资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
第2讲 有理数
2.1正数与负数
正数与负数
正数：像，，这样大于的数叫做正数．
正数都大于．
负数：像，这样在正数前加上符号“”（负）号的数叫做负数．
负数都小于．
符号：一个数前面的“”，“”号叫做它的符号．
正数前面的“” 号可以省略，注意与表示是同一个正数．
负数前面的“” 号不可以省略．
用正数和负数表示具有相反意义的量：
如果正数表示某种意义，那么负数表示它的相反意义，反之亦然．
比如：用正数表示向南，那么向北可以用负数表示为．
“相反意义的量”包括两个方面的含意：一是相反意义；二是要有量．
“”的特殊性
既不是正数，也不是负数；
是正数与负数的分界；
是自然数；
的意义：
有时表示没有，比如文具盒中有支铅笔，表示没有铅笔；
有时是一个数，比如是一个确定的温度；
有时也作为基准，比如海拔高度为表示的是海平面的平均高度．
常见名词：
非负数：正数和零统称为非负数；
非正数：负数和零统称为非正数；
【例1】如果“收入10元”记作+10元，那么支出20元记作（　　）
A．+20元 B．﹣20元 C．+10元 D．﹣10元
　　
【练习1】如果赚120万元记作+120万元，那么亏100万元记作（　　）
A．+100万元 B．﹣100万元 C．±100万元 D．±10万元
【例2】某种药品说明书上标明保存温度是（20±3）℃，则该药品在（　　）范围内保存最合适．
A．17℃～20℃ B．20℃～23℃ C．17℃～23℃ D．17℃～24℃
　
【巩固】下列一组数：﹣8，0，﹣32，﹣（﹣5.7），其中负数的个数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2.2有理数
有理数
整数：正整数、、负整数统称为整数．
所有的正整数组成正整数集合，所有的负整数组成负整数集合．
分数：正分数、负分数统称为分数．
有限小数和无限循环小数可以化为分数，所以我们也把它们看成分数．
有理数：整数和分数统称为有理数．
有理数的分类：
（1）
（2）
【例1】下列说法正确的是（　　）
A．一个数前面加上“﹣”号，这个数就是负数
B．零既是正数也是负数
C．若a是正数，则﹣a不一定是负数
D．零既不是正数也不是负数
　
【练习1】最小的正有理数是（　　）
A．0 B．1 C．﹣1 D．不存在
【例2】在下列各数：﹣，+1，6.7，﹣（﹣3），0，，﹣5，25% 中，属于整数的有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
　
【练习2】下列说法正确的个数有（　　）
①负分数一定是负有理数
②自然数一定是正数
③﹣π是负分数
④a一定是正数
⑤0是整数
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2.3数轴
数轴
数轴：在数学中，可以用一条直线上的点表示数，这条直线叫做数轴．它满足以下要求：
原点：在直线上任取一个点表示数，这个点叫做原点．
原点是数轴的基准点．
正方向：通常规定直线上从原点向右（或上）为正方向，从原点向左（或下）为负方向．
选取适当的长度为单位长度，直线上从原点向右，每隔一个单位长度取一个点，依次表示，，，…；从原点向左，用类似的方法依次表示，，，…．
原点、正方向和单位长度是数轴的三要素．
数轴的画法
画一条水平的直线（一般画水平的数轴）；
在这条直线上适当位置取一实心点作为原点：
确定向右的方向为正方向，用箭头表示；
选取适当的长度作单位长度，用细短线画出，并对应标注各数，同时要注意同一数轴的单位长度要一致．
有理数与数轴的关系
一切有理数都可以用数轴上的点表示出来．
数轴上的点并不全是有理数，如也可以在数轴上表示，但并不是有理数．
正有理数位于原点的右边，负有理数位于原点的左边．
利用数轴比较有理数的大小
在数轴上，右边的点所对应的数总比左边的点所对应的数大．
因此，正数总大于零，负数总小于零，正数大于负数．
【例1】若数轴上表示﹣2和3的两点分别是点A和B，则点A和点B之间的距离是（　　）
A．﹣5 B．﹣1 C．1 D．5
【练习1】如图，在数轴上点M表示的数可能是（　　）
