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第3讲 有理数的加减
3.1有理数的加法
1.定义：把两个有理数合成一个有理数的运算叫作有理数的加法．
2.法则：（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；
（2）绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．互为相反数的两个数相加得0；
（3）一个数同0相加，仍得这个数．
3.运算律：
有理数加法运算律 加法交换律 文字语言 两个数相加，交换加数的位置，和不变
符号语言 a+b＝b+a
加法结合律 文字语言 三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变
符号语言 (a+b)+c＝a+(b+c)
【例】计算的正确结果是（　　）
A． B． C．1 D．﹣1
　
【练习】计算43+（﹣77）+27+（﹣43）的结果是（　　）
A．50 B．﹣104 C．﹣50 D．104
【例】如果两个数的和为负数，那么这两个数一定是（　　）
A．正数 B．负数
C．一正一负 D．至少一个为负数
　
【练习】如果a+b=c，且a、b都大于c，那么a、b一定是（　　）
A．同为负数 B．一个正数一个负数
C．同为正数 D．一个负数一个是零
3．2 有理数的减法
1.定义： 已知两个数的和与其中一个加数，求另一个加数的运算，叫做减法，例如：(-5)+ ＝7，求？，减法是加法的逆运算．
注意：（1）任意两个数都可以进行减法运算．
（2） 几个有理数相减，差仍为有理数，差由两部分组成：①性质符号；②数字即数的绝对值．
2.法则：减去一个数，等于加这个数的相反数，即有：．
注意： 将减法转化为加法时，注意同时进行的两变，一变是减法变加法；二变是把减数变为它的相反数”．如：
【例】下列算式中正确的是（　　）
A．（﹣14）﹣5=﹣9 B．0﹣（﹣3）=﹣3 C．（﹣3）﹣（﹣3）=﹣6 D．|3﹣5|=﹣（3﹣5）
【练习】（+6.2）﹣（+4.6）﹣（﹣3.6）﹣（﹣2.8）
【练习】计算：﹣（+9）﹣12﹣（﹣）．
　
【巩固】0.47﹣4﹣（﹣1.53）﹣1．
【例】若|m|=5，|n|=3，且m+n＜0，则m﹣n的值是（　　）
A．﹣8或﹣2 B．±8或±2 C．﹣8 或2 D．8或2
3．3 有理数的加减混合运算
将加减法统一成加法运算，适当应用加法运算律简化计算.
【例】（1）计算：（+3）+（﹣）+（﹣2）﹣（﹣）．
（2）观察下面一列数，探求其规律：﹣1，，﹣，，﹣，，…
①写出这列数的第7个数和第8个数；
②第2005个数是什么数如果这一列数无限排列下去，与哪个数越来越近？
【例】101﹣102+103﹣104+…+199﹣200=______．
　
【练习】3+2+（﹣）﹣（﹣）
　
【练习】计算：（﹣10）﹣（﹣2）+（﹣6）﹣11
【练习】计算：（﹣0.5）+|0﹣6|﹣（﹣7）﹣（﹣4.75）．
综合练习
一．选择题（共3小题）
1．计算：﹣1﹣的值为（　　）
A． B．﹣ C． D．﹣
2．已知a＝5，|b|＝8，且满足a+b＜0，则a﹣b的值为（　　）
A．3 B．﹣3 C．﹣13 D．13
3．下列计算结果等于4的是（　　）
A．|（﹣9）+（+5）| B．|（+9）﹣（﹣5）| C．|﹣9|+|+5| D．|+9|+|﹣5|
二．填空题（共1小题）
4．如图，方格中的格子填上数，使得每一行、每一列以及两条对角线所填的数字之和均相等，则x的值为　 　．
三．解答题（共3小题）
5．定义：对于确定位置的三个数：a，b，c，计算a﹣b，，，将这三个数的最小值称为a，b，c的“分差”，例如，对于1，﹣2，3，因为1﹣（﹣2）＝3，＝﹣1，＝﹣，所以1，﹣2，3的“分差”为﹣．
（1）﹣2，﹣4，1的“分差”为　 　；
（2）调整“﹣2，﹣4，1”这三个数的位置，得到不同的“分差”，那么这些不同“分差”中的最大值是　 　；
（3）调整﹣1，6，x这三个数的位置，得到不同的“分差”，若其中的一个“分差”为2，求x的值．
