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第十一章 三角形
11.2 与三角形有关的角
11.2.1 三角形的内角
第1课时 三角形的内角和
学习目标：1.会用平行线的性质与平角的定义证明三角形内角和等于180°.
2.能运用三角形的内角和定理进行计算.
重点：会用平行线的性质与平角的定义证明三角形内角和等于180°.
难点：能运用三角形的内角和定理进行计算.
一、知识链接
1.三角形按照角的大小分类，可以分为_________、_________、_________.
2.分别用量角器量出下面三个三角形的内角度数，并填表.
三角形形状 每个内角的度数 三个内角的和
锐角三角形
直角三角形
钝角三角形
二、新知预习
1.如图，在△ABC中，∠A+∠B+∠C=_______，
在小学我们通过拼接、测量就已经知道三角形的内角和为______，与其形状、大小_____(填“有关”或“无关”）.
三、自学自测
在△ABC中，若∠A＝35°，∠B＝65°，则∠C＝________.
四、我的疑惑
____________________________________________________________________________________________________________________________
要点探究
探究点1：三角形内角和定理的证明
探究：在纸上任意画一个三角形，将它的内角剪下拼合在一起.
三角形的三个内角拼到一起恰好构成一个平角.
问题1：观测的结果不一定可靠，还需要通过数学知识来说明.从上面的操作过程，你能
发现证明的思路吗？
已知：如图，△ABC.
求证：∠A+∠B+∠C=180°.
证法1：过点A作l∥BC，
证法2：延长BC到D，过点C作CE∥BA，
证法3：过BC上一点D作DE∥AC，作DF∥AB.
思考：多种方法证明三角形内角和等于180°的核心是什么？
知识要点
1.辅助线
在这里，为了证明的需要，在原来的图形上添画的线叫做辅助线.在平面几何里，辅助线通常画成虚线.
2.思路总结
为了证明三个角的和为180°，转化为一个平角或同旁内角互补等，这种转化思想是数学中的常用方法.
探究点2：三角形内角和定理的应用
例1：如图，在△ABC中， ∠BAC=40 °， ∠B=75 °，AD是△ABC的角平分线，求∠ADB的度数.
【变式题】如图，CD是∠ACB的平分线，DE∥BC，∠A＝50°，∠B＝70°，求∠EDC，∠BDC的度数.
例2：如图，△ABC中，D在BC的延长线上，过D作DE⊥AB于E，交AC于F.
已知∠A＝30°，∠FCD＝80°，求∠D.
总结归纳：基本图形
由三角形的内角和定理易得∠1+∠2=∠3+∠4.
由三角形的内角和定理易得∠A+∠B=∠C+∠D.
例3：在△ABC中，∠A的度数是∠B的度数的3倍，∠C比∠B大15°，求∠A，∠B，∠C的度数.
【变式题】如图，在△ABC中，∠A＝∠B＝∠ACB，CD是△ABC的高，CE是∠ACB的平分线，求∠DCE的度数．
针对训练
在△ABC中，∠A=35°，∠ B=43°，则∠ C=______°.
在△ABC中，∠A :∠B:∠C=1:2:3，则△ABC按角分是_____三角形.
在△ABC中，∠A= ∠B+10°， ∠C= ∠A + 10°，则∠A=_____°，∠ B=_____°，∠ C=_____°.
三角形的内角和定理也常常用在实际问题中.
例4：如图，C岛在A岛的北偏东50°方向，B岛在A岛的北偏东80 °方向，C岛在B岛的北偏西40 °方向.从B岛看A，C两岛的视角∠ABC是多少度？从C岛看A、B两岛的视角∠ACB是多少度？
【变式题】如图，B岛在A岛的南偏西40°方向，C岛在A岛的南偏东15°方向，C岛在B岛的北偏东80°方向，求从C岛看A，B两岛的视角∠ACB的度数.
二、课堂小结
三角形的内角和为180°.
1.求出下列各图中的x值．
如图，则∠1+∠2+∠3+∠4=___________ .
3.如图，四边形ABCD中，点E在BC上，∠A+∠ADE=180°，∠B=78°，∠C=60°，求∠EDC的度数．
4.如图，在△ABC中，∠B=42°，∠C=78°，AD平分∠BAC．求∠ADC的度数.
拓展提升：
如图，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB.
（1）若∠A=60°，求∠BPC的度数．
（2）你能直接写出∠BPC与∠A 之间的数量关系吗？
参考答案
自主学习
一、知识链接
1.锐角三角形 直角三角形 钝角三角形
2.
三角形形状 每个内角的度数 三个内角的和
锐角三角形 180°
直角三角形 180°
钝角三角形 180°
二、新知预习
1.180°
180° 无关
三、自学自测 80°
四、我的疑惑
课堂探究
要点探究
探究点1：三角形内角和定理的证明
问题1：
证法1：过点A作直线l∥BC，
∴∠B=∠1，(两直线平行，内错角相等)
∠C=∠2.(两直线平行，内错角相等)
∵∠2+∠1+∠BAC=180°，
∴∠B+∠C+∠BAC=180°.
