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第3讲 有理数的加减
3.1有理数的加法
1.定义：把两个有理数合成一个有理数的运算叫作有理数的加法．
2.法则：（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；
（2）绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．互为相反数的两个数相加得0；
（3）一个数同0相加，仍得这个数．
3.运算律：
有理数加法运算律 加法交换律 文字语言 两个数相加，交换加数的位置，和不变
符号语言 a+b＝b+a
加法结合律 文字语言 三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变
符号语言 (a+b)+c＝a+(b+c)
【例】计算：﹣5+2的结果是（　　）
A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3
【练习】计算：|﹣5+3|的结果是（　　）
A．﹣8 B．8 C．﹣2 D．2
　
【巩固】计算
（1）9+（﹣7）+10+（﹣3）+（﹣9）
（2）12+（﹣14）+6+（﹣7）
（3）﹣
（4）﹣4.2+5.7+（﹣8.7）+4.2．
　
【例】我国是最早认识负数，并进行相关运算的国家．在古代数学名著《九章算术》里，就记载了利用算筹实施“正负术”的方法，图1表示的是计算3+（﹣4）的过程．按照这种方法，图2表示的过程应是在计算（　　）
A．（﹣5）+（﹣2） B．（﹣5）+2 C．5+（﹣2） D．5+2
【例】如图表格是一个4×4的奇妙方阵； 从这个方阵中选四个数（其中任何两个既不在同一行，也不在同一列），虽然有很多种选法，但每次选出的四个数相加，其和是一个定值．则方阵中空白处的数是（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
3．2 有理数的减法
1.定义： 已知两个数的和与其中一个加数，求另一个加数的运算，叫做减法，例如：(-5)+ ＝7，求？，减法是加法的逆运算．
注意：（1）任意两个数都可以进行减法运算．
（2） 几个有理数相减，差仍为有理数，差由两部分组成：①性质符号；②数字即数的绝对值．
2.法则：减去一个数，等于加这个数的相反数，即有：．
注意： 将减法转化为加法时，注意同时进行的两变，一变是减法变加法；二变是把减数变为它的相反数”．如：
【例】﹣的结果是（　　）
A． B．﹣ C．﹣ D．
　
【练习】﹣10﹣4的结果是（　　）
A．﹣7 B．7 C．﹣14 D．13
【巩固】﹣|1﹣1|的计算结果为（　　）
A． B． C． D．
　【例】若|x|=|﹣2|，则x=____；已知|a|=5，|b|=7，且|a+b|=a+b，则a﹣b的值为_____．
【巩固】计算：0.47﹣4﹣（﹣1.53）﹣1．
　
【练习】（﹣）﹣（﹣3）﹣（﹣2）﹣（+5）
　
【例】已知|a|=8，|b|=6且|a﹣b|=b﹣a，则a+b=_____
3．3 有理数的加减混合运算
将加减法统一成加法运算，适当应用加法运算律简化计算.
【例】计算0﹣（﹣5）﹣（+1.71）+（4.71）的结果是（　　）
A．7 B．﹣8 C．8 D．﹣7
　
【练习】算式112﹣112+112的值为（　　）
A．﹣112 B．112 C．0 D．108
　
【巩固】下列各式结果等于3的是（　　）
A．（﹣2）﹣（﹣9）+（+3）﹣（﹣1） B．0﹣1+2﹣3+4﹣5
C．4.5﹣2.3+2.5﹣3.7+2 D．﹣2﹣（﹣7）+（﹣6）+0+（+3）
【练习】﹣（﹣5）+16+（﹣15.5）﹣（﹣3）=______．
