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第十一章 三角形
11.2 与三角形有关的角
11.2.2 三角形的外角
学习目标：1.理解并掌握三角形的外角的概念，并能够在复杂图形中找出外角.
2.掌握三角形的外角的性质和三角形外角和.
3.会运用三角形的外角的性质及外角和定理解决问题.
重点：三角形的外角的性质和三角形外角和.
难点：利用三角形的外角性质解决有关问题.
一、知识链接
1.什么是三角形的内角？其内角和等于多少？
2.在△ABC中，∠A=80°，∠B=52°，则∠C=_____°.
二、新知预习
1.如图，在△ABC中，∠A=70°，∠B=60°，则∠ACB=_____°，从而∠ACD=______°.
2.自主归纳：
（1）三角形的外角概念：如图，把△ABC的一边BC延长，得到∠ACD，像这样，三角形的一边与另一边的_____组成的角，叫做三角形的外角.
三角形外角的性质：如图，∠A+∠B+∠ACB=______°，∠ACB+∠ACD=______°，所以∠A+∠B=______°.即三角形的外角等于与它________的两个内角的和.
三、自学自测
1.如图，∠AEB是______的外角，∠AFB是______________的外角.
第1题图 第2题图
2.如图，∠ACD是△ABC的外角，若∠ACD=120°，∠A=80°，则∠B=_____°.
四、我的疑惑
_______________________________________________________________________________
要点探究
探究点1：三角形的外角的概念
定义 如图，把△ABC的一边BC延长，得到∠ACD，像这样，三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角.∠ACD是△ABC的一个外角
问题1：如图，延长AC到E，∠BCE是不是△ABC的一个外角？∠DCE是不是△ABC的一个外角？
问题2：如上图，∠ACD与∠BCE有什么关系？在三角形的每个顶点处有多少个外角？
画一画：画出△ABC的所有外角，共有几个呢
总结归纳：
三角形的外角应具备的条件：
①角的顶点是三角形的顶点；
②角的一边是三角形的一边；
③另一边是三角形中一边的延长线.
∠ACD是△ABC的一个外角，每一个三角形都有6个外角．
练一练：如图，∠ BEC是哪个三角形的外角？∠AEC是哪个三角形的外角？∠EFD是哪个三角形的外角？
探究点2：三角形外角的性质
问题1：如图，△ABC的外角∠BCD与其相邻的内角∠ACB有什么关系？
问题2：如图，△ABC的外角∠BCD与其不相邻的两内角(∠A，∠B)有什么关系？
【验证结论】已知：△ABC如图，求证：∠ACD=∠A+∠B.
证明：过C作CE平行于AB，
知识要点：三角形的外角_______与它不相邻的两个内角的和.
应用格式：
∵ ∠ACD是△ABC的一个外角，
∴ ∠ACD= ∠A+ ∠B.
练一练：说出下列图形中∠1和∠2的度数：
典例精析
例1：如图，∠A=42°，∠ABD=28°，∠ACE=18°，求∠BFC的度数.
例2：如图，P为△ABC内一点，∠BPC＝150°，∠ABP＝20°，∠ACP＝30°，求∠A的度数．
【变式题】（一题多解）如图，∠A=51°，∠B=20°，∠C=30°，求∠BDC的度数.
方法总结：解题的关键是正确的构造三角形，利用三角形外角的性质及转化的思想，把未知角与已知角联系起来求解.
【拓展探究】 （1）如图，试比较∠2 、∠1的大小；
（2）如图，试比较∠3 、∠2、 ∠1的大小.（提示：利用三角形的外角性质）
图 图
探究点3：三角形的外角和
典例精析
例3：如图，∠BAE，∠CBF，∠ACD是△ABC的三个外角，它们的和是多少？
解法一：由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，得∠BAE= ∠2+ ∠3，∠CBF= ∠1+ ∠3，∠ACD= ∠1+ ∠2.
解法二：如图，∠BAE+∠1=180 °，∠CBF +∠2=180 °，∠ACD +∠3=180 °.
解法三：如图，过A作AN平行于BC.
思考：你能总结出三角形的外角和的数量关系吗？
要点归纳：三角形的外角和等于360°.
二、课堂小结
定义 三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角.如∠CBD为△ABC的一个外角. 基本图形
性质 三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和.如∠CBD=∠A+∠C. 拓展：三角形的外角大于与它不相邻的任意一个内角.如：∠CBD＞∠A，∠CBD＞∠C.
三角形的外角和等于360°.
1.判断下列命题的对错.
（1）三角形的外角和是指三角形的所有外角的和. （ ）
（2）三角形的外角和等于它的内角和的2倍. （ ）
（3）三角形的一个外角等于两个内角的和. （ ）
（4）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和. （ ）
（5）三角形的一个外角大于任何一个内角. （ ）
（6）三角形的一个内角小于任何一个与它不相邻的外角. （ ）
2.如图，AB//CD，∠A＝37°， ∠C＝63°，那么∠F等于 （ ）
A.26° B.63° C.37° D.60°
3.（1）如图，∠BDC是________的外角，也是________的外角；
（2）若∠B=45 °， ∠BAE=36 °， ∠BCE=20 °，试求∠AEC的度数.
4 .如图，D是△ABC的BC边上一点，∠B=∠BAD， ∠ADC=80°，∠BAC=70°，求：
（1）∠B 的度数；（2）∠C的度数.
