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第5讲 一次函数
知识点1 正比例函数
1.正比例函数的定义
一般地，形如y=kx(k是常数，k≠0)的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数.
注：正比例函数一般形式 y=kx (k不为零) ① k不为零 ② x指数为1
2.正比例函数的图象和性质
当k>0时，直线y=kx经过三、一象限，从左向右上升，即随x的增大y也增大；当k<0时，直线y=kx经过二、四象限，从左向右下降，即随x增大y反而减小．
(1) 解析式：y=kx（k是常数，k≠0）
(2) 必过点：（0，0）、（1，k）
(3) 走向：k>0时，图像经过一、三象限；k<0时，图像经过二、四象限
(4) 增减性：k>0，y随x的增大而增大；k<0，y随x增大而减小
(5) 倾斜度：|k|越大，越接近y轴；|k|越小，越接近x轴
【典例】
1.已知正比例函数y=（m+2）x中，y的值随x的增大而增大，而正比例函数y=（2m﹣3）x，y的值随x的增大而减小，且m为整数，你能求出m的可能值吗？为什么？
【方法总结】
正比例函数的比例系数k决定函数图象和性质，三者知道其中一个条件便可以得出其他两个结论，如k大于0，便可得出图象过一三象限，y随x的增大而增大．
【随堂练习】
1．下列函数中，是正比例函数的是（　　）
A．y=x﹣2 B．y= C．y=﹣8x D．y=2x2﹣1
2．下列式子中，表示y是x的正比例函数的是（　　）
A．y=2x2 B．y= C．y= D．y2=3x
3．在平面直角坐标系中，正比例函数y=﹣2x的图象的大体位置是（　　）
A． B．
C． D．
知识点2 一次函数
1.一次函数的定义
一般地，形如y=kx+b（k，b是常数，且k≠0）的函数，叫做一次函数，其中x是自变量．当b=0时，一次函数y=kx，又叫做正比例函数．
（1）一次函数的解析式的形式是y=kx+b，要判断一个函数是否是一次函数，就是判断是否能化成以上形式．
（2）b=0，k≠0时，y=kx仍是一次函数．
（3）b=0，k =0时，它不是一次函数．
（4）正比例函数是一次函数的特例，一次函数包括正比例函数．
注：一次函数的一般形式为： y=kx+b (k不为零)，需要满足的条件为：① k不为零; ②x指数为1; ③ b取任意实数.
2．一次函数图象性质
3.用待定系数法求函数解析式步骤如下：
　　（1）根据已知条件写出含有待定系数的函数关系式；
　　（2）将x、y的几对值或图象上的几个点的坐标代入上述函数关系式中得到以待定系数为未知数的方程；
　　（3）解方程得出未知系数的值；
　　（4）将求出的待定系数代回所求的函数关系式中得出所求函数的关系式.
4.直线（）与（）的位置关系
（1）两直线平行且
（2）两直线相交
（3）两直线重合且
（4）两直线垂直
【典例】
1. 已知一次函数y=（2﹣k）x﹣2k+6，
（1）k满足何条件时，它的图象经过原点；
（2）k满足何条件时，它的图象平行于直线y=﹣x+1；
（3）k满足何条件时，y随x的增大而减小；
（4）k满足何条件时，图象经过第一、二、四象限；
（5）k满足何条件时，它的图象与y轴的交点在x轴的上方．
2.如图，一次函数y=（m+1）x+的图象与x轴的负半轴相交于点A，与y轴相交于点B，且△OAB的面积为．
（1）求m的值及点A的坐标；
（2）过点B作直线BP与x轴的正半轴相交于点P，且OP=3OA，求直线BP的解析式．
【方法总结】
解一次函数的图象和性质的相关题型，首先将解析式化简成y=kx+b的形式，并牢记k、 b的正负与函数图象的对应关系．
用待定系数法求一次函数的解析式，待定系数有两个，需要两个方程，所以在图中需找到两个点确定两组x、y的值；已知函数图象中的点求所对应的三角形、四边形的面积要根据点的位置添加绝对值号，以保证结论的正确性．
【随堂练习】
1．下列函数中是一次函数的是（　　）
A．y=2x B． C．y=x2 D．y2=2x+3
2．下列关系式中：y=﹣3x+1、y=、y=x2+1、y=x，y是x的一次函数的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．一次函数y=（m﹣2）xn﹣1+3是关于x的一次函数，则m，n的值为（　　）
