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第7讲 二元一次方程组的应用
知识点1 利润问题
1．利润的计算方法
利润=卖出价-进价
利润=进价×利润率（盈利百分数）
注意：“利润”和“利润率”是不同的两个概念
2．二元一次方程组的应用
列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤：
（1）审题：找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系．
（2）设元：找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来．
（3）列方程组：挖掘题目中的关系，找出两个等量关系，列出方程组．
（4）求解．
（5）检验作答：检验所求解是否符合实际意义，并作答．
注意：列二元一次方程组，需要设两个未知数，列两个方程．
【典例】
1.某服装店用6000元购进A，B两种新式服装，按标价售出后可获得毛利润3800元（毛利润=售价﹣进价），这两种服装的进价、标价如表所示：
求这两种服装各购进的件数．
【答案】略．
【解析】解：设购进A型服装x件，B型服装y件．
∵用6000元购进A，B两种新式服装，A，B两种服装进价分别为60元/件和100元/件，
∴，
∵购进A、B两种服装按标价全部售出后可获得毛利润3800元，A，B两种服装售价分别为100元/件和160元/件，
∴，
∴，解得：．
答：购进A型服装50件，B型服装30件．
【方法总结】
1.二元一次方程组实际问题分析思路
2.利润问题解题
总价=单价×数量结合，总利润=单件利润×数量；
常根据上面这两个等量关系列二元一次方程组
【随堂练习】
1．甲、乙两种型号的风扇成本分别为120元/台、170元/台，销售情况如下表所示（成本、售价均保持不变，利润＝收入﹣成本）
时段 销售量 收入
甲型号 乙型号
第一周 6 5 2200元
第二周 4 10 3200元
（1）求这两种型号的风扇的售价；
（2）打算再采购这两种型号的风扇共130台，销售完后总利润能不能恰好为8010元？若能，给出相应的采购方案；若不能，说明理由．
【解答】解：（1）设甲型号风扇的售价为x元/台，乙型号风扇的售价为y元/台，
根据题意得：，
解得：．
答：甲型号风扇的售价为150元/台，乙型号风扇的售价为260元/台．
（2）不能，理由如下：
设购进甲型号风扇m台，则购进乙型号风扇（130﹣m）台，
根据题意得：（150﹣120）m+（260﹣170）（130﹣m）＝8010，
解得：m，
∵不为整数，
∴销售完后总利润不能恰好为8010元．
2．小林在某商店购买商品A、B若干次（每次A、B两种商品都购买），其中第一、二两次购买时，均按标价购买；第三次购买时，商品A、B同时打折．三次购买商品A、B的数量和费用如表所示．
购买商品A的数量/个 购买商品B的数量/个 购买总费用/元
第一次购物 6 5 980
第二次购物 3 7 940
第三次购物 9 8 912
（1）求商品A、B的标价；
（2）若商品A、B的折扣相同，问商店是打几折出售这两种商品的？
（3）在（2）的条件下，若小林第四次购物共花去了960元，则小林有哪几种购买方案？
【解答】解：（1）设商品A的标价为x元/个，商品B的标价为y元/个，
根据题意得：，
解得：．
答：商品A的标价为80元/个，商品B的标价为100元/个．
（2）912÷（80×9+100×8）×10＝6．
答：商店是打6折出售这两种商品的．
（3）设小林购买m个商品A，n个商品B，
根据题意得：80×0.6m+100×0.6n＝960，
∴m＝20n．
当n＝4时，m＝15；
当n＝8时，m＝10；
当n＝12时，m＝5．
答：小林共有三种购买方案，方案一：购买15个商品A，4个商品B；方案二：购买10个商品A，8个商品B；方案三：购买5个商品A，12个商品B．
3．织里某品牌童装在甲、乙两家门店同时销售A，B两款童装，4月份甲门店销售A款童装60件，B款童装15件，两款童装的销售总额为3600元，乙门店销售A款童装40件，B款童装60件，两款童装的销售总额为4400元．
（1）A款童装和B款童装每件售价各是多少元？
（2）现计划5月将A款童装的销售额增加20%，问B款童装的销售额需增加百分之几，才能使A，B两款童装的销售额之比为4：3？
【解答】解：（1）设A款童装每件售价为x元，B款每件售价为y元，
根据题意得：，
解得：．
