两个正方形是相邻面。
【典例】
1.韩老师特制了4个同样的立方块，并将它们如图a放置，然后又如图b放置，则图b中四个底面正方形中的点数之和为（　　）
【方法总结】
通过分析正方体某一个面的4个相邻面，以及4个相邻面又分别是两组相对的面来分析各点数、数字之间的位置关系而得出结果。
【随堂练习】
1．把下列所示的图形折成正方体，如果相对面的值相等，则2a﹣x+3y的值为（　　）
A．7 B．8 C．9 D．10
　
2．如图是一个正方体的展开图，标注了字母A的面是正方体的正面，如果正方体的左面与右面所标注代数式的值相等，则x的值是______．
3．小华在一个正方体的六个面上分别写上“x，y，z，1，﹣1，2”字样，表面展开图如图所示，则在该正方体中，相对面的数字相等，则xy=____．
综合集训
1.如图1是边长为18cm的正方形纸板，截掉阴影部分后将其折叠成如图2所示的长方体盒子．已知该长方体的宽是高的2倍，则它的体积是________cm3．
2.若如图的平面展开图折叠成正方体后，相对面上两个数都互为相反数，则a+b=_______．
3.有一个正六面体骰子，放在桌面上，将骰子沿如图所示的顺时针方向滚动，每滚动90°算一次，如滚动第1次后，骰子朝上一面的点数是5，则滚动第2017次后，骰子朝上一面的点数是________．
4.如图是一个正方体的表面展开图，若正方体中相对的面上的数互为相反数，则2x﹣y的值为_________．
5.（1）请写出对应几何体的名称：①_________；②_________；③_________．
（2）图③中，侧面展开图的宽（较短边）为8cm，圆的半径为2cm，求图③所对应几何体的表面积_________．（结果保留π）
6.如图是由6个相同的正方形拼成的图形，请你将其中一个正方形移动到合适的位置，使它与另5个正方形能拼成一个正方体的表面展开图．（请在图中将要移动的那个正方形涂黑，并画出移动后的正方形）．
7.如图，是一个几何体的侧面展开图．
（1）请写出这个几何体的名称；
（2）请根据图中所标的尺寸，计算这个几何体的侧面积．
8.小明用若干个正方形和长方形准备拼成一个长方体的展开图．拼完后，小明看来看去觉得所拼图形好像存在问题．
（1）请你帮小明查一下拼图是否存在问题：若有多余块，则把图中多余部分涂黑；若还缺少，则直接在原图中补全；
（2）若图中的正方形边长6cm，长方形的长为8cm，宽为6cm，请求出修正后所折叠而成的长方体的表面积和体积．
9.小明在学习了《展开与折叠》这一课后，明白了很多几何体都能展开成平面图形．于是他在家用剪刀展开了一个长方体纸盒，可是一不小心多剪了一条棱，把纸盒剪成了两部分，即图中的①和②．根据你所学的知识，回答下列问题：
（1）小明总共剪开了_________条棱．
（2）现在小明要将剪断的②重新粘贴到①上去，而且经过折叠以后，仍然可以还原成一个长方体纸盒，你认为他应该将剪断的纸条粘贴到①中的什么位置？请你帮助小明在①上补全．
（3）小明说：已知这个长方体纸盒高为20cm，底面是一个正方形，并且这个长方体纸盒所有棱长的和是880cm，求这个长方体纸盒的体积．
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