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第2讲 有理数
2.1正数与负数
正数与负数
正数：像，，这样大于的数叫做正数．
正数都大于．
负数：像，这样在正数前加上符号“”（负）号的数叫做负数．
负数都小于．
符号：一个数前面的“”，“”号叫做它的符号．
正数前面的“” 号可以省略，注意与表示是同一个正数．
负数前面的“” 号不可以省略．
用正数和负数表示具有相反意义的量：
如果正数表示某种意义，那么负数表示它的相反意义，反之亦然．
比如：用正数表示向南，那么向北可以用负数表示为．
“相反意义的量”包括两个方面的含意：一是相反意义；二是要有量．
“”的特殊性
既不是正数，也不是负数；
是正数与负数的分界；
是自然数；
的意义：
有时表示没有，比如文具盒中有支铅笔，表示没有铅笔；
有时是一个数，比如是一个确定的温度；
有时也作为基准，比如海拔高度为表示的是海平面的平均高度．
常见名词：
非负数：正数和零统称为非负数；
非正数：负数和零统称为非正数；
【例1】某大米包装袋上标注着“净含量10kg±150g”，小华从商店买了2袋大米，这两袋大米相差的克数不可能是（　　）
A．100g B．150g C．300g D．400g
　
【练习1】四个足球与足球规定质量偏差如下：（超过为正，不足为负）．质量相对最合规定的是（　　）
A．+10 B．﹣20 C．﹣3 D．+5
【例2】如图，一只甲虫在5×5的方格（每小格边长为1）上沿着网格线运动，它从A处出发去看望B、C、D处的其它甲虫，规定：向上向右走为正，向下向左走为负．例如从A到B记为：A→B（+1，+4），从D到C记为：D→C（﹣1，+2），其中第一个数表示左右方向，第二个数表示上下方向．
（1）图中A→C（___，___），B→C（____，____），
D→____（﹣4，﹣2）；
（2）若这只甲虫从A处去P处的行走路线依次为（+2，+2），（+2，﹣1），（﹣2，+3），（﹣1，﹣2），请在图中标出P的位置；
（3）若这只甲虫的行走路线为A→B→C→D，请计算该甲虫走过的路程．
　
【练习2】如图，一只甲虫在5×5的方格（每小格边长为1）上沿着网格线运动．它从A处出发去看望B、C、D处的其它甲虫，规定：向上向右走均为正，向下向左走均为负．如果从A到B记为：A→B（+1，+4），从B到A记为：B→A（﹣1，﹣4），其中第一个数表示左右方向，第二个数表示上下方向．
（1）图中A→C（　+3　，　+4　），B→C（　+2　，　0　），C→　D　（+1，﹣2）；
（2）若这只甲虫从A处去甲虫P处的行走路线依次为（+2，+2），（+2，﹣1），（﹣2，+3），（﹣1，﹣2），请在图中标出P的位置；
（3）若这只甲虫的行走路线为A→B→C→D，请计算该甲虫走过的路程．
（4）若图中另有两个格点M、N，且M→A（3﹣a，b﹣4），M→N（5﹣a，b﹣2），则N→A应记为什么？
　
2.2有理数
有理数
整数：正整数、、负整数统称为整数．
所有的正整数组成正整数集合，所有的负整数组成负整数集合．
分数：正分数、负分数统称为分数．
有限小数和无限循环小数可以化为分数，所以我们也把它们看成分数．
有理数：整数和分数统称为有理数．
有理数的分类：
（1）
（2）
【例1】观察下面一列数：﹣1，2，﹣3，4，﹣5，6，﹣7，…将这列数排成下列形式：
按照上述规律排下去，那么第10行从左边数第9个数是___；数﹣201是第____　行从左边数第____个数．
　
【练习1】阅读下而文字，根据所给信息解答下面问题：把几个数用大括号括起来，中间用返号隔开，如：{3，4}；{﹣3，6，8，18}，其中大括号内的数称其为集合的元素．如果一个集合满足：只要其中有一个元素a，使得﹣2a+4也是这个集合的元素，这样的集合称为条件集合．例如；{3，﹣2}，因为﹣2×3+4=﹣2，﹣2恰好是这个集合的元素
所以吕{3，﹣2}是条件集合：例如；（﹣2，9，8，}，因为﹣2×（﹣2）+4=8，8恰好是这个集合的元素，所以{﹣2，9，8，}是条件集合．
（1）集合{﹣4，12}是否是条件集合？
（2）集合{，﹣，}是否是条件集合？
（3）若集合{8，n}和{m}都是条件集合．求m、n的值．
【例2】观察下列两个等式：2﹣=2×+1，5﹣=5×+1，给出定义如下：我们称使等式a﹣b=ab+1的成立的一对有理数a，b为“共生有理数对”，记为（a，b），如：数对（2，），（5，），都是“共生有理数对”．
