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第5讲 整式的加减
5.1代数式
代数式
代数式的概念：用基本的运算符号（包括加、减、乘、除、乘方与开方等）把数和表示数的字母连接起来的式子叫做代数式．例如：，，等．
单独的一个数或一个字母也是代数式．例如：，等．
2．代数式书写规范：
数与字母、字母与字母相乘时常省略“”号或用“”．
如：，，
数字通常写在字母前面．
如：，
带分数与字母相乘时要化成假分数．
如：，切勿错误写成“ ”
当字母前面的数字为或时，把数字省略．
如：，
除法常写成分数的形式．
如：
【例】下列代数式中：，2x+y，，，，0，整式有（　　） 个．
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【例】在代数式π，x2+，x+xy，3x2+nx+4，﹣x，3，5xy，中，整式共有（　　）
A．7个 B．6个 C．5个 D．4个
5．2单项式
单项式
概念：数或字母的积叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式．
系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数．
字母是圆周率，当做数字来看待．
次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数．
对于单独一个非零的数，规定它的次数为．
单项式系数易错点
圆周率π是常数，如的系数是，次数是1；的系数是，次数是．
当一个单项式的系数是或时，通常省略不写数字“”，如，等．
代数式的系数是带分数时，通常写成假分数，如写成．
【例】单项式的系数是（　　）
A． B．﹣ C． D．﹣
【例】已知x2y|a|+（b+2）是关于x、y的五次单项式，求a2﹣3ab的值．
　
【例】下列单项式中，次数为3的是（　　）
A． B．mn C．3a2 D．
5．3多项式与整式
多项式
概念：几个单项式的和叫做多项式．
多项式的项：在多项式中，每个单项式叫做多项式的项．
其中，不含字母的项叫做常数项．
多项式的次数：一般地，多项式里次数最高的项的次数，就是这个多项式的次数．
降幂升幂排列：通常我们把一个多项式的各个项按照某个字母的指数从大到小
（降幂）或者从小到大（升幂）的顺序排列．
整式：单项式与多项式统称整式．
【例】关于x，y的多项式6mx2+4nxy+2x+2xy﹣x2+y+4不含二次项，求6m﹣2n+2的值．
【例】（3m﹣4）x3﹣（2n﹣3）x2+（2m+5n）x﹣6是关于x的多项式．
（1）当m、n满足什么条件时，该多项式是关于x的二次多项式；
（2）当m、n满足什么条件时，该多项式是关于x的三次二项式．
　
【练习】已知：关于x的多项式（a﹣6）x4+2x﹣﹣a是一个二次三项式，求：当x=﹣2时，这个二次三项式的值．
　
5.4同类项
同类项
同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项．
合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项．
合并同类项的法则：所得项的系数是合并前各同类项系数的和，且字母连同它的指数不变．
去括号合并同类项
如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；
如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反．
【练习】若﹣2amb4与5a2b2+n是同类项，则mn的值是（　　）
A．2 B．0 C．4 D．1
【例】若是同类项，则m+n=（　　）
A．﹣2 B．2 C．1 D．﹣1
【例】如果两个关于x、y的单项式2mxay3与﹣4nx3a﹣6y3是同类项（其中xy≠0）．
（1）求a的值；
（2）如果它们的和为零，求（m﹣2n﹣1）2017的值．
5.5整式的加减