答：A款童装每件售价为50元，B款每件售价为40元．
（2）5月A款销售额为（60+40）×50×（1+20%）＝6000（元），
由题意得5月B款销售额为60004500（元），
4月B款销售额为（15+60）×40＝3000元（元），
∴B款销售额增加100%＝50%．
答：B款童装的销售额需增加50%，才能使A，B两款童装的销售额之比为4：3．
4．某公司以每吨600元的价格收购了100吨某种药材，若直接在市场上销售，每吨的售价是1000元，该公司决定加工后再出售，相关信息如下表所示：
工艺 每天可加工药材的吨数 成品率 成品售价
粗加工 14 80% 6000
精加工 6 60% 11000
（注：①成品率80%指加工100吨原料能得到80吨可销售药材；②加工后的废品不产生效益）
受市场影响，该公司必须在10天内将这批药材加工完毕．
（1）若全部粗加工，可获利_______元；
（2）若尽可能多的精加工，剩余的直接在市场上销售，可获利_______元；
（3）若部分粗加工，部分精加工，恰好10天完成，求可获利多少元？
【解答】解：（1）全部粗加工共可售得6000×80%×100＝480000（元），
成本为600×100＝60000（元），
获利为480000﹣60000＝420000（元）．
全部粗加工可获利420000元．
故答案为420000；
（2）10天共可精加工10×6＝60（吨），
可售得60×60%×11000+40×1000＝436000（元），
获利为436000﹣60000＝376000（元）．
可获利376000元，
故答案为376000；
（3）设精加工x天，粗加工y天，
则
解得，
销售可得：30×60%×11000+70×80%×6000＝534000（元），
获利为534000﹣60000＝474000（元），
答：可获利474000元．
知识点2 行程问题
行程问题
路程=速度×时间
【典例】
1.小红和爷爷在400米环形跑道上跑步．他们从某处同时出发，如果同向而行，那么经过200s小红追上爷爷；如果背向而行，那么经过40s两人相遇，求他们的跑步速度．
（1）写出题目中的两个等量关系；
（2）给出上述问题的完整解答过程．
【答案】略．
【解析】解：（1）小红走200s的路程﹣爷爷走200s的路程=400米；
小红走40s的路程+爷爷走40s的路程=400米；
（2）设小红的速度为x m/s，爷爷的速度为y m/s．
∵小红走200s的路程﹣爷爷走200s的路程=400米；小红走40s的路程+爷爷走40s的路程=400米；
∴可列二元一次方程组：，解得．
答：小红的跑步速度为6m/s，爷爷的跑步速度为4m/s．
【方法总结】
行程问题
1.追击问题：它的特点是同向而行，这类问题比较直观，画线段，用图便于理解与分析，其等量关系式是：两者的行程差=开始时两者相距的路程．
2.相遇问题：它的特点是相向而行，这类问题也比较直观，因而也画线段帮助理解与分析，其等量关系是：双方所走路程之和=总路程．
3.航行问题：①船在静水中的速度+水速=船的顺水速度；
②船在静水中的速度-水速=船的逆水速度；
③顺水速度-逆水速度=2×水速．
【随堂练习】
1．从甲地到乙地有一段上坡路与一段平路，如果保持上坡路每小时走3km，平路每小时走4km，下坡路每小时走5km，那么从甲地到乙地需40min，从乙地到甲地需30min，甲地到乙地的全程是多少？
【解答】解：设从甲地到乙地的上坡路有xkm，平路有ykm，
根据题意得：，
解得：，
∴x+y1．
答：甲地到乙地的全程是km．
2．从甲地到乙地有一段上坡与一段平路，如果保持上坡每小时走3km，平路每小时走4km，下坡每小时走5km，那么从甲地到乙地需54分钟，从乙地到甲地需42分钟，甲地到乙地全程是多少km？
【解答】解：设甲地到乙地的上坡路长xkm，平路长ykm，
根据题意得：，
解得：，
∴x+y．
答：甲地到乙地全程是km．
知识点3 数字问题
数字问题：个位数上的数字为a，十位数上的数字是b，则这个两位数表示为10b+a．
【典例】
1.一个两位数，比它十位上的数与个位上的数的和3倍大7；如果交换十位上的数与个位上的数，所得新两位数比原两位数的2倍小1，求这个两位数．
【答案】略．
【解析】解：设原两位数十位上的数是x，个位上的数是y，
∴原两位数为：，交换十位上的数与个位上的数后的两位数为：，
∵一个两位数，比它十位上的数与个位上的数的和3倍大7；如果交换十位上的数与个位上的数，所得新两位数比原两位数的2倍小1，