　
【练习】计算：=______　．
【例】规定图形表示运算a﹣b+c，图形表示运算x+z﹣y﹣w．则+=　______（直接写出答案）．
　
【练习】101﹣102+103﹣104+…+199﹣200=______．
　【例】计算|﹣|+|﹣|+|﹣|﹣|﹣|=_____．
【练习】计算（1+3+5+…+2013+2015）﹣（2+4+6+…+2014+2016）=（　　）
A．0 B．﹣1 C．1008 D．﹣1008
【例】计算：1﹣2﹣3+4+5﹣6﹣7+8+…+2013﹣2014﹣2015+2016=______．
【练习】2.5+（﹣2）﹣1.75+（﹣）=_____．
【练习】古代埃及人在进行分数运算时，只使用分子是1的分数，因此这种分数也叫做埃及分数．我们注意到，某些真分数恰好可以写成两个埃及分数的和，例如：=+．
（1）请将写成两个埃及分数的和的形式_____；
（2）若真分数可以写成两个埃及分数和的形式，请写出两个x不同的取值_____．
综合练习
一．选择题（共3小题）
1．计算：﹣1﹣的值为（　　）
A． B．﹣ C． D．﹣
2．已知a＝5，|b|＝8，且满足a+b＜0，则a﹣b的值为（　　）
A．3 B．﹣3 C．﹣13 D．13
3．下列计算结果等于4的是（　　）
A．|（﹣9）+（+5）| B．|（+9）﹣（﹣5）| C．|﹣9|+|+5| D．|+9|+|﹣5|
二．填空题（共1小题）
4．如图，方格中的格子填上数，使得每一行、每一列以及两条对角线所填的数字之和均相等，则x的值为　 　．
三．解答题（共3小题）
5．定义：对于确定位置的三个数：a，b，c，计算a﹣b，，，将这三个数的最小值称为a，b，c的“分差”，例如，对于1，﹣2，3，因为1﹣（﹣2）＝3，＝﹣1，＝﹣，所以1，﹣2，3的“分差”为﹣．
（1）﹣2，﹣4，1的“分差”为　 　；
（2）调整“﹣2，﹣4，1”这三个数的位置，得到不同的“分差”，那么这些不同“分差”中的最大值是　 　；
（3）调整﹣1，6，x这三个数的位置，得到不同的“分差”，若其中的一个“分差”为2，求x的值．
6．（﹣1）﹣1+（﹣2）﹣（﹣3）﹣（﹣1）+4．
7．下表记录的是今年长江某一周内的水位变化情况，这一周的上周末的水位已达到警戒水位33米（正号表示水位比前一天上升，负号表示水位比前一天下降）．
星期 一 二 三 四 五 六
水位 变化（米） +0.2 +0.8 ﹣0.4 +0.2 +0.3 ﹣0.2
（1）本周哪一天长江的水位最高？位于警戒水位之上还是之下？
（2）与上周周末相比，本周周末长江的水位是上升了还是下降了？并通过计算说明理由．
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第3讲 有理数的加减
3.1有理数的加法
1.定义：把两个有理数合成一个有理数的运算叫作有理数的加法．
2.法则：（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；
（2）绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．互为相反数的两个数相加得0；
（3）一个数同0相加，仍得这个数．
3.运算律：
有理数加法运算律 加法交换律 文字语言 两个数相加，交换加数的位置，和不变
符号语言 a+b＝b+a
加法结合律 文字语言 三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变
符号语言 (a+b)+c＝a+(b+c)
【例】计算：﹣5+2的结果是（　　）
A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3