整式加减的法则：几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加减号连接，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项．
整体代入思想，整式加减法，去括号和添括号的综合应用．
【例】有一道题目是一个多项式减去x2+14x﹣6，小强误当成了加法计算，结果得到2x2﹣x+3．正确的结果应该是多少？
　
【练习】化简求值：7a2b+（﹣4a2b+5ab2）﹣（2a2b﹣3ab2）．其中a=﹣1，b=2．
【例】先化简，再求值：3m2n﹣[mn2﹣（4mn2﹣6m2n）+m2n]+4mn2，其中m=﹣2，n=3．
【练习】先化简，再求值：5（3a2b﹣ab2）﹣（ab2+3a2b），其中a=，b=．
【练习】先化简，再求值：5（3a2b﹣ab2）﹣（ab2+3a2b），a=﹣，b=﹣．
【练习】先化简，再求值．
（6x2﹣3x2y）﹣[2xy2+（﹣2x2y+3x2）xy2]，其中x=，y=﹣1．
【练习】化简求值：3a2b﹣[2ab2﹣2（﹣a2b+4ab2）]﹣5ab2，其中a=﹣2，b=．
【例】规定一种新运算：a*b=a﹣b，当a=5，b=3时，求（a2b）*（3ab+5a2b﹣4ab）的值．
【练习】先化简，再求值：3x2y﹣[6xy﹣4（xy﹣x2y）]，其中x=﹣1，y=2018．
综合练习
一．选择题（共5小题）
1．若2x﹣3y2＝3，则1﹣x+y2的值是（　　）
A．﹣2 B．﹣ C． D．4
2．已知式子﹣3xm+1y3与xnym+n是同类项，则m，n的值分别是（　　）
A． B． C． D．
3．当x＝1时，代数式x3+x+m的值是9，则当x＝﹣1时，这个代数式的值是（　　）
A．7 B．5 C．3 D．1
4．给出下列结论：①单项式﹣的系数为﹣；②x与y的差的平方可表示为x2﹣y2；③化简（x+）﹣2（x﹣）的结果是﹣x+；④若单项式ax2yn+1与﹣axmy4的差是同类项，则m+n＝5．其中正确的结论有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．如图，4张如图1的长为a，宽为b（a＞b）长方形纸片，按图2的方式放置，阴影部分的面积为S1，空白部分的面积为S2，若S2＝2S1，则a，b满足（　　）
A．a＝ B．a＝2b C．a＝b D．a＝3b
二．填空题（共2小题）
6．已知2a﹣3b＝4，则3+6b﹣4a的值为　 　．
7．若M＝（x﹣2）（x﹣8），N＝（x﹣3）（x﹣7），则M与N的大小关系为：M　 　N．
三．解答题（共3小题）
8．先化简，再求值：4x2y﹣[6xy﹣3（4xy﹣2）﹣x2y﹣1]，其中x＝2，y＝﹣．
9．先化简，再求值：（4a2﹣2ab+b2）﹣3（a2﹣ab+b2），其中a＝﹣1，b＝﹣．
10．长春市发起了“保护伊通河”行动，某学校七年级两个班的115名学生积极参与，踊跃捐款．已知甲班有的学生每人捐了10元，乙班有的学生每人捐了10元，两个班其余学生每人捐了5元，设甲班有学生x人．
（1）用含x的代数式表示乙班人数：　 　；
（2）用含x的代数式表示两班捐款的总额；
（3）若x＝60，则两班共捐款多少元？
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第5讲 整式的加减
5.1代数式
代数式
代数式的概念：用基本的运算符号（包括加、减、乘、除、乘方与开方等）把数和表示数的字母连接起来的式子叫做代数式．例如：，，等．
单独的一个数或一个字母也是代数式．例如：，等．
2．代数式书写规范：
数与字母、字母与字母相乘时常省略“”号或用“”．
如：，，
数字通常写在字母前面．
如：，
带分数与字母相乘时要化成假分数．
如：，切勿错误写成“ ”
当字母前面的数字为或时，把数字省略．
如：，
除法常写成分数的形式．
如：
【例】下列代数式中：，2x+y，，，，0，整式有（　　） 个．
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【解答】解：整式有：2x+y，a2b，，0，
故选：B．
　
【例】在代数式π，x2+，x+xy，3x2+nx+4，﹣x，3，5xy，中，整式共有（　　）