A．m≠2，n=2 B．m=2，n=2 C．m≠2，n=1 D．m=2，n=1
知识点3 一次函数与方程、不等式的关系
1. 一次函数与一元一次方程的关系
用函数的观点看方程，从数的角度看：求kx+b=0的解，相当于求函数y=kx+b的函数值为0时自变量x的值．从形的角度看：求kx+b=0的解，相当于已知直线y=kx+b，确定它与x轴交点的横坐标．
2．一次函数与二元一次方程（组）的关系
（1）一次函数y=kx+b的图象上任意一点的坐标都是二元一次方程kx﹣y+b=0的解；以二元一次方程kx﹣y+b=0的解为坐标的点都在一次函数y=kx+b的图象上．
（2）如果两个一次函数的图象有一个交点，那么交点坐标就是相应的二元一次方程组的解．二元一次方程组的解是组中两个二元一次方程表达式形成的两个一次函数的图象的交点坐标．
（3）用一次函数的图象求二元一次方程组的解的方法称为二元一次方程组的图象解法．
3．一次函数与一元一次不等式的关系
（1）从数的角度看，求一元一次不等式kx+b＞0或kx+b＜0的解集就是求x为何值时，一次函数y=kx+b的函数值大于0或小于0．从形的角度看，求一元一次不等式kx+b＞0或kx+b＜0的解集就是求直线y=kx+b在x轴上方或下方部分所有点的横坐标．
（2）一元一次不等式 (，是已知数，且＜)的解集就是直线上满足≤≤那条线段所对应的自变量的取值范围．
（3） ax+b＞cx+d或ax+b＜cx+d（a≠c，且ac≠0）的解集就是y=ax+b的函数值大于或小于y=cx+d的函数值时自变量x的取值范围，也是直线y=ax+b在直线y=cx+d的上方或下方时对应的横坐标的取值范围．
【典例】
1.如图，直线y=﹣2x+6与直线y=mx+n相交于点M（p，4）．
（1）求p的值；
（2）直接写出关于x，y的二元一次方程组的解；
（3）判断直线y=3nx+m﹣2n是否也过点M？并说明理由．
2.直线a：y=x+2和直线b：y=﹣x+4相交于点A，分别与x轴相交于点B和点C，与y轴相交于点D和点E．
（1）在同一坐标系中画出函数图象；
（2）求△ABC的面积；
（3）求四边形ADOC的面积；
（4）观察图象直接写出不等式x+2≤﹣x+4和﹣x+4≤0的解集．
【方法总结】
如果两个一次函数的图象有一个交点，那么交点坐标就是相应的二元一次方程组的解．
已知两个一次函数的图象求不等式y1＞y2的解集，一般解题步骤如下：
（1）通过观看图象找出两个一次函数的交点；
（2）找出函数图像y1在y2上方的部分；
（3）写出该部分图象对应自变量的取值范围．
【随堂练习】
1．下列在一次函数y=2x﹣3的图象上的点是（　　）
A．（﹣3，0） B．（1，﹣1） C．（2，﹣1） D．（﹣3，﹣3）
2．一次函数y=﹣2x+5的图象与y轴的交点坐标是（　　）
A．（5，0） B．（0，5） C．（，0） D．（0，）
综合运用
1．已知函数y=（m+2）x是正比例函数，则m的值是（　　）
A．2 B．﹣2 C．±2 D．
2．正比例函数y=3x的大致图象是（　　）
A． B．
C． D．
3．下列函数①y=5x；②y=﹣2x﹣1；③y=；④y=x﹣6；⑤y=x2﹣1其中，是一次函数的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．已知函数y=（m﹣1）x|m|+5m是一次函数，则m的值为（　　）
A．1 B．﹣1 C．0或﹣1 D．1或﹣1
5.一次函数y=x﹣1的图象交x轴于点A．交y轴于点B，在y=x﹣1的图象上有两点（x1，y1）、（x2，y2），若x1＜0＜x2，则下列式子中正确的是（　　）
A．y1＜0＜y2 B．y1＜0＜y2 C．y1＜﹣1＜y2 D．y2＜0＜y1
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第5讲 一次函数
知识点1 正比例函数
1.正比例函数的定义
一般地，形如y=kx(k是常数，k≠0)的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数.
