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第三单元 函数
专题3 反比例函数
考点1 反比例函数的概念、图象及性质
1.已知反比例函数 当 时，y随x的增大而减小，那么一次函数 的图象经过第( )
A.一、二、三象限 B.一、二、四象限 C.一、三、四象限 D.二、三、四象限
2.已知反比例函数 的图象与正比例函数 的图象相交于A，B两点，若点A的坐标是(1，2)，则点B的坐标是( )
3.反比例函数 经过点(2，1)，则下列说法错误的是( )
B.函数图象分布在第一、三象限
C.当 )时，y随x的增大而增大 D.当 )时，y随x的增大而减小
4.已知正比例函数 和反比例函数 在同一直角坐标系下的图象如图所示，其中符合 的是( )
A. ①② B. ①④ C. ②③ D. ③④
5.如图，在平面直角坐标系中，函数 与的图象交于点，则代数式 的值为( )
6.请写出一个图象在第二、四象限的反比例函数的表达式：__________________.
7.已知点 和点 在反比例函数 的图象上，则与的大小关系是________________.
8.如图，矩形ABOC的顶点A在反比例函数y= 的图象上，矩形ABOC的面积为3，则
9.如图，一次函数 的图象与反比例函数 的图象相交，其中一个交点的横坐标是1.
(1)求k的值；
(2)若将一次函数 的图象向下平移4个单位长度，平移后所得到的图象与反比例函数 的图象相交于A，B两点，求此时线段AB的长.
10.设函数
(1)当2≤x≤3时，函数的最大值是，函数的最小值是，求和的值；
(2)设，且，当时，；当时， .圆圆说：“一定大于”.你认为圆圆的说法正确吗 为什么
考点2 反比例函数的综合应用
1.已知：如图，直线y1 与双曲线 在第一象限交于点P(1，t)，与x轴、y轴分别交于A，B两点，则下列结论错误的是( )
A. B.△AOB是等腰直角三角形 C. D.当时，
2.定义：一次函数 的特征数为，若一次函数 的图象向上平移3个单位长度后与反比例函数 的图象交于A，B两点，且点A，B关于原点对称，则一次函数 的特征数是( )
3.如图，OC交双曲线 于点A，且OC：OA=5：3.若矩形ABCD的面积是8，且AB∥轴，则k的值是( )
4.已知点A为直线： 上一点，过点A作AB∥轴，交双曲线 于点B.若点A与点B关于y轴对称，则点A的坐标为____________.
5.如图，A、B两点在反比例函数 的图象上，AB的延长线交轴于点C，且 2BC，则△AOC的面积是_____________.
6.如图，过反比例函数 图象上的四点 分别作轴的垂线，垂足分别为 再过 分别作y轴的垂线， 构造了四个相邻的矩形.若这四个矩形的面积从左到右依次为S1，S2，S3，S4，则S1与S4的数量关系为____________ .
7.如图，在平面直角坐标系中，O(0，0)，A(3，1)，B(1，2).反比例函数 的图象经过 平行四边形OABC的顶点C，则 ___________.
8.如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与y轴相交于点A，与反比例函数 在第一象限内的图象相交于点，过点B作 轴于点C.
(1)求反比例函数的解析式；
(2)求 的面积.
9.如图所示，一次函数的图象与反比例函数 的图象交于第二、四象限的点和点 ，过点A作x轴的垂线，垂足为C，△AOC的面积为4.
(1)分别求出和的值；
(2)结合图象直接写出 中的取值范围；
(3)在y轴上取点，使 .取得最大值时，求出点的坐标.
10.如图，在Rt△ABC中， 顶点A，B都在反比例函数 的图象上，直线AC⊥轴，垂足为D，连接OA，OC，并延长OC交AB于点E.当AB=2OA时，点E恰为AB的中点，∠AOD=45°，.
(1)求反比例函数的解析式；
(2)求 的度数.
考点3 反比例函数的实际应用
1.某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压(单位：kPa)是气体体积(单位： )的反比例函数： 能够反映两个变量和函数关系的图象是 ( )
2.已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I(单位：A)与电阻R(单位：Ω)是反比例函数关系，它的图象如图所示.下列说法正确的是( )
A.函数解析式为 B.蓄电池的电压是18 V
C.当 .时， D.当 时，
3.通过实验研究发现：初中生在数学课上听课注意力指标随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生兴趣激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随后开始分散.学生注意力指标y随时间x(分钟)变化的函数图象如图所示，当 和 时，图象是线段；当 5时，图象是反比例函数的一部分.