A．1.5 B．﹣1.5 C．﹣2.4 D．2.4
【例2】下列数轴画正确的是（　　）
A． B．
C． D．
　
【巩固】如图，将一刻度尺放在数轴上（数轴的单位长度是1cm），刻度尺上“1cm”和“9cm”分别对应数轴上的﹣3和x，那么x的值为　　．
2.4相反数
相反数
相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数．
一般地，与互为相反数，表示任意一个数，可以是正数、负数，也可以是．
特别地，的相反数是．
相反数是成对出现的．
相反数的几何意义：
互为相反数的两个数在数轴上对应的点应分别位于原点两侧，并且到原点的距离相等．
求任意一个数的相反数，只要在这个数的前面添上“”号即可．
多重符号的化简
一个正数前面不管有多少个“”号，都可以全部去掉；
一个正数前面有偶数个“”号，也可以把“”号全部去掉；
一个正数前面有奇数个“”号，则化简后只保留一个“”号
口诀“奇负偶正”，其中“奇偶”是指正数前面的“”号的个数，“负正”是指化简的最后结果的符号
【例1】的相反数是（　　）
A． B． C． D．
　
【练习1】2018的相反数是（　　）
A．8102 B．﹣2018 C． D．2018
【巩固】下列各数中，其相反数等于本身的是（　　）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2018
　
2.5绝对值
绝对值
绝对值的概念：一般地，数轴上表示数的点与原点的距离叫做数的绝对值，记作．
绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是数轴上表示数的点与原点的距离．
绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；的绝对值是．
即：（1）如果，那么；
（2）如果，那么；
（3）如果，那么．
可整理为：，或，或
绝对值具有非负性，取绝对值的结果总是正数或．
即：
有理数的比较大小
两个负数，绝对值大的反而小．
正数大于零，零大于负数，正数大于负数．
利用数轴：在数轴上，右边的点所对应的数总比左边的点所对应的数大．
【例1】﹣的绝对值是（　　）
A．﹣ B． C．﹣2 D．2
　
【练习】﹣2的绝对值是（　　）
A．﹣2 B． C．±2 D．2
　
【巩固】|﹣3|的值是（　　）
A．3 B． C．﹣3 D．﹣
【例2】如图，图中数轴的单位长度为1．如果点B，C表示的数的绝对值相等，那么点A表示的数是（　　）
A．﹣4 B．﹣5 C．﹣6 D．﹣2
　
【练习2】计算：|﹣5+3|的结果是　　．
综合练习
一．选择题（共6小题）
1．若数轴上表示数﹣3和1的两点分别是点A和点B，则点A和点B之间的距离是（　　）
A．﹣4 B．﹣2 C．2 D．4
2．如果实数a满足|a|＝3，且a＜0，那么a的值为（　　）
A．±3 B．1 C．3 D．﹣3
3．下列各对数中互为相反数的是（　　）
A．﹣（+3）和+（﹣3） B．+（﹣3）和+|﹣3|
C．﹣（﹣3）和+|﹣3| D．+（﹣3）和﹣|+3|
4．有理数a、b在数轴上的对应位置如图所示，则下列四个选项正确的是（　　）
A．a＜b＜﹣b＜﹣a B．a＜﹣b＜﹣a＜b C．a﹣b＞0 D．﹣a+b＞0
5．有理数a、b在数轴上的位置如图所示，则化简|a﹣b|﹣2|a|的结果为（　　）
A．﹣a﹣b B．3a﹣b C．a+b D．2a﹣b
6．已知a，b两数在数轴上对应的点如图所示，下列结论正确的是（　　）
A．a+b＞0 B．﹣a+b＞0 C．ab＜0 D．﹣a﹣b＞0
二．填空题（共1小题）
7．有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简|a﹣c|﹣|c﹣b|+|b|＝　 　．
三．解答题（共1小题）
8．快递配送员王叔叔一直在一条南北走向的街道上送快递，如果规定向北为正，向南为负，某天他从出发点开始所行走的路程记录为（长度单位：千米）：+3，﹣4，+2．+3．﹣1，﹣1，﹣3
（1）这天送完最后一个快递时，王叔叔在出发点的什么方向，距离是多少？