∴可列二元一次方程组：，解得．
答：所求的两位数是37．
【方法总结】
数字问题：
1.解答数字问题的应用题，不能直接设这两位数（或者三位数）是为x，而是设这两位数十位上数字为x，个位上数字为y，则这个两位数为：10x+y，如果这个两位数个位与十位交换后，则得到新的两位数为：10y+x，然后根据题目所给条件进行解答．
2.常见已知数位上的数字，表示数的形式
①个位数上的数字为a，十位数上是数字是b，则这个两位数表示为10b+a；
②个位数上的数字为a，十位数上是数字是b，百位数上的数字为c，则这个三位数表示为100c+10b+a；
③个位数上的数字为a，十位数上是数字是b，百位数上的数字为c，千位数上的数字为d，则这个四位数表示为1000d+100c+10b+a．
【随堂练习】
1．有两个比40大的两位数，它们的差是20，大数的4倍与小数的和能被29整除，求原来的这两个两位数．
【解答】解：设原来的两位数分别为x，y，
根据题意得：，
解得：．
∵n为正整数，
∴（舍去），，，（舍去）．
答：原来的这两个两位数为62、42或91、71．
2．小亮在匀速行驶的汽车里，注意到公路里程碑上的数如下表所示：
时刻 12：00 13：00 16：00
里程碑上的数 是一个两位数 十位数和个位数字与12：00时所看到的正好颠倒了 比12：00时看到的两位数中间多了个0
那么小亮在12：00时看到的两位数是____，并写出解答过程．
【解答】解：设第一次他看到的两位数的个位数为x，十位数为y，汽车行驶速度为v，根据题意得：
，
解得：xy，
∵x，y为1﹣9内的自然数，
∴x＝7，y＝2．
答：小亮在12：00时看到的两位数是27．
故答案为：27．
知识点4 配套问题
配套问题
解这问题的基本等量关系是：总量各部分之间的比例=每一套各部分之间的比例．
【典例】
1.某机械厂共有120名生产工人，每个工人每天可生产螺栓50个或螺母20个，如果一个螺栓与两个螺母配成一套，那么每天安排多少名工人生产螺栓，多少名工人生产螺母，恰好能使每天生产出来的产品配成一套？
【答案】略．
【解析】解：设每天安排x名工人生产螺栓，y名工人生产螺母．
∵生产螺栓的工人人数+生产螺母的工人人数=120；生产的螺栓的数量×2=生产的螺母的数量．
∴可列二元一次方程组：，
解得
答：每天安排20名工人生产螺栓，100名工人生产螺母，恰好能使每天生产出来的产品配成一套．
【方法总结】
配套问题
解答这类问题的关键是要弄清基本等量关系，总量各部分之间的比例=每一套各部分之间的比例．如常见的工人生产螺母和螺栓（一个螺栓两个螺母配成一套），每天生产出多少产品配成最多套问题，这里面的等量关系为：生产螺栓的工人人数+生产螺母的工人人数=工人总人数；生产的螺栓的数量×2=生产的螺母的数量．
【随堂练习】
1．某数学兴趣小组研究我国古代《算法统宗》里这样一首诗：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．诗中后两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间房．
（1）求该店有客房多少间？房客多少人？
（2）假设店主李三公将客房进行改造后，房间数大大增加．每间客房收费20钱，且每间客房最多入住4人，一次性订客房18间以上（含18间），房费按8折优惠．若诗中“众客”再次一起入住，他们如何订房更合算？
【解答】解：（1）设该店有客房x间，房客y人；
根据题意得：，
解得：．
答：该店有客房8间，房客63人；
（2）若每间客房住4人，则63名客人至少需客房16间，需付费20×16＝320钱；
若一次性订客房18间，则需付费20×18×0.8＝288钱＜320钱；
答：诗中“众客”再次一起入住，他们应选择一次性订房18间更合算．
2．列方程组解应用题：
某厂共有104名生产工人，每个工人每天可生产螺栓20个或螺母25个，如果一个螺栓与两个螺母配成一套．
（1）每天安排多少名工人生产螺栓，多少名工人生产螺母，才能使每天生产出来的产品配套？
（2）若每套利润20元，求每天的利润？
【解答】解：（1）设每天安排x名工人生产螺栓，y名工人生产螺母，才能使每天生产出来的产品配套，
根据题意得：，
解得：．
答：每天安排40名工人生产螺栓，64名工人生产螺母，才能使每天生产出来的产品配套．
（2）40×20×20＝16000（元）．
答：每天的利润为16000元．
知识点5 几何问题
【典例】
