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第2讲 实数
知识点1 无理数的概念
1、无限不循环小数叫做无理数．例如等都是无理数
类型：（1）所有开方开不尽的数都是无理数．
（2）化简后含的数是无理数．
（3）无限不循环小数是无理数．
【典例】
下列实数：，，，3.14，，0，10.12112111211112…，π﹣2，中，属于无理数的有_____个
【答案】4
【解析】解：，，开方开不尽，是无理数，
10.12112111211112…，无限不循环小数，是无理数，
π﹣2化简后含，是无理数，
所以无理数共有4个
【方法总结】
判断一个数是否为无理数，不能只看形式，要看化简后的结果．例如：=4，是有理数；是无限循环小数，是有理数.
一个无理数加上或减去一个有理数，也是无理数，例如：π﹣2.
【随堂练习】
1．在，2π，﹣2，0，0.454454445…，，中，无理数的有___个．
【解答】解：在，2π，﹣2，0，0.454454445…，，中，无理数有2π、0.454454445…、、这4个，
故答案为：4．
2．在实数①，②，③3.14，④，⑤π中，是无理数的有____；（填写序号）
【解答】解：①，③3.14，④是有理数，
②，⑤π是无理数，
故答案为：②⑤．
3．在5，0.1，，，3π．，中，无理数有___个．
【解答】解：在5，0.1，，，3π，中，无理数有、3π共有2个，
故答案为2．
4．下列各数：，，5.12，，0，，3.1415926，，，2.181181118…（两个8之间1的个数逐次多1）．其中是无理数的有___个．
【解答】解：，，，2.181181118…（两个8之间1的个数逐次多1）是无理数，
故答案为：4．
知识点2 实数的概念
1、实数的概念：有理数和无理数统称为实数．
2、实数的分类：
1）按定义分：
2）按正负分：
3、小数与无理数，有理数的关系：
（1）有限小数（如：3.14,0.8）→可化为分数→是有理数；
（2）无限循环小数（如：）→可化为分数→是有理数；
（3）无限不循环小数（如：4.23598…）→不可化为分数→是无理数.
【典例】
1.把下列各数填在相应的大括号里：
，，﹣0.101001，﹣|﹣2|，，，
正数集合：{_____________ }；
负整数集合：{___________ }；
负分数集合：{______________ }；
无理数集合：{_______________ }．
【解析】解：先化简：=8，﹣|﹣2|=-2，
正数集合：{ ， }；
负整数集合：{﹣|﹣2| }；
负分数集合：{﹣0.101001，， }；
无理数集合：{ }．
【方法总结】
实数分类，需要先把实数化简，看化简后的形式.
上题中﹣0.101001后面没有省略号，所以是个有限小数，因为所有有限小数和无限循环小数都可以化成分数的形式，所以﹣0.101001也是负分式，同理也负分数；是无理数，不是分数.
【随堂练习】
1．将下列各数填入相应的括号里：
﹣2.5，5，0，8，﹣2，，0.7，，﹣1.121121112…，，﹣0.．
正数集合 {___________ …}；
负数集合{__________________________…}；
整数集合{________ …}；
有理数集合{_________________________ …}；
无理数集合{________________…}．
【解答】解：正数集合 { 5，8，，0.7，
…}；
负数集合{﹣2.5，﹣2，，﹣1.121121112…，﹣0.}；
整数集合{ 0，8，﹣2…}；
有理数集合{﹣2.5，5，0，8，﹣2，0.7，，，﹣0.．
…}；
无理数集合{，﹣1.121121112…}，
故答案为：5，8，，0.7，；﹣2.5，﹣2，，﹣1.121121112…，﹣0.；0，8，﹣2；﹣2.5，5，0，8，﹣2，0.7，，，﹣0.，﹣1.121121112…．
2．把下列各数按要求填入相应的大括号里：
﹣10，4.5，，0，﹣（﹣3），2.10010001…，﹣|﹣4|，﹣2π，
整数集合：{ …}，
分数集合：{ …}，
非负有理数集合：{ …}，
无理数集合：{ …}．
【解答】整数集合：{﹣10，0，﹣（﹣3），﹣|﹣4|…}，
分数集合：{4.5， …}，
非负有理数集合：{4.5，0，﹣（﹣3）…}，
无理数集合：{2.10010001…，﹣2π …}，
故答案为：﹣10，0，﹣（﹣3），﹣|﹣4|；4.5，；4.5，0，﹣（﹣3）；2.10010001…，﹣2π．
知识点3 实数与数轴
实数与数轴上的点是一一对应的，即每一个实数都可以用数轴上的点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数.与规定有理数的大小一样，对于数轴上的任意两个点，右边的点表示的实数总比左边的点表示的实数大.
