资源简介

(共47张PPT)
24.2 解一元二次方程
第二十四章 解一元二次方程
第1课时 配方法
1.学会用直接开平方法解简单的一元二次方程.
2.通过直接开平方法的学习，了解配方法解一元二次方程的解题步骤. (重点)
学习目标
一元二次方程的一般式是怎样的？
导入新课
(a≠0)
回顾与思考
讲授新课
直接开平方法
一
x1＝0.5，x2 ＝－0.5
x1＝3，x2＝－3
x1＝2，x2＝－1
问题 根据平方根的意义解下列方程.
一般地，对于形如 x2 = a (a≥0) 的方程，根据平方根的定义，可解得 ， 这种解一元二次方程的方法叫做直接开平方法.
(1)如果一个方程 (或经过整理后) 形如 x2 = n或 (x + m)2 = n (m，n 为常数，n≥0) 就可以直接开平方法来解.
(2) 若 x2 = n(n≥0)，则 x = ± ；若 (x + m)2 = n
(m，n 为常数，n≥0)，则 x = - m，当 n = 0 时，方程的两个根相等，写成 x1 = x2 = -m.
归纳
配方法
二
这种方程怎样解？
变形为
变形为
x2－4x＋1＝0
(x－2)2 = 3
(x + m)2 = n (m，n 为常数，n≥0)
通过配方，把一元二次方程变形为一边为含未知数的一次式的平方，另一边为常数，当常数为非负数时，利用开平方，将一元二次方程转化为两个一元一次方程，从而求出原方程的根.这种解一元二次方程的方法叫做配方法.
(1) x2＋8x＋ = (x＋4)2
(2) x2－4x＋ = (x－ )2
(3) x2－___x＋ 9 = (x－ )2
配方时，等式两边同时加上的是一次项系数一半的平方.
16
6
3
4
2
探究归纳
例 用配方法解下列方程:
(1) x2－4x－1 = 0； (2) 2x2－3x－1 = 0.
典例精析
解：移项，得
x2－4x = 1，
配方，得
x2－4x + 22 = 1 + 22，
(x－2)2 = 5.
开方得
即
配方，得
二次项系数化为 1，得
解：移项，得
2x2－3x = 1.
在运用配方法时，化二次项系数为 1 的目的是为了便于配方（此时方程两边同时加上一次项系数一半的平方即可），配方的目的是将原方程化为
(x + m)2 = n (m，n 为常数，n≥0)的形式，进而直接开平方求解.
归纳
1.解下列方程：
（1）x2 + 4x - 9 = 2x - 11；（2）x(x + 4) = 8x + 12；
（3）4x2 - 6x - 3 = 0； （4）3x2 + 6x - 9 = 0.
解：x2 + 2x + 2 = 0，
(x + 1)2 = -1.
此方程无解.
解：x2 - 4x - 12 = 0，
(x - 2)2 = 16.
x1 = 6，x2 = -2.
解：x2 + 2x - 3=0，
(x + 1)2 = 4.
x1 = -3，x2 = 1.
当堂练习
2.如图，在一块长 35 m、宽 26 m 的矩形地面上，修建同样宽的两条互相垂直的道路，剩余部分栽种花草，要使剩余部分的面积为 850 m2，道路的宽应为多少？
解：设道路的宽为 x m，根据题意得
(35 - x)(26 - x) = 850.
整理，得 x2 - 61x + 60 = 0.
解得
x1 = 60 (不合题意，舍去)，x2 = 1.
答：道路的宽为 1 m.
能力提升
试用配方法说明：不论 k 取何实数，多项式
k2 4k＋5 的值必定大于零.
解：k2 4k＋5 = k2 4k＋4＋1
= (k 2)2＋1.
因为 (k 2)2≥0，所以 (k 2)2＋1≥1＞0.
所以 k2 4k＋5 的值必定大于零.
课堂小结
配方法
特征
通过配完全平方式解一元二次方程
步骤
一.移常数项；二.配方[配上 ]；
三.写成 (x+m)2=n (n≥0)；四.开平方解方程
特别提醒：在用配方法解一元二次方程之前先把二次项系数化为 1.
应用
求代数式的最值或字母值
直接开平方法
利用平方根的意义求方程的根的方法
第二十四章 解一元二次方程
24.2 解一元二次方程
第2课时 公式法
1.学会推导一元二次方程根的判别式和求根公式.
