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第5讲 整式的加减
5.1代数式
代数式
代数式的概念：用基本的运算符号（包括加、减、乘、除、乘方与开方等）把数和表示数的字母连接起来的式子叫做代数式．例如：，，等．
单独的一个数或一个字母也是代数式．例如：，等．
2．代数式书写规范：
数与字母、字母与字母相乘时常省略“”号或用“”．
如：，，
数字通常写在字母前面．
如：，
带分数与字母相乘时要化成假分数．
如：，切勿错误写成“ ”
当字母前面的数字为或时，把数字省略．
如：，
除法常写成分数的形式．
如：
【例】下列代数式中整式有（　　）
，2x+y，a2b，，，0.5，a．
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
【解答】解：2x+y，a2b，，0.5，a是整式，
故选：B．
　
【例】在代数式﹣7，﹣x2，﹣，，，，中，整式有（　　）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【解答】解：在代数式﹣7，﹣x2，﹣，，，，中，整式有﹣7，﹣x2，﹣，，
故选：B．
5．2单项式
单项式
概念：数或字母的积叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式．
系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数．
字母是圆周率，当做数字来看待．
次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数．
对于单独一个非零的数，规定它的次数为．
单项式系数易错点
圆周率π是常数，如的系数是，次数是1；的系数是，次数是．
当一个单项式的系数是或时，通常省略不写数字“”，如，等．
代数式的系数是带分数时，通常写成假分数，如写成．
【例】单项式2a3b的次数是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【解答】解：该单项式的次数为：4
故选：C．
【例】单项式﹣2xy3的系数和次数分别是（　　）
A．﹣2，4 B．4，﹣2 C．﹣2，3 D．3，﹣2
【解答】解：单项式﹣2xy3的系数和次数分别是：﹣2、4．
故选：A．
　
【练习】下列关于单项式的说法中，正确的是（　　）
A．系数是2，次数是2 B．系数是﹣2，次数是3
C．系数是，次数是2 D．系数是，次数是3
【解答】解：单项式的系数是，次数是3．
故选：D．
【例】下列说法正确的是（　　）
A．的系数是﹣2 B．32ab3的次数是6次
C．是多项式 D．x2+x﹣1的常数项为1
【解答】解：A、的系数是﹣；故A错误．
B、32ab3的次数是1+3=4；故B错误．
C、根据多项式的定义知，是多项式；故C正确．
D、x2+x﹣1的常数项为﹣1，而不是1；故D错误．
故选：C．
【例】单项式﹣ 与﹣ 是次数相同的单项式，求m的值．
【解答】解：∵单项式﹣ 与﹣ 是次数相同的单项式，
∴2+m=7，
解得：m=5．
5．3多项式与整式
多项式
概念：几个单项式的和叫做多项式．
多项式的项：在多项式中，每个单项式叫做多项式的项．
其中，不含字母的项叫做常数项．
多项式的次数：一般地，多项式里次数最高的项的次数，就是这个多项式的次数．
降幂升幂排列：通常我们把一个多项式的各个项按照某个字母的指数从大到小
（降幂）或者从小到大（升幂）的顺序排列．
整式：单项式与多项式统称整式．
【例】多项式x2﹣2xy3﹣y﹣1是（　　）
A．三次四项式 B．三次三项式 C．四次四项式 D．四次三项式
【解答】解：多项式x2﹣2xy3﹣y﹣1有四项，最高次项﹣2xy3的次数为四，是四次四项式．
故选：C．
【练习】如果整式xn﹣3﹣5x2+2是关于x的三次三项式，那么n等于（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【解答】解：∵整式xn﹣3﹣5x2+2是关于x的三次三项式，
∴n﹣3=3，
解得：n=6．
故选：D．
【例】多项式﹣x2+2x+3中的二次项系数是（　　）
A．﹣1 B．1 C．2 D．3
【解答】解：多项式﹣x2+2x+3中的二次项系数是：﹣1．
故选：A．
　
【练习】若A是一个三次多项式，B是一个四次多项式，则A+B一定是（　　）
A．三次多项式 B．四次多项式或单项式
C．七次多项式 D．四次七项式
【解答】解：多项式相加，也就是合并同类项，合并同类项时只是把系数相加减，字母和字母的指数不变，由于多项式的次数是“多项式中次数最高的项的次数”，B是一个四次多项式，因此A+B一定是四次多项式或单项式．