（1）数对（﹣2，1），（3，）中是“共生有理数对”的是　（3，）　；
（2）若（m，n）是“共生有理数对”，则（﹣n，﹣m）____　“共生有理数对”（填“是”或“不是”）；
（3）请再写出一对符合条件的“共生有理数对”为_______　；（注意：不能与题目中已有的“共生有理数对”重复）
（3）若（a，3）是“共生有理数对”，求a的值．
　
【练习2】观察下列两个等式：3+2=3×2﹣1，4+﹣1，给出定义如下：
我们称使等式a+b=ab﹣1成立的一对有理数c，b为“椒江有理数对”，记为（a，b），如：数对（3，2），（4，），都是“椒江有理数对”．
（1）数对（﹣2，1），（5，）中是“椒江有理数对”的是　_____；
（2）若（a，3）是“椒江有理数对”，求a的值；
（3）若（m，n）是“椒江有理数对”，则（﹣n，﹣m）_____“椒江有理数对”（填“是”、“不是”或“不确定”）．
（4）请再写出一对符合条件的“椒江有理数对”　_____　
（注意：不能与题目中已有的“椒江有理数对”重复）
2.3数轴
数轴
数轴：在数学中，可以用一条直线上的点表示数，这条直线叫做数轴．它满足以下要求：
原点：在直线上任取一个点表示数，这个点叫做原点．
原点是数轴的基准点．
正方向：通常规定直线上从原点向右（或上）为正方向，从原点向左（或下）为负方向．
选取适当的长度为单位长度，直线上从原点向右，每隔一个单位长度取一个点，依次表示，，，…；从原点向左，用类似的方法依次表示，，，…．
原点、正方向和单位长度是数轴的三要素．
数轴的画法
画一条水平的直线（一般画水平的数轴）；
在这条直线上适当位置取一实心点作为原点：
确定向右的方向为正方向，用箭头表示；
选取适当的长度作单位长度，用细短线画出，并对应标注各数，同时要注意同一数轴的单位长度要一致．
有理数与数轴的关系
一切有理数都可以用数轴上的点表示出来．
数轴上的点并不全是有理数，如也可以在数轴上表示，但并不是有理数．
正有理数位于原点的右边，负有理数位于原点的左边．
利用数轴比较有理数的大小
在数轴上，右边的点所对应的数总比左边的点所对应的数大．
因此，正数总大于零，负数总小于零，正数大于负数．
【例1】已知有理数a、b、c在数轴上对应的点如图所示，则下列结论正确的是（　　）
A．c+b＞a+b B．cb＜ab C．﹣c+a＞﹣b+a D．ac＞ab
　
【练习1】如图，在数轴上有六个点，且AB=BC=CD=DE=EF，则这条数轴的原点在（　　）
A．在点A，B之间 B．在点B，C之间 C．在点C，D之间 D．在点D，E之间
　　
【巩固】已知点A、B、C分别是数轴上的三个点，点A表示的数是﹣1，点B表示的数是2，且B、C两点间的距离是A、B两点间距离的3倍，则点C表示的数是（　　）
A．11 B．9 C．﹣7 D．﹣7或11
【例2】如图，数轴上点A，B表示的数分别为﹣40，50．现有一动点P以2个单位每秒的速度从点A向B运动，另一动点Q以3个单位每秒的速度从点B向A运动．当AQ=3PQ时，运动的时间为（　　）
A．15秒 B．20秒 C．15秒或25秒 D．15秒或20秒
　
【巩固】一只小球落在数轴上的某点P0，第一次从 p0向左跳1个单位到P1，第二次从P1向右跳2个单位到P2，第三次从P2向左跳3个单位到P3，第四次从P3向右跳4个单位到P4…，若小球从原点出发，按以上规律跳了6次时，它落在数轴上的点P6所表示的数是　3　；若小球按以上规律跳了2n次时，它落在数轴上的点P2n所表示的数恰好是n+2，则这只小球的初始位置点P0所表示的数是　2　．
2.4相反数
相反数
相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数．
一般地，与互为相反数，表示任意一个数，可以是正数、负数，也可以是．
特别地，的相反数是．
相反数是成对出现的．
相反数的几何意义：
互为相反数的两个数在数轴上对应的点应分别位于原点两侧，并且到原点的距离相等．
求任意一个数的相反数，只要在这个数的前面添上“”号即可．
多重符号的化简
一个正数前面不管有多少个“”号，都可以全部去掉；
一个正数前面有偶数个“”号，也可以把“”号全部去掉；
一个正数前面有奇数个“”号，则化简后只保留一个“”号
口诀“奇负偶正”，其中“奇偶”是指正数前面的“”号的个数，“负正”是指化简的最后结果的符号
　