拓展提升
5.如图，求∠A+ ∠B+ ∠C+ ∠D+ ∠E的度数.
6.如图，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F=________.
参考答案
自主学习
一、知识链接
1.三角形相邻两边组成的角叫做三角形的内角，它们的和是180 °.
2.48
二、新知预习
1.50 130
2.自主归纳：（1）延长线
（2）180 180 ∠ACD 不相邻
三、自学自测
1.△ACE △ADF和△BEF
2.40
四、我的疑惑
课堂探究
要点探究
探究点1：三角形的外角的概念
问题1 解：∠BCE是△ABC的一个外角，∠DCE不是△ABC的一个外角.
问题2 解：∠ACD 与∠BCE为对顶角，∠ACD =∠BCE；在三角形每个顶点处都有两个外角.
画一画 解：每一个三角形都有6个外角．每一个顶点相对应的外角都有2个，且这2个角为对顶角.
练一练 解：∠BEC是△AEC的外角;∠AEC是△BEC的外角;∠EFD是△BEF和△DCF的外角.
探究点2：三角形外角的性质
问题1 ∠BCD与∠ACB互补.
问题2 解：∵∠A+∠B+∠ACB=180°，∠BCD+∠ACB=180°，∴∠A+∠B=∠BCD.
【验证结论】已知：如图，△ABC，求证：∠ACD=∠A+∠B.
证明：过C作CE平行于AB，
∴∠1= ∠B（两直线平行，同位角相等），
∠2= ∠A（两直线平行，内错角相等），
∴∠ACD= ∠1+ ∠2= ∠A+ ∠B.
知识要点 等于
练一练 ∠1=40°，∠2=140° ∠1=18°，∠2=130°
典例精析
例1 解：∵∠BEC是△AEC的一个外角，∴∠BEC=∠A+∠ACE.
∵∠A=42°，∠ACE=18°，∴∠BEC=60°.
∵∠BFC是△BEF的一个外角，∴∠BFC=∠ABD+∠BEF.
∵∠ABD=28°，∠BEC=60°，∴∠BFC=88°.
例2 解析：延长BP交AC于E或连接AP并延长，构造三角形的外角，再利用外角的性质即可求出∠A的度数．
解：延长BP交AC于点E，
则∠BPC，∠PEC分别为△PCE，△ABE的外角，
∴∠BPC＝∠PEC＋∠PCE，∠PEC＝∠ABE＋∠A，
∴∠PEC＝∠BPC－∠PCE＝150°－30°＝120°.
∴∠A＝∠PEC－∠ABE＝120°－20°＝100°.
【变式题】 思路点拨：添加适当的辅助线将四边形问题转化为三角形问题.
解法一：连接AD并延长于点E.
在△ABD中，∠1+∠ABD=∠3，
在△ACD中，∠2+∠ACD=∠4.
∵∠BDC=∠3+∠4，∠BAC=∠1+∠2，
∴∠BDC=∠BAC+∠ABD+∠ACD
=51° +20°+30°=101°.
解法二：延长BD交AC于点E.
在△ABE中，∠1=∠ABE+∠BAE，
在△ECD中，∠BDC=∠1+∠ECD.
∴∠BDC=∠BAC+∠ABD+∠ACD=51°+20°+30°=101°.
解法三：连接延长CD交AB于点F（解题过程同解法二）.
【拓展探究】
解：（1）∵∠2=∠1+∠B，∴∠2＞∠1.
（2）∵∠2=∠1+∠B，∠3=∠2+∠D，∴∠3＞∠2＞∠1.
探究点3：三角形的外角和
典例精析
例3 解：解法一：由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，得∠BAE= ∠2+ ∠3，∠CBF= ∠1+ ∠3，∠ACD= ∠1+ ∠2.
又知∠1+ ∠2+ ∠3=180 °，所以∠BAE+ ∠CBF+ ∠ACD=2(∠1+ ∠2+ ∠3)=360 °.
解法二：如图，∠BAE+∠1=180 ° ① ， ∠CBF +∠2=180 ° ②，∠ACD +∠3=180 ° ③，
又知∠1+ ∠2+ ∠3=180 °，①+ ②+ ③得
∠BAE+ ∠CBF+ ∠ACD+(∠1+ ∠2+ ∠3)=540 °，
所以∠BAE+ ∠CBF+ ∠ACD=540 °-180°=360°.
解法三：如图，过A作AM平行于BC，则易得∠3＝ ∠4，∠2＝ ∠BAM，
所以 ∠1＋ ∠2＋ ∠3＝ ∠1＋ ∠4＋ ∠BAM=360°.
当堂检测
1.× √ × √ × √
2.A
3.解：（1）△ADC △ADE
（2）解：根据三角形外角的性质有∠ADC= ∠B+ ∠BCE，∠AEC= ∠ADC+ ∠BAE，
∴∠AEC= ∠B+∠BCE+ ∠BAE=45 °+20 °+36 °=101 °.
4.解：∵∠ADC是△ABD的外角，∴∠ADC=∠B+∠BAD=80°.
又∵∠B=∠BAD，∴∠B=80°×=40°，∴∠C=180°-40°-70°=70°.
拓展提升
5.解：∵∠1是△FBE的外角，∴∠1=∠B+ ∠E，同理∠2=∠A+∠D.
在△CFG中，∠C+∠1+∠2=180 ，
∴∠A+ ∠ B+∠C+ ∠ D+∠E= 180 .
6.360°

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