A．7个 B．6个 C．5个 D．4个
【解答】解：在代数式π（单项式），x2+（分式），x+xy（多项式），3x2+nx+4（多项式），﹣x（单项式），3（单项式），5xy（单项式），（分式）中，整式共有6个，
5．2单项式
单项式
概念：数或字母的积叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式．
系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数．
字母是圆周率，当做数字来看待．
次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数．
对于单独一个非零的数，规定它的次数为．
单项式系数易错点
圆周率π是常数，如的系数是，次数是1；的系数是，次数是．
当一个单项式的系数是或时，通常省略不写数字“”，如，等．
代数式的系数是带分数时，通常写成假分数，如写成．
【例】单项式的系数是（　　）
A． B．﹣ C． D．﹣
【解答】解：单项式的系数是﹣，
故选：B．
【例】已知x2y|a|+（b+2）是关于x、y的五次单项式，求a2﹣3ab的值．
【解答】解：∵x2y|a|+（b+2）是关于x，y的五次单项式，
∴，
解得：，
则当a=﹣3，b=﹣2时，a2﹣3ab=9﹣18=﹣9；
当a=3，b=﹣2时，a2﹣3ab=9+18=27．
　
【例】下列单项式中，次数为3的是（　　）
A． B．mn C．3a2 D．
【解答】解：A、﹣次数为3，故此选项正确；
B、mn次数为2，故此选项错误；
C、3a2次数为2，故此选项错误；
D、﹣ab2c次数为2，故此选项错误
5．3多项式与整式
多项式
概念：几个单项式的和叫做多项式．
多项式的项：在多项式中，每个单项式叫做多项式的项．
其中，不含字母的项叫做常数项．
多项式的次数：一般地，多项式里次数最高的项的次数，就是这个多项式的次数．
降幂升幂排列：通常我们把一个多项式的各个项按照某个字母的指数从大到小
（降幂）或者从小到大（升幂）的顺序排列．
整式：单项式与多项式统称整式．
【例】关于x，y的多项式6mx2+4nxy+2x+2xy﹣x2+y+4不含二次项，求6m﹣2n+2的值．
【解答】解：∵多项式6mx2+4nxy+2x+2xy﹣x2+y+4=（6m﹣1）x2+（4n+2）xy+2x+y+4不含二次项，
即二次项系数为0，
即6m﹣1=0，
∴m=；
∴4n+2=0，
∴n=﹣，把m、n的值代入6m﹣2n+2中，
∴原式=6×﹣2×（﹣）+2=4．　
【例】（3m﹣4）x3﹣（2n﹣3）x2+（2m+5n）x﹣6是关于x的多项式．
（1）当m、n满足什么条件时，该多项式是关于x的二次多项式；
（2）当m、n满足什么条件时，该多项式是关于x的三次二项式．
【解答】解：（1）由题意得：3m﹣4=0，且2n﹣3≠0，
解得：m=，n≠；
（2）由题意得：2n﹣3=0，2m+5n=0，且3m﹣4≠0，
解得：n=，m=﹣．
　
【练习】已知：关于x的多项式（a﹣6）x4+2x﹣﹣a是一个二次三项式，求：当x=﹣2时，这个二次三项式的值．
【解答】解：根据题意得：，
解得：，
则原式=2x﹣x2﹣6，
当x=﹣2时，原式=﹣4﹣2﹣6=﹣12．
　
5.4同类项
同类项
同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项．
合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项．
合并同类项的法则：所得项的系数是合并前各同类项系数的和，且字母连同它的指数不变．
去括号合并同类项
如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；
如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反．
【练习】若﹣2amb4与5a2b2+n是同类项，则mn的值是（　　）
A．2 B．0 C．4 D．1
【解答】解：单项式﹣2amb4与5a2b2+n是同类项，
∴m=2，2+n=4，
∴m=2，n=2．