【典例】
如图，数轴上A，B两点表示的数分别为﹣1和，点B关于点A的对称点为C，则点C所表示的数为______
【答案】﹣2﹣
【解析】解：∵对称的两点到对称中心的距离相等，
∴CA=AB，
∵AB=AO+OB=|﹣1|+||=1+，
∴AC=1+
∵OC=OA+AC=|﹣1|+1+=2+
∴OC=2+，而C点在原点左侧，
∴C表示的数为：﹣2﹣．
【方法总结】
1、由“点B关于点A的对称点为C”可知“CA=AB”；
2、求“点C所表示的数”可以先求点C所表示的数的绝对值，即OC的长，利用OC=OA+AC求解.
3、由于C点在原点左侧，所以表示C点的数为负数.
【随堂练习】
1．实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，若|a|＞|b|，则下列结论中一定成立的是（　　）
A．b+c＞0 B．a+c＜﹣2 C． D．abc≥0
【解答】解：不妨设a＜c＜b＜0，则A，D错误，a+c＜0，无法判断a+c与﹣2的大小，1，
故选：C．
2．已知A，B，C是数轴上的三个点，且C在B的左侧．点A，B示的数分别是1，3，如图所示．若BC＝2AB，则点C表示的数是____．
【解答】解：∵点A，B表示的数分别是1，3，
∴AB＝3﹣1＝2，
∵BC＝2AB＝4，
∴OC＝BC﹣OB＝4﹣3＝1，
∵C在B的左侧，
∴点C表示的数是﹣1．
故答案为：﹣1．
3．数轴上点O表示原点，点A表示数﹣4，点P表示数x，当PA＝PO时，|x|＝___．
【解答】解：∵数轴上点O表示原点，点A表示数﹣4，点P表示数x，PA＝PO，
∴点P表示的数是﹣2，
∴|x|＝2．
故答案为：2．
知识点4 无理数大小的比较方法
常用方法：
（1）实数的性质：正实数大于0，负实数小于0；两个正实数比较大小，绝对值大的数大，两个负实数比较大小，绝对值大的反而小
（2）数轴法：数轴右边的点表示的实数总比左边的点表示的实数大.
（3）比较被开方数的大小：a＞0，b＞0，
若a＞b，则；
若a＜b， 则；
若a＝b，则．
（4）作差法：
若a-b＞0，则a＞b；
若a-b＝0，则a＝b；
若a-b＜0，则a＜b;
（5）作商法：a＞0，b＞0，
若＞1，则a＞b；
若＝1，则a＝b；
若＜1，则a＜b
（6）特殊值法：对于较复杂问题，可以代入一个符合条件的数，求出具体数值后再比较.
备注：，
【典例】
1.（1）求出下列个数：①2的平方根；②﹣27的立方根；③的算术平方根．
（2）将（1）中求出的每个数表示在下图中的数轴上；
（3）将（1）中求出的每个数按从小到大的顺序排列，并用“＜”连接．
【解析】解：（1）①2的平方根是±；
②﹣27的立方根是﹣3；
③=4，4的算术平方根是2；
（2）数轴表示，如图所示：
（3）﹣3＜﹣＜＜2．
2. 比较大小：______，_____．（填“＞”或“＜”），
【答案】“>”, “>”
【解析】解：（1）∵1﹣（﹣1）=2﹣＞0，
∴1＞﹣1，
∴．
（2）∵9<10<16
∴3＜＜4，
∴，
则，
∵，
∴．
所以（1）填“>”,（2）填“>”
【方法总结】
第一题，判断一列数的大小，可以把所有数在数轴上表示出来，按照“右边的数大于左边的数”，可直观的判断这列数的大小关系.
第二题，实数比较大小可以用做差法，例如：和，分母一样，分子做差，得，所以>；当两个实数不能用开平方法和做差法判断大小时，可以先判断实数的范围，例如：，因为，所以，分子，可得，又因为，所以可得，即.
【随堂练习】
1．绝对值小于的所有整数的和是___．
【解答】解：绝对值小于的所有整数为0，±1，±2，±3，
根据有理数的加法法则，互为相反数的两个数和为0，可知这7个数的和为0．
故答案为：0．
2．比较2与3的大小：2___3．（用不等号＞，≥，＜，≤填空）
【解答】解：∵2，3，
12＜18，
∴23．
故答案为：＜．
3．比较数的大小：1___．
【解答】解：∵3（1）
＝31
＝21＞0，
∴1＜3，
故答案为：＜
4．比较大小：___（填“＞”或“＜”或“＝”）．
【解答】解：﹣3，
﹣2，
||，||，
∵，
∴，
∴﹣32．
故答案为：＞．
知识点5 估计无理数的大小
1、熟记常用的完全平方数和立方数
2、一个实数的小数部分=这个实数-这个实数的整数部分.
