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第5讲 整式的加减
5.1代数式
代数式
代数式的概念：用基本的运算符号（包括加、减、乘、除、乘方与开方等）把数和表示数的字母连接起来的式子叫做代数式．例如：，，等．
单独的一个数或一个字母也是代数式．例如：，等．
2．代数式书写规范：
数与字母、字母与字母相乘时常省略“”号或用“”．
如：，，
数字通常写在字母前面．
如：，
带分数与字母相乘时要化成假分数．
如：，切勿错误写成“ ”
当字母前面的数字为或时，把数字省略．
如：，
除法常写成分数的形式．
如：
【例】在式子x2+2x，﹣1，a+，2xy，t＞1中，整式有　_____个．
【解答】解：式子x2+2x，﹣1，a+，2xy，t＞1中，整式有：x2+2x，﹣1，2xy，共3个．
故答案为：3．
5．2单项式
单项式
概念：数或字母的积叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式．
系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数．
字母是圆周率，当做数字来看待．
次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数．
对于单独一个非零的数，规定它的次数为．
单项式系数易错点
圆周率π是常数，如的系数是，次数是1；的系数是，次数是．
当一个单项式的系数是或时，通常省略不写数字“”，如，等．
代数式的系数是带分数时，通常写成假分数，如写成．
【例】的系数次数分别为（　　）
A．，7 B．，6 C．，8 D．5π，6
【解答】解：的系数为，次数为6，
故选：B．
【例】下列关于单项式﹣的说法中，正确的是（　　）
A．系数是1，次数是2 B．系数是﹣，次数是2
C．系数是，次数是3 D．系数是﹣，次数是3
【解答】解：该单项式的系数为：，次数为3，注意π是一个数，
故选：D．
【例】若3xmyn是含有字母x和y的5次单项式，求mn的最大值．
【解答】解：因为3xmyn是含有字母x和y的五次单项式
所以m+n=5
所以m=1，n=4时，mn=14=1；
m=2，n=3时，mn=23=8；
m=3，n=2时，mn=32=9；
m=4，n=1时，mn=41=4，
故mn的最大值为9．
　
5．3多项式与整式
多项式
概念：几个单项式的和叫做多项式．
多项式的项：在多项式中，每个单项式叫做多项式的项．
其中，不含字母的项叫做常数项．
多项式的次数：一般地，多项式里次数最高的项的次数，就是这个多项式的次数．
降幂升幂排列：通常我们把一个多项式的各个项按照某个字母的指数从大到小
（降幂）或者从小到大（升幂）的顺序排列．
整式：单项式与多项式统称整式．
【例】已知多项式（m﹣1）x4﹣xn+2x﹣5是三次三项式，则（m+1）n=______．
【解答】解：由题意得：m=1，n=3，
则（m+1）n=8．
故答案为：8
【例】如果多项式（﹣a﹣1）x2﹣xb+x+1是关于x的四次三项式，那么这个多项式的最高次项系数是_____，2次项是_____
【解答】解：由题意得：b=4，﹣a﹣1=0，
解得：a=﹣1，
∴多项式﹣x4+x+1这个多项式的最高次项系数是﹣，2次项是0，
故答案为：﹣；0．
【例】已知关于x的多项式x4﹣（m﹣2）x3+6x2﹣（n+1）x+3不含三次项和一次项，求m2n+mn2的值．
【解答】解：∵关于x的多项式x4﹣（m﹣2）x3+6x2﹣（n+1）x+3不含三次项和一次项，
∴，
∴解得：，
∴m2n+mn2=22×（﹣1）+2×（﹣1）2
=﹣4+2
=﹣2．
5.4同类项
同类项
同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项．
合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项．
合并同类项的法则：所得项的系数是合并前各同类项系数的和，且字母连同它的指数不变．
去括号合并同类项
如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；
如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反．
【例】已知代数式﹣5am﹣1b2n﹣3与2abn+3是同类项，那么m﹣n的值是（　　）
A．5 B．﹣5 C．4 D．﹣4
【解答】解：∵﹣5am﹣1b2n﹣3与2abn+3是同类项，