【解答】解：﹣5+2=﹣（5﹣2）=﹣3．
故选：A．
【练习】计算：|﹣5+3|的结果是（　　）
A．﹣8 B．8 C．﹣2 D．2
【解答】解：原式=|﹣2|=2，
故选：D．
　
【巩固】计算
（1）9+（﹣7）+10+（﹣3）+（﹣9）
（2）12+（﹣14）+6+（﹣7）
（3）﹣
（4）﹣4.2+5.7+（﹣8.7）+4.2．
【解答】解：（1）原式=9﹣7+10﹣3﹣9=0；
（2）原式=12﹣14+6﹣7=﹣3；
（3）原式=﹣﹣﹣+=﹣1﹣=﹣1；
（4）原式=﹣4.2+4.2+5.7﹣8.7=﹣3．
　
【例】我国是最早认识负数，并进行相关运算的国家．在古代数学名著《九章算术》里，就记载了利用算筹实施“正负术”的方法，图1表示的是计算3+（﹣4）的过程．按照这种方法，图2表示的过程应是在计算（　　）
A．（﹣5）+（﹣2） B．（﹣5）+2 C．5+（﹣2） D．5+2
【解答】解：由图1知：白色表示正数，黑色表示负数，
所以图2表示的过程应是在计算5+（﹣2），
故选：C．
【例】如图表格是一个4×4的奇妙方阵； 从这个方阵中选四个数（其中任何两个既不在同一行，也不在同一列），虽然有很多种选法，但每次选出的四个数相加，其和是一个定值．则方阵中空白处的数是（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
【解答】解：设空白处的数为x，
则1﹣2+x+6=4﹣1+6+3，
解得：x=7，
故选：C．
3．2 有理数的减法
1.定义： 已知两个数的和与其中一个加数，求另一个加数的运算，叫做减法，例如：(-5)+ ＝7，求？，减法是加法的逆运算．
注意：（1）任意两个数都可以进行减法运算．
（2） 几个有理数相减，差仍为有理数，差由两部分组成：①性质符号；②数字即数的绝对值．
2.法则：减去一个数，等于加这个数的相反数，即有：．
注意： 将减法转化为加法时，注意同时进行的两变，一变是减法变加法；二变是把减数变为它的相反数”．如：
【例】﹣的结果是（　　）
A． B．﹣ C．﹣ D．
【解答】解：﹣=﹣=﹣（﹣）=﹣，
故选：C．
　
【练习】﹣10﹣4的结果是（　　）
A．﹣7 B．7 C．﹣14 D．13
【解答】解：﹣10﹣4=﹣14．
故选：C．
【巩固】﹣|1﹣1|的计算结果为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：原式=﹣，
故选：B．
　【例】若|x|=|﹣2|，则x=____；已知|a|=5，|b|=7，且|a+b|=a+b，则a﹣b的值为_____．
【解答】解：∵|x|=|﹣2|=2，
∴x=2或x=﹣2；
∵|a|=5，|b|=7，
∴a=±5、b=±7，
又∵|a+b|=a+b，
∴a+b≥0，
则a=5、b=7或a=﹣5、b=7，
当a=5、b=7时，a﹣b=5﹣7=﹣2；
当a=﹣5、b=7时，a﹣b=﹣5﹣7=﹣12；
故答案为：±2，﹣2或﹣12
【巩固】计算：0.47﹣4﹣（﹣1.53）﹣1．
【解答】解：0.47﹣4﹣（﹣1.53）﹣1
=0.47﹣4+1.53﹣1
=0.47+1.53﹣4﹣1
=2﹣6
=﹣4．
　
【练习】（﹣）﹣（﹣3）﹣（﹣2）﹣（+5）
【解答】解：（﹣）﹣（﹣3）﹣（﹣2）﹣（+5），
=﹣+3+2﹣5，
=﹣﹣5+3+2，
=﹣6+6，
=0．
　
【例】已知|a|=8，|b|=6且|a﹣b|=b﹣a，则a+b=_____
【解答】解：∵|a|=8，|b|=6且|a﹣b|=b﹣a，
∴b﹣a≥0，
∴当a=8时，b取±6都不合题意，
当a=﹣8时，b=±6都符合题意，
则a+b=﹣14或﹣2．
故答案为：﹣14或﹣2．
3．3 有理数的加减混合运算
将加减法统一成加法运算，适当应用加法运算律简化计算.