6．（﹣1）﹣1+（﹣2）﹣（﹣3）﹣（﹣1）+4．
7．下表记录的是今年长江某一周内的水位变化情况，这一周的上周末的水位已达到警戒水位33米（正号表示水位比前一天上升，负号表示水位比前一天下降）．
星期 一 二 三 四 五 六
水位 变化（米） +0.2 +0.8 ﹣0.4 +0.2 +0.3 ﹣0.2
（1）本周哪一天长江的水位最高？位于警戒水位之上还是之下？
（2）与上周周末相比，本周周末长江的水位是上升了还是下降了？并通过计算说明理由．
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第3讲 有理数的加减
3.1有理数的加法
1.定义：把两个有理数合成一个有理数的运算叫作有理数的加法．
2.法则：（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；
（2）绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．互为相反数的两个数相加得0；
（3）一个数同0相加，仍得这个数．
3.运算律：
有理数加法运算律 加法交换律 文字语言 两个数相加，交换加数的位置，和不变
符号语言 a+b＝b+a
加法结合律 文字语言 三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变
符号语言 (a+b)+c＝a+(b+c)
【例】计算的正确结果是（　　）
A． B． C．1 D．﹣1
【解答】解：=﹣（）=﹣1．
故选：D．
　
【练习】计算43+（﹣77）+27+（﹣43）的结果是（　　）
A．50 B．﹣104 C．﹣50 D．104
【解答】解：原式=（﹣43+43）+（﹣77+27）=﹣50．
故选：C．
【例】如果两个数的和为负数，那么这两个数一定是（　　）
A．正数 B．负数
C．一正一负 D．至少一个为负数
【解答】解：∵两个数的和为负数数，∴至少要有一个负数，
故选：D．
　
【练习】如果a+b=c，且a、b都大于c，那么a、b一定是（　　）
A．同为负数 B．一个正数一个负数
C．同为正数 D．一个负数一个是零
【解答】解：a+b=c，且a、b都大于c，那么a、b一定是同为负数，
故选：A．
3．2 有理数的减法
1.定义： 已知两个数的和与其中一个加数，求另一个加数的运算，叫做减法，例如：(-5)+ ＝7，求？，减法是加法的逆运算．
注意：（1）任意两个数都可以进行减法运算．
（2） 几个有理数相减，差仍为有理数，差由两部分组成：①性质符号；②数字即数的绝对值．
2.法则：减去一个数，等于加这个数的相反数，即有：．
注意： 将减法转化为加法时，注意同时进行的两变，一变是减法变加法；二变是把减数变为它的相反数”．如：
【例】下列算式中正确的是（　　）
A．（﹣14）﹣5=﹣9 B．0﹣（﹣3）=﹣3 C．（﹣3）﹣（﹣3）=﹣6 D．|3﹣5|=﹣（3﹣5）
【解答】解：∵（﹣14）﹣5=﹣19，故选项A错误，
∵0﹣（﹣3）=0+3=3，故选项B错误，
∵（﹣3）﹣（﹣3）=（﹣3）+3=0，故选项C错误，
∵|3﹣5|=﹣（3﹣5），故选项D正确，
故选：D．
【练习】（+6.2）﹣（+4.6）﹣（﹣3.6）﹣（﹣2.8）
【解答】解：（+6.2）﹣（+4.6）﹣（﹣3.6）﹣（﹣2.8）
=6.2﹣4.6+3.6+2.8
=12.6﹣4.6
=8．
【练习】计算：﹣（+9）﹣12﹣（﹣）．
【解答】解：﹣（+9）﹣12﹣（﹣）
=﹣（﹣）﹣9﹣12
=1﹣21
=﹣20
　
【巩固】0.47﹣4﹣（﹣1.53）﹣1．
【解答】解：0.47﹣4﹣（﹣1.53）﹣1
=（0.47+1.53）﹣（4+1）
=2﹣6
=﹣4．
【例】若|m|=5，|n|=3，且m+n＜0，则m﹣n的值是（　　）
A．﹣8或﹣2 B．±8或±2 C．﹣8 或2 D．8或2
【解答】解：∵|m|=5，|n|=3，且m+n＜0，
∴m=﹣5，n=3；m=﹣5，n=﹣3，
可得m﹣n=﹣8或﹣2，
则m﹣n的值是﹣8或﹣2．
故选：A．
3．3 有理数的加减混合运算
将加减法统一成加法运算，适当应用加法运算律简化计算.