∴m﹣1=1，2n﹣3=n+3．解得：m=2，n=6，
∴m﹣n=2﹣6=﹣4．
故选：D．
【例】若3xm+5y2与x3yn的和是单项式，则mn的值为（　　）
A．﹣4 B．4 C．﹣ D．
【解答】解：由题意得：3xm+5y2与x3yn是同类项，
则m+5=3，n=2，
解得m=﹣2，n=2，
则mn=（﹣2）2=4．
【例】已知单项式﹣m2x﹣1n9和m5n3y是同类项，求代数式x﹣5y的值．
【解答】解：∵单项式﹣m2x﹣1n9和m5n3y是同类项，
∴2x﹣1=5，3y=9，
∴x=3，y=3，
∴x﹣5y=×3﹣5×3=﹣13.5．
【例】若2x2y2b+3与xa+1y是同类项，求a，b的值．
【解答】解：由题意可知：a+1=2，2b+3=b﹣1
∴a=1，
∵2b+3=b﹣1
∴6b+9=2b﹣3
∴b=﹣3
即a=1，b=﹣3
　
5.5整式的加减
整式加减的法则：几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加减号连接，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项．
整体代入思想，整式加减法，去括号和添括号的综合应用．
【例】一个长方形的周长为6a+8b，其中一边长为2a﹣b，则另一边长为（　　）
A．4a+5b B．a+b C．a+5b D．a+7b
【解答】解：由题意可知：长方形的长和宽之和为：=3a+4b，
∴另一边长为：3a+4b﹣（2a﹣b）=3a+4b﹣2a+b=a+5b，
故选：C．
【练习】先化简下式，再求值：
2x2﹣[3（﹣x2+xy）﹣2y2]﹣2（x2﹣xy+2y2），其中x=，y=﹣1．
【解答】解：原式=2x2+x2﹣2xy+2y2﹣2x2+2xy﹣4y2=x2﹣2y2，
当x=，y=﹣1时，原式=﹣2=﹣1．
【例】先化简，再求值：（2x2﹣1+3x）+4（1﹣3x﹣2x2），其中x=﹣1．
【解答】解：（2x2﹣1+3x）+4（1﹣3x﹣2x2），
=2x2﹣1+3x+4﹣12x﹣8x2，
=﹣6x2﹣9x+3，
把x=﹣1代入﹣6x2﹣9x+3=﹣6+9+3=6．
【练习】先化简，再求值：﹣a2b+（3ab2﹣a2b）﹣2（2ab2﹣a2b），其中 a=﹣1，b=﹣2．
【解答】解：原式=﹣a2b+3ab2﹣a2b﹣4ab2+2a2b
=﹣ab2，
当a=﹣1、b=﹣2时，
原式=﹣（﹣1）×（﹣2）2
=1×4
=4．
【练习】已知：A=x﹣y+2，B=x﹣y﹣1．
（1）求A﹣2B；
（2）若3y﹣x的值为2，求A﹣2B的值．
【解答】解：（1）∵A=x﹣y+2，B=x﹣y﹣1，
∴A﹣2B=x﹣y+2﹣2（x﹣y﹣1）
=﹣x+y+4；
（2）∵3y﹣x=2，
∴x﹣3y=﹣2，
∴A﹣2B=﹣x+y+4=﹣（x﹣3y）+4=﹣×（﹣2）+4=5．
【例】先化简，再求值：2（x2﹣2x﹣2）﹣（2x+1），其中x=﹣．
【解答】解：原式=2x2﹣4x﹣4﹣2x﹣1
=2x2﹣6x﹣5
当x=时，
原式===
综合练习
一．选择题（共5小题）
1．若2x﹣3y2＝3，则1﹣x+y2的值是（　　）
A．﹣2 B．﹣ C． D．4
【解答】解：∵2x﹣3y2＝3，
∴x﹣y2＝，
则原式＝1﹣（x﹣y2）
＝1﹣
＝﹣，
故选：B．
2．已知式子﹣3xm+1y3与xnym+n是同类项，则m，n的值分别是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：由题意可知：
∴解得：，
故选：D．
3．当x＝1时，代数式x3+x+m的值是9，则当x＝﹣1时，这个代数式的值是（　　）
A．7 B．5 C．3 D．1
【解答】解：由题意知1+1+m＝9，
则m＝7，
∴当x＝﹣1时，x3+x+m
＝﹣1﹣1+7
＝5，
故选：B．
4．给出下列结论：①单项式﹣的系数为﹣；②x与y的差的平方可表示为x2﹣y2；③化简（x+）﹣2（x﹣）的结果是﹣x+；④若单项式ax2yn+1与﹣axmy4的差是同类项，则m+n＝5．其中正确的结论有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：①单项式﹣的系数为﹣，故正确；②x与y的差的平方可表示为（x﹣y）2，原说法错误；
③化简（x+）﹣2（x﹣）的结果是﹣x+，故正确；④若单项式ax2yn+1与﹣axmy4的差是同类项，n+1＝4，m＝2，故n＝3，m＝2，m+n＝5，故正确．
故选：C．
5．如图，4张如图1的长为a，宽为b（a＞b）长方形纸片，按图2的方式放置，阴影部分的面积为S1，空白部分的面积为S2，若S2＝2S1，则a，b满足（　　）