【例1】在左右一条直线共种有100棵树，从左数第35棵树，从最右边数这棵树是第a棵树，则a的相反数是（　　）
A．﹣65 B．﹣66 C．﹣64 D．66
　　
【巩固】下列各组数中，互为相反数的是（　　）
A．﹣1与（﹣1）2 B．（﹣1）2与1 C．2与 D．2与|﹣2|
【例2】a、b互为相反数，则下列成立的是（　　）
A．ab=1 B．a+b=0 C．a=b D．
2.5绝对值
绝对值
绝对值的概念：一般地，数轴上表示数的点与原点的距离叫做数的绝对值，记作．
绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是数轴上表示数的点与原点的距离．
绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；的绝对值是．
即：（1）如果，那么；
（2）如果，那么；
（3）如果，那么．
可整理为：，或，或
绝对值具有非负性，取绝对值的结果总是正数或．
即：
有理数的比较大小
两个负数，绝对值大的反而小．
正数大于零，零大于负数，正数大于负数．
利用数轴：在数轴上，右边的点所对应的数总比左边的点所对应的数大．
【例1】如图，图中数轴的单位长度为1．如果点B，C表示的数的绝对值相等，那么点A表示的数是（　　）
A．﹣4 B．﹣5 C．﹣6 D．﹣2
【练习1】如图，在数轴上，若示有理数a的点在原点的左边，表示有理数b的点在原点的右边，则式子|a﹣b|﹣（﹣b）化简的结果是（　　）
A．a﹣2b B．2a C．a D．﹣a+2b
　
【巩固】若|﹣m|=2018，则m=　±2018　．
　
【例2】已知m、n、p都是整数，且|m﹣n|+|p﹣m|=1，则p﹣n=　±1　．
　
【练习2】若|m|=3，|n|=2且m＞n，则2m﹣n=___　．
【例3】如果一个零件的实际长度为a，测量结果是b，则称|b﹣a|为绝对误差，为相对误差．现有一零件实际长度为5.0cm，测量结果是4.8cm，则本次测量的相对误差是_____　．
　
【巩固】已知数轴上三点A，O，B表示的数分别为﹣3，0，1，点P为数轴上任意一点，其表示的数为x．
（1）如果点P到点A，点B的距离相等，那么x=____　；
（2）当x=_____时，点P到点A，点B的距离之和是6；
（3）若点P到点A，点B的距离之和最小，则x的取值范围是_______；
（4）在数轴上，点M，N表示的数分别为x1，x2，我们把x1，x2之差的绝对值叫做点M，N之间的距离，即MN=|x1﹣x2|．若点P以每秒3个单位长度的速度从点O沿着数轴的负方向运动时，点E以每秒1个单位长度的速度从点A沿着数轴的负方向运动、点F以每秒4个单位长度的速度从点B沿着数轴的负方向运动，且三个点同时出发，那么运动______秒时，点P到点E，点F的距离相等．
综合练习
一．选择题（共6小题）
1．若数轴上表示数﹣3和1的两点分别是点A和点B，则点A和点B之间的距离是（　　）
A．﹣4 B．﹣2 C．2 D．4
2．如果实数a满足|a|＝3，且a＜0，那么a的值为（　　）
A．±3 B．1 C．3 D．﹣3
3．下列各对数中互为相反数的是（　　）
A．﹣（+3）和+（﹣3） B．+（﹣3）和+|﹣3|
C．﹣（﹣3）和+|﹣3| D．+（﹣3）和﹣|+3|
4．有理数a、b在数轴上的对应位置如图所示，则下列四个选项正确的是（　　）
A．a＜b＜﹣b＜﹣a B．a＜﹣b＜﹣a＜b C．a﹣b＞0 D．﹣a+b＞0
5．有理数a、b在数轴上的位置如图所示，则化简|a﹣b|﹣2|a|的结果为（　　）
A．﹣a﹣b B．3a﹣b C．a+b D．2a﹣b
6．已知a，b两数在数轴上对应的点如图所示，下列结论正确的是（　　）
A．a+b＞0 B．﹣a+b＞0 C．ab＜0 D．﹣a﹣b＞0
二．填空题（共1小题）
7．有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简|a﹣c|﹣|c﹣b|+|b|＝　 　．
三．解答题（共1小题）
8．快递配送员王叔叔一直在一条南北走向的街道上送快递，如果规定向北为正，向南为负，某天他从出发点开始所行走的路程记录为（长度单位：千米）：+3，﹣4，+2．+3．﹣1，﹣1，﹣3
（1）这天送完最后一个快递时，王叔叔在出发点的什么方向，距离是多少？
（2）如果王叔叔送完快递后，需立即返回出发点，那么他这天送快递（含返回）共耗油多少升（已知每千米耗油0.2升）？