(1)求点A对应的指标值；
(2)张老师在一节课上讲解一道数学综合题需要17分钟，他能否经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标都不低于36 请说明理由.
4.南宁至玉林高速铁路已于去年开工建设。玉林良睦隧道是全线控制性工程，首期打通共有土石方总量为600千立方米，设计划平均每天挖掘土石方x千立方米，总需用时间y天，且完成首期工程限定时间不超过600天.
(1)求y与x之间的函数关系式及自变量x的取值范围；
(2)由于工程进度的需要，实际平均每天挖掘土石方比原计划多0.2千立方米，工期比原计划提前了100天完成，求实际挖掘了多少天才能完成首期工程
专题检测
一、选择题(每小题3分，共30分)
1.下列函数，是反比例函数的是 ( )
2.若 则正比例函数 与反比例函数 在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是( )
3.反比例函数 的图象分别位于第二、四象限，则直线 不经过的象限是( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
4.已知点 都在反比例函数 的图象上，且 则的大小关系是( )
5.如图，正比例函数 一次函数 和反比例函数 的图象在同一直角坐标系中，若 则自变量的取值范围是( )
或 或
6.关于某个函数表达式，甲、乙、丙三位同学都正确地说出了该函数的一个特征.
甲：函数图象经过点
乙：函数图象经过第四象限；
丙：当 时，y随x的增大而增大.
则这个函数表达式可能是( )
7.根据反比例函数的性质、联系化学学科中的溶质质量分数的求法以及生活体验等，判定下列有关函数y= (a为常数且 的性质表述中，正确的是( )
①y随x的增大而增大 ②y随x的增大而减小 ③ ④
A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④
8.如图，点P()，点 都在反比例函数 的图象上.过点P分别向x轴、y轴作垂线，垂足分别为点M，N.连接OP，OQ，PQ.若四边形OMPN的面积记作，△POQ的面积记作，则( )
9.如图，菱形ABCD的两个顶点A，C在反比例函数 的图象上，对角线AC，BD的交点恰好是坐标原点O.已知点 ，则的值是( )
A.5 B.4 C.3 D.2
10.实验证实，放射性物质在放出射线后，质量将减少，减少的速度开始较快，后来较慢，实际上，物质所剩的质量与时间成某种函数关系.
如图为表示镭的放射规律的函数图象，据此可计算32 mg镭缩减为1 mg所用的时间大约是( )
A. 4860年 B. 6480年 C. 8100年 D. 9720年
二、填空题(每小题4分，共24分)
11.若点A(1，y1)，B(3，y2)在反比例函数 的图象上，则y1 ______ y2(填“”“”或“”).
12.一次函数 的图象与反比例函数 的图象的两个交点分别是A(-1，-4)，B(2，m)，则
13.如图，已知点A(5，2)，B(5，4)，C(8，1).直线上x轴，垂足为M(m，0).其中 若△与△关于直线对称，且△有两个顶点在函数
的图象上，则k的值为___________ .
14.如图，已知在平面直角坐标系中， 的直角顶点B在x轴的正半轴上，点A在第一象限，比例函数 的图象经过OA的中点C，交AB于点D，连接CD若△ACD的面积是2，则k的值是_____________ .
15.如图，点A在双曲线 上，点B在双曲线 上，AB∥x轴，过点A作 轴于点D，连接OB，与AD相交于点C，若 2CD，则k的值为___________.
16.如图，点A(-2，2)在反比例函数 的图象上，点M在x轴的正半轴上，点N在y轴的负半轴上，且 点P(x，y)是线段MN上一动点，过点A和P分别作x轴的垂线，垂足为点D和E，连接OA、OP.当 时，x的取值范围是________.
三、解答题(共46分)
17.(18分)如图，已知一次函数 kx+b与反比例函数 的图象在第一、第三象限分别交于A(3，4)，B(a，-2)两点，直线AB与y轴、x轴分别交于C，D两点.
(1)求一次函数和反比例函数的解析式；
(2)比较大小：AD_________BC(填“”“”或“”)；
(3)直接写出 时x的取值范围.
18.(14分)已知：如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，与y轴正半轴交于点C，与x轴负半轴交于点D,
(1)求反比例函数的解析式；
(2)当 时，求点C的坐标.
19.(14分)阅读下面的材料：
如果函数满足：对于自变量x取值范围内的任意
(1)若 都有 则称是增函数；
(2)若 都有 则称是减函数.