1.如图，在长为10米，宽为8米的长方形空地上，沿平行于长方形边的方向分割出三个形状、大小完全一样的小长方形花圃（阴影部分），求其中一个长方形的长和宽．
【答案】略．
【解析】解：设小长方形的长为x米，宽为y米，
∵上图中大长方形的长为10米，宽为8米，
∴由上图可知本题存在两个等量关系，即小长方形的长的2倍+小长方形的宽=10，小长方形的长+小长方形宽的2倍=8，
∴根据这两个等量关系可列出二元一次方程组：解得：
答：小长方形的长为 4米，宽为2米．
【方法总结】
几何问题
列方程组解几何图形应用题，通常主要考查边、角、周长、面积等问题．解决这类问题的基本关系式有关于几何图形的性质、周长、面积等计算公式．
列方程组解几何图形应用题的关键：
①从题干所给关键文字信息去找等量关系；
②从图形中找等量关系：找拼接线（用不同方式拼接）
如下图所示：
③当题出现不规则摆放时，可将小长方形进行平移
如下图所示：
【随堂练习】
1．用若干个形状、大小完全相同的矩形纸片围成正方形，4个矩形纸片围成如图①所示的正方形，其阴影部分的面积为12；8个矩形纸片围成如图②所示的正方形，其阴影部分的面积为8；12个矩形纸片围成如图③所示的正方形，其阴影部分的面积为________．
【解答】解：由图可得，图①中阴影部分的边长为＝2，图②中，阴影部分的边长为＝2；
设小矩形的长为a，宽为b，依题意得
，
解得，
∴图③中，阴影部分的面积为（a﹣3b）2＝（4﹣2﹣6）2＝44﹣16，
故答案为：44﹣16．
2．某校举办“迎亚运“学生书画展览，现要在长方形展厅中划出3个形状、大小完全一样的小长方形（图中阴影部分）区域摆放作品．
（1）如图1，若大长方形的长和宽分别为45米和30米，求小长方形的长和宽．
（2）如图2，若大长方形的长和宽分别为a和b
①直接写出1个小长方形周长与大长方形周长之比；
②若作品展览区域（阴影部分）面积占展厅面积的，试求的值．
【解答】解：（1）设小长方形的长和宽分别为x米、y米，
，得，
答：小长方形的长和宽分别为20米、5米；
（2）①，
①+②，得
3（x+y）＝a+b，
∴，
∴1个小长方形周长与大长方形周长之比是：，
即1个小长方形周长与大长方形周长之比是1：3；
②∵作品展览区域（阴影部分）面积占展厅面积的，
∴，
∴，
∴（2x+y）（x+2y）＝9xy，
化简，得
（x﹣y）2＝0，
∴x﹣y＝0，
∴x＝y，
∴＝1．
3．某包装生产企业承接了一批上海世博会的礼品盒制作业务，为了确保质量，该企业进行试生产．他们购得规格是170cm×40cm的标准板材作为原材料，每张标准板材再按照裁法一或裁法二裁下A型与B型两种板材．如图所示，（单位：cm）
（1）列出方程（组），求出图甲中a与b的值．
（2）在试生产阶段，若将m张标准板材用裁法一裁剪，n张标准板材用裁法二裁剪，再将得到的A型与B型板材做侧面和底面，做成图乙横式无盖礼品盒．
①两种裁法共产生A型板材______张，B型板材______张（用m、n的代数式表示）；
②当30≤m≤40时，所裁得的A型板材和B型板材恰好用完，做成的横式无盖礼品盒可能是__________个．（在横线上直接写出所有可能答案，无需书写过程）
【解答】解：由题意得：，
解得；
（2）①由图示裁法一产生A型板材为：2×m＝2m，裁法二产生A型板材为：1×n＝n，
所以两种裁法共产生A型板材为2m+n（张），
由图示裁法一产生B型板材为：1×m＝m，裁法二产生A型板材为，2×n＝2n，
所以两种裁法共产生B型板材为（m+2n）张；
②当30≤m≤40时，所裁得的A型板材和B型板材恰好用完，做成的横式无盖礼品盒可能是24或27或30个．
故答案为：2m+n；m+2n；24或27或30．
综合运用
1.某工厂去年的利润（总产值﹣总支出）为200万元，今年总产值比去年增加了20%，总支出比去年减少了10%，今年的利润为780万元，去年的总产值为　 　万元，总支出是　 　万元．
【答案】2000，1800．
【解析】解：设去年的总产值为x万元，总支出为y万元，则有
∴列二元一次方程组得：，
解得：．
答：去年的总产值为2000万元，总支出为1800万元．
故答案为：2000，1800．
2.一条船顺流航行每小时行40km，逆流航行每小时行32km，设该船在静水中的速度为每小时x km，水流速度为每小时y km，则可列方程组为　 　．
【答案】．
【解析】解：设该船在静水中的速度为每小时x km，水流速度为每小时y km，
根据该船顺流速度及逆流速度，即可得出关于x、y的二元一次方程组：．
故答案为：．