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第2讲 有理数
2.1正数与负数
正数与负数
正数：像，，这样大于的数叫做正数．
正数都大于．
负数：像，这样在正数前加上符号“”（负）号的数叫做负数．
负数都小于．
符号：一个数前面的“”，“”号叫做它的符号．
正数前面的“” 号可以省略，注意与表示是同一个正数．
负数前面的“” 号不可以省略．
用正数和负数表示具有相反意义的量：
如果正数表示某种意义，那么负数表示它的相反意义，反之亦然．
比如：用正数表示向南，那么向北可以用负数表示为．
“相反意义的量”包括两个方面的含意：一是相反意义；二是要有量．
“”的特殊性
既不是正数，也不是负数；
是正数与负数的分界；
是自然数；
的意义：
有时表示没有，比如文具盒中有支铅笔，表示没有铅笔；
有时是一个数，比如是一个确定的温度；
有时也作为基准，比如海拔高度为表示的是海平面的平均高度．
常见名词：
非负数：正数和零统称为非负数；
非正数：负数和零统称为非正数；
【例1】某大米包装袋上标注着“净含量10kg±150g”，小华从商店买了2袋大米，这两袋大米相差的克数不可能是（　　）
A．100g B．150g C．300g D．400g
【解答】解：根据题意得：
10+0.15=10.15（kg），
10﹣0.15=9.85（kg），
因为两袋两大米最多差10.15﹣9.85=0.3（kg）=300（g），
所以这两袋大米相差的克数不可能是400g；
故选：D．
　
【练习1】四个足球与足球规定质量偏差如下：（超过为正，不足为负）．质量相对最合规定的是（　　）
A．+10 B．﹣20 C．﹣3 D．+5
【解答】解：∵|﹣3|＜|+5|＜|+10|＜|﹣20|，
∴质量相对最合规定的是﹣3，
故选：C．
【例2】如图，一只甲虫在5×5的方格（每小格边长为1）上沿着网格线运动，它从A处出发去看望B、C、D处的其它甲虫，规定：向上向右走为正，向下向左走为负．例如从A到B记为：A→B（+1，+4），从D到C记为：D→C（﹣1，+2），其中第一个数表示左右方向，第二个数表示上下方向．
（1）图中A→C（___，___），B→C（____，____），
D→____（﹣4，﹣2）；
（2）若这只甲虫从A处去P处的行走路线依次为（+2，+2），（+2，﹣1），（﹣2，+3），（﹣1，﹣2），请在图中标出P的位置；
（3）若这只甲虫的行走路线为A→B→C→D，请计算该甲虫走过的路程．
【解答】解：（1）规定：向上向右走为正，向下向左走为负∴A→C记为（3，4）B→C记为（2，0）D→A记为（﹣4，﹣2）；
（2）P点位置如图所示．
（3）据已知条件可知：A→B表示为：（1，4），B→C记为（2，0）C→D记为（1，﹣1）；
该甲虫走过的路线长为1+4+2+1+1=9．
故答案为：（3，4）；（2，0）；A；
　
【练习2】如图，一只甲虫在5×5的方格（每小格边长为1）上沿着网格线运动．它从A处出发去看望B、C、D处的其它甲虫，规定：向上向右走均为正，向下向左走均为负．如果从A到B记为：A→B（+1，+4），从B到A记为：B→A（﹣1，﹣4），其中第一个数表示左右方向，第二个数表示上下方向．
（1）图中A→C（　+3　，　+4　），B→C（　+2　，　0　），C→　D　（+1，﹣2）；
（2）若这只甲虫从A处去甲虫P处的行走路线依次为（+2，+2），（+2，﹣1），（﹣2，+3），（﹣1，﹣2），请在图中标出P的位置；
（3）若这只甲虫的行走路线为A→B→C→D，请计算该甲虫走过的路程．
（4）若图中另有两个格点M、N，且M→A（3﹣a，b﹣4），M→N（5﹣a，b﹣2），则N→A应记为什么？
【解答】解：（1）图中A→C（+3，+4），B→C（+2，0），C→D（+1，﹣2）；
故答案为：（+3，+4），（+2，0），D；
（2）P点位置如图1所示；
（3）如图2，根据已知条件可知：
A→B表示为：（1，4），B→C记为（2，0）C→D记为（1，﹣2）；
则该甲虫走过的路线长为：1+4+2+1+2=10；
（4）由M→A（3﹣a，b﹣4），M→N（5﹣a，b﹣2），
所以，5﹣a﹣（3﹣a）=2，b﹣2﹣（b﹣4）=2，
所以，点A向右走2个格点，向上走2个格点到点N，
所以，N→A应记为（﹣2，﹣2）．
　
2.2有理数
有理数
整数：正整数、、负整数统称为整数．
