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第3讲 有理数的加减
3.1有理数的加法
1.定义：把两个有理数合成一个有理数的运算叫作有理数的加法．
2.法则：（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；
（2）绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．互为相反数的两个数相加得0；
（3）一个数同0相加，仍得这个数．
3.运算律：
有理数加法运算律 加法交换律 文字语言 两个数相加，交换加数的位置，和不变
符号语言 a+b＝b+a
加法结合律 文字语言 三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变
符号语言 (a+b)+c＝a+(b+c)
【例】计算题
（1）﹣（﹣8）+（﹣32）+（﹣|﹣16|）+（+28）
（2）0.36+（﹣7.4）+0.3+（﹣0.6）+0.64；
（3）（﹣3.5）+（﹣）+（﹣）+（+）+0.75+（﹣）
（4）（+17）+（﹣9）+（﹣2.25）+（﹣17.5）+（﹣10）
（5）1+（﹣2）+3+（﹣4）…+2009+（﹣2010）+2011+（﹣2012）
【例】）若三个有理数a，b，c满足a+b+c=0，且a＞b＞c，则一定有（　　）
A．a＞0，b=0，c＜0 B．a＞0，b＞0，c＜0 C．a＞0，b＜0，c＜0 D．a＞0，c＜0
3．2 有理数的减法
1.定义： 已知两个数的和与其中一个加数，求另一个加数的运算，叫做减法，例如：(-5)+ ＝7，求？，减法是加法的逆运算．
注意：（1）任意两个数都可以进行减法运算．
（2） 几个有理数相减，差仍为有理数，差由两部分组成：①性质符号；②数字即数的绝对值．
2.法则：减去一个数，等于加这个数的相反数，即有：．
注意： 将减法转化为加法时，注意同时进行的两变，一变是减法变加法；二变是把减数变为它的相反数”．如：
【例】（﹣38）﹣（﹣24）﹣（+65）=_____
　
【例】计算1﹣2+3﹣4+5﹣6+7﹣8+…+2009﹣2010的结果是（　　）
A．﹣1005 B．﹣2010 C．0 D．﹣1
　
【例】计算：﹣1+2﹣3+4﹣5+6﹣7+8…﹣95+96﹣97+98﹣99+100=_____．
【练习】设[x]表示不超过x的整数中最大的整数，如：[1.99]=1，[﹣1.02]=﹣2，根据此规律计算：[﹣3.4]﹣[﹣0.6]=______．
【练习】 已知a1+a2=1，a2+a3=2，a3+a4=3，…，a99+a100=99，a100+a1=100，那么a1+a2+a3+…a100=_______．
3．3 有理数的加减混合运算
将加减法统一成加法运算，适当应用加法运算律简化计算.
【例】1﹣2+3﹣4+5﹣6+…+2015﹣2016的结果不可能是（　　）
A．奇数 B．偶数 C．负数 D．整数
　
【练习】计算：1+2﹣3﹣4+5+6﹣7﹣8+…+97+98﹣99﹣100=　_______．
　
【巩固】计算1+2﹣3+4+5﹣6+7+8﹣9+…+1999+2000﹣2001+2002+2003=_______．
　
【例】计算：2﹣22﹣23﹣24﹣…﹣218﹣219+220．
　
【练习】阅读下面的计算过程，体会“拆项法”
计算：﹣5+（﹣9）+17+（﹣3）
解：原式=[（﹣5）+（﹣）]+[（﹣9）+（﹣）]+（17+）+[（﹣3）+（﹣）]
=[（﹣5）+（﹣9）+17+（﹣3）]+（﹣）+（﹣）++（﹣）]
=0+（﹣1）
=﹣1
启发应用
用上面的方法完成下列计算：
（1）（﹣3）+（﹣1）+2﹣（﹣2）；
（2）（﹣2000）+（﹣1999）+4000+（﹣1）．
　