注：正比例函数一般形式 y=kx (k不为零) ① k不为零 ② x指数为1
2.正比例函数的图象和性质
当k>0时，直线y=kx经过三、一象限，从左向右上升，即随x的增大y也增大；当k<0时，直线y=kx经过二、四象限，从左向右下降，即随x增大y反而减小．
(1) 解析式：y=kx（k是常数，k≠0）
(2) 必过点：（0，0）、（1，k）
(3) 走向：k>0时，图像经过一、三象限；k<0时，图像经过二、四象限
(4) 增减性：k>0，y随x的增大而增大；k<0，y随x增大而减小
(5) 倾斜度：|k|越大，越接近y轴；|k|越小，越接近x轴
【典例】
1.已知正比例函数y=（m+2）x中，y的值随x的增大而增大，而正比例函数y=（2m﹣3）x，y的值随x的增大而减小，且m为整数，你能求出m的可能值吗？为什么？
【解析】解：m的可能值为﹣1，0，1．理由如下：
∵正比例函数y=（m+2）x中，y的值随x的增大而增大，
∴m+2＞0，
解得m＞﹣2．
∵正比例函数y=（2m﹣3）x，y的值随x的增大而减小，
∴2m﹣3＜0，
解得m＜．
∵m为整数，
∴m的可能值为﹣1，0，1．
【方法总结】
正比例函数的比例系数k决定函数图象和性质，三者知道其中一个条件便可以得出其他两个结论，如k大于0，便可得出图象过一三象限，y随x的增大而增大．
【随堂练习】
1．下列函数中，是正比例函数的是（　　）
A．y=x﹣2 B．y= C．y=﹣8x D．y=2x2﹣1
【解答】解：A、不是正比例函数，故本选项不符合题意；
B、不是正比例函数，故本选项不符合题意；
C、是正比例函数，故本选项符合题意；
D、不是正比例函数，故本选项不符合题意；
故选：C．
2．下列式子中，表示y是x的正比例函数的是（　　）
A．y=2x2 B．y= C．y= D．y2=3x
【解答】解：A、y=2x2表示y是x的二次函数，故本选项错误；
B、y=表示y是x的反比例函数，故本选项错误；
C、y=表示y是x的正比例函数，故本选项正确；
D、y2=3x不符合正比例函数的含义，故本选项错误；
故选：C．
3．在平面直角坐标系中，正比例函数y=﹣2x的图象的大体位置是（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：正比例函数图象一定过原点，
根据正比例函数图象的性质，知：当k=﹣2＜0时，图象经过二、四象限，
所以正比例函数y=﹣2x的图象是一条经过二、四象限和原点的直线．
故选：B．
知识点2 一次函数
1.一次函数的定义
一般地，形如y=kx+b（k，b是常数，且k≠0）的函数，叫做一次函数，其中x是自变量．当b=0时，一次函数y=kx，又叫做正比例函数．
（1）一次函数的解析式的形式是y=kx+b，要判断一个函数是否是一次函数，就是判断是否能化成以上形式．
（2）b=0，k≠0时，y=kx仍是一次函数．
（3）b=0，k =0时，它不是一次函数．
（4）正比例函数是一次函数的特例，一次函数包括正比例函数．
注：一次函数的一般形式为： y=kx+b (k不为零)，需要满足的条件为：① k不为零; ②x指数为1; ③ b取任意实数.
2．一次函数图象性质
3.用待定系数法求函数解析式步骤如下：
　　（1）根据已知条件写出含有待定系数的函数关系式；
　　（2）将x、y的几对值或图象上的几个点的坐标代入上述函数关系式中得到以待定系数为未知数的方程；
　　（3）解方程得出未知系数的值；
　　（4）将求出的待定系数代回所求的函数关系式中得出所求函数的关系式.