所有的正整数组成正整数集合，所有的负整数组成负整数集合．
分数：正分数、负分数统称为分数．
有限小数和无限循环小数可以化为分数，所以我们也把它们看成分数．
有理数：整数和分数统称为有理数．
有理数的分类：
（1）
（2）
【例1】观察下面一列数：﹣1，2，﹣3，4，﹣5，6，﹣7，…将这列数排成下列形式：
按照上述规律排下去，那么第10行从左边数第9个数是___；数﹣201是第____　行从左边数第____个数．
【解答】解：根据题意，每一行最末的数字的绝对值是行数的平方，且奇数前带有负号，偶数前是正号；
如第四行最末的数字是42=16，第9行最后的数字是﹣81，
∴第10行从左边数第9个数是81+9=90，
∵﹣201=﹣（142+5），
∴是第15行从左边数第5个数．
故应填：90；15；5．
　
【练习1】阅读下而文字，根据所给信息解答下面问题：把几个数用大括号括起来，中间用返号隔开，如：{3，4}；{﹣3，6，8，18}，其中大括号内的数称其为集合的元素．如果一个集合满足：只要其中有一个元素a，使得﹣2a+4也是这个集合的元素，这样的集合称为条件集合．例如；{3，﹣2}，因为﹣2×3+4=﹣2，﹣2恰好是这个集合的元素
所以吕{3，﹣2}是条件集合：例如；（﹣2，9，8，}，因为﹣2×（﹣2）+4=8，8恰好是这个集合的元素，所以{﹣2，9，8，}是条件集合．
（1）集合{﹣4，12}是否是条件集合？
（2）集合{，﹣，}是否是条件集合？
（3）若集合{8，n}和{m}都是条件集合．求m、n的值．
【解答】解：（1）∵﹣2×（﹣4）+4=12，
∴集合{﹣4，12}是条件集合；
（2）∵﹣2×（﹣）+4=，
∴{，，是条件集合；
（3）∵集合{8，n}和{m}都是条件集合，
∴当﹣2×8+4=n，解得：n=12；
当﹣2n+4=8，解得：n=﹣2；
当﹣2n+4=n，解得：n=；
当﹣2m+4=m，解得：m=．
【例2】观察下列两个等式：2﹣=2×+1，5﹣=5×+1，给出定义如下：我们称使等式a﹣b=ab+1的成立的一对有理数a，b为“共生有理数对”，记为（a，b），如：数对（2，），（5，），都是“共生有理数对”．
（1）数对（﹣2，1），（3，）中是“共生有理数对”的是　（3，）　；
（2）若（m，n）是“共生有理数对”，则（﹣n，﹣m）____　“共生有理数对”（填“是”或“不是”）；
（3）请再写出一对符合条件的“共生有理数对”为_______　；（注意：不能与题目中已有的“共生有理数对”重复）
（3）若（a，3）是“共生有理数对”，求a的值．
【解答】解：（1）﹣2﹣1=﹣3，﹣2×1+1=1，
∴﹣2﹣1≠﹣2×1+1，
∴（﹣2，1）不是“共生有理数对”，
∵3﹣=，3×+1=，
∴3﹣=3×=1，
∴（3，）是“共生有理数对”；
（2）是．
理由：﹣m﹣（﹣m）=﹣n+m，
﹣n （﹣m）+1=mn+1，
∵（m，n）是“共生有理数对”，
∴m﹣n=mn+1，
∴﹣n+m=mn+1，
∴（﹣n，﹣m）是“共生有理数对”；
（3）（4，）或（6，）等；
（4）由题意得：
a﹣3=3a+1，
解得a=﹣2．
故答案为：（3，）；是；（4，）或（6，）．
　
【练习2】观察下列两个等式：3+2=3×2﹣1，4+﹣1，给出定义如下：
我们称使等式a+b=ab﹣1成立的一对有理数c，b为“椒江有理数对”，记为（a，b），如：数对（3，2），（4，），都是“椒江有理数对”．
（1）数对（﹣2，1），（5，）中是“椒江有理数对”的是　_____；
（2）若（a，3）是“椒江有理数对”，求a的值；
（3）若（m，n）是“椒江有理数对”，则（﹣n，﹣m）_____“椒江有理数对”（填“是”、“不是”或“不确定”）．
（4）请再写出一对符合条件的“椒江有理数对”　_____　
（注意：不能与题目中已有的“椒江有理数对”重复）
【解答】解：（1）﹣2+1=﹣1，﹣2×1﹣1=﹣3，
∴﹣2+1≠﹣2×1﹣1，
∴（﹣2，1）不是“共生有理数对”，
∵5+=，5×﹣1=，
∴5+=5×﹣1，
∴（5，）中是“椒江有理数对”；
（2）由题意得：
a+3=3a﹣1，
解得a=2．
（3）不是．
理由：﹣n+（﹣m）=﹣n﹣m，
﹣n （﹣m）﹣1=mn﹣1
∵（m，n）是“椒江有理数对”
∴m+n=mn﹣1
∴﹣n﹣m=﹣（mn﹣1）m
∴（﹣n，﹣m）不是“椒江有理数对”，
（4）（5，1.5）等．
故答案为：（5，）；不是；（5，1.5）．
2.3数轴