【巩固】计算：
（1）﹣3﹣4+19﹣11
（2）﹣8+12﹣16﹣23
（3）（﹣13）﹣（13）
（4）﹣9+（﹣3）+3
（5）﹣+（﹣）﹣（﹣）﹣（+）
（6）[1.4﹣（﹣3.6+5.2）﹣4.3]﹣（﹣1.5）
（7）8+（﹣）﹣5﹣（﹣0.25）
（8）0.75+（﹣）+0.125+（﹣）+（﹣4）
　
【练习】先阅读第（1）小题，再计算第（2）小题：
（1）计算：﹣1+（﹣5）+24+（﹣3）
解：原式=（﹣1﹣）+（﹣5﹣）+（24+）+（﹣3﹣）
=﹣1﹣﹣5﹣+24+﹣3﹣
=﹣1﹣5﹣3+24﹣﹣+﹣
=15﹣
=13
（2）计算（﹣15）+（﹣19）+14+（﹣1）．
综合练习
一．选择题（共3小题）
1．计算：﹣1﹣的值为（　　）
A． B．﹣ C． D．﹣
2．已知a＝5，|b|＝8，且满足a+b＜0，则a﹣b的值为（　　）
A．3 B．﹣3 C．﹣13 D．13
3．下列计算结果等于4的是（　　）
A．|（﹣9）+（+5）| B．|（+9）﹣（﹣5）| C．|﹣9|+|+5| D．|+9|+|﹣5|
二．填空题（共1小题）
4．如图，方格中的格子填上数，使得每一行、每一列以及两条对角线所填的数字之和均相等，则x的值为　 　．
三．解答题（共3小题）
5．定义：对于确定位置的三个数：a，b，c，计算a﹣b，，，将这三个数的最小值称为a，b，c的“分差”，例如，对于1，﹣2，3，因为1﹣（﹣2）＝3，＝﹣1，＝﹣，所以1，﹣2，3的“分差”为﹣．
（1）﹣2，﹣4，1的“分差”为　 　；
（2）调整“﹣2，﹣4，1”这三个数的位置，得到不同的“分差”，那么这些不同“分差”中的最大值是　 　；
（3）调整﹣1，6，x这三个数的位置，得到不同的“分差”，若其中的一个“分差”为2，求x的值．
6．（﹣1）﹣1+（﹣2）﹣（﹣3）﹣（﹣1）+4．
7．下表记录的是今年长江某一周内的水位变化情况，这一周的上周末的水位已达到警戒水位33米（正号表示水位比前一天上升，负号表示水位比前一天下降）．
星期 一 二 三 四 五 六
水位 变化（米） +0.2 +0.8 ﹣0.4 +0.2 +0.3 ﹣0.2
（1）本周哪一天长江的水位最高？位于警戒水位之上还是之下？
（2）与上周周末相比，本周周末长江的水位是上升了还是下降了？并通过计算说明理由．
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第3讲 有理数的加减
3.1有理数的加法
1.定义：把两个有理数合成一个有理数的运算叫作有理数的加法．
2.法则：（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；
（2）绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．互为相反数的两个数相加得0；
（3）一个数同0相加，仍得这个数．
3.运算律：
有理数加法运算律 加法交换律 文字语言 两个数相加，交换加数的位置，和不变
符号语言 a+b＝b+a
加法结合律 文字语言 三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变
符号语言 (a+b)+c＝a+(b+c)
【例】计算题
（1）﹣（﹣8）+（﹣32）+（﹣|﹣16|）+（+28）
（2）0.36+（﹣7.4）+0.3+（﹣0.6）+0.64；
（3）（﹣3.5）+（﹣）+（﹣）+（+）+0.75+（﹣）
（4）（+17）+（﹣9）+（﹣2.25）+（﹣17.5）+（﹣10）
（5）1+（﹣2）+3+（﹣4）…+2009+（﹣2010）+2011+（﹣2012）
【解答】解：（1）﹣（﹣8）+（﹣32）+（﹣|﹣16|）+（+28）
=8﹣32﹣16+28
=36﹣48
=﹣12；