例题：证明函数 是增函数.
证明：任取 ，且
则
且
即
∴函数 是增函数.
根据以上材料解答下列问题：
(1)函数 ________.
(2)猜想 是____________函数(填“增”或“减”)，并证明你的猜想.
参考答案
考点1 反比例函数的概念、图象及性质
1.B ∵反比例函数 当 时，y随x的增大而减小， ∴函数图象经过第一、二、四象限.
2.C 根据题意，知点A与B关于原点对称，∵点A的坐标是(1，2)，∴B点的坐标为
3.C 把(2，1)代入 得 ，双曲线位于第一、三象限，且在每一象限内y随x的增大而减小，故选项C错误.
4.B 由题图①可知 则 0；由题图②可知 则 0；由题图③可知 则 由题图④可知
5.C ∵AP(a，b)是反比例函数与一次函数的交点， 即
(答案不唯一)
∵反比例函数 中，，∴此函数在每个象限内，y随x的增大而减小，“点 和点B在反比例函数 的图象上，
8.3 ∵矩形ABOC的面积为3， 又
9.解 (1)将 代入 ∴交点的坐标为(1，3)，
将(1，3)代入 解得
(2)将一次函数 的图象向下平移4个单位长度得到
由解得或 ∴,
10.解 (1)∵随的增大而减小，随的增大而增大，
∴当 8时，y1最大值为 .①;
当 d时，最小值为 (②;
由①②解得
(2)圆圆的说法不正确，理由如下：
设 ，且 则
∴当时，当 时，
∴, ∴圆圆的说法不正确.
考点2 反比例函数的综合应用
1.D ∵点P(1，t)在双曲线 上， 2，正确，∴A选项不符合题意； ∵P(1，2)在直线 上， 正确，∴C选项不符合题意；∴直线AB的解析式为 令 则 ∴B(0,1). 令 则 ∴A(-1,0), ∴△为等腰直角三角形，正确，∴B选项不符合题意；由图象可知，当 时， ∴D选项不正确，符合题意.
2.D 将一次函数 向上平移3个单位长度后得到 设 0),B,联立
和是方程的两根，∴ 又∵A，B两点关于原点对称，
根据定义知一次函数 的特征数是
3.A 方法1: 由 得 如图，分别延长DA，CB，交x轴于点E，F，则有
方法2：由 设，则，
即 2，所以
或 因为点A在直线 上，因此可设 ，则点A关于y轴对称的点 由点B在反比例函数 的图象上可得 解得 所以 或 ).
5.6 如图，过点A作 过点B作 ∵A、B两点在反比例函数的图象上，∴设 ∵AB=2BC, ∴点B的纵坐标为 代入反比例函数中得点B的坐标为 则
∵过双曲线上任意一点，向坐标轴作垂线所围成的矩形面积S是个定值，
如图，连接OB，AC，交点为P.
∵在平行四边形中， ，则由点O(0，0)，B(1，2)，得点
∵A (3,1), ∴
8.解 (1) ∵B点是直线与反比例函数的交点，∴B点坐标满足一次函数解析式，
∴反比例函数的解析式为
(2) ∵BC⊥y轴，∴C(0，2)， ∥轴，∴BC=3,
令 则
的面积为6.
9.解 的面积为4， 解得 或 (不符合题意舍去)，
∴反比例函数的关系式为
把 (代入 解得
或
(3) ∵点 关于y轴的对称点为
又 则直线 与y轴的交点即为所求的点P.
设直线 的关系式为 则有 解得
∴直线 的关系式为
∴直线 与y轴的交点坐标为 即点P的坐标为
10.解 (1) ∵直线AC⊥x轴，垂足为D，∠AOD=45°, ∴△AOD是等腰直角三角形.
∵OA=2, ∴OD=AD=2, ∴A(2,2).
∵点A在反比例函数 的图象上，∴,
∴反比例函数的解析式为
(2) ∵AB=2OA，点E恰为AB的中点，∴OA=AE.
∵在 中，
∥轴，
考点3 反比例函数的实际应用
1.B ∵气球内气体的气压p(单位：kPa)是气体体积V(单位： )的反比例函数： 都大于零)，∴能够反映两个变量p和V函数关系的图象是B图象.
2.C 设 ∵图象过(4，9)，∴k=36， ∴蓄电池的电压是36 V. ∴选项A，选项B均错误；当 时， ，由图象知：当 时， ∴选项C正确，符合题意；当 时， ∴选项D错误.