数轴
数轴：在数学中，可以用一条直线上的点表示数，这条直线叫做数轴．它满足以下要求：
原点：在直线上任取一个点表示数，这个点叫做原点．
原点是数轴的基准点．
正方向：通常规定直线上从原点向右（或上）为正方向，从原点向左（或下）为负方向．
选取适当的长度为单位长度，直线上从原点向右，每隔一个单位长度取一个点，依次表示，，，…；从原点向左，用类似的方法依次表示，，，…．
原点、正方向和单位长度是数轴的三要素．
数轴的画法
画一条水平的直线（一般画水平的数轴）；
在这条直线上适当位置取一实心点作为原点：
确定向右的方向为正方向，用箭头表示；
选取适当的长度作单位长度，用细短线画出，并对应标注各数，同时要注意同一数轴的单位长度要一致．
有理数与数轴的关系
一切有理数都可以用数轴上的点表示出来．
数轴上的点并不全是有理数，如也可以在数轴上表示，但并不是有理数．
正有理数位于原点的右边，负有理数位于原点的左边．
利用数轴比较有理数的大小
在数轴上，右边的点所对应的数总比左边的点所对应的数大．
因此，正数总大于零，负数总小于零，正数大于负数．
【例1】已知有理数a、b、c在数轴上对应的点如图所示，则下列结论正确的是（　　）
A．c+b＞a+b B．cb＜ab C．﹣c+a＞﹣b+a D．ac＞ab
【解答】解：由数轴上各点的位置判断：c＜b＜0＜a，|b|＜|a|＜|c|，
A．c+b＜0，a+b＞0，所以c+b＜a+b，故该选项错误；
B．c，b同号，所以cb＞0，同理，ab＜0，所以cb＜ab，故该选项错误；
C．﹣c＞0，﹣b＞0，a＞0，因为|c|＞|b|，所以﹣c＞﹣b，不等式两边同时加a，不等号方向不变，故该选项正确；
D．c＜b，所以不等式两边同时乘以正数a，不等号的方向不变，故该选项错误；
故选：C．
　
【练习1】如图，在数轴上有六个点，且AB=BC=CD=DE=EF，则这条数轴的原点在（　　）
A．在点A，B之间 B．在点B，C之间 C．在点C，D之间 D．在点D，E之间
【解答】解：∵|11﹣（﹣5）|=16，AB=BC=CD=DE=EF，
∴AB=BC=CD=DE=EF==3.2，
∴这条数轴的原点在B与C之间．
故选：B．
　　
【巩固】已知点A、B、C分别是数轴上的三个点，点A表示的数是﹣1，点B表示的数是2，且B、C两点间的距离是A、B两点间距离的3倍，则点C表示的数是（　　）
A．11 B．9 C．﹣7 D．﹣7或11
【解答】解：如图所示：
∵点A表示的数是﹣1，点B表示的数是2，
∴A、B两点间距离为3，
∵B、C两点间的距离是A、B两点间距离的3倍，
∴BC=9，
故点C表示的数是：﹣7或11．
故选：D．
【例2】如图，数轴上点A，B表示的数分别为﹣40，50．现有一动点P以2个单位每秒的速度从点A向B运动，另一动点Q以3个单位每秒的速度从点B向A运动．当AQ=3PQ时，运动的时间为（　　）
A．15秒 B．20秒 C．15秒或25秒 D．15秒或20秒
【解答】解：设运动的时间为t 秒，
P、Q相遇前，
依题意有
50﹣（﹣40）﹣3t=3[50﹣（﹣40）﹣2t﹣3t]，
解得t=15；
P、Q相遇后，
依题意有
50﹣（﹣40）﹣3t=3t=3[2t+3t﹣50+（﹣40）]，
解得t=20．
故运动的时间为15秒或20秒．
故选：D．
　
【巩固】一只小球落在数轴上的某点P0，第一次从 p0向左跳1个单位到P1，第二次从P1向右跳2个单位到P2，第三次从P2向左跳3个单位到P3，第四次从P3向右跳4个单位到P4…，若小球从原点出发，按以上规律跳了6次时，它落在数轴上的点P6所表示的数是　3　；若小球按以上规律跳了2n次时，它落在数轴上的点P2n所表示的数恰好是n+2，则这只小球的初始位置点P0所表示的数是　2　．
【解答】解：由题意可得，
小球从原点出发，按以上规律跳了6次时，它落在数轴上的点P6所表示的数是6÷2=3，
小球按以上规律跳了2n次时，它落在数轴上的点P2n所表示的数恰好是n+2，则这只小球的初始位置点P0所表示的数是：n+2﹣（2n÷2）=2，
故答案为：3，2．
2.4相反数
相反数
相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数．
一般地，与互为相反数，表示任意一个数，可以是正数、负数，也可以是．
特别地，的相反数是．
相反数是成对出现的．
相反数的几何意义：
互为相反数的两个数在数轴上对应的点应分别位于原点两侧，并且到原点的距离相等．