（2）0.36+（﹣7.4）+0.3+（﹣0.6）+0.64
=（0.36+0.64）+（﹣7.4﹣0.6）+0.3
=1﹣8+0.3
=﹣6.7；
（3）（﹣3.5）+（﹣）+（﹣）+（+）+0.75+（﹣）
=（﹣3.5+）+（﹣﹣）+（﹣+0.75）
=0﹣3+0
=﹣3；
（4）（+17）+（﹣9）+（﹣2.25）+（﹣17.5）+（﹣10）
=（+17﹣2.25﹣17.5）+（﹣9﹣10）
=﹣2﹣20
=﹣22；
（5）1+（﹣2）+3+（﹣4）…+2009+（﹣2010）+2011+（﹣2012）
=（1﹣2）+（3﹣4）…+（2009﹣2010）+（2011﹣2012）
=﹣1×1006
=﹣1006．
【例】若三个有理数a，b，c满足a+b+c=0，且a＞b＞c，则一定有（　　）
A．a＞0，b=0，c＜0 B．a＞0，b＞0，c＜0 C．a＞0，b＜0，c＜0 D．a＞0，c＜0
【解答】解：∵实数a、b、c满足a+b+c=0，且a＞b＞c，
∴a＞0，c＜0，
故选：D．
3．2 有理数的减法
1.定义： 已知两个数的和与其中一个加数，求另一个加数的运算，叫做减法，例如：(-5)+ ＝7，求？，减法是加法的逆运算．
注意：（1）任意两个数都可以进行减法运算．
（2） 几个有理数相减，差仍为有理数，差由两部分组成：①性质符号；②数字即数的绝对值．
2.法则：减去一个数，等于加这个数的相反数，即有：．
注意： 将减法转化为加法时，注意同时进行的两变，一变是减法变加法；二变是把减数变为它的相反数”．如：
【例】（﹣38）﹣（﹣24）﹣（+65）=_____
【解答】解：（﹣38）﹣（﹣24）﹣（+65）
=﹣38+24﹣65
=（﹣38﹣65）+24
=﹣103+24
=﹣79
故答案为：﹣79
　
【例】计算1﹣2+3﹣4+5﹣6+7﹣8+…+2009﹣2010的结果是（　　）
A．﹣1005 B．﹣2010 C．0 D．﹣1
【解答】解：这从1到2010一共2010个数，相邻两个数之差都为﹣1，
所以1﹣2+3﹣4+5﹣6+7﹣8+…+2009﹣2010的结果是﹣1005．
故选：A．
　
【例】计算：﹣1+2﹣3+4﹣5+6﹣7+8…﹣95+96﹣97+98﹣99+100=_____．
【解答】解：﹣1+2﹣3+4﹣5+6﹣7+8…﹣95+96﹣97+98﹣99+100
=（﹣1﹣99）+100+（2+98）+（﹣3﹣97）+（4+96）+（﹣5﹣95）+…+（48+52）+（﹣49﹣51）+50
=50；
故答案为50．
【练习】设[x]表示不超过x的整数中最大的整数，如：[1.99]=1，[﹣1.02]=﹣2，根据此规律计算：[﹣3.4]﹣[﹣0.6]=______．
【解答】解：[﹣3.4]﹣[﹣0.6]
=﹣4﹣（﹣1）
=﹣4+1
=﹣3．
故答案为：﹣3．
【练习】 已知a1+a2=1，a2+a3=2，a3+a4=3，…，a99+a100=99，a100+a1=100，那么a1+a2+a3+…a100=_______．
【解答】解：∵a1+a2=1，a2+a3=2，a3+a4=3，…，a99+a100=99，a100+a1=100，
∴a1+a2+a2+a3+a3+a4…+a99+a100+a100+a1=1+2+3+…+100=5050，
∴a1+a2+a3+a4+a99+a100=5050÷2=2525，．
故答案为：2525．
3．3 有理数的加减混合运算
将加减法统一成加法运算，适当应用加法运算律简化计算.
【例】1﹣2+3﹣4+5﹣6+…+2015﹣2016的结果不可能是（　　）
A．奇数 B．偶数 C．负数 D．整数
【解答】解：1﹣2+3﹣4+5﹣6+…+2015﹣2016
=﹣1﹣1﹣…﹣1
=﹣1×1008
=﹣1008．
故选：A．
　
【练习】计算：1+2﹣3﹣4+5+6﹣7﹣8+…+97+98﹣99﹣100=　_______．