故选：B．
5.4同类项
同类项
同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项．
合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项．
合并同类项的法则：所得项的系数是合并前各同类项系数的和，且字母连同它的指数不变．
去括号合并同类项
如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；
如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反．
【例】若代数式2xay3zc与是同类项，则（　　）
A．a=4，b=2，c=3 B．a=4，b=4，c=3 C．a=4，b=3，c=2 D．a=4，b=3，c=4
【解答】解：∵代数式2xay3zc与是同类项，
∴a=4，b=3，c=2，
故选：C．
【练习】已知﹣0.5xa+bya﹣b与是同类项，那么（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：由﹣0.5xa+bya﹣b与是同类项，得
，
解得．
故选：D．
　
【例】若单项式2x2ya+b与﹣xa﹣by4是同类项，则a，b的值分别为（　　）
A．a=3，b=1 B．a=﹣3，b=1 C．a=3，b=﹣1 D．a=﹣3，b=﹣1
【解答】解：由2x2ya﹣b与﹣xaby4是同类项，得
a﹣b=2，a+b=4．
解得：a=3，b=1，
故选：A．
5.5整式的加减
整式加减的法则：几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加减号连接，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项．
整体代入思想，整式加减法，去括号和添括号的综合应用．
【例】若m﹣x=2，n+y=3，则（m﹣n）﹣（x+y）=（　　）
A．﹣1 B．1 C．5 D．﹣5
【解答】解：∵m﹣x=2，n+y=3，
∴原式=m﹣n﹣x﹣y=（m﹣x）﹣（n+y）=2﹣3=﹣1，
故选：A．
【练习】化简的结果是（　　）
A．﹣7x+ B．﹣5x+ C．﹣5x+ D．﹣5x﹣
【解答】解：原式=x+﹣6x+
=﹣5x+
故选：C．
　
【例】化简
（1）﹣3x2y+2x2y+3xy2﹣xy2
（2）4x2﹣（2x2+x﹣1）+（2﹣x2+3x）
【解答】解：（1）原式=﹣x2y+2xy2
（2）原式=4x2﹣2x2﹣x+1+2﹣x2+3x
=x2+2x+3
综合练习
一．选择题（共5小题）
1．若2x﹣3y2＝3，则1﹣x+y2的值是（　　）
A．﹣2 B．﹣ C． D．4
【解答】解：∵2x﹣3y2＝3，
∴x﹣y2＝，
则原式＝1﹣（x﹣y2）
＝1﹣
＝﹣，
故选：B．
2．已知式子﹣3xm+1y3与xnym+n是同类项，则m，n的值分别是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：由题意可知：
∴解得：，
故选：D．
3．当x＝1时，代数式x3+x+m的值是9，则当x＝﹣1时，这个代数式的值是（　　）
A．7 B．5 C．3 D．1
【解答】解：由题意知1+1+m＝9，
则m＝7，
∴当x＝﹣1时，x3+x+m
＝﹣1﹣1+7
＝5，
故选：B．
4．给出下列结论：①单项式﹣的系数为﹣；②x与y的差的平方可表示为x2﹣y2；③化简（x+）﹣2（x﹣）的结果是﹣x+；④若单项式ax2yn+1与﹣axmy4的差是同类项，则m+n＝5．其中正确的结论有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：①单项式﹣的系数为﹣，故正确；②x与y的差的平方可表示为（x﹣y）2，原说法错误；
③化简（x+）﹣2（x﹣）的结果是﹣x+，故正确；④若单项式ax2yn+1与﹣axmy4的差是同类项，n+1＝4，m＝2，故n＝3，m＝2，m+n＝5，故正确．
故选：C．
5．如图，4张如图1的长为a，宽为b（a＞b）长方形纸片，按图2的方式放置，阴影部分的面积为S1，空白部分的面积为S2，若S2＝2S1，则a，b满足（　　）
A．a＝ B．a＝2b C．a＝b D．a＝3b
【解答】解：由图形可知，
，
，
∵S2＝2S1，
∴a2+2b2＝2（2ab﹣b2），
∴a2﹣4ab+4b2＝0，
即（a﹣2b）2＝0，
∴a＝2b，
故选：B．
二．填空题（共2小题）