【例】（1）计算：（+3）+（﹣）+（﹣2）﹣（﹣）．
（2）观察下面一列数，探求其规律：﹣1，，﹣，，﹣，，…
①写出这列数的第7个数和第8个数；
②第2005个数是什么数如果这一列数无限排列下去，与哪个数越来越近？
【解答】解：（1）（+3）+（﹣）+（﹣2）﹣（﹣），
=3﹣﹣2+=（）﹣（﹣），
=（）﹣（），
=，
=；
（2）①第七个数分母为7，第八个数分母为8，
因为7是奇数，所以其分数为负数；
因为8是偶数，所以其分数为正数．
．
②第2005个数分母为2005，因为2005是奇数，所以其分数为负数；随着分母的增大，其分数与0会越来越接近．
，0．
【例】101﹣102+103﹣104+…+199﹣200=______．
【解答】解：原式=（﹣1）+（﹣1）+…+（﹣1）=﹣50，
故答案为：﹣50
　
【练习】3+2+（﹣）﹣（﹣）
【解答】解：原式=3﹣+2+
=3+3
=6．
　
【练习】计算：（﹣10）﹣（﹣2）+（﹣6）﹣11
【解答】解：原式=﹣10+2﹣6﹣11
=﹣27+2
=﹣25．
【练习】计算：（﹣0.5）+|0﹣6|﹣（﹣7）﹣（﹣4.75）．
【解答】解：原式=﹣0.5+6+7+4.75=7+11=18．
综合练习
一．选择题（共3小题）
1．计算：﹣1﹣的值为（　　）
A． B．﹣ C． D．﹣
【解答】解：﹣1﹣＝﹣1+（﹣）＝﹣，
故选：D．
2．已知a＝5，|b|＝8，且满足a+b＜0，则a﹣b的值为（　　）
A．3 B．﹣3 C．﹣13 D．13
【解答】解：∵|b|＝8，
∴b＝±8，
又∵a＝5，a+b＜0，
∴b＝﹣8，
则a﹣b＝5﹣（﹣8）＝13，
故选：D．
3．下列计算结果等于4的是（　　）
A．|（﹣9）+（+5）| B．|（+9）﹣（﹣5）| C．|﹣9|+|+5| D．|+9|+|﹣5|
【解答】解：A．|（﹣9）+（+5）|＝|﹣4|＝4，此选项符合题意；
B．|（+9）﹣（﹣5）|＝|9+5|＝14，此选项不符合题意；
C．|﹣9|+|+5|＝9+5＝14，此选项不符合题意；
D．|+9|+|﹣5|＝9+5＝14，此选项不符合题意；
故选：A．
二．填空题（共1小题）
4．如图，方格中的格子填上数，使得每一行、每一列以及两条对角线所填的数字之和均相等，则x的值为　﹣1　．
【解答】解：6+1+2﹣1﹣5＝3，
6+1+2﹣6﹣3＝0，
6+1+2﹣0﹣5＝4．
根据题意得：6+1+2＝6+x+4，
解得：x＝﹣1．
故答案为：﹣1．
三．解答题（共3小题）
5．定义：对于确定位置的三个数：a，b，c，计算a﹣b，，，将这三个数的最小值称为a，b，c的“分差”，例如，对于1，﹣2，3，因为1﹣（﹣2）＝3，＝﹣1，＝﹣，所以1，﹣2，3的“分差”为﹣．
（1）﹣2，﹣4，1的“分差”为　　；
（2）调整“﹣2，﹣4，1”这三个数的位置，得到不同的“分差”，那么这些不同“分差”中的最大值是　　；