4.直线（）与（）的位置关系
（1）两直线平行且
（2）两直线相交
（3）两直线重合且
（4）两直线垂直
【典例】
1. 已知一次函数y=（2﹣k）x﹣2k+6，
（1）k满足何条件时，它的图象经过原点；
（2）k满足何条件时，它的图象平行于直线y=﹣x+1；
（3）k满足何条件时，y随x的增大而减小；
（4）k满足何条件时，图象经过第一、二、四象限；
（5）k满足何条件时，它的图象与y轴的交点在x轴的上方．
【解析】解：（1）∵一次函数y=（2﹣k）x﹣2k+6的图象过原点，
∴﹣2k+6=0，
解得k=3；
（2）∵一次函数y=（2﹣k）x﹣2k+6的图象平行于直线y=﹣x+1，
∴2﹣k=﹣1且﹣2k+6≠1，
解得k=3；
（3）∵一次函数y=（2﹣k）x﹣2k+6的图象y随x的增大而减小，
∴2﹣k＜0，
解得k＞2；
（4）∵该函数的图象经过第一、二、四象限，
∴2﹣k＜0，且﹣2k+6＞0，
解得2＜k＜3；
（5）∵y=（2﹣k）x﹣2k+6，
∴当x=0时，y=﹣2k+6，
由题意，得﹣2k+6＞0且2﹣k≠0，
∴k＜3且k≠2．
2.如图，一次函数y=（m+1）x+的图象与x轴的负半轴相交于点A，与y轴相交于点B，且△OAB的面积为．
（1）求m的值及点A的坐标；
（2）过点B作直线BP与x轴的正半轴相交于点P，且OP=3OA，求直线BP的解析式．
【解析】解：（1）当x=0时，y=（m+1）x+=，则B（0，），
∴OB=，
∵△OAB的面积为，
∴×OA×OB=，
解得OA=1，
∴A（﹣1，0）；　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
把点A（﹣1，0）代入y=（m+1）x+得﹣m﹣1+=0，
∴m=；
（2）∵OP=3OA，
∴OP=3，
∴点P的坐标为（3，0），
设直线BP的函数表达式为y=kx+b，
把P（3，0）、B（0，）代入得，解得，
∴直线BP的函数表达式为y=﹣x+．
【方法总结】
解一次函数的图象和性质的相关题型，首先将解析式化简成y=kx+b的形式，并牢记k、 b的正负与函数图象的对应关系．
用待定系数法求一次函数的解析式，待定系数有两个，需要两个方程，所以在图中需找到两个点确定两组x、y的值；已知函数图象中的点求所对应的三角形、四边形的面积要根据点的位置添加绝对值号，以保证结论的正确性．
【随堂练习】
1．下列函数中是一次函数的是（　　）
A．y=2x B． C．y=x2 D．y2=2x+3
【解答】解：A、y=2x是正比例函数也是一次函数，故选项正确；
B、y=是反比例函数，故选项错误；
C、y=x2是二次函数，故选项错误；
D、y2=2x+3是y2与x一次函数，故选项错误．
故选：A．
2．下列关系式中：y=﹣3x+1、y=、y=x2+1、y=x，y是x的一次函数的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：函数y=﹣3x+1，y=，y=x2+1，y=x中，是一次函数的是：y=﹣3x+1、y=x，共2个．
故选：B．
3．一次函数y=（m﹣2）xn﹣1+3是关于x的一次函数，则m，n的值为（　　）
A．m≠2，n=2 B．m=2，n=2 C．m≠2，n=1 D．m=2，n=1
【解答】解：∵一次函数y=（m﹣2）xn﹣1+3是关于x的一次函数，
∴n﹣1=1，m﹣2≠0，
解得：n=2，m≠2．
故选：A．
知识点3 一次函数与方程、不等式的关系
1. 一次函数与一元一次方程的关系
用函数的观点看方程，从数的角度看：求kx+b=0的解，相当于求函数y=kx+b的函数值为0时自变量x的值．从形的角度看：求kx+b=0的解，相当于已知直线y=kx+b，确定它与x轴交点的横坐标．
2．一次函数与二元一次方程（组）的关系
（1）一次函数y=kx+b的图象上任意一点的坐标都是二元一次方程kx﹣y+b=0的解；以二元一次方程kx﹣y+b=0的解为坐标的点都在一次函数y=kx+b的图象上．
（2）如果两个一次函数的图象有一个交点，那么交点坐标就是相应的二元一次方程组的解．二元一次方程组的解是组中两个二元一次方程表达式形成的两个一次函数的图象的交点坐标．
（3）用一次函数的图象求二元一次方程组的解的方法称为二元一次方程组的图象解法．
3．一次函数与一元一次不等式的关系
（1）从数的角度看，求一元一次不等式kx+b＞0或kx+b＜0的解集就是求x为何值时，一次函数y=kx+b的函数值大于0或小于0．从形的角度看，求一元一次不等式kx+b＞0或kx+b＜0的解集就是求直线y=kx+b在x轴上方或下方部分所有点的横坐标．
（2）一元一次不等式 (，是已知数，且＜)的解集就是直线上满足≤≤那条线段所对应的自变量的取值范围．