3.解 (1)设当 时，反比例函数的解析式为
将C(20，45)代入得 解得
∴反比例函数的解析式为
当 时， ∴D(45, 20),
∴A(0，20)，即A对应的指标值为20；
(2)设当 时，AB的解析式为
将 代入得解得
∴AB的解析式为
当 时， 解得
由(1)得反比例函数的解析式为
当 时， 解得
时，注意力指标都不低于36，而
∴张老师能经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标都不低于36.
4.解 (1)根据题意，得 ∵y≤600, ∴x≥1;
(2)设实际挖掘了m天才能完成首期工程.根据题意，得
解得 (舍)，
经检验， 是原分式方程的根，且符合题意.
答：实际挖掘了500天才能完成首期工程.
专题检测
1.B 2.B
3.A ∵反比例函数 的图象分别位于第二、四象限， . ∴一次函数 的图象经过第二、三、四象限，即不经过第一象限.
4.A 反比例函数 的图象分布在第二、四象限，在每一象限y随x的增大而增大. 即
5.D 由图象可知，当 或时，双曲线落在直线上方，且直线落在直线y2上方，即 则自变量x的取值范围是 或
6.D 把点 分别代入四个选项中的函数表达式，可得，选项B不符合题意；函数又过第四象限，而 只经过第一、二象限，故选项C不符合题意；对于函数当 时，y随x的增大而减小，与丙给出的特征不符合，故选项A不符合题意.
7.A (a为常数且 即 根据反比例函数的性质，∵，2.当x增大时， 随x的增大而减小， 也随x的增大而减小，即 也随x的增大而减小，则y就随x的增大而增大，∴性质①正确.又∵， 即 又∵， 即 ∴0 ∴性质③正确.综上所述，性质①③正确.
8.C ∵把， )代入 得
过点P分别向x轴、y轴作垂线，垂足分别为点M，N，则
如图，作 交PN的延长线于点K，则
9.C 在菱形ABCD中， 又∵∴是等边三角形. ∵点
易知直线BD的解析式为 ∴直线AC的解析式为
∴点A的坐标为
∵点A在反比例函数 的图象上，
10.C 由图可知：1620年时，镭质量缩减为原来的 再经过1620年，即当3240年时，镭质量缩减为原来的 再经过 年，即当4860年时，镭质量缩减为原来的 再经过 )年，即当8100年时，镭质量缩减为原来的 此时 1mg.
11. ∵反比例函数 中， .此函数图象的两个分支分别在第一、第三象限，且在每一象限内y随x的增大而减小.
12.
13.-6或 由轴对称性，可知 的横坐标相同，∴在函数 的图象上的两点为 或 当 在函数 (k≠0)的图象上时，则 解得
当 在函数 的图象上时，则 解得
综上，k的值为 或
连接OD，过点C作 ∥交x轴于点E，如图.
反比例函数 的图象经过OA的中点C，
∥ ∴，∴，
∴
15.9 过点B作 轴于点E，延长线段BA，交y轴于点F，如图.
∵AB∥x轴，∴轴. ∴边形AFOD是矩形，四边形OEBF是矩形，
∴
∵点A在双曲线 上， 同理
∥
过点B作 于点F，连接OB，过点C作 于点G，连接OC，如图，
∵点 在反比例函数 的图象上，
∵
设B(a，b)，则
同理.
从图中可以看出当点P在线段BC上时，
即当点P在线段BC上时，满足 S△OPE.
∵OM=ON=5, ∴N(0,-5),M(5,0).
设直线MN的解析式为 则解得
∴直线MN的解析式为：
解得
∴的取值范围为.
17.解 (1)把A(3，4)代入反比例函数 得 解得
则反比例函数的解析式为
∵点 )在反比例函数 的图象上， 解得
把A(3，4)， 代入 得解得
∴一次函数的解析式为
(2) 由一次函数的解析式为 2可知C(0，2)，
(3)由图象可知， 时x的取值范围是 或
18.解 如图，过点B，A作 轴，AN⊥y轴，垂足分别为M，N.
(1)在 中， ∴BM=1,OM=2,
∴ ∴反比例函数的解析式为
∴OD=2AN.
又∵△ANC∽△DOC，∴
设，，则，b.
易知 即
由①②，得 或 (舍去)，
∴点C的坐标为(0，2).
19 故答案为
(2)减 证明如下：
任取 则
∵且 ∴
即
∴函数 是减函数.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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