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第十一章 三角形
11.3 多边形及其内角和
11.3.1 多边形
学习目标：1.掌握多边形的定义及有关概念，能区分凹凸多边形.
2.掌握正多边形的概念.
3.会求多边形的对角线的条数.
重点：正多边形的概念.
难点：会求多边形的对角线的条数.
一、知识链接
1.什么是三角形？
2.观察下面的图片，你能找到哪些我们熟悉的图形
二、新知预习
自主归纳：
（1）多边形的概念：类比三角形的概念，在平面内，由一些线段_______相接组成的封闭图形叫做_______.
（2）多边形的有关概念：
①多边形按组成它的线段的条数分成三角形、四边形、五边形…….三角形是最简单的多边形，如果一个多边形由n条线段组成，那么这个多边形就叫做_________.
②多边形______两边组成的角叫做它的内角，如图，∠A，∠B，∠C，∠D，∠E是五边形ABCDE的5个内角，多边形的边与它的邻边_______________组成的角叫做多边形的外角.连接多边形__________的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线，线段_________是五边形ABCDE的对角线.画出多边形的任意一条边所在的直线，如果整个多边形都在这条直线的__________，那么这个多边形就是凸多边形.
③各个角都_________，各边都___________的多边形叫做正多边形.
三、我的疑惑
______________________________________________________________________________________________________________________________________________________
要点探究
探究点1：多边形的定义及相关概念
问题1 什么是三角形？
问题2 观察画某多边形的过程，类比三角形的概念，你能说出什么是多边形吗？
思考：比较多边形的定义与三角形的定义，为什么要强调“在平面内”呢？怎样命名多边形呢？
问题3 根据图示，类比三角形的有关概念，说明什么是多边形的边、顶点、内角、外角．
问题4 请分别画出下列两个多边形各边所在的直线，你能得到什么结论？
方法总结:多边形可分为凸多边形和凹多边形，辨别凸多边形可有两种方法：(1)画多边形任何一边所在的直线，整个多边形都在此直线的同一侧；(2)每个内角的度数均小于180°.通常所说的多边形指凸多边形．
典例精析
例1 凸六边形纸片剪去一个角后，得到的多边形的边数可能是多少？画出图形说明．
方法总结:一个多边形截去一个角后，多边形的边数可能增加了一条，也可能不变或减少了一条.
探究点2：多边形的对角线
定义：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线.
注意：线段AC是五边形ABCDE的一条对角线，多边形的对角线通常用虚线表示.
探究：请画出下列图形从某一顶点出发的对角线的条数：
归纳总结：
从n(n≥3)边形的一个顶点可以作出______条对角线，将多边形分成_________个三角形.
例2：过多边形的一个顶点的所有对角线的条数与这些对角线分该多边形所得三角形的个数的和为21，求这个多边形的边数．
画一画：画出下列多边形的全部对角线.
探究点3：正多边形
定义：像正方形这样，各个角都相等，各条边都相等的多边形.
想一想：下列多边形是正多边形吗？如不是，请说明为什么？
方法总结：判断一个多边形是不是正多边形，就看“各边都相等，各角都相等”这两个条件是否同时具备.
二、课堂小结
内容 图例
定义 在平面内，由一些线段_______相接组成的封闭图形叫做多边形.内、外角的概念如图所示.
对角线 连接多边形__________的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线.
正多边形 各个角都_________，各边都_________的多边形叫做正多边形.
1.下列多边形中，不是凸多边形的是（ ）
2.把一张形状是多边形的纸片剪去其中一个角，剩下的部分是一个四边形，则这张纸片原来的形状不可能是（ ）
A. 六边形 B . 五边形 C.四边形 D.三角形
3.九边形的对角线有（ ）
A.25条 B.31条 C.27条 D.30条
4.若从一个多边形的一个顶点出发，最多可以引10条对角线，则这是_______边形.
5.过八边形的一个顶点画对角线，把这个八边形分割成_______个三角形.
参考答案
自主学习
一、知识链接
1.由不在同一条直线上的三条线段首位顺次相接所组成的图形叫做三角形.
2.长方形，正方形，五边形，六边形.
二、新知预习
自主归纳：
（1）首位顺次 多边形
（2）①n边形
②相邻 延长线 不相邻 AC、AD 同侧
③相等 相等
三、我的疑惑
课堂探究
要点探究
探究点1：多边形的定义及相关概念
问题1 由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.
问题2 在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形.
思考 这是因为三角形中的三个顶点肯定都在同一个平面内，而四点，五点，甚至更多的点就有可能不在同一个平面内.
多边形用图形名称以及它的各个顶点的字母表示.字母要按照顶点的顺序书写，可以按顺时针或逆时针的顺序.
问题3 n边形有n个顶点，n条边，n个内角，2n个外角．外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角.多边形按它的边数可分为：三角形，四边形，五边形等等.其中三角形是最简单的多边形.
问题4 如图（1）这样，画出多边形的任何一条边所在的直线，整个多边形都在这条直线的同一侧，那么这个多边形就是凸多边形.本节我们只讨论凸多边形.
典例精析
例1 解：∵六边形截去一个角的边数有增加1、减少1、不变三种情况，
∴新多边形的边数为7、5、6三种情况，如图所示.
探究点2：多边形的对角线
探究：
归纳总结： (n-3) (n-2) n(n≥3)边形共有对角线条.
例2 解：设这个多边形为n边形，则有(n-3)条对角线，所分得的三角形个数为n-2，
∴n-3+n-2=21，解得n=13．
答：该多边形的边数有13条．
画一画
探究点3：正多边形
想一想 答：都不是，第一个图形不符合四个角都相等；第二个图形不符合各边都相等.
当堂检测
1.B 2.A 3.C 4.十三 5.6

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