【典例】
已知a，b分别是6﹣的整数部分和小数部分，那么2a﹣b的值是____
【答案】
【解析】解：∵3＜＜4，
∴﹣4＜﹣3，
∴6﹣4，
∴
∵a，b分别是6﹣的整数部分和小数部分
∴a=2，b=（6﹣）﹣2=4﹣，
∴2a﹣b=2×2﹣（4﹣）=，
【方法总结】
本题难点是求的整数部分和小数部分，首先判断的范围，因为9<13<16，所以，根据相反数的几何意义，在数轴上和关于原点对称，可得，则，所以是一个大于2小于3的实数，其整数部分为2，小数部分为，所以a=2，b=.
【随堂练习】
1．已知m是的整数部分，n是的小数部分，求的值．
【解答】解：∵34，
∴m＝3，n3，
∴．
2．已知5a+2的立方根是3，3a+b﹣1的算术平方根是4，c是的整数部分，求3a﹣b+c的平方根．
【解答】解：∵5a+2的立方根是3，3a+b﹣1的算术平方根是4，
∴5a+2＝27，3a+b﹣1＝16，
∴a＝5，b＝2，
∵c是的整数部分，
∴c＝3，
∴3a﹣b+c＝16，
3a﹣b+c的平方根是±4．
3．的整数部分为a，小数部分为b，求a﹣b．
【解答】解：∵4＜7＜9，
∴23，
∴a＝2，b2，
则a﹣b＝4．
知识点6 实数的运算
实数之间不仅可以进行加、减、乘、除（除数不为0）、乘方运算，而且正数及0可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算.
在进行实数的运算时，有理数的运算法则及运算性质等同样适用.
实数的运算顺序：先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，同级运算从左到右依次计算，有括号的要先算括号里面的.
【典例】
1.计算：+|3﹣|+﹣+|4﹣|．
【解析】解：+|3﹣|+﹣+|4﹣|
=（﹣2）++﹣
=
=
=0．
【方法总结】
1、运算顺序：先开平方、开立方、去绝对值；
2、化简后，有理数和无理数可以分别计算.
【随堂练习】
1．（1）计算：
（2）已知（x﹣2）2＝9，求x的值．
【解答】解：（1）原式＝7﹣0.8﹣5＝1.2；
（2）∵（x﹣2）2＝9，
∴x﹣2＝3或x﹣2＝﹣3，
解得：x＝5或x＝﹣1．
2．计算：
（1）﹣4+3
（2）（﹣1）2|﹣4|
【解答】解：（1）﹣4+3＝﹣1
（2）（﹣1）2|﹣4|
＝1+3﹣4
＝0
3．计算：（）2+|1|．
【解答】解：（）2+|1|
＝﹣2
＝﹣2+3﹣1
＝0．
综合运用
在实数、﹣3、0、、3.1415、π、、、2.123122312233…（不循环）中，无理数的个数为_________个.
【答案】4
【解析】解：先化简：=﹣1，=12，
，，开方开不尽，是无理数，
2.123122312233…（不循环），无限不循环小数，是无理数，
π，是无理数，
所以无理数共有4个
数轴上与表示1的点距离为的点表示的数是_______．
【答案】1﹣或1+
【解析】解：根据数轴的特点，数轴上与表示1的距离为的点有两个：
该点可能在1的左侧，则为1﹣；
也可能在1的右侧，即为1+．
故答案为：1﹣或1+．
比较大小：+1_______4；3﹣1_______1+2（填“＞”“＜”或“=”）．
【答案】＞，＜
【解析】解：（1）∵9<11<16
∴3＜＜4，
∴4＜+1＜5，
所以+1＞4．
故答案为：＞．
（2）∵3﹣1﹣（1+2）=﹣2，
1＜＜2，
∴﹣2＜0，
∴3﹣1﹣（1+2）＜0，
∴3﹣1＜1+2，
故答案为：＞，＜
4.在下列各数﹣3.21，，5，，，﹣π，，0，，0.121121112中：
整数有{______________________}
有理数有{_________________________}
无理数有{}
负实数有{______________________}．
【解析】解：在﹣3.21，，5，，，﹣π，，0，，0.121121112中，
整数有{ 5，0 }
有理数有{﹣3.21，5，，，0，，0.121121112 }
无理数有{，﹣π， }
负实数有{﹣3.12，﹣π，}．
5.画出数轴，在数轴上表示下列各数，并用“＜”连接：
﹣，，0，．
【解析】解：
在数轴上表示﹣，，0，，如下
，
﹣＜0＜＜．
6.若的整数部分为a，小数部分为b，求a2+b﹣的值．
【解析】解：∵9＜13＜16，
∴3＜＜4，
∵的整数部分为a，小数部分为b
∴a=3，b=﹣3，
∴a2+b﹣=9+﹣3﹣=6．
7.介于两个相邻的整数a、b（a＜b）之间，求a+b的值.