（2）如果王叔叔送完快递后，需立即返回出发点，那么他这天送快递（含返回）共耗油多少升（已知每千米耗油0.2升）？
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
第2讲 有理数
2.1正数与负数
正数与负数
正数：像，，这样大于的数叫做正数．
正数都大于．
负数：像，这样在正数前加上符号“”（负）号的数叫做负数．
负数都小于．
符号：一个数前面的“”，“”号叫做它的符号．
正数前面的“” 号可以省略，注意与表示是同一个正数．
负数前面的“” 号不可以省略．
用正数和负数表示具有相反意义的量：
如果正数表示某种意义，那么负数表示它的相反意义，反之亦然．
比如：用正数表示向南，那么向北可以用负数表示为．
“相反意义的量”包括两个方面的含意：一是相反意义；二是要有量．
“”的特殊性
既不是正数，也不是负数；
是正数与负数的分界；
是自然数；
的意义：
有时表示没有，比如文具盒中有支铅笔，表示没有铅笔；
有时是一个数，比如是一个确定的温度；
有时也作为基准，比如海拔高度为表示的是海平面的平均高度．
常见名词：
非负数：正数和零统称为非负数；
非正数：负数和零统称为非正数；
【例1】如果“收入10元”记作+10元，那么支出20元记作（　　）
A．+20元 B．﹣20元 C．+10元 D．﹣10元
【解答】解：如果收入10元记作+10元，那么支出20元记作﹣20元．
故选：B．
　　
【练习1】如果赚120万元记作+120万元，那么亏100万元记作（　　）
A．+100万元 B．﹣100万元 C．±100万元 D．±10万元
【解答】解：赚120万元记作+120万元，亏100万元记作﹣100万元，
故选：B．
【例2】某种药品说明书上标明保存温度是（20±3）℃，则该药品在（　　）范围内保存最合适．
A．17℃～20℃ B．20℃～23℃ C．17℃～23℃ D．17℃～24℃
【解答】解：20℃﹣3℃=17℃
20℃+3℃=23℃
所以该药品在17℃～23℃范围内保存才合适．
故选：C．
　
【巩固】下列一组数：﹣8，0，﹣32，﹣（﹣5.7），其中负数的个数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：在﹣8，0，﹣32，﹣（﹣5.7）中负数是﹣8，﹣32，
即负数的个数有2个．
故选：B．
2.2有理数
有理数
整数：正整数、、负整数统称为整数．
所有的正整数组成正整数集合，所有的负整数组成负整数集合．
分数：正分数、负分数统称为分数．
有限小数和无限循环小数可以化为分数，所以我们也把它们看成分数．
有理数：整数和分数统称为有理数．
有理数的分类：
（1）
（2）
【例1】下列说法正确的是（　　）
A．一个数前面加上“﹣”号，这个数就是负数
B．零既是正数也是负数
C．若a是正数，则﹣a不一定是负数
D．零既不是正数也不是负数
【解答】解：A、负数是小于0的数，在负数和0的前面加上“﹣”号，所得的数是非负数，故A错误；
B、0既不是正数也不是负数，是正数和负数的分界点，故B错误；
C、若a是正数，则a＞0，﹣a＜0，所以﹣a一定是负数，故C错误；
D、0既不是正数也不是负数，是正数和负数的分界点，故D正确．
故选：D．
　
【练习1】最小的正有理数是（　　）
A．0 B．1 C．﹣1 D．不存在
【解答】解：没有最小的正有理数，
故选：D．
【例2】在下列各数：﹣，+1，6.7，﹣（﹣3），0，，﹣5，25% 中，属于整数的有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【解答】解：∵﹣（﹣3）=3，
∴在以上各数中，整数有：+1、﹣（﹣3）、0、﹣5，共有4个．
故选：C．
　
【练习2】下列说法正确的个数有（　　）
①负分数一定是负有理数
②自然数一定是正数
③﹣π是负分数
④a一定是正数
⑤0是整数
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：①负分数一定是负有理数，故①正确；
②自然数一定是非负数，故②错误；
③﹣π是负无理数，故③错误
④a可能是正数、零、负数，故④错误；
⑤0是整数，故⑤正确；
故选：B．
2.3数轴
数轴