2.能够用公式法解一元二次方程.(重点、难点)
学习目标
导入新课
问题1 用配方法解下面这个一元二次方程：
问题2 你还会其他的解法吗？
回顾与思考
讲授新课
一元二次方程根的判别式及求根公式
一
一起用配方法解下面这个一元二次方程吧
并模仿解一般形式的一元二次方程
两边同除以a
移项
两边同时加上
整理
开方
解得
步骤
两个不相等的实数根
两个相等的实数根
没有实数根
两个实数根
判别式的情况
根的情况
我们把 b2 4ac 叫做一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 根的判别式.
b2 4ac > 0
b2 4ac = 0
b2 4ac < 0
b2 4ac≥0
一元二次方程根的判别式
二
例1 已知一元二次方程 x2 + x = 1，下列判断正确的是( )
A. 该方程有两个相等的实数根
B. 该方程有两个不相等的实数根
C. 该方程无实数根
D. 该方程根的情况不确定
解析：原方程整理为 x2 + x 1 = 0，a = 1，b = 1，c = 1，
∵ Δ = b2 4ac = 12 4×1×( 1) = 5＞0，
∴ 该方程有两个不等的实数根，故选 B.
B
典例精析
例2 不解方程，判断下列方程的根的情况：
（1）3x2 + 4x 3 = 0； （2）4x2 = 12x 9；
解：（1）a = 3，b = 4，c = 3，
∴ b2 4ac = 42 4×3×( 3) = 52＞0.
∴ 方程有两个不相等的实数根．
（2）方程化为 4x2 12x + 9 = 0，a = 4，b = 12，c = 9，
∴ b2 4ac = ( 12)2 4×4×9 = 0.
∴ 方程有两个相等的实数根．
（3）7y = 5( y2 + 1 ).
解：方程化为 5y2 7y + 5 = 0，a = 5，b = 7，c = 5，
∴b2－4ac = ( 7)2－4×5×5 = 51＜0.
∴ 方程没有实数根．
方法归纳
判断一元二次方程根的情况的方法：
将方程整理为一般形式
ax2+bx+c=0
b2 4ac > 0
b2 4ac = 0
b2 4ac < 0
有两个不等的实数根
有两个相等的实数根
没有实数根
由上可知，当 b2 4ac ≥0 时，方程 ax2 + bx + c = 0 (a≠0)的实数根可写为 的形式，这个式子叫做一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 的求根公式.
注意：用公式法解一元二次方程时，首先要将方程化为一般式，然后当 b2 - 4ac≥0 时，才可以用求根公式.
用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法.
用公式法解方程
三
例3 用公式法解下列一元二次方程：
解：a = 2，b = 7，c = 4.
b2－4ac = (7)2－4×2×( 4) = 81＞0.
即
解：将原方程化为
a = 1，b = ，c = 3.
要点归纳
公式法解方程的步骤
1. 变形：化已知方程为一般形式；
2. 确定系数：用 a，b，c 写出各项系数；
3. 计算：b2 4ac 的值；
4. 判断：若 b2 4ac≥0，则利用求根公式求出；
若 b2 4ac＜0，则方程没有实数根.
练一练
用公式法解下列一元二次方程：
解：原方程整理为 .
当堂练习
1.用公式法解方程 ，得到（ ）
A
A.
C.
D.
B.
(3)方程 4x2－4x＋1＝0 中，a＝ ，b＝ ，c＝ ；
b2－4ac＝ .
2.先把下列一元二次方程化成一般形式，再写出一般形式的 a、b、c：
(1)方程 2x2＋x－6＝0 中，a＝ ，b＝ ，c＝ ； b2－4ac＝ .
(2)方程 5x2－4x＝12 中，a＝ ，b＝ ， c＝ ；b2－4ac＝ .
2
1
-6
49
5
-4
-12
256
4
-4
0
1
参考答案：
3.解下列方程:
(1) x2－2x－8＝0；
(2) 9x2＋6x＝8；
(3) (2x－1)(x－2) ＝－1；
4.不解方程，判别方程 5y2 + 1 = 8y 的根的情况.
解：化为一般形式为：5y2－8y + 1 = 0.
所以 b2－4ac = (5)2－4×(－8)×1 = 57 > 0.
所以方程 5y2 + 1 = 8y 的有两个不相等的实数根.
这里 a = 5，b = －8，c = 1.
能力提升：在等腰△ABC 中，三边长分别为 a，b，c，其中 a = 5，若关于 x 的方程 x2 + (b + 2)x + 6 - b = 0 有两个相等的实数根，求△ABC 的周长.
解：∵关于 x 的方程 x2 + (b + 2)x + 6 b = 0 有两个相等的实数根，
∴ (b + 2)2 4(6 b) = b2 + 8b 20 = 0.
解得 b1= 10（舍去），b2 = 2.