（3）调整﹣1，6，x这三个数的位置，得到不同的“分差”，若其中的一个“分差”为2，求x的值．
【解答】解：（1）∵a＝﹣2，b＝﹣4，c＝1
∴a﹣b＝﹣2﹣（﹣4）＝2，＝，＝，
∴﹣2，﹣4，1的“分差”为
故答案为：
（2）①若a＝﹣2，b＝1，c＝﹣4
则a﹣b＝﹣2﹣1＝﹣3，＝＝1，＝，
∴﹣2，1，﹣4的“分差”为﹣3
②若a＝﹣4，b＝﹣2，c＝1
则a﹣b＝﹣4﹣（﹣2）＝﹣2，＝，＝
∴﹣4，﹣2，1的“分差”为
③若a＝﹣4，b＝1，c＝﹣2
则a﹣b＝﹣4﹣1＝﹣5，＝，＝
∴﹣4，1，﹣2的“分差”为﹣5
④若a＝1，b＝﹣4，c＝﹣2
则a﹣b＝1﹣（﹣4）＝5，＝，＝
∴1，﹣4，﹣2的“分差”为
⑤若a＝1，b＝﹣2，c＝﹣4
则a﹣b＝1﹣（﹣2）＝3，＝，＝
∴1，﹣2，﹣4的“分差”为
综上所述，这些不同“分差”中的最大值为
故答案为：
（3）∵“分差”为2，﹣1﹣6＝﹣7
∴三个数的顺序不能是﹣1，6，x和﹣1，x，6和x，﹣1，6
①a＝6，b＝x，c＝﹣1，
∴a﹣b＝6﹣x，＝，＝
若6﹣x＝2，得x＝4，＜2，不符合
若，得x＝5，6﹣x＝1＜2，不符合
②a＝6，b＝﹣1，c＝x，
∴a﹣b＝6﹣（﹣1）＝7，＝，＝
若，得x＝2，＜2，不符合
若，得x＝﹣7，＞2，符合
③a＝x，b＝6，c＝﹣1
∴a﹣b＝x﹣6，＝，＝
若x﹣6＝2，得x＝8，＞2，符合
若，得x＝3，x﹣6＝﹣3＜2，不符合
综上所述，x的值为﹣7或8．
6．（﹣1）﹣1+（﹣2）﹣（﹣3）﹣（﹣1）+4．
【解答】解：（﹣1）﹣1+（﹣2）﹣（﹣3）﹣（﹣1）+4
＝﹣﹣﹣+++4
＝﹣4++4
＝．
7．下表记录的是今年长江某一周内的水位变化情况，这一周的上周末的水位已达到警戒水位33米（正号表示水位比前一天上升，负号表示水位比前一天下降）．
星期 一 二 三 四 五 六
水位 变化（米） +0.2 +0.8 ﹣0.4 +0.2 +0.3 ﹣0.2
（1）本周哪一天长江的水位最高？位于警戒水位之上还是之下？
（2）与上周周末相比，本周周末长江的水位是上升了还是下降了？并通过计算说明理由．
【解答】解：（1）正号表示水位比前一天上升，负号表示水位比前一天下降，由此计算出每天的实际水位即可求值．
本周水位最高的为周五，
周一：+0.2，
周二：+0.2+0.8＝+1，
周三：+1﹣0.4＝+0.6，
周四：+0.6+0.2＝+0.8，
周五：+0.8+0.3＝1.1m，
故本周五水位最高高于警戒水位1.1m；
（2）通过表格可得+0.2+0.8﹣0.4+0.2+0.3﹣0.2＝0.9m，
故与上周周末相比，本周周末长江的水位是上升了0.9m．
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