【例】计算0﹣（﹣5）﹣（+1.71）+（4.71）的结果是（　　）
A．7 B．﹣8 C．8 D．﹣7
【解答】解：原式=0+5+（﹣1.71）+4.71
=5+3
=8，
故选：C．
　
【练习】算式112﹣112+112的值为（　　）
A．﹣112 B．112 C．0 D．108
【解答】解：112﹣112+112
=112+﹣112﹣+112+
=112+（﹣+）
=112，
故选：B．
　
【巩固】下列各式结果等于3的是（　　）
A．（﹣2）﹣（﹣9）+（+3）﹣（﹣1） B．0﹣1+2﹣3+4﹣5
C．4.5﹣2.3+2.5﹣3.7+2 D．﹣2﹣（﹣7）+（﹣6）+0+（+3）
【解答】解：（﹣2）﹣（﹣9）+（+3）﹣（﹣1）
=（﹣2）+（+9）+（+3）+（+1）
=（﹣2）+13
【练习】﹣（﹣5）+16+（﹣15.5）﹣（﹣3）=______．
【解答】解：﹣（﹣5）+16+（﹣15.5）﹣（﹣3）
=（5﹣15.5）+（16+3）
=﹣10+20
=10．
故答案为：10．
　
【练习】计算：=______　．
【解答】解：
=﹣+﹣﹣
【例】规定图形表示运算a﹣b+c，图形表示运算x+z﹣y﹣w．则+=　______（直接写出答案）．
【解答】解：根据题意得：1﹣2+3+4+6﹣5﹣7=0．
故答案为：0．
　
=1﹣
=﹣，
故答案为：﹣．
　
【练习】101﹣102+103﹣104+…+199﹣200=______．
【解答】解：原式=（﹣1）+（﹣1）+…+（﹣1）=﹣50，
故答案为：﹣50
　【例】计算|﹣|+|﹣|+|﹣|﹣|﹣|=_____．
【解答】解：|﹣|+|﹣|+|﹣|﹣|﹣|
=﹣+﹣+﹣﹣（﹣）
=﹣+﹣+﹣﹣+
=0
故答案为：0．
【练习】计算（1+3+5+…+2013+2015）﹣（2+4+6+…+2014+2016）=（　　）
A．0 B．﹣1 C．1008 D．﹣1008
【解答】解：（1+3+5+…+2013+2015）﹣（2+4+6+…+2014+2016）
=（1﹣2）+（3﹣4）+…+（2015﹣2016）
=（﹣1）+（﹣1）+…+（﹣1）
=﹣1008
故选：D．
【例】计算：1﹣2﹣3+4+5﹣6﹣7+8+…+2013﹣2014﹣2015+2016=______．
【解答】解：1﹣2﹣3+4+5﹣6﹣7+8+…+2013﹣2014﹣2015+2016
=（1﹣2﹣3+4）+（5﹣6﹣7+8）+…+（2009﹣2010﹣2011+2012）+（2013﹣2014﹣2015+2016）
=0．
故答案为：0．
【练习】2.5+（﹣2）﹣1.75+（﹣）=_____．
【解答】解：原式=2.5﹣2.25﹣1.75﹣0.5=2.5﹣0.5﹣（2.25+1.75）=2﹣4=﹣2，
故答案为：﹣2．
【练习】古代埃及人在进行分数运算时，只使用分子是1的分数，因此这种分数也叫做埃及分数．我们注意到，某些真分数恰好可以写成两个埃及分数的和，例如：=+．
（1）请将写成两个埃及分数的和的形式_____；
（2）若真分数可以写成两个埃及分数和的形式，请写出两个x不同的取值_____．
【解答】解：（1）∵只使用分子是1的分数，因此这种分数也叫做埃及分数，
∴，
故答案为：．
（2）∵，
∴x=36或42，
故答案为：36或42．
综合练习
一．选择题（共3小题）
1．计算：﹣1﹣的值为（　　）
A． B．﹣ C． D．﹣
【解答】解：﹣1﹣＝﹣1+（﹣）＝﹣，
故选：D．
2．已知a＝5，|b|＝8，且满足a+b＜0，则a﹣b的值为（　　）
A．3 B．﹣3 C．﹣13 D．13
【解答】解：∵|b|＝8，
∴b＝±8，
又∵a＝5，a+b＜0，
∴b＝﹣8，
则a﹣b＝5﹣（﹣8）＝13，
故选：D．
3．下列计算结果等于4的是（　　）
A．|（﹣9）+（+5）| B．|（+9）﹣（﹣5）| C．|﹣9|+|+5| D．|+9|+|﹣5|