3.小明骑自行车上学，中途因道路施工步行一段路，到学校共用时15min．他骑自行车的平均速度是250m/min，步行的平均速度是80m/min，小明家与学校的距离是2900m．设小明骑车、步行的时间分别为x min、y min，可列方程组为：　 　．
【答案】
【解析】解：设小明骑车、步行的时间分别为x min、y min，
根据题意可得等量关系：①骑车时间+步行时间=15分钟；
②步行路程+骑车路程=2900米，
根据等量关系列出二元一次方程组：，
故答案为：．
4.甲、乙两人相距42千米，若两人同时相向而行，可在6小时后相遇；而若两人同时同向而行，乙可在14小时后追上甲，设甲的速度为x千米/时，乙的速度为y千米/时，列出的二元一次方程组为　 　．
【答案】．
【解析】解：根据甲走6小时的路程+乙走6小时的路程=42，得方程6（x+y）=42；
根据乙走14小时的路程=甲走14小时的路程+42，得方程14y=14x+42．
可列方程组为．
5.一个两位数的数字和为14，若调换个位数字与十位数字，新数比原数小36，则这个两位数是　 　．
【答案】95．
【解析】解：设原来十位上数字为x，个位上的数字为y，
∴原两位数为：，调换个位数字与十位数字后的两位数为：，
∴可列二元一次方程组：，解得：，
故这个两位数为95．
故答案为；95．
6.长方形ABCD中放置了6个形状、大小都相同的小长方形，所标尺寸如图所示，则图中阴影部分的面积是　 　cm2．
【答案】33．
【解析】解：设小长方形的长、宽分别为x cm，y cm，
根据图示可以列出方程组，解得：，
∴小长方形的长、宽分别为7cm，2cm，
大长方形的长、宽分别为13cm，9cm，
∴S阴影部分=S四边形ABCD﹣6×S小长方形=13×9﹣6×2×7=33（cm2）．
故答案为：33．
7.用二元一次方程组解决问题：
某商场按定价销售某种商品时，每件可获利35元；按定价的八折销售该商品5件与将定价降低20元销售该商品8件所获得的利润相等．求该商品每件的进价、定价各是多少元？
【答案】略．
【解析】解：设该商品每件的定价为x元，进价为y元，根据“按定价的八折销售该商品5件与将定价降低20元销售该商品8件所获得的利润相等”，
由此列二元一次方程组：，
解得：．
答：该商品每件的定价为55元，进价为20元．
8.用二元一次方程组解决问题：A、B两地相距20千米，甲、乙两人分别从A、B两地同时相向而行，2小时后在途中相遇，然后甲返回A地，乙继续前进，当甲返回到A地时，乙离A地还有2千米．求甲、乙两人的速度各是多少？
【答案】略．
【解析】解：设甲的速度为x千米/时，乙的速度为y千米/时，
根据甲、乙的速度和×时间=A、B两地距离和2小时甲比乙多行2千米，
即可得出关于x、y的二元一次方程组：，解得：．
答：甲的速度为5.5千米/时，乙的速度为4.5千米/时．
9.一个两位数，比它十位上的数与个位上的数的和大9；如果交换十位上的数与个位上的数，所得两位数比原来的两位数大27，求这个两位数．
【答案】略．
【解析】解：设原两位数十位上的数是x，个位上的数是y，
原两位数为：，交换十位数字与个位数字后的两位数为：，
∵一个两位数，比它十位上的数与个位上的数的和大9；如果交换十位上的数与个位上的数，所得两位数比原来两位数大27，
∴列二元一次方程组：，解得：．
则这个两位数是14．
10.某玩具厂共有300名生产工人，每个工人每天可生产玩具车架20个或车轮40个，如果1个车架与4个车轮配成一套，那么每天安排多少名工人生产车架，多少名工人生产车轮，才能使每天生产出来的产品刚好配套？
【答案】略．
【解析】解：设每天安排x名工人生产车架，y名工人生产车轮，
根据共有300名工人及1个车架与4个车轮配成一套，可得出方程组，
解得：，
答：每天安排100名工人生产车架，200名工人生产车轮，才能使每天生产出来的产品刚好配套．
11.一张圆凳由一个凳面和三条腿组成，如果1m3的木材可以制作300条腿或制作凳面50个．现有9m3的木材，为充分利用材料，请你设计一下，用多少木材做凳面，用多少木材做凳腿，最多能生产多少张圆凳？
【答案】略．
【解析】解：设x m3的木材做凳腿，y m3的木材做凳面．
根据现有9m3的木材，得方程x+y=9；
根据1m3的木材可以制作300条腿或制作凳面50个，得方程300x=3×50y．
∴，解得．
6×50=300．
答：用6m3的木材做凳面，3m3的木材做凳腿，最多能生产300张圆凳．