A．a＝ B．a＝2b C．a＝b D．a＝3b
【解答】解：由图形可知，
，
，
∵S2＝2S1，
∴a2+2b2＝2（2ab﹣b2），
∴a2﹣4ab+4b2＝0，
即（a﹣2b）2＝0，
∴a＝2b，
故选：B．
二．填空题（共2小题）
6．已知2a﹣3b＝4，则3+6b﹣4a的值为　﹣5　．
【解答】解：∵2a﹣3b＝4，
∴3+6b﹣4a＝3﹣2（2a+3b）＝3﹣2×4＝﹣5．
故答案为：﹣5．
7．若M＝（x﹣2）（x﹣8），N＝（x﹣3）（x﹣7），则M与N的大小关系为：M　＜　N．
【解答】解：∵M＝（x﹣2）（x﹣8），N＝（x﹣3）（x﹣7）
分别展开得，M＝x2﹣10x+16，N＝x2﹣10x+21．
M﹣N＝（x2﹣10x+16）﹣（x2﹣10x+21）＝16﹣21＝﹣5
∴x2﹣10x+16＜x2﹣10x+21．
即M＜N．
故答案为M＜N．
三．解答题（共3小题）
8．先化简，再求值：4x2y﹣[6xy﹣3（4xy﹣2）﹣x2y﹣1]，其中x＝2，y＝﹣．
【解答】解：原式＝4x2y﹣（6xy﹣12xy+6﹣x2y﹣1）
＝4x2y﹣（﹣6xy﹣x2y+5）
＝4x2y+6xy+x2y﹣5
＝5x2y+6xy﹣5
当x＝2，y＝时，
原式＝5×4×（）+6×2×（）﹣5
＝﹣10﹣6﹣5
＝﹣21；
9．先化简，再求值：（4a2﹣2ab+b2）﹣3（a2﹣ab+b2），其中a＝﹣1，b＝﹣．
【解答】解：原式＝4a2﹣2ab+b2﹣3a2+3ab﹣3b2
＝a2+ab﹣2b2，
当a＝﹣1，b＝时，
原式＝1+﹣
＝1．
10．长春市发起了“保护伊通河”行动，某学校七年级两个班的115名学生积极参与，踊跃捐款．已知甲班有的学生每人捐了10元，乙班有的学生每人捐了10元，两个班其余学生每人捐了5元，设甲班有学生x人．
（1）用含x的代数式表示乙班人数：　115﹣x　；
（2）用含x的代数式表示两班捐款的总额；
（3）若x＝60，则两班共捐款多少元？
【解答】解：（1）由题意可得，
乙班人数为：115﹣x，
故答案为：115﹣x；
（2）
＝
＝+805，
即两班捐款的总额是（+805）元；
（3）当x＝60时，
+805＝﹣×60+805＝﹣20+805＝785（元），
答：x＝60时，两班共捐款785元
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第5讲 整式的加减
5.1代数式
代数式
代数式的概念：用基本的运算符号（包括加、减、乘、除、乘方与开方等）把数和表示数的字母连接起来的式子叫做代数式．例如：，，等．
单独的一个数或一个字母也是代数式．例如：，等．
2．代数式书写规范：
数与字母、字母与字母相乘时常省略“”号或用“”．
如：，，
数字通常写在字母前面．
如：，
带分数与字母相乘时要化成假分数．
如：，切勿错误写成“ ”
当字母前面的数字为或时，把数字省略．
如：，
除法常写成分数的形式．
如：
【例】在式子x2+2x，﹣1，a+，2xy，t＞1中，整式有　_____个．
5．2单项式
单项式
概念：数或字母的积叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式．
系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数．
字母是圆周率，当做数字来看待．
次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数．
对于单独一个非零的数，规定它的次数为．
单项式系数易错点
圆周率π是常数，如的系数是，次数是1；的系数是，次数是．
当一个单项式的系数是或时，通常省略不写数字“”，如，等．
代数式的系数是带分数时，通常写成假分数，如写成．
【例】的系数次数分别为（　　）
A．，7 B．，6 C．，8 D．5π，6
【例】下列关于单项式﹣的说法中，正确的是（　　）
A．系数是1，次数是2 B．系数是﹣，次数是2
C．系数是，次数是3 D．系数是﹣，次数是3
【例】若3xmyn是含有字母x和y的5次单项式，求mn的最大值．
　
5．3多项式与整式
多项式
概念：几个单项式的和叫做多项式．
多项式的项：在多项式中，每个单项式叫做多项式的项．
其中，不含字母的项叫做常数项．
多项式的次数：一般地，多项式里次数最高的项的次数，就是这个多项式的次数．
降幂升幂排列：通常我们把一个多项式的各个项按照某个字母的指数从大到小
（降幂）或者从小到大（升幂）的顺序排列．