∴mn=22=4．
故选：C．
【例】若是同类项，则m+n=（　　）
A．﹣2 B．2 C．1 D．﹣1
【解答】解：由同类项的定义可知m+2=1且n﹣1=1，
解得m=﹣1，n=2，
所以m+n=1．
故选：C．
【例】如果两个关于x、y的单项式2mxay3与﹣4nx3a﹣6y3是同类项（其中xy≠0）．
（1）求a的值；
（2）如果它们的和为零，求（m﹣2n﹣1）2017的值．
【解答】解：（1）由题意，得
3a﹣6=a，
解得a=3；
（2）由题意，得
2m﹣4n=0，
解得m=2n，
（m﹣2n﹣1）2017=（﹣1）2017=﹣1．
5.5整式的加减
整式加减的法则：几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加减号连接，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项．
整体代入思想，整式加减法，去括号和添括号的综合应用．
【例】有一道题目是一个多项式减去x2+14x﹣6，小强误当成了加法计算，结果得到2x2﹣x+3．正确的结果应该是多少？
【解答】解：设该多项式为A，
由题意可知：A+（x2+14x﹣6）=2x2﹣x+3，
∴A=2x2﹣x+3﹣（x2+14x﹣6）
=2x2﹣x+3﹣x2﹣14x+6
=x2﹣15x+9
∴正确结果为：x2﹣15x+9﹣（x2+14x﹣6）
=x2﹣15x+9﹣x2﹣14x+6
=﹣29x+15
　
【练习】化简求值：7a2b+（﹣4a2b+5ab2）﹣（2a2b﹣3ab2）．其中a=﹣1，b=2．
【解答】解：7a2b+（﹣4a2b+5ab2）﹣（2a2b﹣3ab2）
=7a2b﹣4a2b+5ab2﹣2a2b+3ab2
=（7﹣4﹣2）a2b+（5+3）ab2
=a2b+8ab2
当a=﹣1，b=2时，
原式=（﹣1）2×2+8×（﹣1）×22
=2﹣32
=﹣30．
【例】先化简，再求值：3m2n﹣[mn2﹣（4mn2﹣6m2n）+m2n]+4mn2，其中m=﹣2，n=3．
【解答】解：原式=3m2n﹣（mn2﹣2mn2+3m2n+m2n）+4mn2
=3m2n﹣mn2+2mn2﹣3m2n﹣m2n+4mn2
=﹣m2n+5mn2
当m=﹣2，n=3时，
原式=﹣（﹣2）2×3+5×（﹣2）×32
=﹣102．
【练习】先化简，再求值：5（3a2b﹣ab2）﹣（ab2+3a2b），其中a=，b=．
【解答】解：5（3a2b﹣ab2）﹣（ab2+3a2b）
=15a2b﹣5ab2﹣ab2﹣3a2b
=12a2b﹣6ab2
当a=，b=时，
原式=12××﹣6××=1﹣=．
【练习】先化简，再求值：5（3a2b﹣ab2）﹣（ab2+3a2b），a=﹣，b=﹣．
【解答】解：原式=15a2b﹣5ab2﹣ab2﹣3a2b
=12a2b﹣6ab2
当a=﹣，b=﹣时，
原式=﹣1+
=﹣．
【练习】先化简，再求值．
（6x2﹣3x2y）﹣[2xy2+（﹣2x2y+3x2）xy2]，其中x=，y=﹣1．
【解答】解：当x=，y=﹣1时，
原式=4x2﹣2x2y﹣[2xy2﹣2x2y+3x2xy2]
=4x2﹣2x2y﹣[xy2﹣2x2y+3x2]
=4x2﹣2x2y﹣xy2+2x2y﹣3x2
=x2﹣xy2
=﹣
=﹣
【练习】化简求值：3a2b﹣[2ab2﹣2（﹣a2b+4ab2）]﹣5ab2，其中a=﹣2，b=．
【解答】解：原式=3a2b﹣（2ab2+2a2b﹣8ab2）﹣5ab2
=3a2b﹣2ab2﹣2a2b+8ab2﹣5ab2
=a2b+ab2
当a=﹣2，b=时，
原式=4×+（﹣2）×
=2﹣
=
【例】规定一种新运算：a*b=a﹣b，当a=5，b=3时，求（a2b）*（3ab+5a2b﹣4ab）的值．
【解答】解：（a2b）*（3ab+5a2b﹣4ab）=（a2b）﹣（3ab+5a2b﹣4ab）
=a2b﹣3ab﹣5a2b+4ab
=﹣4a2b+ab，
当a=5，b=3时，原式=﹣4×52×3+5×3=﹣285．
【练习】先化简，再求值：3x2y﹣[6xy﹣4（xy﹣x2y）]，其中x=﹣1，y=2018．
【解答】解：当x=﹣1，y=2018时，