12.小明在拼图时，发现8个大小一样的小长方形，恰好可以拼成一个大的长方形．如图（1）所示，小红看见了，说“我来试一试”，结果小红七拼八凑，拼成如图（2）那样的正方形，可中间还留下一个边长为6cm的小正方形．请你求出这些小长方形的长和宽．
【答案】略．
【解析】解：设小长方形的长为x cm，宽为y cm，
观察图形，可得出关于x、y的二元一次方程组，
解得：．
答：小长方形的长为30cm，宽为18cm．
13.如图，在长方形ABCD中，放置9个形状，大小都相同的小长方形，相关数据如图所示．求图中阴影部分的面积．
【答案】略．
【解析】解：设小长方形的长为x，宽为y，
观察给定图形中给出的数据，可列二元一次方程组：，
解得：，
∴AB=x+2y=7+2×1=7，
∴S阴影=AB·BC﹣9xy=9×7﹣9×5×1=18．
答：阴影部分的面积是18．
23第7讲 二元一次方程组的应用
知识点1 利润问题
1．利润的计算方法
利润=卖出价-进价
利润=进价×利润率（盈利百分数）
注意：“利润”和“利润率”是不同的两个概念
2．二元一次方程组的应用
列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤：
（1）审题：找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系．
（2）设元：找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来．
（3）列方程组：挖掘题目中的关系，找出两个等量关系，列出方程组．
（4）求解．
（5）检验作答：检验所求解是否符合实际意义，并作答．
注意：列二元一次方程组，需要设两个未知数，列两个方程．
【典例】
1.某服装店用6000元购进A，B两种新式服装，按标价售出后可获得毛利润3800元（毛利润=售价﹣进价），这两种服装的进价、标价如表所示：
求这两种服装各购进的件数．
【方法总结】
1.二元一次方程组实际问题分析思路
2.利润问题解题
总价=单价×数量结合，总利润=单件利润×数量；
常根据上面这两个等量关系列二元一次方程组
【随堂练习】
1．甲、乙两种型号的风扇成本分别为120元/台、170元/台，销售情况如下表所示（成本、售价均保持不变，利润＝收入﹣成本）
时段 销售量 收入
甲型号 乙型号
第一周 6 5 2200元
第二周 4 10 3200元
（1）求这两种型号的风扇的售价；
（2）打算再采购这两种型号的风扇共130台，销售完后总利润能不能恰好为8010元？若能，给出相应的采购方案；若不能，说明理由．
2．小林在某商店购买商品A、B若干次（每次A、B两种商品都购买），其中第一、二两次购买时，均按标价购买；第三次购买时，商品A、B同时打折．三次购买商品A、B的数量和费用如表所示．
购买商品A的数量/个 购买商品B的数量/个 购买总费用/元
第一次购物 6 5 980
第二次购物 3 7 940
第三次购物 9 8 912
（1）求商品A、B的标价；
（2）若商品A、B的折扣相同，问商店是打几折出售这两种商品的？
（3）在（2）的条件下，若小林第四次购物共花去了960元，则小林有哪几种购买方案？
3．织里某品牌童装在甲、乙两家门店同时销售A，B两款童装，4月份甲门店销售A款童装60件，B款童装15件，两款童装的销售总额为3600元，乙门店销售A款童装40件，B款童装60件，两款童装的销售总额为4400元．
（1）A款童装和B款童装每件售价各是多少元？
（2）现计划5月将A款童装的销售额增加20%，问B款童装的销售额需增加百分之几，才能使A，B两款童装的销售额之比为4：3？
4．某公司以每吨600元的价格收购了100吨某种药材，若直接在市场上销售，每吨的售价是1000元，该公司决定加工后再出售，相关信息如下表所示：
工艺 每天可加工药材的吨数 成品率 成品售价
粗加工 14 80% 6000
精加工 6 60% 11000
（注：①成品率80%指加工100吨原料能得到80吨可销售药材；②加工后的废品不产生效益）
受市场影响，该公司必须在10天内将这批药材加工完毕．
（1）若全部粗加工，可获利_______元；
（2）若尽可能多的精加工，剩余的直接在市场上销售，可获利_______元；
（3）若部分粗加工，部分精加工，恰好10天完成，求可获利多少元？
知识点2 行程问题
行程问题
路程=速度×时间
【典例】
1.小红和爷爷在400米环形跑道上跑步．他们从某处同时出发，如果同向而行，那么经过200s小红追上爷爷；如果背向而行，那么经过40s两人相遇，求他们的跑步速度．
（1）写出题目中的两个等量关系；