整式：单项式与多项式统称整式．
【例】已知多项式（m﹣1）x4﹣xn+2x﹣5是三次三项式，则（m+1）n=______．
【例】如果多项式（﹣a﹣1）x2﹣xb+x+1是关于x的四次三项式，那么这个多项式的最高次项系数是_____，2次项是_____
【例】已知关于x的多项式x4﹣（m﹣2）x3+6x2﹣（n+1）x+3不含三次项和一次项，求m2n+mn2的值．
5.4同类项
同类项
同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项．
合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项．
合并同类项的法则：所得项的系数是合并前各同类项系数的和，且字母连同它的指数不变．
去括号合并同类项
如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；
如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反．
【例】已知代数式﹣5am﹣1b2n﹣3与2abn+3是同类项，那么m﹣n的值是（　　）
A．5 B．﹣5 C．4 D．﹣4
【例】若3xm+5y2与x3yn的和是单项式，则mn的值为（　　）
A．﹣4 B．4 C．﹣ D．
【例】已知单项式﹣m2x﹣1n9和m5n3y是同类项，求代数式x﹣5y的值．
【例】若2x2y2b+3与xa+1y是同类项，求a，b的值．
　
5.5整式的加减
整式加减的法则：几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加减号连接，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项．
整体代入思想，整式加减法，去括号和添括号的综合应用．
【例】一个长方形的周长为6a+8b，其中一边长为2a﹣b，则另一边长为（　　）
A．4a+5b B．a+b C．a+5b D．a+7b
【练习】先化简下式，再求值：
2x2﹣[3（﹣x2+xy）﹣2y2]﹣2（x2﹣xy+2y2），其中x=，y=﹣1．
【例】先化简，再求值：（2x2﹣1+3x）+4（1﹣3x﹣2x2），其中x=﹣1．
【练习】先化简，再求值：﹣a2b+（3ab2﹣a2b）﹣2（2ab2﹣a2b），其中 a=﹣1，b=﹣2．
【练习】已知：A=x﹣y+2，B=x﹣y﹣1．
（1）求A﹣2B；
（2）若3y﹣x的值为2，求A﹣2B的值．
【例】先化简，再求值：2（x2﹣2x﹣2）﹣（2x+1），其中x=﹣．
综合练习
一．选择题（共5小题）
1．若2x﹣3y2＝3，则1﹣x+y2的值是（　　）
A．﹣2 B．﹣ C． D．4
2．已知式子﹣3xm+1y3与xnym+n是同类项，则m，n的值分别是（　　）
A． B． C． D．
3．当x＝1时，代数式x3+x+m的值是9，则当x＝﹣1时，这个代数式的值是（　　）
A．7 B．5 C．3 D．1
4．给出下列结论：①单项式﹣的系数为﹣；②x与y的差的平方可表示为x2﹣y2；③化简（x+）﹣2（x﹣）的结果是﹣x+；④若单项式ax2yn+1与﹣axmy4的差是同类项，则m+n＝5．其中正确的结论有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．如图，4张如图1的长为a，宽为b（a＞b）长方形纸片，按图2的方式放置，阴影部分的面积为S1，空白部分的面积为S2，若S2＝2S1，则a，b满足（　　）
A．a＝ B．a＝2b C．a＝b D．a＝3b
二．填空题（共2小题）
6．已知2a﹣3b＝4，则3+6b﹣4a的值为　 　．
7．若M＝（x﹣2）（x﹣8），N＝（x﹣3）（x﹣7），则M与N的大小关系为：M　 　N．
三．解答题（共3小题）
8．先化简，再求值：4x2y﹣[6xy﹣3（4xy﹣2）﹣x2y﹣1]，其中x＝2，y＝﹣．
9．先化简，再求值：（4a2﹣2ab+b2）﹣3（a2﹣ab+b2），其中a＝﹣1，b＝﹣．
10．长春市发起了“保护伊通河”行动，某学校七年级两个班的115名学生积极参与，踊跃捐款．已知甲班有的学生每人捐了10元，乙班有的学生每人捐了10元，两个班其余学生每人捐了5元，设甲班有学生x人．
（1）用含x的代数式表示乙班人数：　 　；
（2）用含x的代数式表示两班捐款的总额；
（3）若x＝60，则两班共捐款多少元？
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