数轴：在数学中，可以用一条直线上的点表示数，这条直线叫做数轴．它满足以下要求：
原点：在直线上任取一个点表示数，这个点叫做原点．
原点是数轴的基准点．
正方向：通常规定直线上从原点向右（或上）为正方向，从原点向左（或下）为负方向．
选取适当的长度为单位长度，直线上从原点向右，每隔一个单位长度取一个点，依次表示，，，…；从原点向左，用类似的方法依次表示，，，…．
原点、正方向和单位长度是数轴的三要素．
数轴的画法
画一条水平的直线（一般画水平的数轴）；
在这条直线上适当位置取一实心点作为原点：
确定向右的方向为正方向，用箭头表示；
选取适当的长度作单位长度，用细短线画出，并对应标注各数，同时要注意同一数轴的单位长度要一致．
有理数与数轴的关系
一切有理数都可以用数轴上的点表示出来．
数轴上的点并不全是有理数，如也可以在数轴上表示，但并不是有理数．
正有理数位于原点的右边，负有理数位于原点的左边．
利用数轴比较有理数的大小
在数轴上，右边的点所对应的数总比左边的点所对应的数大．
因此，正数总大于零，负数总小于零，正数大于负数．
【例1】若数轴上表示﹣2和3的两点分别是点A和B，则点A和点B之间的距离是（　　）
A．﹣5 B．﹣1 C．1 D．5
【解答】解：因为3﹣（﹣2）
=5
故选：D．
【练习1】如图，在数轴上点M表示的数可能是（　　）
A．1.5 B．﹣1.5 C．﹣2.4 D．2.4
【解答】解；点M表示的数大于﹣3且小于﹣2，
A、1.5＞﹣2，故A错误；
B、﹣1.5＞﹣2，故B错误；
C、﹣3＜﹣2.4＜﹣2，故C正确；
D、2.4＞﹣2，故D错误．
故选：C．
【例2】下列数轴画正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：A没有单位长度，故A错误；
B、没有正方向，故B错误；
C、原点、单位长度、正方向都符合条件，故C正确；
D、原点左边的单位表示错误，应是从左到右由小到大的顺序，故D错误；
故选：C．
　
【巩固】如图，将一刻度尺放在数轴上（数轴的单位长度是1cm），刻度尺上“1cm”和“9cm”分别对应数轴上的﹣3和x，那么x的值为　　．
【解答】解：x的值为9﹣4=5．
故答案为：5．
2.4相反数
相反数
相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数．
一般地，与互为相反数，表示任意一个数，可以是正数、负数，也可以是．
特别地，的相反数是．
相反数是成对出现的．
相反数的几何意义：
互为相反数的两个数在数轴上对应的点应分别位于原点两侧，并且到原点的距离相等．
求任意一个数的相反数，只要在这个数的前面添上“”号即可．
多重符号的化简
一个正数前面不管有多少个“”号，都可以全部去掉；
一个正数前面有偶数个“”号，也可以把“”号全部去掉；
一个正数前面有奇数个“”号，则化简后只保留一个“”号
口诀“奇负偶正”，其中“奇偶”是指正数前面的“”号的个数，“负正”是指化简的最后结果的符号
【例1】的相反数是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：的相反数是，
故选：D．
　
【练习1】2018的相反数是（　　）
A．8102 B．﹣2018 C． D．2018
【解答】解：2018的相反数﹣2018，
故选：B．
【巩固】下列各数中，其相反数等于本身的是（　　）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2018
【解答】解：相反数等于本身的数是0．
故选：B．
　
2.5绝对值
绝对值
绝对值的概念：一般地，数轴上表示数的点与原点的距离叫做数的绝对值，记作．
绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是数轴上表示数的点与原点的距离．
绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；的绝对值是．
即：（1）如果，那么；
（2）如果，那么；
（3）如果，那么．
可整理为：，或，或
绝对值具有非负性，取绝对值的结果总是正数或．
即：
有理数的比较大小
两个负数，绝对值大的反而小．