（2）给出上述问题的完整解答过程．
【方法总结】
行程问题
1.追击问题：它的特点是同向而行，这类问题比较直观，画线段，用图便于理解与分析，其等量关系式是：两者的行程差=开始时两者相距的路程．
2.相遇问题：它的特点是相向而行，这类问题也比较直观，因而也画线段帮助理解与分析，其等量关系是：双方所走路程之和=总路程．
3.航行问题：①船在静水中的速度+水速=船的顺水速度；
②船在静水中的速度-水速=船的逆水速度；
③顺水速度-逆水速度=2×水速．
【随堂练习】
1．从甲地到乙地有一段上坡路与一段平路，如果保持上坡路每小时走3km，平路每小时走4km，下坡路每小时走5km，那么从甲地到乙地需40min，从乙地到甲地需30min，甲地到乙地的全程是多少？
2．从甲地到乙地有一段上坡与一段平路，如果保持上坡每小时走3km，平路每小时走4km，下坡每小时走5km，那么从甲地到乙地需54分钟，从乙地到甲地需42分钟，甲地到乙地全程是多少km？
知识点3 数字问题
数字问题：个位数上的数字为a，十位数上的数字是b，则这个两位数表示为10b+a．
【典例】
1.一个两位数，比它十位上的数与个位上的数的和3倍大7；如果交换十位上的数与个位上的数，所得新两位数比原两位数的2倍小1，求这个两位数．
【方法总结】
数字问题：
1.解答数字问题的应用题，不能直接设这两位数（或者三位数）是为x，而是设这两位数十位上数字为x，个位上数字为y，则这个两位数为：10x+y，如果这个两位数个位与十位交换后，则得到新的两位数为：10y+x，然后根据题目所给条件进行解答．
2.常见已知数位上的数字，表示数的形式
①个位数上的数字为a，十位数上是数字是b，则这个两位数表示为10b+a；
②个位数上的数字为a，十位数上是数字是b，百位数上的数字为c，则这个三位数表示为100c+10b+a；
③个位数上的数字为a，十位数上是数字是b，百位数上的数字为c，千位数上的数字为d，则这个四位数表示为1000d+100c+10b+a．
【随堂练习】
1．有两个比40大的两位数，它们的差是20，大数的4倍与小数的和能被29整除，求原来的这两个两位数．
2．小亮在匀速行驶的汽车里，注意到公路里程碑上的数如下表所示：
时刻 12：00 13：00 16：00
里程碑上的数 是一个两位数 十位数和个位数字与12：00时所看到的正好颠倒了 比12：00时看到的两位数中间多了个0
那么小亮在12：00时看到的两位数是____，并写出解答过程．
知识点4 配套问题
配套问题
解这问题的基本等量关系是：总量各部分之间的比例=每一套各部分之间的比例．
【典例】
1.某机械厂共有120名生产工人，每个工人每天可生产螺栓50个或螺母20个，如果一个螺栓与两个螺母配成一套，那么每天安排多少名工人生产螺栓，多少名工人生产螺母，恰好能使每天生产出来的产品配成一套？
【方法总结】
配套问题
解答这类问题的关键是要弄清基本等量关系，总量各部分之间的比例=每一套各部分之间的比例．如常见的工人生产螺母和螺栓（一个螺栓两个螺母配成一套），每天生产出多少产品配成最多套问题，这里面的等量关系为：生产螺栓的工人人数+生产螺母的工人人数=工人总人数；生产的螺栓的数量×2=生产的螺母的数量．
【随堂练习】
1．某数学兴趣小组研究我国古代《算法统宗》里这样一首诗：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．诗中后两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间房．
（1）求该店有客房多少间？房客多少人？
（2）假设店主李三公将客房进行改造后，房间数大大增加．每间客房收费20钱，且每间客房最多入住4人，一次性订客房18间以上（含18间），房费按8折优惠．若诗中“众客”再次一起入住，他们如何订房更合算？
2．列方程组解应用题：
某厂共有104名生产工人，每个工人每天可生产螺栓20个或螺母25个，如果一个螺栓与两个螺母配成一套．
（1）每天安排多少名工人生产螺栓，多少名工人生产螺母，才能使每天生产出来的产品配套？
（2）若每套利润20元，求每天的利润？
知识点5 几何问题
【典例】
1.如图，在长为10米，宽为8米的长方形空地上，沿平行于长方形边的方向分割出三个形状、大小完全一样的小长方形花圃（阴影部分），求其中一个长方形的长和宽．
【方法总结】
几何问题
列方程组解几何图形应用题，通常主要考查边、角、周长、面积等问题．解决这类问题的基本关系式有关于几何图形的性质、周长、面积等计算公式．