6．已知2a﹣3b＝4，则3+6b﹣4a的值为　﹣5　．
【解答】解：∵2a﹣3b＝4，
∴3+6b﹣4a＝3﹣2（2a+3b）＝3﹣2×4＝﹣5．
故答案为：﹣5．
7．若M＝（x﹣2）（x﹣8），N＝（x﹣3）（x﹣7），则M与N的大小关系为：M　＜　N．
【解答】解：∵M＝（x﹣2）（x﹣8），N＝（x﹣3）（x﹣7）
分别展开得，M＝x2﹣10x+16，N＝x2﹣10x+21．
M﹣N＝（x2﹣10x+16）﹣（x2﹣10x+21）＝16﹣21＝﹣5
∴x2﹣10x+16＜x2﹣10x+21．
即M＜N．
故答案为M＜N．
三．解答题（共3小题）
8．先化简，再求值：4x2y﹣[6xy﹣3（4xy﹣2）﹣x2y﹣1]，其中x＝2，y＝﹣．
【解答】解：原式＝4x2y﹣（6xy﹣12xy+6﹣x2y﹣1）
＝4x2y﹣（﹣6xy﹣x2y+5）
＝4x2y+6xy+x2y﹣5
＝5x2y+6xy﹣5
当x＝2，y＝时，
原式＝5×4×（）+6×2×（）﹣5
＝﹣10﹣6﹣5
＝﹣21；
9．先化简，再求值：（4a2﹣2ab+b2）﹣3（a2﹣ab+b2），其中a＝﹣1，b＝﹣．
【解答】解：原式＝4a2﹣2ab+b2﹣3a2+3ab﹣3b2
＝a2+ab﹣2b2，
当a＝﹣1，b＝时，
原式＝1+﹣
＝1．
10．长春市发起了“保护伊通河”行动，某学校七年级两个班的115名学生积极参与，踊跃捐款．已知甲班有的学生每人捐了10元，乙班有的学生每人捐了10元，两个班其余学生每人捐了5元，设甲班有学生x人．
（1）用含x的代数式表示乙班人数：　115﹣x　；
（2）用含x的代数式表示两班捐款的总额；
（3）若x＝60，则两班共捐款多少元？
【解答】解：（1）由题意可得，
乙班人数为：115﹣x，
故答案为：115﹣x；
（2）
＝
＝+805，
即两班捐款的总额是（+805）元；
（3）当x＝60时，
+805＝﹣×60+805＝﹣20+805＝785（元），
答：x＝60时，两班共捐款785元
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第5讲 整式的加减
5.1代数式
代数式
代数式的概念：用基本的运算符号（包括加、减、乘、除、乘方与开方等）把数和表示数的字母连接起来的式子叫做代数式．例如：，，等．
单独的一个数或一个字母也是代数式．例如：，等．
2．代数式书写规范：
数与字母、字母与字母相乘时常省略“”号或用“”．
如：，，
数字通常写在字母前面．
如：，
带分数与字母相乘时要化成假分数．
如：，切勿错误写成“ ”
当字母前面的数字为或时，把数字省略．
如：，
除法常写成分数的形式．
如：
【例】下列代数式中整式有（　　）
，2x+y，a2b，，，0.5，a．
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
　
【例】在代数式﹣7，﹣x2，﹣，，，，中，整式有（　　）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
5．2单项式
单项式
概念：数或字母的积叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式．
系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数．
字母是圆周率，当做数字来看待．
次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数．
对于单独一个非零的数，规定它的次数为．
单项式系数易错点
圆周率π是常数，如的系数是，次数是1；的系数是，次数是．
当一个单项式的系数是或时，通常省略不写数字“”，如，等．
代数式的系数是带分数时，通常写成假分数，如写成．
【例】单项式2a3b的次数是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【例】单项式﹣2xy3的系数和次数分别是（　　）
A．﹣2，4 B．4，﹣2 C．﹣2，3 D．3，﹣2
　
【练习】下列关于单项式的说法中，正确的是（　　）
A．系数是2，次数是2 B．系数是﹣2，次数是3
C．系数是，次数是2 D．系数是，次数是3
【例】下列说法正确的是（　　）
A．的系数是﹣2 B．32ab3的次数是6次
C．是多项式 D．x2+x﹣1的常数项为1
【例】单项式﹣ 与﹣ 是次数相同的单项式，求m的值．
5．3多项式与整式
多项式
概念：几个单项式的和叫做多项式．
多项式的项：在多项式中，每个单项式叫做多项式的项．
其中，不含字母的项叫做常数项．