【解答】解：1+2﹣3﹣4+5+6﹣7﹣8+…+97+98﹣99﹣100
=（1+2﹣3﹣4）+（5+6﹣7﹣8）+…+（97+98﹣99﹣100）
=﹣4×
=﹣4×25
=﹣100．
故应填﹣100．
　
【巩固】计算1+2﹣3+4+5﹣6+7+8﹣9+…+1999+2000﹣2001+2002+2003=_______．
【解答】解：原式=（1+2﹣3）+（4+5﹣6）+（7+8﹣9）+…+（1999+2000﹣2001）+2002+2003
=0+3+6+…+1998+2002+2003
=（3+1998）×+4005
=666333+4005
=670338．
　
【例】计算：2﹣22﹣23﹣24﹣…﹣218﹣219+220．
【解答】解：2﹣22﹣23﹣24﹣…﹣218﹣219+220
=（2+220）﹣（22+23+…+219），
令S=22+23+…+219，
则2S=23+…+219+220，
所以S=2S﹣S=220﹣22，
所以原式=（2+220）﹣（220﹣22），
=2+22，
=6．
　
【练习】阅读下面的计算过程，体会“拆项法”
计算：﹣5+（﹣9）+17+（﹣3）
解：原式=[（﹣5）+（﹣）]+[（﹣9）+（﹣）]+（17+）+[（﹣3）+（﹣）]
=[（﹣5）+（﹣9）+17+（﹣3）]+（﹣）+（﹣）++（﹣）]
=0+（﹣1）
=﹣1
启发应用
用上面的方法完成下列计算：
（1）（﹣3）+（﹣1）+2﹣（﹣2）；
（2）（﹣2000）+（﹣1999）+4000+（﹣1）．
【解答】解：（1）（﹣3）+（﹣1）+2﹣（﹣2）
=（﹣3﹣）+（﹣1﹣）+（2+）+（2+）
=（﹣3﹣1+2+2）+（﹣﹣++）
=0+
=；
（2）（﹣2000）+（﹣1999）+4000+（﹣1）
=（﹣2000﹣）+（﹣1999﹣）+（4000+）+（﹣1﹣）
=（﹣2000﹣1999+4000﹣1）+（﹣﹣+﹣）
=0﹣1
=﹣1．
　
【巩固】计算：
（1）﹣3﹣4+19﹣11
（2）﹣8+12﹣16﹣23
（3）（﹣13）﹣（13）
（4）﹣9+（﹣3）+3
（5）﹣+（﹣）﹣（﹣）﹣（+）
（6）[1.4﹣（﹣3.6+5.2）﹣4.3]﹣（﹣1.5）
（7）8+（﹣）﹣5﹣（﹣0.25）
（8）0.75+（﹣）+0.125+（﹣）+（﹣4）
【解答】解：（1）原式=﹣18+19=1；
（2）原式=﹣47+12=﹣35；
（3）原式=﹣13﹣13=﹣27；
（4）原式=﹣9；
（5）原式=﹣﹣+﹣=﹣；
（6）原式=1.4+3.6﹣5.2﹣4.3+1.5=﹣3；
（7）原式=8﹣0.25﹣5+0.25=3；
（8）原式=﹣+﹣4﹣=﹣6．
　
【练习】先阅读第（1）小题，再计算第（2）小题：
（1）计算：﹣1+（﹣5）+24+（﹣3）
解：原式=（﹣1﹣）+（﹣5﹣）+（24+）+（﹣3﹣）
=﹣1﹣﹣5﹣+24+﹣3﹣
=﹣1﹣5﹣3+24﹣﹣+﹣
=15﹣
=13
（2）计算（﹣15）+（﹣19）+14+（﹣1）．
【解答】解：（﹣15）+（﹣19）+14+（﹣1）
=﹣15﹣﹣19﹣+14+﹣1﹣
=﹣15﹣19+14﹣1﹣﹣+﹣
=﹣21﹣
=﹣22
综合练习
一．选择题（共3小题）
1．计算：﹣1﹣的值为（　　）
A． B．﹣ C． D．﹣
【解答】解：﹣1﹣＝﹣1+（﹣）＝﹣，
故选：D．
2．已知a＝5，|b|＝8，且满足a+b＜0，则a﹣b的值为（　　）
A．3 B．﹣3 C．﹣13 D．13
【解答】解：∵|b|＝8，
∴b＝±8，
又∵a＝5，a+b＜0，
∴b＝﹣8，
则a﹣b＝5﹣（﹣8）＝13，
故选：D．
3．下列计算结果等于4的是（　　）
A．|（﹣9）+（+5）| B．|（+9）﹣（﹣5）| C．|﹣9|+|+5| D．|+9|+|﹣5|
【解答】解：A．|（﹣9）+（+5）|＝|﹣4|＝4，此选项符合题意；