列方程组解几何图形应用题的关键：
①从题干所给关键文字信息去找等量关系；
②从图形中找等量关系：找拼接线（用不同方式拼接）
如下图所示：
③当题出现不规则摆放时，可将小长方形进行平移
如下图所示：
【随堂练习】
1．用若干个形状、大小完全相同的矩形纸片围成正方形，4个矩形纸片围成如图①所示的正方形，其阴影部分的面积为12；8个矩形纸片围成如图②所示的正方形，其阴影部分的面积为8；12个矩形纸片围成如图③所示的正方形，其阴影部分的面积为________．
2．某校举办“迎亚运“学生书画展览，现要在长方形展厅中划出3个形状、大小完全一样的小长方形（图中阴影部分）区域摆放作品．
（1）如图1，若大长方形的长和宽分别为45米和30米，求小长方形的长和宽．
（2）如图2，若大长方形的长和宽分别为a和b
①直接写出1个小长方形周长与大长方形周长之比；
②若作品展览区域（阴影部分）面积占展厅面积的，试求的值．
3．某包装生产企业承接了一批上海世博会的礼品盒制作业务，为了确保质量，该企业进行试生产．他们购得规格是170cm×40cm的标准板材作为原材料，每张标准板材再按照裁法一或裁法二裁下A型与B型两种板材．如图所示，（单位：cm）
（1）列出方程（组），求出图甲中a与b的值．
（2）在试生产阶段，若将m张标准板材用裁法一裁剪，n张标准板材用裁法二裁剪，再将得到的A型与B型板材做侧面和底面，做成图乙横式无盖礼品盒．
①两种裁法共产生A型板材______张，B型板材______张（用m、n的代数式表示）；
②当30≤m≤40时，所裁得的A型板材和B型板材恰好用完，做成的横式无盖礼品盒可能是__________个．（在横线上直接写出所有可能答案，无需书写过程）
综合运用
1.某工厂去年的利润（总产值﹣总支出）为200万元，今年总产值比去年增加了20%，总支出比去年减少了10%，今年的利润为780万元，去年的总产值为　 　万元，总支出是　 　万元．
2.一条船顺流航行每小时行40km，逆流航行每小时行32km，设该船在静水中的速度为每小时x km，水流速度为每小时y km，则可列方程组为　 　．
3.小明骑自行车上学，中途因道路施工步行一段路，到学校共用时15min．他骑自行车的平均速度是250m/min，步行的平均速度是80m/min，小明家与学校的距离是2900m．设小明骑车、步行的时间分别为x min、y min，可列方程组为：　 　．
4.甲、乙两人相距42千米，若两人同时相向而行，可在6小时后相遇；而若两人同时同向而行，乙可在14小时后追上甲，设甲的速度为x千米/时，乙的速度为y千米/时，列出的二元一次方程组为　 　．
5.一个两位数的数字和为14，若调换个位数字与十位数字，新数比原数小36，则这个两位数是　 　．
6.长方形ABCD中放置了6个形状、大小都相同的小长方形，所标尺寸如图所示，则图中阴影部分的面积是　 　cm2．
7.用二元一次方程组解决问题：
某商场按定价销售某种商品时，每件可获利35元；按定价的八折销售该商品5件与将定价降低20元销售该商品8件所获得的利润相等．求该商品每件的进价、定价各是多少元？
8.用二元一次方程组解决问题：A、B两地相距20千米，甲、乙两人分别从A、B两地同时相向而行，2小时后在途中相遇，然后甲返回A地，乙继续前进，当甲返回到A地时，乙离A地还有2千米．求甲、乙两人的速度各是多少？
9.一个两位数，比它十位上的数与个位上的数的和大9；如果交换十位上的数与个位上的数，所得两位数比原来的两位数大27，求这个两位数．
10.某玩具厂共有300名生产工人，每个工人每天可生产玩具车架20个或车轮40个，如果1个车架与4个车轮配成一套，那么每天安排多少名工人生产车架，多少名工人生产车轮，才能使每天生产出来的产品刚好配套？
11.一张圆凳由一个凳面和三条腿组成，如果1m3的木材可以制作300条腿或制作凳面50个．现有9m3的木材，为充分利用材料，请你设计一下，用多少木材做凳面，用多少木材做凳腿，最多能生产多少张圆凳？
12.小明在拼图时，发现8个大小一样的小长方形，恰好可以拼成一个大的长方形．如图（1）所示，小红看见了，说“我来试一试”，结果小红七拼八凑，拼成如图（2）那样的正方形，可中间还留下一个边长为6cm的小正方形．请你求出这些小长方形的长和宽．
13.如图，在长方形ABCD中，放置9个形状，大小都相同的小长方形，相关数据如图所示．求图中阴影部分的面积．
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