（3） ax+b＞cx+d或ax+b＜cx+d（a≠c，且ac≠0）的解集就是y=ax+b的函数值大于或小于y=cx+d的函数值时自变量x的取值范围，也是直线y=ax+b在直线y=cx+d的上方或下方时对应的横坐标的取值范围．
【典例】
1.如图，直线y=﹣2x+6与直线y=mx+n相交于点M（p，4）．
（1）求p的值；
（2）直接写出关于x，y的二元一次方程组的解；
（3）判断直线y=3nx+m﹣2n是否也过点M？并说明理由．
【解析】解：（1）∵直线y=﹣2x+6经过点M（p，4），
∴4=﹣2p+6，
∴p=1．
（2）由图象可知方程组的解为，
（3）结论：直线y=3nx+m﹣2n经过点M，理由如下：
∵点M（1，4）在直线y=mx+n上，
∴m+n=4，
∴当x=1时，y=3nx+m﹣2n=m+n=4，
∴直线y=3nx+m﹣2n经过点M．
2.直线a：y=x+2和直线b：y=﹣x+4相交于点A，分别与x轴相交于点B和点C，与y轴相交于点D和点E．
（1）在同一坐标系中画出函数图象；
（2）求△ABC的面积；
（3）求四边形ADOC的面积；
（4）观察图象直接写出不等式x+2≤﹣x+4和﹣x+4≤0的解集．
【解析】解：（1）依照题意画出图形，如图所示．
（2）令y=x+2中y=0，则x+2=0，解得：x=﹣2，
∴点B（﹣2，0）；
令y=﹣x+4中y=0，则﹣x+4=0，解得：x=4，
∴点C（4，0）；
联立两直线解析式得：，解得：，
∴点A（1，3）．
S△ABC=BC yA=×[4﹣（﹣2）]×3=9．
（3）令y=x+2中x=0，则y=2，
∴点D（0，2）．
S四边形ADOC=S△ABC﹣S△DBO=9﹣×2×2=7．
（4）观察函数图形，发现：
当x＜1时，直线a在直线b的下方，
∴不等式x+2≤﹣x+4的解集为x≤1；
当x＞4时，直线b在x轴的下方，
∴不等式﹣x+4≤0的解集为x≥4．
【方法总结】
如果两个一次函数的图象有一个交点，那么交点坐标就是相应的二元一次方程组的解．
已知两个一次函数的图象求不等式y1＞y2的解集，一般解题步骤如下：
（1）通过观看图象找出两个一次函数的交点；
（2）找出函数图像y1在y2上方的部分；
（3）写出该部分图象对应自变量的取值范围．
【随堂练习】
1．下列在一次函数y=2x﹣3的图象上的点是（　　）
A．（﹣3，0） B．（1，﹣1） C．（2，﹣1） D．（﹣3，﹣3）
【解答】解：∵y=2x﹣3，
∴当x=﹣3时，y=﹣6﹣3=﹣9≠0，故点（﹣3，0）不在函数图象上，
当x=1时，y=2×1﹣3=﹣1，故点（1，﹣1）在函数图象上，
当x=2时，y=2×2﹣3=1≠﹣1，故点（2，﹣1）不在函数图象上，
当x=﹣3时，y=﹣6﹣3=﹣9≠﹣3，故点（﹣3，﹣3）不在函数图象上，
故选：B．
2．一次函数y=﹣2x+5的图象与y轴的交点坐标是（　　）
A．（5，0） B．（0，5） C．（，0） D．（0，）
【解答】解：令x=0，则y=5，
∴一次函数y=﹣2x+5与y轴的交点坐标是（0，5），
故选：B．
综合运用
1．已知函数y=（m+2）x是正比例函数，则m的值是（　　）
A．2 B．﹣2 C．±2 D．
【解答】解：∵函数y=（m+2）x是正比例函数，
∴m2﹣3=1，m+2≠0，
解得：m=2．
故选：A．
2．正比例函数y=3x的大致图象是（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：
∵在y=3x中，k=3＞0，
∴图象过原点，在第一、三象限，
故选：B．
3．下列函数①y=5x；②y=﹣2x﹣1；③y=；④y=x﹣6；⑤y=x2﹣1其中，是一次函数的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：①y=5x；②y=﹣2x﹣1；③y=；④y=x﹣6；⑤y=x2﹣1其中，是一次函数的有：①y=5x；②y=﹣2x﹣1；④y=x﹣6共3个．
故选：C．
4．已知函数y=（m﹣1）x|m|+5m是一次函数，则m的值为（　　）
A．1 B．﹣1 C．0或﹣1 D．1或﹣1
【解答】解：由题意可知：
解得：m=﹣1
故选：B．
5.一次函数y=x﹣1的图象交x轴于点A．交y轴于点B，在y=x﹣1的图象上有两点（x1，y1）、（x2，y2），若x1＜0＜x2，则下列式子中正确的是（　　）
A．y1＜0＜y2 B．y1＜0＜y2 C．y1＜﹣1＜y2 D．y2＜0＜y1
【解答】解：∵y=x﹣1，
∴x=0时，y=﹣1，
且y随x的增大而增大，
∴若x1＜0＜x2，则y1＜﹣1＜y2．
故选：C．
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