B．|（+9）﹣（﹣5）|＝|9+5|＝14，此选项不符合题意；
C．|﹣9|+|+5|＝9+5＝14，此选项不符合题意；
D．|+9|+|﹣5|＝9+5＝14，此选项不符合题意；
故选：A．
二．填空题（共1小题）
4．如图，方格中的格子填上数，使得每一行、每一列以及两条对角线所填的数字之和均相等，则x的值为　﹣1　．
【解答】解：6+1+2﹣1﹣5＝3，
6+1+2﹣6﹣3＝0，
6+1+2﹣0﹣5＝4．
根据题意得：6+1+2＝6+x+4，
解得：x＝﹣1．
故答案为：﹣1．
三．解答题（共3小题）
5．定义：对于确定位置的三个数：a，b，c，计算a﹣b，，，将这三个数的最小值称为a，b，c的“分差”，例如，对于1，﹣2，3，因为1﹣（﹣2）＝3，＝﹣1，＝﹣，所以1，﹣2，3的“分差”为﹣．
（1）﹣2，﹣4，1的“分差”为　　；
（2）调整“﹣2，﹣4，1”这三个数的位置，得到不同的“分差”，那么这些不同“分差”中的最大值是　　；
（3）调整﹣1，6，x这三个数的位置，得到不同的“分差”，若其中的一个“分差”为2，求x的值．
【解答】解：（1）∵a＝﹣2，b＝﹣4，c＝1
∴a﹣b＝﹣2﹣（﹣4）＝2，＝，＝，
∴﹣2，﹣4，1的“分差”为
故答案为：
（2）①若a＝﹣2，b＝1，c＝﹣4
则a﹣b＝﹣2﹣1＝﹣3，＝＝1，＝，
∴﹣2，1，﹣4的“分差”为﹣3
②若a＝﹣4，b＝﹣2，c＝1
则a﹣b＝﹣4﹣（﹣2）＝﹣2，＝，＝
∴﹣4，﹣2，1的“分差”为
③若a＝﹣4，b＝1，c＝﹣2
则a﹣b＝﹣4﹣1＝﹣5，＝，＝
∴﹣4，1，﹣2的“分差”为﹣5
④若a＝1，b＝﹣4，c＝﹣2
则a﹣b＝1﹣（﹣4）＝5，＝，＝
∴1，﹣4，﹣2的“分差”为
⑤若a＝1，b＝﹣2，c＝﹣4
则a﹣b＝1﹣（﹣2）＝3，＝，＝
∴1，﹣2，﹣4的“分差”为
综上所述，这些不同“分差”中的最大值为
故答案为：
（3）∵“分差”为2，﹣1﹣6＝﹣7
∴三个数的顺序不能是﹣1，6，x和﹣1，x，6和x，﹣1，6
①a＝6，b＝x，c＝﹣1，
∴a﹣b＝6﹣x，＝，＝
若6﹣x＝2，得x＝4，＜2，不符合
若，得x＝5，6﹣x＝1＜2，不符合
②a＝6，b＝﹣1，c＝x，
∴a﹣b＝6﹣（﹣1）＝7，＝，＝
若，得x＝2，＜2，不符合
若，得x＝﹣7，＞2，符合
③a＝x，b＝6，c＝﹣1
∴a﹣b＝x﹣6，＝，＝
若x﹣6＝2，得x＝8，＞2，符合
若，得x＝3，x﹣6＝﹣3＜2，不符合
综上所述，x的值为﹣7或8．
6．（﹣1）﹣1+（﹣2）﹣（﹣3）﹣（﹣1）+4．
【解答】解：（﹣1）﹣1+（﹣2）﹣（﹣3）﹣（﹣1）+4
＝﹣﹣﹣+++4
＝﹣4++4
＝．
7．下表记录的是今年长江某一周内的水位变化情况，这一周的上周末的水位已达到警戒水位33米（正号表示水位比前一天上升，负号表示水位比前一天下降）．
星期 一 二 三 四 五 六
水位 变化（米） +0.2 +0.8 ﹣0.4 +0.2 +0.3 ﹣0.2
（1）本周哪一天长江的水位最高？位于警戒水位之上还是之下？
（2）与上周周末相比，本周周末长江的水位是上升了还是下降了？并通过计算说明理由．
【解答】解：（1）正号表示水位比前一天上升，负号表示水位比前一天下降，由此计算出每天的实际水位即可求值．
本周水位最高的为周五，
周一：+0.2，
周二：+0.2+0.8＝+1，
周三：+1﹣0.4＝+0.6，
周四：+0.6+0.2＝+0.8，
周五：+0.8+0.3＝1.1m，
故本周五水位最高高于警戒水位1.1m；
（2）通过表格可得+0.2+0.8﹣0.4+0.2+0.3﹣0.2＝0.9m，
故与上周周末相比，本周周末长江的水位是上升了0.9m．
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