多项式的次数：一般地，多项式里次数最高的项的次数，就是这个多项式的次数．
降幂升幂排列：通常我们把一个多项式的各个项按照某个字母的指数从大到小
（降幂）或者从小到大（升幂）的顺序排列．
整式：单项式与多项式统称整式．
【例】多项式x2﹣2xy3﹣y﹣1是（　　）
A．三次四项式 B．三次三项式 C．四次四项式 D．四次三项式
【练习】如果整式xn﹣3﹣5x2+2是关于x的三次三项式，那么n等于（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【例】多项式﹣x2+2x+3中的二次项系数是（　　）
A．﹣1 B．1 C．2 D．3
　
【练习】若A是一个三次多项式，B是一个四次多项式，则A+B一定是（　　）
A．三次多项式 B．四次多项式或单项式
C．七次多项式 D．四次七项式
5.4同类项
同类项
同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项．
合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项．
合并同类项的法则：所得项的系数是合并前各同类项系数的和，且字母连同它的指数不变．
去括号合并同类项
如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；
如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反．
【例】若代数式2xay3zc与是同类项，则（　　）
A．a=4，b=2，c=3 B．a=4，b=4，c=3 C．a=4，b=3，c=2 D．a=4，b=3，c=4
【练习】已知﹣0.5xa+bya﹣b与是同类项，那么（　　）
A． B． C． D．
　
【例】若单项式2x2ya+b与﹣xa﹣by4是同类项，则a，b的值分别为（　　）
A．a=3，b=1 B．a=﹣3，b=1 C．a=3，b=﹣1 D．a=﹣3，b=﹣1
5.5整式的加减
整式加减的法则：几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加减号连接，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项．
整体代入思想，整式加减法，去括号和添括号的综合应用．
【例】若m﹣x=2，n+y=3，则（m﹣n）﹣（x+y）=（　　）
A．﹣1 B．1 C．5 D．﹣5
【练习】化简的结果是（　　）
A．﹣7x+ B．﹣5x+ C．﹣5x+ D．﹣5x﹣
　
【例】化简
（1）﹣3x2y+2x2y+3xy2﹣xy2
（2）4x2﹣（2x2+x﹣1）+（2﹣x2+3x）
综合练习
一．选择题（共5小题）
1．若2x﹣3y2＝3，则1﹣x+y2的值是（　　）
A．﹣2 B．﹣ C． D．4
2．已知式子﹣3xm+1y3与xnym+n是同类项，则m，n的值分别是（　　）
A． B． C． D．
3．当x＝1时，代数式x3+x+m的值是9，则当x＝﹣1时，这个代数式的值是（　　）
A．7 B．5 C．3 D．1
4．给出下列结论：①单项式﹣的系数为﹣；②x与y的差的平方可表示为x2﹣y2；③化简（x+）﹣2（x﹣）的结果是﹣x+；④若单项式ax2yn+1与﹣axmy4的差是同类项，则m+n＝5．其中正确的结论有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．如图，4张如图1的长为a，宽为b（a＞b）长方形纸片，按图2的方式放置，阴影部分的面积为S1，空白部分的面积为S2，若S2＝2S1，则a，b满足（　　）
A．a＝ B．a＝2b C．a＝b D．a＝3b
二．填空题（共2小题）
6．已知2a﹣3b＝4，则3+6b﹣4a的值为　 　．
7．若M＝（x﹣2）（x﹣8），N＝（x﹣3）（x﹣7），则M与N的大小关系为：M　 　N．
三．解答题（共3小题）
8．先化简，再求值：4x2y﹣[6xy﹣3（4xy﹣2）﹣x2y﹣1]，其中x＝2，y＝﹣．
9．先化简，再求值：（4a2﹣2ab+b2）﹣3（a2﹣ab+b2），其中a＝﹣1，b＝﹣．
10．长春市发起了“保护伊通河”行动，某学校七年级两个班的115名学生积极参与，踊跃捐款．已知甲班有的学生每人捐了10元，乙班有的学生每人捐了10元，两个班其余学生每人捐了5元，设甲班有学生x人．
（1）用含x的代数式表示乙班人数：　 　；
（2）用含x的代数式表示两班捐款的总额；
（3）若x＝60，则两班共捐款多少元？
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