【解答】解：A．|（﹣9）+（+5）|＝|﹣4|＝4，此选项符合题意；
B．|（+9）﹣（﹣5）|＝|9+5|＝14，此选项不符合题意；
C．|﹣9|+|+5|＝9+5＝14，此选项不符合题意；
D．|+9|+|﹣5|＝9+5＝14，此选项不符合题意；
故选：A．
二．填空题（共1小题）
4．如图，方格中的格子填上数，使得每一行、每一列以及两条对角线所填的数字之和均相等，则x的值为　﹣1　．
【解答】解：6+1+2﹣1﹣5＝3，
6+1+2﹣6﹣3＝0，
6+1+2﹣0﹣5＝4．
根据题意得：6+1+2＝6+x+4，
解得：x＝﹣1．
故答案为：﹣1．
三．解答题（共3小题）
5．定义：对于确定位置的三个数：a，b，c，计算a﹣b，，，将这三个数的最小值称为a，b，c的“分差”，例如，对于1，﹣2，3，因为1﹣（﹣2）＝3，＝﹣1，＝﹣，所以1，﹣2，3的“分差”为﹣．
（1）﹣2，﹣4，1的“分差”为　　；
（2）调整“﹣2，﹣4，1”这三个数的位置，得到不同的“分差”，那么这些不同“分差”中的最大值是　　；
（3）调整﹣1，6，x这三个数的位置，得到不同的“分差”，若其中的一个“分差”为2，求x的值．
【解答】解：（1）∵a＝﹣2，b＝﹣4，c＝1
∴a﹣b＝﹣2﹣（﹣4）＝2，＝，＝，
∴﹣2，﹣4，1的“分差”为
故答案为：
（2）①若a＝﹣2，b＝1，c＝﹣4
则a﹣b＝﹣2﹣1＝﹣3，＝＝1，＝，
∴﹣2，1，﹣4的“分差”为﹣3
②若a＝﹣4，b＝﹣2，c＝1
则a﹣b＝﹣4﹣（﹣2）＝﹣2，＝，＝
∴﹣4，﹣2，1的“分差”为
③若a＝﹣4，b＝1，c＝﹣2
则a﹣b＝﹣4﹣1＝﹣5，＝，＝
∴﹣4，1，﹣2的“分差”为﹣5
④若a＝1，b＝﹣4，c＝﹣2
则a﹣b＝1﹣（﹣4）＝5，＝，＝
∴1，﹣4，﹣2的“分差”为
⑤若a＝1，b＝﹣2，c＝﹣4
则a﹣b＝1﹣（﹣2）＝3，＝，＝
∴1，﹣2，﹣4的“分差”为
综上所述，这些不同“分差”中的最大值为
故答案为：
（3）∵“分差”为2，﹣1﹣6＝﹣7
∴三个数的顺序不能是﹣1，6，x和﹣1，x，6和x，﹣1，6
①a＝6，b＝x，c＝﹣1，
∴a﹣b＝6﹣x，＝，＝
若6﹣x＝2，得x＝4，＜2，不符合
若，得x＝5，6﹣x＝1＜2，不符合
②a＝6，b＝﹣1，c＝x，
∴a﹣b＝6﹣（﹣1）＝7，＝，＝
若，得x＝2，＜2，不符合
若，得x＝﹣7，＞2，符合
③a＝x，b＝6，c＝﹣1
∴a﹣b＝x﹣6，＝，＝
若x﹣6＝2，得x＝8，＞2，符合
若，得x＝3，x﹣6＝﹣3＜2，不符合
综上所述，x的值为﹣7或8．
6．（﹣1）﹣1+（﹣2）﹣（﹣3）﹣（﹣1）+4．
【解答】解：（﹣1）﹣1+（﹣2）﹣（﹣3）﹣（﹣1）+4
＝﹣﹣﹣+++4
＝﹣4++4
＝．
7．下表记录的是今年长江某一周内的水位变化情况，这一周的上周末的水位已达到警戒水位33米（正号表示水位比前一天上升，负号表示水位比前一天下降）．
星期 一 二 三 四 五 六
水位 变化（米） +0.2 +0.8 ﹣0.4 +0.2 +0.3 ﹣0.2
（1）本周哪一天长江的水位最高？位于警戒水位之上还是之下？
（2）与上周周末相比，本周周末长江的水位是上升了还是下降了？并通过计算说明理由．
【解答】解：（1）正号表示水位比前一天上升，负号表示水位比前一天下降，由此计算出每天的实际水位即可求值．
本周水位最高的为周五，
周一：+0.2，
周二：+0.2+0.8＝+1，
周三：+1﹣0.4＝+0.6，
周四：+0.6+0.2＝+0.8，
周五：+0.8+0.3＝1.1m，
故本周五水位最高高于警戒水位1.1m；
（2）通过表格可得+0.2+0.8﹣0.4+0.2+0.3﹣0.2＝0.9m，
故与上周周末相比，本周周末长江的水位是上升了0.9m．
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