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第二十一章 一元二次方程
21.2 解一元二次方程
21.2.3 因式分解法
学习目标：1.理解用因式分解法解方程的依据.
2.会用因式分解法解一些特殊的一元二次方程.
3.会根据方程的特点选用恰当的方法解一元二次方程.
重点：会运用因式分解法解一些特殊的一元二次方程.
难点：会根据方程的特点选用恰当的方法解一元二次方程.
一、知识链接
1.用公式法解一元二次方程的步骤有哪几步？
2.用学过的方法解一元二次方程(x－3)(x－5)=0.
二、要点探究
探究点1：因式分解法解一元二次方程
引例： 根据物理学规律，如果把一个物体从地面以 10 m/s 的速度竖直上抛，那么物体经过 x s 离地面的高度(单位：m)为 10x－4.9x2 . 根据上述规律，物体经过多少秒落回地面(结果保留小数点后两位)
用配方法和公式法解方程10x－4.9x2=0 ① ？
思考1 除上述方法以外，有更简单的方法解方程①吗？
思考2 解方程10x－4.9x2时，二次方程是如何降为一次的？
要点归纳：
因式分解法的概念：
使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次.这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法.
因式分解法的基本步骤：
一移—— ；
二分—— ；
三化—— ；
四解—— .
简记歌诀：右化零，左分解；两因式，各求解.
试一试 下列各方程的根分别是多少？
(1)x(x－2)=0； (2) (y+2)(y－3)=0； (3) (3x+6)(2x－4)=0； (4) x2=x.
典例精析
例1 解下列方程：
(1)； (2)
练一练 解下列方程：
(x+1)2=5x+5； (2)x2-6x+9=(5-2x)2．
拓展提升：十字相乘法
(x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + ab
两个一次二项式相乘的积 一个二次三项式
反过来，得
总结：
试一试 解方程x2+6x-7=0.
x2 + 6x -7
-x+7x=6x
步骤：
①竖分 与 ；
②交叉 ，积 ；
③ 确定， 因式.
简记口诀：首尾分解，交叉相乘，求和凑中.
练一练 解下列方程：
(1)x2-5x+6=0； (2)x2+4x-5=0；
(3)(x+3)(x-1)=5； (4)2x2-7x+3=0.
探究点2：灵活选用适当的方法解方程
例2 用适当的方法解方程：
3x(x+5)=5(x+5)； (2) (5x+1)2=1；
(3) x2－12x=4； (4) 3x2 = 4x + 1.
要点归纳：解法选择基本思路:
1.一般地，当一元二次方程一次项系数为0时(ax2+c=0)，应选用直接开平方法；
2.若常数项为0(ax2+bx=0)，应选用因式分解法；
3. 化为一般式(ax2+bx+c=0)后，若一次项系数和常数项都不为 0，先看左边是否容易因式分解，若容易，宜选用因式分解法，否则就选用公式法或配方法：此时若二次项系数为1，且一次项系数为偶数，则可选用配方法；否则可选公式法. 系数含根式时也可选公式法.
拓展提升
填一填：一元二次方程的各种解法及适用类型.
一元二次方程的解法 适用的方程类型
直接开平方法
配方法
公式法
因式分解
三、课堂小结
1.填空.
① x2－3x+1=0； ② 3x2－1=0； ③ －3t2+t=0； ④ x2－4x=2；
⑤ 2x2=x； ⑥ 5(m+2)2=8； ⑦ 3y2－y－1=0； ⑧ 2x2+4x－1=0；
⑨ (x－2)2=2(x－2).
最适合运用直接开平方法 ；
最适合运用因式分解法 ；
最适合运用公式法 ；
最适合运用配方法 .
2.解方程：x2 - 3x - 10 = 18. 下面的解法正确吗？如果不正确，错误在哪？并请改正过来.
解：原方程化为：
(x－5)(x+2)=3×6. ①
由x－5=3，得x=8；②
由x+2=6，得x=4； ③
所以原方程的解为x1=8或x2=4.
3.解方程x(x+1)=2时，要先把方程化为 ；再选择适当的方法求解，得方程的两根为x1= ， x2= .
4.解方程.
(1) ； (2) ； (3)2x2-5x+1=0；
(4)x2+4x-2=2x+3； (5)(3m+2)2-7(3m+2)+10=0．
5.把小圆形场地的半径增加5m得到大圆形场地，场地面积增加了一倍，求小圆形场地的半径.
挑战自我
(1)已知三角形的两边长为4和5，第三边的长是方程x2-5x+6=0的一个根，则这个三角形的周长是________；
(2)一个三角形的两边长分别为3和5，其第三边是方程x2-13x+40=0的根，则此三角形的周长为________；
(3)已知等腰三角形的腰长、底边长分别是一元二次方程x2-7x+10=0的两根，则该等腰三角形的周长是________.
参考答案
自主学习
知识链接
1.①变形：化已知方程为一般形式；②确定系数：用a，b，c写出各项系数；
③计算：b2－4ac的值；④判断：若b2－4ac≥0，则利用求根公式求出；若b2－4ac<0，则方程没有实数根.