求任意一个数的相反数，只要在这个数的前面添上“”号即可．
多重符号的化简
一个正数前面不管有多少个“”号，都可以全部去掉；
一个正数前面有偶数个“”号，也可以把“”号全部去掉；
一个正数前面有奇数个“”号，则化简后只保留一个“”号
口诀“奇负偶正”，其中“奇偶”是指正数前面的“”号的个数，“负正”是指化简的最后结果的符号
　
【例1】在左右一条直线共种有100棵树，从左数第35棵树，从最右边数这棵树是第a棵树，则a的相反数是（　　）
A．﹣65 B．﹣66 C．﹣64 D．66
【解答】解：由题意，得
a=100﹣34=66，
a的相反数是﹣66，
故选：B．
　　
【巩固】下列各组数中，互为相反数的是（　　）
A．﹣1与（﹣1）2 B．（﹣1）2与1 C．2与 D．2与|﹣2|
【解答】解：A、（﹣1）2=1，1与﹣1 互为相反数，正确；
B、（﹣1）2=1，故错误；
C、2与互为倒数，故错误；
D、2=|﹣2|，故错误；
故选：A．
【例2】a、b互为相反数，则下列成立的是（　　）
A．ab=1 B．a+b=0 C．a=b D．
【解答】解：因为a、b互为相反数，
所以a+b=0，
故选：B．
2.5绝对值
绝对值
绝对值的概念：一般地，数轴上表示数的点与原点的距离叫做数的绝对值，记作．
绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是数轴上表示数的点与原点的距离．
绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；的绝对值是．
即：（1）如果，那么；
（2）如果，那么；
（3）如果，那么．
可整理为：，或，或
绝对值具有非负性，取绝对值的结果总是正数或．
即：
有理数的比较大小
两个负数，绝对值大的反而小．
正数大于零，零大于负数，正数大于负数．
利用数轴：在数轴上，右边的点所对应的数总比左边的点所对应的数大．
【例1】如图，图中数轴的单位长度为1．如果点B，C表示的数的绝对值相等，那么点A表示的数是（　　）
A．﹣4 B．﹣5 C．﹣6 D．﹣2
【解答】解：因为点B，C表示的数的绝对值相等，即到原点的距离相等，
所以点B，C表示的数分别为﹣2，2，
所以点A表示的数是﹣2﹣2=﹣4．故选A．
　
【练习1】如图，在数轴上，若示有理数a的点在原点的左边，表示有理数b的点在原点的右边，则式子|a﹣b|﹣（﹣b）化简的结果是（　　）
A．a﹣2b B．2a C．a D．﹣a+2b
【解答】解：由数轴可得：a＜0＜b，
∴a﹣b＜0，
∴|a﹣b|﹣（﹣b）=﹣（a﹣b）+b=﹣a+b+b=﹣a+2b，
故选：D．
　
【巩固】若|﹣m|=2018，则m=　±2018　．
【解答】解：因为|﹣m|=|m|，
又因为|±2018|=2018，
所以m=±2018
故答案为：±2018
　
【例2】已知m、n、p都是整数，且|m﹣n|+|p﹣m|=1，则p﹣n=　±1　．
【解答】解：因为m，n，p都是整数，|m﹣n|+|p﹣m|=1，则有：
①|m﹣n|=1，p﹣m=0；解得p﹣n=±1；
②|p﹣m|=1，m﹣n=0；解得p﹣n=±1．
综合上述两种情况可得：p﹣n=±1．
故答案为：±1．
　
【练习2】若|m|=3，|n|=2且m＞n，则2m﹣n=___　．
【解答】解：∵|m|=3，|n|=2且m＞n，
∴m=3，n=±2，
（1）m=3，n=2时，
2m﹣n=2×3﹣2=4
（2）m=3，n=﹣2时，
2m﹣n=2×3﹣（﹣2）=8
故答案为：4或8．
【例3】如果一个零件的实际长度为a，测量结果是b，则称|b﹣a|为绝对误差，为相对误差．现有一零件实际长度为5.0cm，测量结果是4.8cm，则本次测量的相对误差是_____　．
【解答】解：若实际长度为5.0cm，测量结果是4.8cm，
则本次测量的相对误差为=0.04，
故答案为：0.04．
　
【巩固】已知数轴上三点A，O，B表示的数分别为﹣3，0，1，点P为数轴上任意一点，其表示的数为x．
（1）如果点P到点A，点B的距离相等，那么x=____　；
（2）当x=_____时，点P到点A，点B的距离之和是6；
（3）若点P到点A，点B的距离之和最小，则x的取值范围是_______；