由三角形的三边关系，得 c = 5，
∴△ABC 的三边长为 5，2，5，其周长为 5 + 2 + 5 = 12.
课堂小结
公式法
求根公式
步骤
一化（一般形式）；
二定（系数值）；
三求（求 b2 - 4ac 的值）；
四判（方程根的情况）；
五代（代求根公式计算）
务必将方程
化为一般形式
第二十四章 解一元二次方程
24.2 解一元二次方程
第3课时 因式分解法
1.回顾因式分解的相关知识.
2.学会用因式分解法解一元二次方程. (重点、难点)
学习目标
导入新课
观察与思考
问题 一元二次方程的一般式是怎样的？常用的求一元二次方程的解的方法有哪些？
(a≠0)
主要方法： (1)配方法
(2)公式法
讲授新课
因式分解法
因式分解：
把一个多项式化成几个整式的积的形式.
问题1 什么是因式分解？
因式分解
如果 a · b = 0，
那么 a = 0 或 b = 0.
两个因式乘积为 0，说明什么？
或 x - 2 = 0
降次，化为两个一次方程
解两个一次方程，得出原方程的根
这种解法是不是很简单？
x2 - 2x = 0
x(x - 2) = 0
x = 0，
问题2 对于方程 x2 - 2x = 0 ，除了配方法和公式法，还可以怎样求解呢？
把一元二次方程的一边化为 0，另一边分解成两个一次因式的乘积，进而转化为两个一元一次方程，从而求出原方程的根，这种方法叫做因式分解法.
要点归纳
因式分解法的概念
因式分解法的基本步骤
一移— —使方程的右边为 0；
二分— —将方程的左边因式分解；
三化— —将方程化为两个一元一次方程；
四解— —写出方程的两个解.
简记歌诀：
右化零，左分解；
两因式，各求解.
典例精析
例1 解方程：x2 - 5x + 6 = 0
解：把方程左边分解因式，得
(x - 2)(x - 3) = 0
因此 x - 2 = 0 或 x - 3 = 0.
∴x1 = 2，x2 = 3
例2 解方程：(x + 4)(x - 1) = 6
解 把原方程化为一般形式，得
x2 + 3x - 10 = 0.
把方程左边分解因式，得
(x - 2)(x + 5) = 0.
因此 x - 2 = 0 或 x + 5 = 0.
∴x1 =2，x2 = -5.
练一练 解下列方程：
(1)x2－3x＝0；
解：将原方程的左边分解因式，
得 x(x - 3)＝0.
∴x＝0，或 x - 3＝0. 解得 x1＝0，x2＝3.
解：因式分解，得
∴ x - 2 = 0 或 x＋1 = 0.
解得 x1 = 2，x2 = -1.
(x - 2)(x＋1) = 0.
1. 填空：
① x2 - 3x + 1 = 0； ② 3x2 - 1 = 0； ③ -3t2 + t = 0；
④ x2 - 4x = 2； ⑤ 2x2 = x； ⑥ 5(m + 2)2 = 8；
⑦ 3y2 - y - 1 = 0； ⑧ 2x2 + 4x = 1； ⑨ (x - 2)2 = 2(x - 2).
最适合运用直接开平方法： ；
最适合运用因式分解法： ；
最适合运用公式法： ；
最适合运用配方法： .
当堂练习
⑥
①
③
⑤
⑦
⑧
⑨
②
④
2.解下列一元二次方程：
(1)(x－5) (3x－2)＝10； (2) (3x－4)2＝(4x－3)2.
解： (1) 化简方程，得 3x2－17x＝0.
将方程的左边分解因式，得 x(3x－17)＝0.
∴x＝0 或 3x－17＝0.
解得 x1＝0， x2＝ .
(2) (3x－4)2＝(4x－3)2.
(2)移项，得 (3x－4)2－(4x－3)2＝0.
将方程的左边因式分解，得
[(3x－4)＋(4x－3)] [(3x－4) －(4x－3)]＝0，
即 (7x－7) (－x－1)＝0.
∴7x－7＝0 或 －x－1＝0.
∴x1＝1， x2＝－1.
3.填空：
(1)方程 x2 + x = 0 的根是 _________________；
(2) x2－25 = 0 的根是________________.
x1 = 0，x2 = -1
x1 = 5，x2 = -5
课堂小结
因式分解法
形式
步骤
简记歌诀：
右化零，左分解；两因式，各求解
如果 a · b = 0，那么 a = 0 或 b = 0
原理
将方程左边因式分解，使右边为 0
因式分解的常见方法有
ma + mb = m(a + b)；
a2±2ab + b2 = (a±b)2；
a2 - b2 = (a + b)(a - b).

展开更多......

收起↑