【解析】解：∵64<99<125
∴
∴4＜＜5，
∴a=4，b=5，
∴a+b=4+5=9，
8.计算：
（1）|﹣3|+﹣．
（2）|﹣5|+（﹣2）2+﹣﹣1．
（3）×﹣23×
【解析】解：（1）|﹣3|+﹣
=3﹣+﹣3
=﹣．
（2）|﹣5|+（﹣2）2+﹣﹣1
=5+4+（﹣3）﹣﹣1
=5+4+（-3-2-1）
=9+（﹣6）
=3．
（3）×﹣23×
=×﹣23×
=2×﹣8×
=3﹣2
=1
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知识点1 无理数的概念
1、无限不循环小数叫做无理数．例如等都是无理数
类型：（1）所有开方开不尽的数都是无理数．
（2）化简后含的数是无理数．
（3）无限不循环小数是无理数．
【典例】
下列实数：，，，3.14，，0，10.12112111211112…，π﹣2，中，属于无理数的有_____个
【方法总结】
判断一个数是否为无理数，不能只看形式，要看化简后的结果．例如：=4，是有理数；是无限循环小数，是有理数.
一个无理数加上或减去一个有理数，也是无理数，例如：π﹣2.
【随堂练习】
1．在，2π，﹣2，0，0.454454445…，，中，无理数的有___个．
2．在实数①，②，③3.14，④，⑤π中，是无理数的有____；（填写序号）
3．在5，0.1，，，3π．，中，无理数有___个．
4．下列各数：，，5.12，，0，，3.1415926，，，2.181181118…（两个8之间1的个数逐次多1）．其中是无理数的有___个．
知识点2 实数的概念
1、实数的概念：有理数和无理数统称为实数．
2、实数的分类：
1）按定义分：
2）按正负分：
3、小数与无理数，有理数的关系：
（1）有限小数（如：3.14,0.8）→可化为分数→是有理数；
（2）无限循环小数（如：）→可化为分数→是有理数；
（3）无限不循环小数（如：4.23598…）→不可化为分数→是无理数.
【典例】
1.把下列各数填在相应的大括号里：
，，﹣0.101001，﹣|﹣2|，，，
正数集合：{_____________ }；
负整数集合：{___________ }；
负分数集合：{______________ }；
无理数集合：{_______________ }．
【方法总结】
实数分类，需要先把实数化简，看化简后的形式.
上题中﹣0.101001后面没有省略号，所以是个有限小数，因为所有有限小数和无限循环小数都可以化成分数的形式，所以﹣0.101001也是负分式，同理也负分数；是无理数，不是分数.
【随堂练习】
1．将下列各数填入相应的括号里：
﹣2.5，5，0，8，﹣2，，0.7，，﹣1.121121112…，，﹣0.．
正数集合 {___________ …}；
负数集合{__________________________…}；
整数集合{________ …}；
有理数集合{_________________________ …}；
无理数集合{________________…}．
2．把下列各数按要求填入相应的大括号里：
﹣10，4.5，，0，﹣（﹣3），2.10010001…，﹣|﹣4|，﹣2π，
整数集合：{ …}，
分数集合：{ …}，
非负有理数集合：{ …}，
无理数集合：{ …}．
知识点3 实数与数轴
实数与数轴上的点是一一对应的，即每一个实数都可以用数轴上的点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数.与规定有理数的大小一样，对于数轴上的任意两个点，右边的点表示的实数总比左边的点表示的实数大.
【典例】
如图，数轴上A，B两点表示的数分别为﹣1和，点B关于点A的对称点为C，则点C所表示的数为______
【方法总结】
1、由“点B关于点A的对称点为C”可知“CA=AB”；
2、求“点C所表示的数”可以先求点C所表示的数的绝对值，即OC的长，利用OC=OA+AC求解.
3、由于C点在原点左侧，所以表示C点的数为负数.