（4）在数轴上，点M，N表示的数分别为x1，x2，我们把x1，x2之差的绝对值叫做点M，N之间的距离，即MN=|x1﹣x2|．若点P以每秒3个单位长度的速度从点O沿着数轴的负方向运动时，点E以每秒1个单位长度的速度从点A沿着数轴的负方向运动、点F以每秒4个单位长度的速度从点B沿着数轴的负方向运动，且三个点同时出发，那么运动______秒时，点P到点E，点F的距离相等．
【解答】解：（1）由题意得，|x﹣（﹣3）|=|x﹣1|，
解得x=﹣1；
（2）∵AB=|1﹣（﹣3）|=4，点P到点A，点B的距离之和是6，
∴点P在点A的左边时，﹣3﹣x+1﹣x=6，
解得x=﹣4，
点P在点B的右边时，x﹣1+x﹣（﹣3）=6，
解得x=2，
综上所述，x=﹣4或2；
（3）由两点之间线段最短可知，点P在AB之间时点P到点A，点B的距离之和最小，
所以x的取值范围是﹣3≤x≤1；
（4）设运动时间为t，点P表示的数为﹣3t，点E表示的数为﹣3﹣t，点F表示的数为1﹣4t，
∵点P到点E，点F的距离相等，
∴|﹣3t﹣（﹣3﹣t）|=|﹣3t﹣（1﹣4t）|，
∴﹣2t+3=t﹣1或﹣2t+3=1﹣t，
解得t=或t=2．
故答案为：（1）﹣1；（2）﹣4或2；（3）﹣3≤x≤1；（4）或2．
综合练习
一．选择题（共6小题）
1．若数轴上表示数﹣3和1的两点分别是点A和点B，则点A和点B之间的距离是（　　）
A．﹣4 B．﹣2 C．2 D．4
【解答】解：1﹣（﹣3）＝4
故选：D．
2．如果实数a满足|a|＝3，且a＜0，那么a的值为（　　）
A．±3 B．1 C．3 D．﹣3
【解答】解：∵|a|＝3，且a＜0，
∴a＝﹣3．
故选：D．
3．下列各对数中互为相反数的是（　　）
A．﹣（+3）和+（﹣3） B．+（﹣3）和+|﹣3|
C．﹣（﹣3）和+|﹣3| D．+（﹣3）和﹣|+3|
【解答】解：A、﹣（+3）＝﹣3和+（﹣3）＝﹣3，不是相反数，故此选项错误；
B、+（﹣3）＝﹣3和+|﹣3|＝3，是相反数，符合题意；
C、﹣（﹣3）＝3和+|﹣3|＝3，不是相反数，故此选项错误；
D、+（﹣3）＝﹣3和﹣|+3|＝﹣3，不是相反数，故此选项错误；
故选：B．
4．有理数a、b在数轴上的对应位置如图所示，则下列四个选项正确的是（　　）
A．a＜b＜﹣b＜﹣a B．a＜﹣b＜﹣a＜b C．a﹣b＞0 D．﹣a+b＞0
【解答】解：观察图形可知a＜0＜b，且|a|＞|b|，
∴a＜﹣b＜b＜﹣a
∴答案A、B都错误；
又∵a＜0＜b，
∴a﹣b＜0，b﹣a＞0
故选：D．
5．有理数a、b在数轴上的位置如图所示，则化简|a﹣b|﹣2|a|的结果为（　　）
A．﹣a﹣b B．3a﹣b C．a+b D．2a﹣b
【解答】解：根据题意得，a＜0，b＞0，
∴a﹣b＜0，
∴|a﹣b|﹣2|a|＝b﹣a+2a＝a+b．
故选：C．
6．已知a，b两数在数轴上对应的点如图所示，下列结论正确的是（　　）
A．a+b＞0 B．﹣a+b＞0 C．ab＜0 D．﹣a﹣b＞0
【解答】解：由图可知b＜a＜0，|b|＞|a|，
所以a+b＜0，﹣a+b＜0，ab＞0，﹣a﹣b＞0，
故选：D．
二．填空题（共1小题）
7．有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简|a﹣c|﹣|c﹣b|+|b|＝　﹣a　．
【解答】解：由题可得a﹣c＜0，c﹣b＞0，b＜0，
∴|a﹣c|﹣|c﹣b|+|b|
＝﹣a+c﹣c+b﹣b
＝﹣a．
故答案为：﹣a．
三．解答题（共1小题）
8．快递配送员王叔叔一直在一条南北走向的街道上送快递，如果规定向北为正，向南为负，某天他从出发点开始所行走的路程记录为（长度单位：千米）：+3，﹣4，+2．+3．﹣1，﹣1，﹣3
（1）这天送完最后一个快递时，王叔叔在出发点的什么方向，距离是多少？
（2）如果王叔叔送完快递后，需立即返回出发点，那么他这天送快递（含返回）共耗油多少升（已知每千米耗油0.2升）？
【解答】解：（1）由题意得：
+3﹣4+2+3﹣1﹣1﹣3
＝﹣9+8
＝﹣1
答：王叔叔送完最后一个快递时，在出发点的南方，距离出发点是1km．
（2）设王叔叔总的行驶路程为S，则S＝|+3|+|﹣4|+|+2|+|+3|+|﹣1|+|﹣1|+|﹣3|+|﹣1|＝18
∵每行驶1千米耗油0.2升，
∴耗油量为18×0.2＝3.6
答：王叔叔这天送快递（含返回）共耗油3.6升．
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