2.解：方程整理得x2-8x+15=0，配方得x2-8x+16=1,即（x-4）2=1.开平方，得x-4=1，或x-4=-1,解得x1=5，x2=3.
课堂探究
二、要点探究
探究点1：因式分解法解一元二次方程
问题1：解：设物体经过 x s落回地面，这时它离地面的高度为0 m ，即10x-4.9x2 =0.
配方法解方程10x-4.9x2=0.
解：
公式法解方程10x-4.9x2=0.
解：方程可化为4.9x2-10x=0, ∵a=4.9，b=-10，c=0，∴b2-4ac=(-10)2-4×4.9×0=100.
思考1 有
思考2 将方程10x－4.9x2=0的左边进行因式分解，根据如果a · b = 0，那么 a = 0或 b = 0.将方程降次转化为两个一次方程.
因式分解法的基本步骤：
一移——使方程的右边为 0；
二分——将方程的左边因式分解；
三化——将方程化为两个一元一次方程；
四解——写出方程的两个解.
试一试
解：(1) x1=0，x2=2； （2） y1=-2，y2=3 ；(3) x1=-2，x2=2； (4) x1=0，x2=1.
典例精析
例1 解：(1)因式分解，得(x－2)(x＋1)=0.∴x－2＝0或x＋1=0,解得x1=2，x2=－1.
(2)移项、合并同类项，得4x2－1=0,因式分解，得 ( 2x＋1)( 2x－1 )=0. ∴2x＋1=0或2x－1=0，
解得
练一练
解：(1)∵(x+1)2=5(x+1)，∴(x+1)2-5(x+1)=0，则(x+1)(x-4)=0，∴x+1=0，或x-4=0，即x1=4，x2=-1．
(2)方程整理得(x-3)2-(5-2x)2=0，则[(x-3)+(5-2x)][(x-3)-(5-2x)]=0，(2 x)(3x 8) = 0，∴2-x=0，或3x-8=0，
拓展提升：
x2 + (a + b)x + ab = (x + a)(x + b)
一个二次三项式 两个一次二项式相乘的积
总结：
如果二次三项式 x2 + px + q 中的常数项 q 能分解成两个因数 a、b 的积，而且一次项系数 p 又恰好是 a + b，那么 x2 + px + q 就可以用如上的方法进行因式分解.
试一试 （x+7）(x-1) （x+7）(x-1) x+7 x-1 -7 1
步骤：
①竖分二次项与常数项
②交叉相乘，积相加
③检验确定，横写因式
练一练 解：（1）分解因式，得(x-2)(x-3)=0，解得x1=2，x2=3；
（2）分解因式，得(x+5)(x-1)=0，解得x1=-5，x2=1；
（3）整理得x2+2x-8=0，分解因式，得(x+4)(x-2)=0，解得x1=-4，x2=2；
（4）解：分解因式，得(2x-1)(x-3)=0，解得
探究点2：灵活选用方法解方程
例2 解：（1）化简 (3x - 5) (x + 5) = 0.即 3x -5 = 0 或 x + 5 = 0.
开平方,得5x + 1 = ±1.
配方，得x2 - 12x + 62 = 4 + 62,即 (x - 6)2 = 40.开平方，得
解：化为一般形式3x2-4x-1 = 0. ∵Δ=b2 - 4ac = 28 > 0,
.
填一填
从上到下，(ax + m)2 = n (a≠0，n≥0)
x2 + px + q = 0 ( p2 - 4q≥0)
ax2 + bx +c = 0 (a ≠ 0，b2 - 4ac≥0)
(ax + m)(bx + n) = 0 (ab ≠ 0)
当堂检测
②⑥ ③⑤⑨ ①⑦⑧ ④
解: 原方程化为： x2－3x－28= 0， (x－7)(x+4)=0， x1=7，x2=－4.
x2+x－2=0 ； -2 ； 1
4.解：（1）化为一般式为x2－2x+1 = 0.因式分解，得( x－1 ) 2 = 0.有 x－1 = 0，x1=x2=1.
（2）因式分解，得( 2x+11 )( 2x－11 ) = 0.有 2x +11= 0或2x－11= 0，
（3）a=2，b=-5，c=1，∴Δ=(-5)2-4×2×1=17．
（4）整理，得x2+2x=5，∴x2+2x+1=5+1，即(x+1)2=6，
（5）解法一：方程整理得9m2-9m=0.分解因式，得9m(m-1)=0.解得m1=0，m2=1．
解法二：分解因式，得(3m+2-2)(3m+2-5)=0.∴3m+2-2=0，或3m+2-5=0，解得m1=0，m2=1．
解：设小圆形场地的半径为r，根据题意 ( r + 5 )2×π=2πr2.因式分解，得于是得
（舍去）.
答：小圆形场地的半径为
挑战自我 （1）11或12 （2）13 （3）12

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