证法2：延长BC到D，过点C作CE∥BA，
∴∠A=∠1，(两直线平行，内错角相等)
∠B=∠2.(两直线平行，同位角相等)
又∵∠1+∠2+∠ACB=180°，
∴∠A+∠B+∠ACB=180°.
证法3：过BC上一点D作DE∥AC，作DF∥AB.
∴∠C=∠EDB，∠B=∠FDC.(两直线平行，同位角相等)
∠A+∠AED=180°，
∠AED+∠EDF=180°，(两直线平行，同旁内角相补)
∴∠A=∠EDF.
∵∠EDB+∠EDF+∠FDC=180°，
∴∠A+∠B+∠C=180°.
思考：借助平行线的“移角”的功能，将三个角转化到一个平角上.
探究点2：三角形内角和定理的应用
例1 解：由∠BAC=40 °， AD是△ABC的角平分线，得∠BAD=∠BAC=20 °.
在△ABD中，∠ADB=180°-∠B-∠BAD=180°-75°-20°=85°.
【变式题】 解：∵∠A＝50°，∠B＝70°，
∴∠ACB＝180°－∠A－∠B＝60°.
∵CD是∠ACB的平分线，∴∠BCD＝∠ACB＝30°.
∵DE∥BC，∴∠EDC＝∠BCD＝30°，
在△BDC中，∠BDC＝180°－∠B－∠BCD=80°.
例2 解：∵DE⊥AB，∴∠FEA＝90°．
∵在△AEF中，∠FEA＝90°，∠A＝30°，
∴∠AFE＝180°－∠FEA－∠A＝60°.
又∵∠CFD＝∠AFE，∴∠CFD＝60°.
∴在△CDF中，∠D＝180°－∠CFD－∠FCD＝40°.
例3 解：设∠B为x°，则∠A为(3x)°，∠C为(x＋15)°， 从而有3x＋x＋(x＋15)＝180.
解得x＝33.所以3x＝99，x＋15＝48.
答：∠A，∠B，∠C的度数分别为99°，33°，48°.
【变式题】 解析：根据已知条件用∠A表示出∠B和∠ACB，利用三角形的内角和求出∠A，再求出∠ACB，∠ACD，最后根据角平分线的定义求出∠ACE即可求得∠DCE的度数．
解：∵∠A＝∠B＝∠ACB，设∠A＝x，∴∠B＝2x，∠ACB＝3x.
∵∠A＋∠B＋∠ACB＝180°，∴x＋2x＋3x＝180°，解得x＝30°.
∴∠A＝30°，∠ACB＝90°.
∵CD是△ABC的高，∴∠ADC＝90°，∴∠ACD＝180°－90°－30°＝60°.
∵CE是∠ACB的平分线，∴∠ACE＝×90°＝45°，
∴∠DCE＝∠ACD－∠ACE＝60°－45°＝15°.
针对训练 1.102 2.直角 3.60 50 70
例4 解：由题意得∠CAB= ∠BAD- ∠CAD=80 °-50°=30°.
由AD//BE，得∠BAD+ ∠ABE=180 °，
所以∠ABE=180 °- ∠BAD=180°-80°=100°，∠ABC= ∠ABE- ∠EBC=100°-40°=60°.
在△ABC中，∠ACB=180 °-∠ABC- ∠ CAB=180°-60°-30° =90°.
答：从B岛看A，C两岛的视角∠ABC是60 °，从C岛看A，B两岛的视角∠ACB是90°.
【变式题】 解：如图，
由题意得BE∥AD，∠BAD=40°，∠CAD=15°，∠EBC=80°，
∴∠EBA=∠BAD=40°，∠BAC=40°+15°=55°，
∴∠CBA=∠EBC-∠EBA=80°-40°=40°，
∴∠ACB=180°-∠BAC-∠ABC=180°-55°-40°=85°．
当堂检测
1.x=70 x=60 x=30 x=50 2.280 °
3.解：∵∠A+∠ADE=180°，∴AB∥DE，∴∠CED=∠B=78°．
又∵∠C=60°，∴∠EDC=180°-（∠CED+∠C）=180°-（78°+60°）=42°．
4.解：∵∠B=42°，∠C=78°，∴∠BAC=180°-∠B-∠C=60°.
∵AD平分∠BAC，∴∠CAD=∠BAC=30°，∴∠ADC=180°-∠C-∠CAD=72°.
拓展提升
5.解：（1）∵在△ABC中，∠A=60°，∴∠ABC+∠ACB=120°．
∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，
∴∠PBC+∠PCB= （∠ABC+∠ACB）=60°．
∵∠PBC+∠PCB+∠BPC=180°，∴∠BPC=180°-60°=120°．
（2）∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，
∴∠PBC+∠PCB=（∠ABC+∠ACB）．
∵∠PBC+∠PCB+∠BPC=180°，
∴∠BPC=180°-（∠ABC+∠ACB）=180°-（180°-∠A）=90°+∠A．

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