原式=3x2y﹣（6xy﹣6xy+2x2y）
=3x2y﹣2x2y
=x2y
=1×2018
=2018
综合练习
一．选择题（共5小题）
1．若2x﹣3y2＝3，则1﹣x+y2的值是（　　）
A．﹣2 B．﹣ C． D．4
【解答】解：∵2x﹣3y2＝3，
∴x﹣y2＝，
则原式＝1﹣（x﹣y2）
＝1﹣
＝﹣，
故选：B．
2．已知式子﹣3xm+1y3与xnym+n是同类项，则m，n的值分别是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：由题意可知：
∴解得：，
故选：D．
3．当x＝1时，代数式x3+x+m的值是9，则当x＝﹣1时，这个代数式的值是（　　）
A．7 B．5 C．3 D．1
【解答】解：由题意知1+1+m＝9，
则m＝7，
∴当x＝﹣1时，x3+x+m
＝﹣1﹣1+7
＝5，
故选：B．
4．给出下列结论：①单项式﹣的系数为﹣；②x与y的差的平方可表示为x2﹣y2；③化简（x+）﹣2（x﹣）的结果是﹣x+；④若单项式ax2yn+1与﹣axmy4的差是同类项，则m+n＝5．其中正确的结论有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：①单项式﹣的系数为﹣，故正确；②x与y的差的平方可表示为（x﹣y）2，原说法错误；
③化简（x+）﹣2（x﹣）的结果是﹣x+，故正确；④若单项式ax2yn+1与﹣axmy4的差是同类项，n+1＝4，m＝2，故n＝3，m＝2，m+n＝5，故正确．
故选：C．
5．如图，4张如图1的长为a，宽为b（a＞b）长方形纸片，按图2的方式放置，阴影部分的面积为S1，空白部分的面积为S2，若S2＝2S1，则a，b满足（　　）
A．a＝ B．a＝2b C．a＝b D．a＝3b
【解答】解：由图形可知，
，
，
∵S2＝2S1，
∴a2+2b2＝2（2ab﹣b2），
∴a2﹣4ab+4b2＝0，
即（a﹣2b）2＝0，
∴a＝2b，
故选：B．
二．填空题（共2小题）
6．已知2a﹣3b＝4，则3+6b﹣4a的值为　﹣5　．
【解答】解：∵2a﹣3b＝4，
∴3+6b﹣4a＝3﹣2（2a+3b）＝3﹣2×4＝﹣5．
故答案为：﹣5．
7．若M＝（x﹣2）（x﹣8），N＝（x﹣3）（x﹣7），则M与N的大小关系为：M　＜　N．
【解答】解：∵M＝（x﹣2）（x﹣8），N＝（x﹣3）（x﹣7）
分别展开得，M＝x2﹣10x+16，N＝x2﹣10x+21．
M﹣N＝（x2﹣10x+16）﹣（x2﹣10x+21）＝16﹣21＝﹣5
∴x2﹣10x+16＜x2﹣10x+21．
即M＜N．
故答案为M＜N．
三．解答题（共3小题）
8．先化简，再求值：4x2y﹣[6xy﹣3（4xy﹣2）﹣x2y﹣1]，其中x＝2，y＝﹣．
【解答】解：原式＝4x2y﹣（6xy﹣12xy+6﹣x2y﹣1）
＝4x2y﹣（﹣6xy﹣x2y+5）
＝4x2y+6xy+x2y﹣5
＝5x2y+6xy﹣5
当x＝2，y＝时，
原式＝5×4×（）+6×2×（）﹣5
＝﹣10﹣6﹣5
＝﹣21；
9．先化简，再求值：（4a2﹣2ab+b2）﹣3（a2﹣ab+b2），其中a＝﹣1，b＝﹣．
【解答】解：原式＝4a2﹣2ab+b2﹣3a2+3ab﹣3b2
＝a2+ab﹣2b2，
当a＝﹣1，b＝时，
原式＝1+﹣
＝1．
10．长春市发起了“保护伊通河”行动，某学校七年级两个班的115名学生积极参与，踊跃捐款．已知甲班有的学生每人捐了10元，乙班有的学生每人捐了10元，两个班其余学生每人捐了5元，设甲班有学生x人．
（1）用含x的代数式表示乙班人数：　115﹣x　；
（2）用含x的代数式表示两班捐款的总额；
（3）若x＝60，则两班共捐款多少元？
【解答】解：（1）由题意可得，
乙班人数为：115﹣x，
故答案为：115﹣x；
（2）
＝
＝+805，
即两班捐款的总额是（+805）元；
（3）当x＝60时，
+805＝﹣×60+805＝﹣20+805＝785（元），
答：x＝60时，两班共捐款785元
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