正数大于零，零大于负数，正数大于负数．
利用数轴：在数轴上，右边的点所对应的数总比左边的点所对应的数大．
【例1】﹣的绝对值是（　　）
A．﹣ B． C．﹣2 D．2
【解答】解：﹣的绝对值为．
故选：B．
　
【练习】﹣2的绝对值是（　　）
A．﹣2 B． C．±2 D．2
【解答】解：﹣2的绝对值是2．
故选：D．
　
【巩固】|﹣3|的值是（　　）
A．3 B． C．﹣3 D．﹣
【解答】解：|﹣3|=3，
故选：A．
【例2】如图，图中数轴的单位长度为1．如果点B，C表示的数的绝对值相等，那么点A表示的数是（　　）
A．﹣4 B．﹣5 C．﹣6 D．﹣2
【解答】解：因为点B，C表示的数的绝对值相等，即到原点的距离相等，
所以点B，C表示的数分别为﹣2，2，
所以点A表示的数是﹣2﹣2=﹣4．故选A．
　
【练习2】计算：|﹣5+3|的结果是　　．
【解答】解：|﹣5+3|=|﹣2|=2．
故答案为：2．
综合练习
一．选择题（共6小题）
1．若数轴上表示数﹣3和1的两点分别是点A和点B，则点A和点B之间的距离是（　　）
A．﹣4 B．﹣2 C．2 D．4
【解答】解：1﹣（﹣3）＝4
故选：D．
2．如果实数a满足|a|＝3，且a＜0，那么a的值为（　　）
A．±3 B．1 C．3 D．﹣3
【解答】解：∵|a|＝3，且a＜0，
∴a＝﹣3．
故选：D．
3．下列各对数中互为相反数的是（　　）
A．﹣（+3）和+（﹣3） B．+（﹣3）和+|﹣3|
C．﹣（﹣3）和+|﹣3| D．+（﹣3）和﹣|+3|
【解答】解：A、﹣（+3）＝﹣3和+（﹣3）＝﹣3，不是相反数，故此选项错误；
B、+（﹣3）＝﹣3和+|﹣3|＝3，是相反数，符合题意；
C、﹣（﹣3）＝3和+|﹣3|＝3，不是相反数，故此选项错误；
D、+（﹣3）＝﹣3和﹣|+3|＝﹣3，不是相反数，故此选项错误；
故选：B．
4．有理数a、b在数轴上的对应位置如图所示，则下列四个选项正确的是（　　）
A．a＜b＜﹣b＜﹣a B．a＜﹣b＜﹣a＜b C．a﹣b＞0 D．﹣a+b＞0
【解答】解：观察图形可知a＜0＜b，且|a|＞|b|，
∴a＜﹣b＜b＜﹣a
∴答案A、B都错误；
又∵a＜0＜b，
∴a﹣b＜0，b﹣a＞0
故选：D．
5．有理数a、b在数轴上的位置如图所示，则化简|a﹣b|﹣2|a|的结果为（　　）
A．﹣a﹣b B．3a﹣b C．a+b D．2a﹣b
【解答】解：根据题意得，a＜0，b＞0，
∴a﹣b＜0，
∴|a﹣b|﹣2|a|＝b﹣a+2a＝a+b．
故选：C．
6．已知a，b两数在数轴上对应的点如图所示，下列结论正确的是（　　）
A．a+b＞0 B．﹣a+b＞0 C．ab＜0 D．﹣a﹣b＞0
【解答】解：由图可知b＜a＜0，|b|＞|a|，
所以a+b＜0，﹣a+b＜0，ab＞0，﹣a﹣b＞0，
故选：D．
二．填空题（共1小题）
7．有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简|a﹣c|﹣|c﹣b|+|b|＝　﹣a　．
【解答】解：由题可得a﹣c＜0，c﹣b＞0，b＜0，
∴|a﹣c|﹣|c﹣b|+|b|
＝﹣a+c﹣c+b﹣b
＝﹣a．
故答案为：﹣a．
三．解答题（共1小题）
8．快递配送员王叔叔一直在一条南北走向的街道上送快递，如果规定向北为正，向南为负，某天他从出发点开始所行走的路程记录为（长度单位：千米）：+3，﹣4，+2．+3．﹣1，﹣1，﹣3
（1）这天送完最后一个快递时，王叔叔在出发点的什么方向，距离是多少？
（2）如果王叔叔送完快递后，需立即返回出发点，那么他这天送快递（含返回）共耗油多少升（已知每千米耗油0.2升）？
【解答】解：（1）由题意得：
+3﹣4+2+3﹣1﹣1﹣3
＝﹣9+8
＝﹣1
答：王叔叔送完最后一个快递时，在出发点的南方，距离出发点是1km．
（2）设王叔叔总的行驶路程为S，则S＝|+3|+|﹣4|+|+2|+|+3|+|﹣1|+|﹣1|+|﹣3|+|﹣1|＝18
∵每行驶1千米耗油0.2升，
∴耗油量为18×0.2＝3.6
答：王叔叔这天送快递（含返回）共耗油3.6升．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