【随堂练习】
1．实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，若|a|＞|b|，则下列结论中一定成立的是（　　）
A．b+c＞0 B．a+c＜﹣2 C． D．abc≥0
2．已知A，B，C是数轴上的三个点，且C在B的左侧．点A，B示的数分别是1，3，如图所示．若BC＝2AB，则点C表示的数是____．
3．数轴上点O表示原点，点A表示数﹣4，点P表示数x，当PA＝PO时，|x|＝___．
知识点4 无理数大小的比较方法
常用方法：
（1）实数的性质：正实数大于0，负实数小于0；两个正实数比较大小，绝对值大的数大，两个负实数比较大小，绝对值大的反而小
（2）数轴法：数轴右边的点表示的实数总比左边的点表示的实数大.
（3）比较被开方数的大小：a＞0，b＞0，
若a＞b，则；
若a＜b， 则；
若a＝b，则．
（4）作差法：
若a-b＞0，则a＞b；
若a-b＝0，则a＝b；
若a-b＜0，则a＜b;
（5）作商法：a＞0，b＞0，
若＞1，则a＞b；
若＝1，则a＝b；
若＜1，则a＜b
（6）特殊值法：对于较复杂问题，可以代入一个符合条件的数，求出具体数值后再比较.
备注：，
【典例】
1.（1）求出下列个数：①2的平方根；②﹣27的立方根；③的算术平方根．
（2）将（1）中求出的每个数表示在下图中的数轴上；
（3）将（1）中求出的每个数按从小到大的顺序排列，并用“＜”连接．
2. 比较大小：______，_____．（填“＞”或“＜”），
【方法总结】
第一题，判断一列数的大小，可以把所有数在数轴上表示出来，按照“右边的数大于左边的数”，可直观的判断这列数的大小关系.
第二题，实数比较大小可以用做差法，例如：和，分母一样，分子做差，得，所以>；当两个实数不能用开平方法和做差法判断大小时，可以先判断实数的范围，例如：，因为，所以，分子，可得，又因为，所以可得，即.
【随堂练习】
1．绝对值小于的所有整数的和是___．
2．比较2与3的大小：2___3．（用不等号＞，≥，＜，≤填空）
3．比较数的大小：1___．
4．比较大小：___（填“＞”或“＜”或“＝”）．
知识点5 估计无理数的大小
1、熟记常用的完全平方数和立方数
2、一个实数的小数部分=这个实数-这个实数的整数部分.
【典例】
已知a，b分别是6﹣的整数部分和小数部分，那么2a﹣b的值是____
【方法总结】
本题难点是求的整数部分和小数部分，首先判断的范围，因为9<13<16，所以，根据相反数的几何意义，在数轴上和关于原点对称，可得，则，所以是一个大于2小于3的实数，其整数部分为2，小数部分为，所以a=2，b=.
【随堂练习】
1．已知m是的整数部分，n是的小数部分，求的值．
2．已知5a+2的立方根是3，3a+b﹣1的算术平方根是4，c是的整数部分，求3a﹣b+c的平方根．
3．的整数部分为a，小数部分为b，求a﹣b．
知识点6 实数的运算
实数之间不仅可以进行加、减、乘、除（除数不为0）、乘方运算，而且正数及0可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算.
在进行实数的运算时，有理数的运算法则及运算性质等同样适用.
实数的运算顺序：先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，同级运算从左到右依次计算，有括号的要先算括号里面的.
【典例】
1.计算：+|3﹣|+﹣+|4﹣|．
【方法总结】
1、运算顺序：先开平方、开立方、去绝对值；
2、化简后，有理数和无理数可以分别计算.
【随堂练习】
1．（1）计算：
（2）已知（x﹣2）2＝9，求x的值．
2．计算：
（1）﹣4+3
（2）（﹣1）2|﹣4|
3．计算：（）2+|1|．
综合运用
在实数、﹣3、0、、3.1415、π、、、2.123122312233…（不循环）中，无理数的个数为_________个.
数轴上与表示1的点距离为的点表示的数是_______．
比较大小：+1_______4；3﹣1_______1+2（填“＞”“＜”或“=”）．
4.在下列各数﹣3.21，，5，，，﹣π，，0，，0.121121112中：
整数有{______________________}
有理数有{_________________________}
无理数有{}
负实数有{______________________}．
5.画出数轴，在数轴上表示下列各数，并用“＜”连接：
﹣，，0，．
6.若的整数部分为a，小数部分为b，求a2+b﹣的值．
7.介于两个相邻的整数a、b（a＜b）之间，求a+b的值.
8.计算：
（1）|﹣3|+﹣．
（2）|﹣5|+（﹣2）2+﹣﹣1．
（3）×﹣23×
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